中考撤號

專題30三角形綜合練習(xí)（提優(yōu)）

一.選擇題

1.如圖，等腰RtZ\/18C中，NBAC=90°,AD工BC于點D,/力8。的平分線分別交4C、AD于E、尸兩

點，歷為止的中點，的延長線交BC于點N,連接QM,下列結(jié)論：?AE=AF,②DF=DN；?△

為等腰三角形；④QM平分N8MM⑤AE=NC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】①根據(jù)等腰直角二角形的性質(zhì)及角平分線的定義求得/力。/?=/「夕用=；/力8。=22.5°,繼而

可得/力依=/力￡8=67.5°,即可判斷①；

②求出8。=<￡）,/DBF=NDAN,ZBDF=ZADN,證△。戶'8g△。月N,即可判斷②；

③根據(jù)彳、B、。、M四點共圓求出/月。必=22.5°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NONA/,求出NM￡W=N

DNM,即可判斷③；

④求出N8MO=45°=/BMN,即可判斷④；

⑤證明△/!尸6念△CM4可得月F=CN,由力尸=力￡,即可判斷⑤.

【解答】解：①???/8力C=9（T,AC=AB,ADLBC,

AZABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADB=90°,

：?NB/D=45°,

,：BE平分NABC,

1

AZABE=-ZABC=22.5°,

/.ZAEB=90Q-22.5°=67.5°,

N4FE=N4BE+NB4D=225°+45°=67.5°,

:.NAEB=NAFE

：.AF=AE,故①正確；

②）???4尸=4￡M是"'的中點.，

：.AM±8E,

中考撤號

/.ZAMF=ZADB=90a,

,:ZAFM=ZBFD

：.ZDAN=ZFBD,

在△FBD和AM4D中

ZFBD=ZDAN

BD=AD,

Z-BDb,=Z.ADN

???△FBDm4NAD,

:.DF=DN,AN=BF,

故②正確；

@VZADB=ZAMB=90°,

：.A.B、■、M四點共圓,

/.^ABM=ZADM=22.5°,

?：ZDNA=ZC+ZCAN=450+22.5°=67.5°,

：?/MDN=90°-22.5°=67.5°,

:,DM=MN,

???△DWN是等腰三角形，

故③正確；

/DNA=/MDN=675。,

/.ZZ)W=45°,

■:4BMN=9G,

：.ZBMD=45°=/BMN,

???QM平分N8A/M

故④正確；

⑤在△/!”和△CM1中，

ZBAF=ZC=45°

AB=AC,

Z.ABF=ACAN=22.5°

???△AFB/ACAN,

:.AF=CN,

*：AF=AE,

中考核等

:,AE=CN,

故⑤正確；

其中正確結(jié)論的個數(shù)是：①②③④⑤，5個；

故選：D.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形三線

合一的性質(zhì)和應(yīng)用，能止確證明兩個三角形全等是解此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在。中，ZACB=90°,ZCJZ)=30°,AC=BC=AD,CE1CD,且CE=CQ,連接8。、

DE、BE,則下列結(jié)論①NEC4=165°,@BE=BCx③AD=BE；?CD=BD.其中正確的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①根據(jù)：/。。=30°,AC=BC=AD,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出

NEC4=165’，從而得證結(jié)論正確：

②根據(jù)CE_LCQ,ZECA=\65<),利用S4S求證△力COgA4CE即可得出結(jié)論；

③由②的結(jié)論，等量代換即可；

④過。作QM_L4。于M,過D作QN_L4C于N.由NC/iQ=3()",可得CM=求證

CND,可得CN=DM=gAC=3BC,從而得出CN=4N.然后即可得出結(jié)論.

【解答】解：???NCW=3()°,AC=AD,

：?N4CD=NADC=75°,

?；CELCD,

：.^ECA=\65°,①正確；

在△力CO和△8CE中，

AC=BC

Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

4ACD烏4BCE,

:,BE=AD,③正確;

中考撤號

*：BC=AD,

：.BE=BC,②正確；

過。作DMA.AC于M,過D作DNLBC于M

1

,：ZCAD=30°,且=54C,

,：AC=AD,NC4O=30°,

；?/月CQ=75°,

：?4NCD=900-ZJCZ)=15°,NMDC=/DMC-/ACD=15°,

在△CMQ和△CNZ)中，

ZCMD=ZCND

乙MDC=cNCD,

CD=CD

:.△CMDWACND,

11

；?CN=DM=-AC=產(chǎn)，

:,CN=BN.

