專題8.6雙曲線（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】......................................................................4

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...........................................................................6

【題型3曲線方程與雙曲線】...........................................................................8

【題型4求雙曲線的軌跡方程】........................................................................10

【題型5雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、長軸、虛軸】..........................................................13

【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】.................................................................14

【題型7雙曲線的漸近線方程】........................................................................17

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】............................................................19

【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】...................................................................21

［題型10雙曲線的實(shí)際應(yīng)用】.........................................................................23

1、雙曲線

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第16題，5

分

2023年全國甲卷（文數(shù)）:第8雙曲線的方程及其性質(zhì)是圓錐

題，5分曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重

（1）了解雙曲線的定義、幾何圖2023年北京卷：第12題，5分點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，

形和標(biāo)準(zhǔn)方程2023年天津卷：第9題，5分主要考查雙曲線的定義、方程與簡單

（2）掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范2024年新高考I卷：第12題，5幾何性質(zhì)等知識，主要以單選題、多

隹、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、分選題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大，

離心率）2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

（3）了解雙曲線的簡單應(yīng)用題,5分與向量等知識結(jié)合綜合考查也

2025年全國一卷：第3題，5分是高考命題的一個趨勢，需要學(xué)會靈

2025年全國二卷：第11題，6分活求解.

2025年北京卷：第3題，4分

2025年天津卷：第9題，5分

知識點(diǎn)1雙曲線的方程及其性質(zhì)

1.雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的差的維處值等于非本常數(shù)（小于出尸21）的點(diǎn)的軌跡叫作雙

1/40

曲線.這兩個定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系:

雙曲線在坐標(biāo)

系中的位置71V7R

=l(o>0,6>0)多一3=1(Q>0,0>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)坐標(biāo)K(0,-c),E(0,c)

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2c2=a2+b2

3.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線的一些幾何性質(zhì)；

圖形19乏

%一方%一

標(biāo)準(zhǔn)方程■^■=1(Q>0,6>0)

MBx>a或爛y>a或

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

頂點(diǎn)小(-4,0),42(。,0)A](0,-a),A2(0,a)

半軸長實(shí)半軸長為。，虛半軸長為人

離心率。=21)

漸近線方程y=±^xa

y=±-x

Q

4.雙曲線的離心率

2/40

(I)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比?，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>l.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的汪口大小.

因?yàn)?=產(chǎn)益所以。越大，'越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=y/2.

知識點(diǎn)2雙曲線方程的求解方法

1.雙曲線方程的求解

(D用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定。2,從的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)川待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在X軸還是)，軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定層，

乂的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為「一/=乂2±0)或

〃小一=[(,〃〃>o),再根據(jù)條件求解.

(3)與雙曲線。一書=1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為。一^=2(x^0).

知識點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形

1.雙曲線的焦點(diǎn)三角形

(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)p是雙曲線上一點(diǎn)，a尸2為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,E尸2不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個焦點(diǎn)三角形,

(2)求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形△PR廠2面積的方法

方法一:①根據(jù)雙曲線的定義求出||PAHPE||=2a：

②利用余弦定理表示出|尸臼、|尸兄|、陰尸2|之間滿足的關(guān)系式;

③通過配方，利用整體的思想求出/尸|?|PB|的值；

④利用公式|iPFj-lPFjsinZF.PM,求得面積.

方法二:利用公式心防&=；尸產(chǎn)2"外1，求得面積.

(3)佛點(diǎn)三角形的常用結(jié)論

3/40

若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，小戶2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則一勺，其

tany

中6為

知識點(diǎn)4雙曲線的離心率或其范圍的解題策略

1.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

（I）直接求出4,C的值，利用離心率公式直接求解.

⑵列出含有a.6、0的齊次方程（或不等式）,借助于從一個一。？消去人轉(zhuǎn)化為含有。的方程（或不等式）求解.

知識點(diǎn)5雙曲線中的最值問題的解題策略

1.雙曲線中的最值問題

求解此類問題一般有以下兩種思路：

（1）幾何法:若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何

法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所防含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.

（2）代數(shù)法:若題FI中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將H標(biāo)變量表示為一

個（或多個）變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三

角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.

