浙江省杭州市西湖區(qū)杭師大附中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期

中考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.把黑化成度的結(jié)果為（）

A.85。B.105。C.165。D.215。

2.已知函數(shù)<1）=85|2M工-[1的最小正周期為:，其中⑦>0,則⑦=（）

\675

A.4B.5C.8D.10

3.已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該國銖的側(cè)面積為

A.2UB.6川C.TlD.25

4.若a為第二象限角，且sin〃=1，貝ijsin2a=（）

4^2

~9~

5.若（l+i）z=3+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知?是夾角為120。的兩個單位向量，則向量f-6>在向量）上的投影向量為（）

5.I-..

A.NB.一鏟C.-2aD.4a

7.位于P處的雷達接收到在其正東方向相距海里的B處的一艘漁船遇險后拋錨的營

TT

救信號后，即刻通知位于P處雷達北偏東土且與P處雷達相距30海里的〃處的甲船前往救

4

援，則甲船至少需要航行的海里數(shù)為（）

A.”6B.10石C.1073D.10>/2

8.在棱長為1的正方體48C。-小&G2中，E,F,G分別是棱的中點，。是

底面48CQ內(nèi)一動點，若直線。/與平面EFG沒有公共點，則線段尸8長度的最小值為1）

A.1B.7C.—D.邁

2）4

試卷第I頁，共4頁

二、多選題

9.設(shè)￡是2的共規(guī)復(fù)數(shù)，下列說法正確的是()

A.卜二卜HB.若三=),則討=1

C.若用="|,貝呀==；D.z+三是實數(shù)

10.已知是兩個互相垂直的單位向量，方二，2：；/=2￡+Z：,則下列結(jié)論中正確的有

()

A.o■^10B.ftIh

C.(?+6)//(?-6)D.方與方-%的夾角為工

11.V/14C的內(nèi)角兒民。的對邊分別為〃,b,c,則下列說法正確的是()

A.若力>8,則sinA>sin4

B.若力二30。，6=4,a=5,則V/BC有兩解

AR4rI?jf>"：?

C.若-BT-CI.則VABC為等邊三角形

(|必|JCij|彳町2

D.若12114+12118+1311。>0,則V/YC可以是鈍隹三角形

三、填空題

12.已知cos(x+a)=-，，且0<a<：,則cos]：.aR勺值為-----.

13.將函豺=3sin|1?：)的圖象向右平移三個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的

對稱軸的方程是.

14.在四面體力8CQ中，AC=BD=仄9=CD:耳/iD=BC=血,則四面體/次

的外接球的體積為.

四、解答題

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。，中，以O(shè)x為始邊作角a與它們

的終邊分別與單位圓交于點噌川，點小，

試卷第2頁，共4頁

⑴求sina+cos0的值;

(2)求tan(a+P)的值.

16.如圖，長方體48CO-小與GA中，力8二力。=2,4%=4,點尸為。"的中點.

(1)求證：直線B。/平面P4C；

(2)求異面直線8n與尸G所成角的余弦值.

17.在V44c中，上氏4。=90。，48=2,力。=6,。為力。邊上的中點，￡為8。邊上一點,

且月￡=%8「(0<2<1)

,1,uuurimuruuur,、—

(1)當(dāng)時，若力E=x8D+y4C,求x+歹的值M；

(2)當(dāng)。時，求才的值.

18.如圖，在V/8C中，上48C=：,。為邊/C上一點且/8_L〃。，80=2.

⑴若CQ=、5，

(i)求sinC：

(ii)求△8CQ的面積:

試卷第3頁，共4頁

《浙江省杭州市西湖區(qū)杭師大附中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CBACDDBCABDABD

題號11

答案AC

1.C

【分析】根據(jù)弧度和角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得正確的選項

［詳解】--rad?——16〉

1212x

故選：C.

2.B

【分析】利用余弦型函數(shù)的周期公式計算即得.

【詳解】依題意,若-：，因②>0,則得②:5.

故選：B.

3.A

【分析】由題可知圓錐底而半徑為1,母線長為2,即可直接計算側(cè)面積.

【詳解】因為圓錐的軸截而是邊長為2的等邊三角形，

所以該圓錦底面半徑為I,母線長為2,

所以該圓錐的側(cè)面積為&=兀x1x2=2兀,

故選：A.

【點睛】本題考查圓錐側(cè)面積的計算，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解.

【詳解】由a為第二象限角，旦siif，=；,可得cosa二一CI—siirff==2f.