VDN1BC,

：.BD=CD..??④正確，

故選：D.

【點評】此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含3()度

角的直角三角形等知識點的理解和掌握.

3.已知，等腰Rt△力6C中力C=8C,點。在AC上，且/4。%=105°,EDLAB,G是“廠延長線上一點,

BE交4G于凡且DE=2FG,連GE、GB.則下列結(jié)論：

①4GLBE；②/QGf=6()°；③BF=2FG；?AD+y^DC=AB.

其中正確的結(jié)論有()

中考撤號

C.①③④D.②③④

【分析】延長EQ交力4于證△4CO0知N/OC=N8EC=75°,即可判斷①；求得RtZ\EQ產(chǎn)

中NEO/nGO。，DE=2DF=2FGB|JDF=FG,結(jié)合力G_L8E可判斷②；在Rt△力CO中由N力。。=

75°可令。。=、另一"、7C=&+#、AD=4,根據(jù)=變形后可判斷④；由DE=&CD、

FG=g/)E、EF=^DE可得FG、EF,再根據(jù)8尸=8K-EF=/O-E尸可得的長，即可判斷③.

【解答】解：如圖，延長E。交44于M,

???2/106=105°,△/16C是筆腰立角三角形,

:?/CDE=/MDB=45°,ZADC=15a,ZCAD=\5

???△/)(?￡是等腰直角三角形,

:?CE=CD,

在△力CO和ABC月中,

AC=BC

???乙ACD=LBCE=9U。,

CD=CE

:.△ACD/XBCE(SAS),

AZADC=ZBEC=75<>,

AZJF￡=180°-ZCAD-ZCE5=90°,BPAFVBE,故①正確:

VZJDC=75°,NCDE=45"，

中考撤號

/.RtAEDF+，Z￡DF=60°,

:,DE=2DF=2FG,§PDF=FG,

???月/垂直平分QG,

:ADEG是等邊三角形，

???NZ)GE=60°,故②正確；

方法一：在RtZXZ。中，VZJZ）C=75°,

：,ZPAD=\5°,

作N/tDP=NP<D=15°,

則夕力=尸。，ZCPD=30°,

設(shè)CD=a,則PO=/M=2a,PC=、Ba,

.\AD=\>CD2+AC2=yja2+(2a+\,3a)2=,8+4、，%,

CD々i1f

8-4、S_?6-，2

則前飛8+還尸而不164

AC岳+樞

同理可得病

Z1U4

：.CD：AC：AD=（優(yōu)一、解）：（、后+?2）：4,

二令CO=\后一\也、/。=、氏+、后、力。=4,

??AB="2/C="(M+\'6)=2+2&=4+\氏(鄧一*)=AD+\，2c7),故④正確;

方法二：由①知N4F4=90°

■:NADC=/BDF=15°,

，/DBF=15°,

由②知△DEG為等邊三角形，且8f_L4G,

：.DF=GF,

：?NDBF=NGBF=150,

:.NBGF=900-NGBF=75",

VZABG=ZABD+ZDBF+ZGBF=15Q,

：.AB=AG,

又?：DG=DE=WCD,

：.AB=AG=AD^DG=AD+\泛?！?,故④正確;

中考撤號

,I

VD￡=A/2CZ）=%2（優(yōu)-或）=2心-2,

：,FG=-1DE=^-\,EF=^i3DE=3-?

???BF=BE-EF=AD-EF=4-3+平=1+、5

顯然BFR2FG,故③錯誤；

綜上可知，①②④正確，

故選：B.

【點評】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、等邊三角形的判定及角平分線定理等知

識點，熟練掌握角平分線定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，矩形如我?。中，［0=2,/1〃=4,平分ND4C,AE交CD于點、F,CE±AE,垂足為點E,EG

LCD,垂足為點G.則以下結(jié)論：@A￡FC^AEC/1；②"BCWAAEC；③CE=AF；（4）S△水了*=5

-拜；（5）EG2=FG-DG.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①由余角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得N/CEMN/IQMNCFE,且NCEF=NCE4=90°

可證△￡FCs/\EC4；

②由'ZS/T可證△力石可得力C=4，=2擊，CE=EH,通過證明△CGES/\COH,可求GE

=1D//=\5-1,CG=；CQ=2,可證4cHe七，可得△/AC與△力￡。不全等：

③由“ASA”可證△4。/XCGE,可得CE=/1F；

GEGFr-l

④通過證明△40/7s△EG/7,可得二又二百不可求。尸二、5-1,GF=3-、S,由三角形的面積公式可求S

r\L）Ur

>ACF=5一非;

⑤分別求出EG2,/G?OG的值，即可求解.