【方法技巧與總結(jié)】

1.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為公

2.若尸是雙曲線右支上一點(diǎn)，"尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|尸E|min=?+c,|PF21nlin=C—4.

2b2

3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦），其長為工.

4.與雙曲線三一哲=l（a>U,。>U）有共同漸近線的雙曲線方程可表不為鼻-％=￡（/聲0）.

舉一反三

【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】

【例1】（24-25高二下?河南?階段練習(xí)）雙曲線C：捻一《=1上的點(diǎn)4到右焦點(diǎn)的距離為19,則它到左焦

25144

點(diǎn)的距離為（）

A.9B.7C.9或29D.7或19

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義來求解點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離.

【解答過程】對于雙曲線可得Ma=5.

25144Q2=25,

設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為Fl，尸2,已知點(diǎn)A到右焦點(diǎn)&的距離為19,^\AF2\=19.

根據(jù)雙曲線的定義HARI-M&ll=2a=10,則有-19|=10.

4/40

可得|AFil-19=10或|力晶|-19=-10.

當(dāng)MF/-19=10時(shí)，MFJ=10+19=29；

當(dāng)MT-19=-10時(shí)，A%=-10+19=9.

所以點(diǎn)4到左焦點(diǎn)的距離為9或29.

故選：C.

【變式1-1］（2025北京模擬預(yù)測）雙曲線比4―4=1（。>0），焦距為1（），左右焦點(diǎn)分別為％,&，必

a16

為E上一點(diǎn)滿足|M%|=7,則|MF2l=（）

A.13B.1或13C.10D.4或10

【答案】A

【解題思路】根據(jù)雙曲線焦距可求出4的值，結(jié)合題意判斷M點(diǎn)位置，利用雙曲線定義即可求得答案.

【解答過程】由題意知雙曲線￡［一<=19>0）,焦距為10,

ar16

故2c=10,c=5,則Q2=c2—乂=25—18=9,二Q=3,

由||MJ|一|M尸2l|=2Q=6,|MF：J=7,得|M&I=1或|M&|=13,

結(jié)合|M&|=7<a+c=8,則M在雙曲線左支上，

由于1VC+Q=8,故|M4l=13,

故選：A.

【變式1-2］（24-25高二上?云南曲靖?期末）雙曲線％2-3=1上一點(diǎn)P到它的一個焦點(diǎn)的距離為*那么點(diǎn)

16

P到另一個焦點(diǎn)的距離為（）

A.2B.6C.2或6D.4

【答案】B

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求出點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)舍去不符合條件的值.

【解答過程】雙曲線d-匚=1,a=1.

In

設(shè)雙曲線的兩個焦點(diǎn)為尸1，尸2，已知仍尸11=4,由雙曲線定義||PFJ-|PF2||=2Q=2X1=2,即|4一

|P&II=2.

當(dāng)4一|尸尸21=2時(shí)，可得|P『2l=4-2=2；

當(dāng)4-IP尸2I=-2時(shí)，可得|P&I=4+2=6.所以|PBI=6或2.

在雙曲線中，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離存在最小值，這個最小值為c-a.

5/40

對于雙曲線ST=1，可得c=g+42==VT7

那么C-Q=0萬一1,因?yàn)椋?4,VT7>V16,所以后一1〉4-1=3>2.

這就說明雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離不可能為2,所以要舍去|P&I=2這個值.

因此|P尸21=6,即點(diǎn)P到另一個焦點(diǎn)的距離等于6.

故選：B.

【變式1-3]（2024,河北邢臺?二模）若點(diǎn)。是雙曲線C：芟一看=1上一點(diǎn)，F(xiàn)i，&分別為。的左、右焦點(diǎn)，

則“上片I=8”是TP&I=16"的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.

【解答過程】a=4,6=3,c=V42T37=5,

當(dāng)點(diǎn)尸在左支時(shí)，|PF]|的最小值為C—Q=1,

當(dāng)點(diǎn)P在右支時(shí)，|PQ|的最小值為Q+C=9,

因?yàn)閨PFJ=8,則點(diǎn)尸在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義|P%ITPFil=IP&I-8=2a=8,解得伊吃1=16;

當(dāng)|PGI=16?點(diǎn)P在左支時(shí)，|PKI=8：在右支時(shí)，|PF1|=24：推不出|PF1|=8：

故為充分不必要條件，

故選：D.