I(201

再由正弦的二倍角公式得sin2a=2sinacosa.

故選：C.

5.D

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.

答案第1頁，共12頁

【詳解】因為（l+i）z=3+i,所以zr2-'*--2i，

1>?（*）（11）2

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（2,-1）,位于第四象限.

故選：D

6.D

【分析】利用向量數(shù)量積的定義求得=7二-1，再根據(jù)投影向量的概念計算即可.

【詳解】依題意，ahI-I-coslM,

則3-6*y?。3力?I6-I1）』

于是，向量刁-6%在向量d上的投影向量為"g—心.

\af

故選：D.

7.B

【分析】根據(jù)題意利用余弦定理可解.

【詳解】題意如圖，

當(dāng)甲船沿A/8航行時，航行的里數(shù)最少.

由題意，上BPM=:,在△8PM中，根據(jù)余弦定理可得：

MB：=PM2+PB:-2PMPBcosNBPM=3O24（20>/2）l-2xJ0x20>^xcos:

=900+800-1200=500,

所以MB“0石

即甲船至少需要航行的海里數(shù)為

故選：B.

8.C

答案第2頁，共12頁

【分析】連接力C,OM，QC,根據(jù)面面平行的判定定理，可證平面EFG〃平面AC。，結(jié)合

題意，可得點P在直線4C上運動，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】連接/IC,。/,"。，因為E，F(xiàn),G分別是棱力氏AC,CG的中點，

所以EF〃AC,FGHBC用AD,,

又EF,FGu平面EFG,力功丈平面EFG,AC丈平面EFG,

4DJ/平面EFG,4C〃平面EFG,力QJCU平面力AD.C\AC=A,

所以平面EFG〃平面4cA，又A&平面ACD},

從而有01PL平面力CQ1,即點尸￡平面4CQ1,

又點P布平面ABCD內(nèi)，平面力CQin平面ABCD=AC>

所以點尸在直線/C上運動，

由正方形性質(zhì)可得當(dāng)點尸位于忙中點時，BP最小,此時8PJl*I、

故選：C

9.ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的模、共規(guī)復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的定義加以計算判斷.

【詳解】對于A,令z=4+6i,a,6￡R,貝L=a—bi>

于是z.z=(q+6i)(aT)i)=a2+b2;Jr.z卜，，所以A正確；

對于B,令z=a+風(fēng)a,6￡R,貝必=a—hi?因為：=一，

z.z-=(a+〃i)(afi)=a2+/r=l=|zp,1=^|?所以B正確；

對于C,令Z|=1,Z2=i，滿足hl二hl,

而n：=l,z；=T,z：Wz；,所以C錯誤：

答案第3頁，共12頁

對于D,令2=a+b'\,a,bGR,貝心=a-b\，

而z+z=(a+/>i)+(a-b\)=2a是實數(shù)，所以D正確.

故選：ABD.

10.ABD

【分析】先利用求模公式以及數(shù)量積的運算律得出1一|,卜|,。一.八，再利用求模公式、數(shù)量枳的

運算律、向量的夾角公式逐一判斷ABD；設(shè)為：?：.=R(-e：?3e”),利用平面向量基本定理

判斷才的存在性判斷C.

【詳解】由題意可知，卜丁=，[=1,且e[e；=0,

一一/—?一\/—一2一

ab=(“-2eJ.自+ej=2ei-3e/e-2e'=2-2=0,

故)U，B正確；

2|■而7■Jj+24-TsTs<!O.

故A正確;

因a-b=-et-3e20,a+b=招-e2,

若(a+b-)!/(ci-/>-),貝iJ34GR,使得3e?-e=4(-e?-3e)=-/V,-3%

------J3=-Z

因e/,e不共線,則_|=.34,此方程組無解,

故/+廣與晨不共線，故C錯誤：

因,-q=(口-4=4a-2G.B+>="5+5=VTb?

<i(a-6)/“，541

則cosr/ab--,

u|a-b慟,-⑷vJxVlO2

因Q,a-b-E：[o,n],則,d-，=；,故D正確.

41

故選：ABD

II.AC

【分析】由三角形大邊對大角及正弦定理判斷AB選項，由向量加法的幾何意義、數(shù)量積的

運算判斷C選項；由兩隹和的正切公式判斷D選項.