中考撤號

【解答】解：如圖，延長4Q,CE交于點、H,

/./D4F=NFAC,

,：AELCE,

：.ZCAE+ZACE=90°=ZDAE+ZAFD=90°,

???ZACE=ZAFD=ZCFE,

又?：/CEF=NCEA=900,

:.XEFCS&ECA,故①正確；

???矩形48co中，AD=2,AB=4,

：.AB=CD=4,AD=BC=2,

：,AC=、碗虧BC2=34+16=275,

VZDAF=ZF'AC,AE=AE,AAEH=ZAEC=90°,

：.^AEC^AAEII(ASA),

:?AC=AH=2?CE=EH,

:?DH=2乖-2,

,:EG〃DH,

/.△CGEsRCDH、

.GECECG

'''DH='CH=~CDf

.GE1CG

，9'DH=2='CD

1f=1

：,GE=-DH=^-\,CG=-CD=2,

乙乙

/.CE=\!CG2+GE2=、/4+5+1-2\5=*0-2]5,

中考撤號

:,CE手BC,

??.△48。與^力￡。不全等，故②錯誤；

?：AD=2,CG=2,

:?AD=CG=DG=2,

???ZDAF'+ZAFD=90°=NCFE+NECF,

：?/DAF=/ECF,

又,：/ADF=/EGC=90°,

:.△ADF94CGE（ASA）,

:?AF=CE,故③正確；

*：GE//AD.

:.AADFSAEGF,

GEGF

^~AD='DF，

.邑1_殷

**2=~DFf

\,DF+GF=DG=2,

JDF=v'5-1,GF=3?,

S^ACF=|XCFX/ID=1X（2+375）X2=57耳，故④正確；

?：EG2=（、后-1）2=6-275,EG?QG=6?2逃,

:.E6=FG?DG,故⑤正確，

故選：O.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，正方形44CQ的對角線4C,BD交于點、0,七是8。上的一點，連接EC,過點4作8G_LCE于

點G,交AC于點H,EFLEC交4B于點、F.若正方形力8C7）的邊長為4,下列結(jié)論①OE=OH；②EF

=EC；③當(dāng)G為CE中點時，8尸=4g-4；?BG*BH=BE*BO,其中正確的是（）

AD

B

中考撤號

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】①由“4$才‘可證△80〃0△(%)￡,可得。E=O〃；

②過點E作EPLBC于P,EQLAB于Q,由“/1S4”可證△QE/W^PEC,可得EF=EC；

③由線段的垂直平分線的性質(zhì)可求8c=8E=4,由正方形的性質(zhì)可求8P=PE=2&,可求8戶的長;

、BHB0

④通過證明可得77:7==二，可得BH*BG=BE?BO.

【解答】解:V5G1CE,EFLEC,

:?NFEC=/BGC=90°,

???四邊形/8CQ是正方形，

：.AO=OC=OB=OD,ACLBD,

VZECO+ZGHC=90°=ZOBH+ZBHO,ZBHO=ZCHG,

???4OBH=/ECO,

又，：BO=CO,NBOH=NCOE=90°,

:.XBOH妾XCOE(ASA),

：.OE=OH,故①正確；

如圖，過點E作EP_L8C于P,EQ_L48于Q,

???四邊形川?。是正方形，

AZABD=ZCBD=45a,

又?：EP1BC,EQA.AB,

:?EQ=EP,

又?：EP上BC,EQLAB,^ABC=90°,

???四邊形8PE。是正方形，

:?BQ=BP=EP=QE,/QEP=90°=/FEC,

???AQEF=NPEC,

又,：/EQF=/EPC=9a",

中考撤號

:?△QEFWAPEC(ASA),

:.QF=PC,EF=EC,故②正確；

YEG=GC,BGA-EC,

:?BE=BC=4,

:.BP=EP=2&,

：.PC=4-2y[2=QF,

：,BF=BQ-0尸=2、初一(4-2\/2)=4”-4,故③正確；

■:/BOH=/BGE=90",ZOBH=ZGBE,

:.叢BOHs/\BGE,

BHBO

，*'BE='BG，

:?BH?BG=BE?B(),故④正確，

故選：D.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，直角

三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，主:要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)和定理進行推理的

能力.