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】（2025?北京海淀一模）若雙曲線捺一，=1（。>0,6>。）上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)（一遍，0）的距離比到焦點(diǎn)

（門,0）的距離大b,則該雙曲線的方程為（）

A.Y—y2=1B.-y2=1C.x2—y=1D.x2-=1

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知2a=b,c=y[5,再結(jié)合次+/=。2,求即可求出結(jié)果.

【解答過程】由題知c=V^，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知2Q=6,又。2+反=。2,

所以5a2=5,得到。2=1/2=4,所以雙曲線的方程為工2一。二1,

4

6/40

故選:D.

【變式2-1]（2025?江蘇淮安?模擬預(yù)測）雙曲線G與雙曲線C2：?-產(chǎn)=1的漸近線相同，且過點(diǎn)（2,魚），

則雙曲線G的方程為（）

A.-——x2=1B.y2——=1

44

c.y-^=lD.x2-|y2=l

【答案】B

【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)g的方程為9-產(chǎn)=九A^o,代入（2,或）即可得到答案.

【解答過程】設(shè)雙曲線6的方程為9一步=九4裝0,

代入點(diǎn)（2,a）,則,_（好了=4=—1,

則方程為?一步二一1,即/一9二1

故選：B.

【變式2-2】（2025?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測）雙曲線C與橢圓=+4=1有公共的焦點(diǎn)，且C的離心率是2,則

64

C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.%2_4=1B./_《=1C.--^=1D.4-3=1

3J3412412

【答案】A

【解題思路】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率求出m根據(jù)a/,c關(guān)系求出/

后即可得解.

【解答過程】橢圓?+?=1的焦點(diǎn)為（±2,0）,

所以雙曲線。的焦點(diǎn)為（±2,0）且焦點(diǎn)在不軸上，即c=2,

因?yàn)镃的離心率是2,所以e=￡=2,即

aQ=1,

所以扭=c2-次=3,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為%2一4=1.

故選：A.

2A

【變式2-3]（2025?四川雅安?一模）已知，1，柱為雙曲線。京一￡=1（。＞0,匕＞。）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C

上,若尸1川=2尸2川，上//2=30。,44尸1尸2的面積為66,則C的方程為（）

7/40

A."4=1B.-

9636

C.jD.j

6963

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出尸2川，尸1川，在△力晶吃口，利用正弦定理求出力出匕，再根據(jù)三角

形的面積公式求出標(biāo),利用勾股定理可求得C2,進(jìn)而可求出答案.

【解答過程】因?yàn)榕f川=2|々川，所以|F］川＞|七川，

又因?yàn)辄c(diǎn)人在C上，所以伊】川一/2川二2a,

即2舊川一舊川=2a，所以尸2川=2a,舊川=4a,

在中，由正弦定理得=」呀，

sinz/lFjFz$】口/71/2尸r1

所以sin乙4七%=晦臀=1，

\Ar2l

又0。＜匕力/2尸1V180。，所以44尸2/1=90°,故4/1力/2=60。，

則=稱/尸11伊F2花也60。=275a2=6A/3,所以a?=3,

22222

則|R&|2=（2c）=\AFX\-\AF,\=16a2-4a=12a=36,所以c?=9,

所以力2=c2—a2=6,

所以C的方程為。一。=1.

J6

故選：B.

【題型3曲線方程與雙曲線】

【例3】（2025?新疆?模擬預(yù)測）“加＞4”是“方程二一m=1表示雙曲線”的（）

m-1m-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出方程表示雙曲線的充要條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

8/40

【解答過程】=l表示雙曲線時(shí)，

m—1m—4

等價(jià)于（m-l）（m-4）>0,解得機(jī)>4或m<1.

因?yàn)橛蒻>4可推出m>4或mV1,但是由m>4或m<1,不能推出m>4,

所以>4”是“方程二-二=1表示雙曲線”的充分不必要條件.

/n-lm-4

故選:A.