答案第4頁，共12頁

【詳解】A選項，在V44C中，由力>8得a>/）,即2Rsin4>2Rsin8,所以sin4>sin8,

A正確：

B選項，由正弦定理得，一=—「即4

5.解得sin8=1,

?MnAsinnsin30°smB

又因為a>6,所以4>4,所以8只能是銳角，所以V4BC只有一解，B錯誤;

C選項，和行分別表示與二R和力「同方向的單位向量,

以這兩個單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，

又由取結(jié)合菱形性質(zhì)知上%C的角平分線與8C垂直,

\AC\）

所以V48C是等腰三角形且48二AC,

_0B任

又因為88上胡C=cos/wl苞J旦上網(wǎng)。￡（0"），所以上A4C=：，

1x12

所以V/3C是等邊三角形，C正確:

D選項，因為。+4）+。=兀,

un/<?lanBtan/?1an8

所以tanC二tanX(.4+6)]tanI“I

I-tan.4tanALanJun>I

所以tanJtanBtanC-tanC=tanJ+tanB,即tanZtan5tanC=tanJ+tan5+tanC,

因為tan/I+tan5+tanC>0,所以tanJtan5tanC>0,

又因為48,CG(0,TC),/4+B+C-TI,

所以tan4tan8,tanC>0,所以V44c是銳角三角形，D錯誤;

故選：AC.

1?G

IZ?——

2

【分析】由誘導(dǎo)公式計算可得.

【詳解】cos!x-（/1=-cost/-：，所以cosa二;，

因為I<a<：，所以s%-<cosa=?—

所以cos]'?asirv/=-9.

2J）

答案第5頁，共12頁

故答案為：.

5

13.”?吟,

【分析】利用三角函數(shù)的平移可得新函數(shù)/（x）=3sin|L-；：）再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性

質(zhì)，可求得函數(shù)/'（X）的對稱軸方程為工■1:??，AEZ,通過對?左取值進行比較，從而可

得平移后的圖象中與），軸最近的刈稱釉的方程.

【詳解】因為函數(shù)廠3$in|2]：|的圖象向右平移三個單，■立長度,

2

可得/(1)=3sin”后卜:卜如G喟

由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，函數(shù)/（J的對稱軸方程為2x：：:?H,kGZ,

1lXKU

解得x-_-..kUZ,

24ax

當(dāng)k=0時，X=坐；當(dāng)上=-I時，x=

2424

所以平移后的圖象中與），釉最近的對稱軸的方程是x二-最.

故答案為：.

74

】4.

【分析】將四面體48C。放入長方體中，利用長方體的處接球即為四面體月8CZ）的外接球,

求解即可.

【詳解】將四面體/3C。放入長方體中，如圖所示:

"：?公?”

設(shè)長方體的長，寬，高分別為Ac,則。：?1?W,所以〃+廿+/=14,

材工?5

設(shè)長方體的外接球半徑為廣，則（2/]4,解得廠=半，

又長方體的處接球即為四面體ABCD的外接球，

答案第6頁，共12頁

所以四面體力8CQ的外接球的體積為P='r?:21x.

故答案為：41r.

【分析】（1）利用單位圓求出點的坐標(biāo)，進而由三角函數(shù)的定義求函數(shù)值即可;

（2）由（1）代入兩角和的正切公式求解即可.

3

【詳解】（1）由已知，角。的終邊與單位圓交于力，旦川的橫坐標(biāo)為《，

所以=L又0是第一象限角，所以為=彳，即

所以sinrzcost/__iana=、,

因為夕的終邊與單位圓交于8點，8點的縱坐標(biāo)為,，

所以"?（'）I，又夕是第二象限角，所以6=-圣,

所以sin6=—,cos〃-.tan0=--

KKn

S

所以sina+cos〃

65

(2)由(1)知tana=：,tanb-《，所以tad“,0

16.（1）證明見解析

【分析】（i）設(shè)/cn3o=o,求證。尸〃。田，再利用線面平行的判定定理判定即可;

（2）將問題轉(zhuǎn)化為求上。PG或其補角的余弦值，利用余弦定理計算即可.

【詳解】（1）設(shè)4Cn8O=O,連接OP,

因48=4）=2,且48C。-小81G。］為長方體，

則四邊形48C。為正方形，故。為線段4C中點，

答案第7頁，共12頁

因點P為D4的中點，則。尸為dDQB的中位線，則OPUD\B,

又OPL平面P/C,Q6丈平面P4C,則。歸〃平面P/1C.