6.如圖，在等腰△48C與等腰△.4DE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE=a,連接8。和CE相交于

點P,交力。于點"，交AD與點、N.下列結(jié)論：①BD=CE；②N8尸￡=180°-2a：③力產(chǎn)平分N

BPE：④若a=60°,則0E=4P+PD其中一定正確的結(jié)論的個數(shù)是()

【分析】由“S4r可證△以。之△C4f,可得8D=C'E；由全等二角形的性質(zhì)可得由

外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得N8PE=N4C8+N/8C=180°-a；由全等三角形的性質(zhì)可得

BAD=SMAE，由三角形面積公式可得彳"=4凡由角平分線的性質(zhì)可得平分N8P￡；由全等三角形的

性質(zhì)可得N&M=NCE/1,由“S4r可證△力△力PQ,可得力。=力/\可證是等邊三角形,

可得力Q=/Y)，可得PE=/1P+PD,即可求解.

【解答】解：???NH4C=/D4E=a,

中考撤號

:?/BAD=NCAE,RAB=AC,AD=AE,

：.ABAD^^CAE(SAS)

:.BD=CE,故①符合題意；

?:△BAgACAE,

???N<BD=NACE,

VZBAC=a,

/.ZABC+ZACB=18O°-a,

,?ZBPE=ZPBC+ZPCB=/PBC+NACB+NACP=/PBC+/ACB+NABP,

:?NBPE=NACB+NABC=T8D°-a,故②不符合題意；

如圖，過點/作《H_L4。，AFA.CE,

?:△BADgACAE,

:?SAB.AD=SACAE，

11

寸DXAH=;CEXAF,且BD=CE,

:?AH=AF,且力H_L8。，AF1CE,

：.4P平分NBPE,故③符合題意；

如圖，在線段尸E上截取0￡=尸》連接力O,

,:4BADq4CAE,

:?NBDA=NCEA,KOE=PD,AE=AD,

:.△AOE"AAPD(SAS)

：,AP=AO,

VZ5P￡,=180°-a=120°,且/0平分NBPE,

中考撤號

4Po=60°,RAP=AO,

，△力尸。是等邊三角形，

:?AP=PO,

?；PE=PO+OE,

:?PE=AP+PD,故④符合題意.

故選：C.

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，證明△84。出是解本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在RtZ\/14C中，ZC=90°,/川氣:的角平分線交力C于點。，過點。分別作8C和4?的平行

線，交于點E,交于點，，連接交〃。于點G,在4E上截取連接。尺下列說法

中正確的有（）

2

（1）GH：FD=\：2；（2）BD?=BF*BC；（3）四邊形EBHD是菱形；（4）SAADF=^S^A3C-

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】①由題意可證四邊形。E8”是平行四邊形，可得GK=EG,BG=DG,由三角形中位線定理可

得EG〃DF,GE=±DF,可得GH=』DF；

_BDBF、

②通過證明△8。尸S/X4CQ,可得，7=右，可證8。2=8。?4尸；

DCULJ

③由菱形的判定可證四邊形EBHD是菱形；

④條件不足，無法證明.

【解答】解：VDE//BC,DHVAB,

???四邊形DEBH是平行四邊形，

:.GH=EG,BG=DG,

又,：EF=BE,

中考核等

1

C.EG//DF,GE=-乙DF,

1

：，

GH=-乙DF,

:.GH：。尸=1：2,故①正確；

?：BD平分/ABC,

/.ZABD=ZDBC,

?：DE//BC,

NEDB=NDBC,

，/EDB=NEBD,

：.BE=DE,

:,BE=DE=EF,

:.NBDF=90°=ZC,

又???NABD=NDBC,

:.△BDFSMBCD,

.BDBF

*'~BC='BD'

:.B?=BC?BF,故②正確；

?：BE=DE,四邊形。石夕，是平行四邊形，

???四邊形是菱形，故③正確；

2

條件不足，無法證明=△/8c.故④錯誤，

故選：C.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，△48。為等腰直角三角形，。為三角形外一點，連接。，過。作?！阓LQC交43于點￡,F為DE

上一點且?！?。。，連接8RN為BF中點,延長DN至點、M,交BC于點、G,使得NABM=NACD,

連接4W,AF,BM,下列結(jié)論：①MN=ND；②DM=y^AM；③N84W>NCGO；④24F+BF=DM；

⑤若BM=2,AB=7而,AF=6,則S四邊形力cz）廣=4.其中正確的個數(shù)為（）

中考撤號

【分析】連接力。，交8c于凡連接4V,CF,由“S4r可證△EMVg△/0M可得MN=OMBM=

DF,由“S4r可證△48”且也4。。，可得4M=40,/BAM=/CAD,由等腰直角三角形的性質(zhì)和三

侑形的三邊關(guān)系以及三角形的面積公式依次判斷可求解.