【變式3-1]（24-25高二上?河南許昌?期末）若方程=+J=1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）

m+47n-7

A.m<-7或m>4B.-7<m<4

C.mV-4或TH>7D.-4<m<7

【答案】D

【解題思路】對雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

【解答過程】若方程二+==1表示的曲線是焦點(diǎn)在3軸上的雙曲線，則fm+qj2,解得-4<mV7；

m+4m-7Im—7<0

若方程;^+9=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則｛：[；；及，無解.

綜上所述，一4Vm<7.

故選：D.

【變式3-2]（24-25高二JL?浙江?期中）對于方程二十/[ano：=1,”w（一）表示的曲線C,下列說法正

確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線

B.若a為負(fù)角，則曲線C為雙曲線

C.若a為正角，則曲線。為橢圓

D.若。為橢圓，則曲線。的焦點(diǎn)在工軸上

【答案】B

【解題思路】對于A,根據(jù)a=0的取值，即可判斷：對于B若a為負(fù)角，即-]va〈O,結(jié)合雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

方程的形式，即可判斷；

對于C,當(dāng)《=:時(shí)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷；對FD,變形后結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，

即可判斷選項(xiàng).

9/40

【解答過程】對于A,當(dāng)a=0,即tana=0時(shí)，曲線。的方程為%2=上即％=±1,

此時(shí)曲線C為兩條平行的直線，故A錯誤：

對于B,若a為負(fù)角，即一則tanaVO,

此時(shí)曲線。為雙曲線，故B正確；

對于C,若a為正角，UP0<a<p當(dāng)]=即寸，tana=1,

則曲線C的方程為d+y2=],是圓，故c錯誤；

對于D,若C為橢圓，當(dāng)0<tanaVI,—^―>1,又%2+/tana=1可變形為%2+4_=i,

tana—

則C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故D錯誤.

故選：B.

【變式3-3](2025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)已知曲線。:[+e=1(血工0),則“m￡(0,4)”是“曲線C的焦點(diǎn)在

4m

X軸上”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】若m6(0,4),曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線時(shí)m<0.

【解答過程】若(0,4),則曲線C:[+2=l表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故充分性成立；

若曲線。的焦點(diǎn)在X軸上，也有可能是mV0,此時(shí)曲線。表示焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線，故必要性不成立,

故選：A.

【題型4求雙曲線的軌跡方程】

【例4】(2024?廣西柳州?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),直線4M,BM

相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是右則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A?9罌=1-±5)B.白需=l(x#±5)

。9第—±5)D.白卷=l(x*±5)

【答案】A

【解題思路】設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意列出方程，化簡整理即得點(diǎn)M的軌跡方程.

【解答過程】依題意，設(shè)點(diǎn)M(x,y),山心的?=4三,：匕=J('工±5)，

10/40

可得4%2—9y2=100,（%工±5）,即得點(diǎn)M的軌跡方程為（一篇=l（xw±5）.

故透:A.

【變式4-1]（2025?黑龍江遼寧?模擬預(yù)測）若圓Cd+y2-6%=o上恰有三個點(diǎn)到直線a%+力+1=0（a工

0,bH0）的距離為1,則動點(diǎn)（5a+3,5b）的軌跡方程是（）

A-7-T=1B.與（x+）-5y2=i

C.-x2-5y2=1D.1

454

【答案】A

【解題思路】由圓C上恰有三個點(diǎn)到直線ax+by+1=0的距離為1,得到圓心到直線的距離恰好為2,求

得5a2—4/+6Q+1=0,設(shè)葭3,得到。二甲,匕=3代入方程，即可得到點(diǎn)（5Q+3,5b）的軌跡

（y—DU55

方程.

【解答過程】由圓C：d+y2-6%=0,可得標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-3）2+y=9,

所以圓心C（3,0）,半徑為r=3,

若圓C上恰有三個點(diǎn)到直線ax+by+1=0的距離為1,

則滿足圓心到直線的距離恰好為2,即器^=2,即5/-4匕2+6。+1=0,

設(shè)匕之產(chǎn)則。=手，6檔

代入5a2-4b2+6Q+1=0,可得5?（早/-4?（1）2+6?（號）+1=0,

整理得手一q二1，即點(diǎn)（5Q+3,5切的軌跡方程為。一4二1.