（2）連接尸G，OG，由⑴可知OPHD1B,則直線82與尸G所成角是上。PG或其補角,

因二力。二2,441二4,點尸為的中點，

則OC=OD=-BD?歷、DP=D1P=2,

在Rt4P。。中，POxD

在RtARPG中，PC=7Dfi=\2-2=141

在RSCOG中，OC=J3G?(何?3⑸

。尸。尸?c。8+6-IRVa

在△PGO中由余弦定理得，cos上OPG?S——^―

2cpOP2x272x^66

故直線8n與尸G所成角的余弦值為、

17.⑴彳

【分析】（1）由題意建立平面直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)和向量，再通過題目給的條件列式即可;

TT

（2）先設(shè)出E點坐標(biāo)，利外4EJ_8Z）和8一，=刖一/條件列式并聯(lián)立即可求解.

【詳解】（1）由題意得，以4為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，貝?（0,0）,

JAB=2,AC=6,：8（0,2）、。（6,0）,又。為力。邊上的中點,

0(4)D

答案第8頁，共12頁

：。（3,0）,

當(dāng)i=J時，E為8C邊上的中點，：鳳3,1）,即17=（3,1）、80二（3.-2）、JC=（6.0）,

J"-

uuuruuuruuur人八八八，"八\3x,6y-3

又AE二xBD+yAC，：(3,1)=x(3,?2)+“6,0),即-2.vI解得

3

131

>?=—+-=—

^44

此則［，又4Ej_BD,

(2)(x,y),E-=(xj)\A￡.B6=0，：3x-2y=0,

解

:BE=（副-2）、8八=&2）,一二刖：（x,y-2）=4（6,-2）,即：：：1.2/

：3x-2y=3x6/^-2x(2-2^)=0,解得％二1

18.⑴⑴%5)”

【分析】（1）G）已知上AB_LBD,可計算出上Q8C,在△8CQ中，利生正弦

定理，結(jié)合已知的8。、CD和上DBC,建立等式求解sinC；（ii）先由余弦定理，結(jié)合已

知的40、CD和上DBC,求解8C,最后依據(jù)三角形面積公式，計算△BCO的面積.

（2）在RNABD中,用角力表示/1。；在△BCO中，結(jié)合角力、。的關(guān)系，用角力表示C。，

然后將:-+_1轉(zhuǎn)化為關(guān)于角力的三角函數(shù)，根據(jù)角度范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求取值

/ntn

范圍.

【詳解】（1）G）\ABA_BD,：±JBD=y,又上月804，

:.，DBC=￡ABC-4BD=t-=J

326

在△8C。中，已知"。=2,CDtv,2＞上。8。-土，根據(jù)正弦定理可得（「'"；?

6sinZDZ/CsinC

答案第9頁，共12頁

(ii)在△88中，己知8D=2,?上。8C=：,根據(jù)余弦定理可得

6

CD2=BD2+HC2-2BD.BC.cos上DBC,將數(shù)值代入可得2=4+8C2-2.C,

即8。一2JVC+2=0,解得5。=&+|或8c=八_|

由圖可知，在△8CO中，上4。。>上C,則BC>8。，:RD=2,：BC=JJ+|

根據(jù)二角形面積公式可得，△BCD的面積

$一??：$〃MnZMC-|x2x(V3*l)x?n--^^

(2)由(1)可知，上/18加上：，上08。一：,又80=2,

26

BDBD.

則在K/△48。中，sinA=--,即力。'

AnsinAsinA

CDf'r,2xsin

在△8°中'由正弦定理可得皿H=即°?心學(xué)

在V/8C中，因為上49C=g,所以4+C=7T—上/14C=：，HPC=j-J.

19.(l)-4<x<0

(2)存在“長向量”，且“長向量”為〃2，4，理由見解析

(3)4044

【分析】(1)根據(jù)向量極長的不等關(guān)系，解得x的范圍即可：

(2)根據(jù)“長向量”的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可：

(3)根據(jù)向量坐標(biāo)代入計算，結(jié)合向量不等式得到1：+：+Z；=li，再設(shè)H(x“，K),得到向

答案第10頁，共12頁

量關(guān)系，從而求得A二4二最值.

【詳解】（1）由題意可得:「141，u}=（l,x+2）,A,=（2,x+4）,〃3=（3,x+6）

則即口+6K$（2X+6）\解得：-44x40.

（2）存在“長向量”，且“長向量”為用，4,理由如下:

由題意可嫉=JsiA：+cos；*l若存雜長向量?，只需使&--4I41,

因為￡二（1,0）,7=（0,-1）,7=（-1,0）,^'=（0,1）,2；=（1,0）,^=（0,-1）,a=（-1,0）

所以S=J+a+a+...+aj=（0,-1）,故只需使

.S.“