【解答】解：???△48。為等腰直角三角形，

：.AB=AC,NACB=NABC=45°,

■:CD工DE,

：.ZBAC=ZEDC=9^,

?；NCDE+NDEA+NBAC+N力CD=360°,

/.ZACD+ZAED=180°,

VZACD+ZBED=ISO0,

：.ZBED=ZACD,

,:NABM=NACD,

：,4BM=NBED,

:?BM〃DE,

：,4BMD=/EDM,

?：N為BF中點、,

:.BN=NF,

又：/BNM=NDNF,

:.△BMN注AFDN(/US),

:.MN=DN,凡故①正確；

如圖1,連接力。，交.BC于H，連接AN,CF,

中考撤號

?：CD=DF,

:?DC=BM,

又NABM=NACD,

:.△ABMWMCD(SAS),

：.AM=AD,NBAM=NCAD,

；?/CAD+NBAD=NBAM+NBAD=/MAD=90°,

是等腰直角三角形，

:.MD=WAM,ZAMD=ZADM=45<>,故②正確；

/.ZACB=ZADM=45a,

又：NAHC=NGHD,

:?NCAD=NCGD,

：.4BAM=/CGD,故③錯誤；

是等腰直角三角形，MN=ND,

:.MD=2AN,

在/中，ANVAF+FN,

：,2AN<2AF+2FN,

：.MD<2AF+BF,故④錯誤；

*：BM=2=DF=CD,

:.CF='D=2&,

??"/+。產(chǎn)=2+8=10,482=10,

：.AF2+CF2=AS2,

AZAFC=90°,

1廣1

*,*S四邊形,4CZV=SZS,CQ+SA4/TC=5x2\：12x\i2+~x2X2=4,故⑤正確?

中考撤號

故選：B.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，三角形的三邊關(guān)系等關(guān)系，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

9.如圖，等邊△48C中，。、石分別為AC、4C邊上的點，AD=CE,連接力及〃。交于點R4CBD、Z

,4EC的平分線交于力。邊上的點G,BG與4E交于點H,連接/G.下列說法①②N

BGE=30°；③/ABG=NBGF；?AB=AH+FG,@S^A(iE'S^BGC=DG：GC,其中正確的說法有

()

A.5個B.4個C.3個D.2個

【分析［①正確.根據(jù)S4S證明三角形全等即可.

1

②正確.證明=NBFE=600即可.

③正確.證明N8GF-30°+-ZEAC,ZABG~300+5//^。即可.

乙乙

④正確.過點G作G「_L8。于7,GJVAETJ,GK1BC于K,想辦法證明Gb=GC,即

可.

_S&AEGrAE.GJ/ifS^AEGBDS&BGDDG

⑤正確.由題意，-=1因為力七=8。，推出^=67，又因為=77=

CBG-BC-GKBCCBGBCS公BGCGC

S^-2S^

BD-GTBD

；BCGK=而，由此可得結(jié)論?

【解答】解：???△48C是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZACB=ZBAC=6G°,