4545

故選：A.

【變式4-2]（2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）已知雙曲線好一手=1與直線]：y=kx+m（k工土2）有唯一的公

共點(diǎn)M,過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交工軸、y釉于力（%,0）,8（0,y）兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P（x,y）的軌跡方

程是（）

A.Y+y2=1（y￥：0）B.-y2=1（y0）

c.^+^=i（y*o）D.（一柒i（"0）

【答案】D

【解題思路】根據(jù)直線1與雙曲線相切，推出血2+4=好，再求出居乂消去匕加可得結(jié)果.

11/40

【解答過程】因?yàn)殡p曲線/一q=1與直線|：y=kx+m（kH土2）有唯一的公共點(diǎn)M,

所以直線/與雙曲線相切,

y=kx+m

2_/_,消去y并整理得（4一女2）%2-2k血％-血2-4=0,

!x-7=1

所以A=4k27n2+4（4-k2）（m24-4）=0,即m?+4=/c2,

將+4=好代入（4—kz）x2—Zkmx-m2—4=U,得—m2xz—Zkmx—kz=0,

22

得（7nx+k）2=0,因?yàn)閗2,m+4=kf所以mAO,

所以;c=一士y=—上■k+m=k=一士,即M（一V,一士），

nt/n7nmmm

由7n2+4=M可知k*0,

所以過點(diǎn)M且與/垂直的直線為y+3+'），

令丁=0,得工=一型，令X=0,得＞=一二,

）nm

則4（一把,0）,

mm

5k

X=---吠

弋，得zn=—,k=-,

y=--yy

代入/+4=^2,得卷+4=$,即六一段=i（yH0）,

故選：D.

【變式4-3］（2025?浙江?一模）雙曲線的另一種定義：動點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)r（c,O）的距離和它與定直線，：x=^

的距離的比是常數(shù)久0VaVc）,則點(diǎn)M的軌跡是一個雙曲線.動點(diǎn)M與定點(diǎn)F（百,0）的距離和它與定直線Z：

x二彳的距離的比是仃，則點(diǎn)MIK軌跡方程為（）

A.^-x2=1B.x2-^=1

22

22

C.^x--y2o=1D.y2o"x=1

2Jz2

【答案】B

【解題思路】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡得答案.

J（X-b）2+?

=V3,化簡整理得/—9=

【解答過程】設(shè)M（x,y）,依題意,1,

|x-f|

12/40

所以點(diǎn)M的軌跡方程為%2一9=1.

故選：B.

【題型5雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、長軸、虛軸】

【例5】（2025?云南昆明?模擬預(yù)測）已知雙曲線三一廿=1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,0）,則實(shí)數(shù)m的值為（）

5m

A.1B.2C.3D?4

【答案】D

【解題思路】利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程求解即可.

【解答過程】解?：雙曲線。一^=1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,0）,可得m+5=9,

5m

可得m=4.

故選：D.

【變式5-1]（2025?江西新余?一模）雙曲線二一*=1的實(shí)軸長為（）

616

A.V6B.4C.2V6D.8

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線方程直接確定實(shí)軸長.

【解答過程】由雙曲線方程知。=花，則實(shí)軸長為2。=2遍.

故選:C.

【變式5-2]（2025?廣東廣州?三模）已知雙曲線C￡一的左右焦點(diǎn)分別為心、F2,過尸2作。

其中一條漸近線的垂線，垂足為Z,直線力吃交另一漸近線于點(diǎn)火若MB|二b,則雙曲線C的焦距為（）

A.3V2B.6V2

C.6D.12

【答案】D

【解題思路】由雙曲線的性質(zhì)可得尸2到漸近線距離為4結(jié)合幾何性質(zhì)可得2&。4=60。，從而￡=百，最

后由a,b,c的關(guān)系可得焦距.

【解答過程】如圖所示，???七到漸近線距離為從故4B。尸2為等腰三角形，二4/2。力=60°，

故近,代,工焦距為

ab=3c=6,12.

故選：D.