在AABD和△。1七中，

AB=AC

Z.BAD=Z.ACE=60°,

AD=CE

中考撤號

:?△ABDgACAE(SAS),故①正確，

:?NCAE=N4BD,

,//BFE=NBAE+NABD,

；?NBFE=NB4E+NG4E=/BAC=60°,

,:ZAEC=4EBF,/BFE,

:?/AEC=NFBE+60°,

VZCBD,N4EC的平分線交于4c邊上的點G,

1111

/.ZGEC=-ZAEC=-ZFBE^O°,ZGBE=-CBD=~ZFBE,

乙乙乙乙

???ZGEC=NGBE+NBGE,

???NBGE=300,故②正確,

,:FG平分乙DFE,BG平分NFBE,

111

???同法可得N4G少=5N/1E8=5(NE4C+/C)=-ZEJC+300,

11

,：ZABG=ZABD+ZDBG=ZABD+-(60°-ZABD)="Z/f^D+30°,

NABD=NEAC,

:?NABG=NBGF,故③正確，

過點G作Gr1B。于7,于/GK1.BC于K,

■:GB平分乙DBC,GE平分N.4EC,

:.GT=GK=GJ,

???NGE7=NC=60°,/GJF=/GKC=90°,

???△G"且△GKC(AAS),

:?GF=GC,

?：NB4H+NEAC=NE4C+N4GF=6()°,

???NBAH=N/1GF,

/AHG=ZABG+ZBAH,ZAGH=ZBGF+ZAGF,

???ZAHG=ZAGH,

：,AH=AG,

：.AH+GF=AG+GC=AC=AB,

中考撤號

:.AB=AH+GF,故④正確，

..S△的7jgG/_竺

'S^CBG~yBC-GK~BCf

?：AE=BD,

SAAEGBD

,,S^CBGBC'

S^BGDDG”D?GTBD

,△BGCGCl-BC^GKBC

故選:A.

AG

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.如圖，在△力8c中，AC=BC,N/iC4=9（T,AE平分NBAC交BC于E,BDLAE于D,DMLAC

交XC的延長線于M,連接CD,給出四個結(jié)論①4。。=45°；②BD=』AE；③AC+CE=AB；?AB

AC+AB

-BC=2MCx⑤為定值，其中正確的結(jié)論有（）個

.VD

C.4

【分析】通過證明點力，點C,點。，點8四點共圓，由圓周角的性質(zhì)可判斷①；延長BD,4W交于點

F,由“力￡4”可證妾△BC凡可得4￡=8凡由互余的性質(zhì)可求8/=28。=力￡；過點E作EH工

于H,由“44S”可證4g△〃￡>!,可得4C=4H,CE=EH,由直角三角形性質(zhì)可得8〃="￡=

CE,可判斷③；由全等三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例可判斷④，設(shè)4C=8C=m用〃表示48,

中考撤號

CE,CM,AM,即可求判斷⑤.

【解答】解：?：AC=BC,N4C4=90°,

???N/4C=N3/C=45°,

,:NACB=NADB=90°,

:.點、A,點C,點D,點8四點共圓，

/.ZADC=Z.ABC=45^,ZCAD=ZCBD,ZBAD=ZBCD,

，①正確；

如圖，延長4。，AM交于點、凡

?:AC=BC,NCAD=NCBD,N4CE=NBCF=90°,

:.AACEWABCF(ASA)

：.AE=BF,

?ZE平分/助C,

???NCAD=/BAD,

:?/DBC=/DCB,且NBC/=90°,

:?CD=BD,ZBCD+ZDCF=90°,NDBC+NF=90°,

/.NDCF=NF,

:.CD=DF,

:?CD=DF=BD,

：,Bb'=2BD=AE,

故②正確；

如圖，過點E作于〃，

中考撤號

■:/CAD=NBAD,AE=AE,ZACB=ZAHE=90<>,

:ACEAgAHEA(AAS)

:?AC=AH,CE=EH,

VZABC=45°,ZEHB=90°,

:?/ABC=NHEB=45°,

:.BH=HE=CE,

：.AB=AH^HB=AC^-CE,

故③正確；

?；/lB=/lC+CE=BC+CE,

：.AB-BC=CE,

■:/\ACE妾MBCF,

:?CF=CE,

：.CF=AB-BC,

*：DM±AC,N/C8=90°,

:,DM〃BC,

.BDCM1

：，~BF=~CF=2,

：.CF=2CM,

：.AB-BC=2CM,

故④正確；

設(shè)4C=8C=a,

:?AB=\'2小

：.CF=CE=BH=AB-AC=(”-1)a.

ACM=

中考教號

r-

.八/>/2+1

.?AM=------

2

AC+AB（；'24-l）a

A==2,

AM^±la

故⑤正確，

故選：。.

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了四點共圓的判斷，圓的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，角平分線的性

質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例，解本題的關(guān)鍵是添加

恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形.

11.如圖，在矩形48co中，E是力。邊的中點，垂足為點凡連接。凡分析下列四個結(jié)論，?△

AEFs△CAB②S二DFC=4S△FDE@DF=DC④AD=網(wǎng)B,其中正確的結(jié)論是（）

【分析】①正確.只要證明N￡4C=N4C8,NABC=NAFE=900即可；

②根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論，

③根據(jù)已知條件得到四邊形8必。石是平行四邊形，求得BM=DE=、C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得

到。M垂直平分6,于是得到結(jié)論；

④設(shè)花=〃，AB=b,則/。=20根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：①如圖，過D作DM//BE交AC于N,

???四邊形力8CQ是矩形，

:.AD〃BC,NABC=90",AD=BC,S4DCF=4S&DEF

于點尸，

:?NEAC=NACB,N4BC=NAFE=90°,

???△AEFsACAB,故①正確；

②r.?點￡是4）邊的中點,

1

：?SADEF=5s△/￡?尸，

中考撤號

■:AAEFSACBF,

1

AJF：CF=AEtBC=~,

乙

:?s△CDF=2S&ADF=4SADEF，故②正.確；

③?：DE“BM,BE//DM,

???四邊形BMDE是平行四邊形，

1

:?BM=DE=《BC,

:.CN=NF,

:BEL4c于點、F,DM"BE,

:.DNLCF，

???DH垂直平分CR

:.DF=DC,

故③正確；

④設(shè)4E=a,AB=b,則4)=2。，

b2a

由△B/IES/X/QC,有一=丁，即。=J2°,

ab

CDAB2

/.tanZC//D=—AD=—AD="2?

，AD=WAB

故④正確;

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算以及解直角三角形的

綜合應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵.解題時注意：相似三角形的對應(yīng)邊成比

例.

中考教號

12.如圖，等腰直角三角形△45。中，N歷1C=9O°、AD=AE,BE和CD交于點、N,AFLBE、FGVCD

交6E的延長線于點G.下列說法：?ZABE=ZFAC；②/N垂直平分8C；③GE=GM；④BG=

AF+FG.其中正確的個數(shù)是（）

【分析】由余角的性質(zhì)可求48E=/E4C,可判斷①；由“S4s1”可證RtZ^BfgRt△/CD可得N/8E

=NACD,可求/CBN=NBCN,可得BN=CN,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得4V垂直平分8C,可判

斯②；由余角的性質(zhì)可得N,4E?=NEWC,可得NGEM=NGME,可證GE=GM,可判斷③：過G作

GHLBC于K,交力尸的延長于點〃，連BH,由“S4T可證△G/7K0△〃產(chǎn)K,可得GK=K〃，GF=

FH,可得力F+FG=4H,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得8〃=8G,由等腰三角形的判定和性質(zhì)可得4/=

BH,可得8G=4”=力/+EG,可判斷④，即可求解.

【解答】解：

/.ZJBF+Z5/lF=90o,

VZ5/iC=90°,

：.ZBAF+ZFAC=90°,

：.NABE=/FAC,故①正確；

如圖，連接力N,

：.AC=AB,NA4c=90°,

中考撤號

<AD=AE,ZBAC=ZBAC,AC=AB,

：.Rt^ABE^Rt/\ACD(SAS),

：.ZABE=ZACD,

?；AC=/IB,

：,ZABC=ZACB=45°,

/.4CBN=乙BCN,

:?BN=CN,

又?：AB=AC,

，4V垂直平分AC,故②正確；

???Rt△48E四Rt△力CO,

；?NBEA=NADC,

又???G/7J_OC,

/.ZFMC+ZDCM=90°,

而N/IQC+NDCA/=90°,

???ZAEB=ZFMC,

:./GEM=NGME,

:?GE=GM,故③正確.

如上圖，過G作GH_L8C于K,交力尸的延長于點〃，連BH,

VCD1FG,AF1.BG,

:,/GFC+/BCN=90°,/CBN+/BFAS,

AZGFC=ZAFB,

???ZGFC=/HFK,

在△GFK和△〃戶K中，

ZGFK=NHFK

FK=FK,

"KF=乙HKF

:.△GFK@AHFK(SAS),

:?GK=KH,GF=FH,

:.AF+FG=AF+FH=AH,

,:GK=KH,GH1BC,

中考撤號

又?：BC1GII,

：,NGBC=NHBC=/BCD,

VZJ5C+ZJC5=90°，

AZABC+ZBCD=90°-NACD,

/./4BC+/GBC=/ABC+/HBC=NABH=98-^ACD,

〈NB4H=90°-ZFAC,ZABE=ZCAF=ZACD,

/.ZABH=ZBAH,

:.AH=BH,

：.BG=AH=AF+FG,故④正確，

故選：。.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平

分線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

二.填空題

13.如圖，在平面直角坐標中，AACB=W,ZBAC=30°,BC=2,點/I在x軸的正半軸上滑動，點、B

在y軸的正半軸上滑動，點4點4在滑動過程中可與原點。重合，下列結(jié)論：

①若C、O兩點關(guān)于48對稱，則。/=2G；

②C,。兩點之間的最大距離為4：

③當(dāng)80=8。時°,則48_LC0；

的中點。運動路徑的長為會.

其中正確的是一①②③（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求力。和力8,由對稱的性質(zhì)可知：是OC

的垂直平分線，所以。4=/G

中考核等

②當(dāng)OC經(jīng)過的中點￡時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；

③如圖2,當(dāng)NABO=30。時，易證四邊形。1C8是矩形，此時力4與CO互相平分，但所夾銳角為

60°,明顯不垂直，或者根據(jù)四點共圓可知力、C、B、。四點共圓，則力4為直徑，由垂徑定理相關(guān)推

論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當(dāng)這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，與OC互

相平分，但48與OC不一定垂直；

④如圖3,半徑為2,圓心角為90?，根據(jù)弧長公式進行計算即可.

【解答】解：在Rt△4?。中，???8C=2,ZBAC=30°,

AC=\42—22=2小,

①若C、。兩點關(guān)于對稱，如圖1,

圖1

???力4是OC的垂直平分線，

則OA=AC=25

所以①正確；

②如圖1,取48的中點為￡,連接OE、CE,

■:NAOB=/ACB=90°,

1

：.OE=CE=~AB=2,

乙

當(dāng)OC經(jīng)過點E時，。。最大，

則C、O兩點距離的最大值為4：

所以②正確；

③如圖2,

中考撤號

在和Rta/CB中，

fBO=BC

\AB=ABf

/.RtAJ(95^RtAJC5(HL),

：.AC=AO,OB=OC,

???力4垂直平分。C.

所以③正確；

④如圖3,

圖3

1

斜邊48的中點。運動路徑是：以。為圓心，以2為半徑的圓周的了，

4

90zrx2

則：FT"

所以④不正確；

綜上所述，本題正確的有：①②③；

故答案為：①②③.

【點評】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形30°的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、動點運動路徑問題、弧長公式，熟練掌握直角三

中考撤號

角形斜邊中線等于斜邊一半是本題的關(guān)鍵，難度適中.

14.如圖，△力4c中，力。為8c上的中線，ZEBC=ZACB,ZZ?EC=120°,點/在4c的延長線上，連

接DF,DF=AD,AC-BE=5,CF=1,則力8=7.

【分析】延長力。到G,使。G=%。，連接8G,CG,GF,過點C作C〃J_8G于，，過作CALL8E于

N,由平行四邊形的判定可證四邊形力8GC是平行四邊形，可得力C〃8G,AC=BG,AB=CG,由

“44r可證△BCNg/XZ^C”,可得BN=BH,CN=CH,由三個角是直角是四邊形是矩形可證四邊形

3G4是矩形，可得〃G=W=1,由線段的數(shù)量關(guān)系可求￡V的長，由直角三角形的性質(zhì)可求CN=C"

=4小，由勾股定理可求CG的長，即可求解.

【解答】解如圖，延長4?到G,使QG=/。，連接4G,CG,GF,過點。作C〃_L4G于〃，過作CN

LBE于N,

???力。為4C上的中線，

：.BD=CD,且OG=/O,

???四邊形ABGC是平行四邊形，

：.AC//BG,AC=BG,AB=CG,

:?/ACB=/CBG,且/EBC=NACB,

：./EBC=/CBG,且NN=NCHB=90",BC=BC,

：.4BCNg4BCHCAAS),

中考核等

:.BN=BH,CN=CH,

?：AC-BE=5,

：.BG-BE=BH+HG-BE=BN+HG-BE=EN+HG=5,

?:4D=DF,AD=DG,

:?AD=DF=DG,

???N"G=9（T,

?:AC"BG、CH±BG,

:.CH1AF,且C〃_LBG,Z/iFG=90°,

???四邊形CFG〃是矩形，

:.CF=HG=\,

:?EN=4,

VZ5￡C=120°,

???NNEC=60°，且NN=90°,

:?NC=^EN=4鄧,

：.CH=4^f

：.AB=CG=J"+g=J48+1=7,

故答案為：7.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加