13/40

【變式5-3]（2025?陜西安康?模擬預(yù)測）已知雙曲線。。一《=1（。>03>0）的焦距為2韶且

a:b:c=1:2:V5,則下列說法正確的是（）

A.。的實(shí)軸長為2B.。的漸近線方程為y=±3%

C.C的離心率為bD.C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（隔,0）

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線漸近線、離心率逐項(xiàng)判斷得解.

【解答過程】對于AD,由Q：加c=l:2:遙，取。=2,則c=2而，。的實(shí)軸長4,右焦點(diǎn)（2通,0）,AD錯誤;

對于B,由a力=1:2,得C的漸近線方程為'=±2,B錯誤；

對于C,由a:c=l:遍，得C的離心率。=正，C正確.

故選:C.

【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】

【例6】（2025?江西?二模）過雙曲線。號一步=1的中心作直線,與雙曲線c交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的右

焦點(diǎn)為F,已知乙PFQ=g,則△PFQ的面積為（）

A.yB.1C.V2D.V3

【答案】D

【解題思路】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為'連接PF'、QF',根據(jù)雙曲線的對稱性得到S〃FQ=S?w，,設(shè)|P"|=m,

\PF\=n,結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理求出再由面積公式計(jì)算可得.

【解答過程】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為L,連接PF'、QF',由雙曲線的對稱性可知四邊形PF'QF為平行四邊形，

由，P/Q=g,!l!UFPF=p

不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)卜尸|二m,|PF|二九，X|FF]=2C=2A/3,

由雙曲線的定義可得|P『|-\PF\=m-n=2a=2企，

14/40

22

在△尸PF'中由余弦定理可得，,F[=\PF]4-|PF|2-2|PF，|-|PF|cosp

2

2

即12=m2+九2-mn=（7n-n）+mn=（2>/2）+mn,解得=4,

所以SMFQ=S&PFF，=沙尸[.|PF|sing=1x4x^=V3.

【變式6-1](2025?河南安陽?一模)已知雙曲線。:《一，=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為他，F(xiàn)2,過

點(diǎn)，2的直線與C的右支交于4B兩點(diǎn)，且|川引：出『2l：l"il=1：2：3,若△48F]的周長為20,則C的實(shí)軸長

為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合已知的線段比例關(guān)系以及的周長，求出Q的值，進(jìn)而得到雙曲

線C的實(shí)軸長.

【解答過程】設(shè)|"2l=m，因?yàn)镸&I：|8尸2|：|4%|=1:2:3,所以|8&l=2m,|AFi|=3m.

根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F】,心的距離之差的絕對值等于定值2a(0V2aV|%0|)的點(diǎn)的軌

跡為雙曲線.

對于點(diǎn)A在雙曲線右支上，有依21|一|小引=2。，即3m-m=2a,可得2m=2a①.

對于點(diǎn)8在雙曲線右支上，有|BFJ-1841=2°,則|8尸1|二|852|+2。=26+2。.

已知△48%的周長為20,△48&的周長。=|”1|+出尸1|+|48|,而

\AE\=\AF2\+\BF?]=m+2m=3m.

所以L=3m+(2m+2a)+3m=20,即8?n+2a=20②.

將①2m=2a代入②8?n+2a=20中，得到4x2a+2a=20,即10a=20,解得a=2.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線接一《=l(a>0,b>0)的實(shí)軸長為2a.

把a(bǔ)=2代入，可得實(shí)軸長為2x2=4.

故選：C.

15/40

【變式6-2］（2025?青海海南?一模）已知雙曲線Q%2一9=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，的，點(diǎn)P在。的右支

上，且|「片|=1+近，則的面積為（）

A.V7-1B.6C.3D.V7+1

【答案】C

【解題思路】利用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件可得|尸々1，從而可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，從而可求

其面積.

【解答過程】點(diǎn)尸在雙曲線右支上，a=l,b=>/3tc=2

由雙曲線的定義可得|PFil-|P2I=2，

又|PFil=l+V7,兩式聯(lián)立得|PG|=夕一1.

又131=%

22

所以|尸％|2+\PF2\=\F.F2\=16,即4PF/2為直角三角形，

所以583=切％1出尸21=3.

故選：C.

【變式6-3］（2025?廣東?一模）如圖，&、七是雙曲線!一，=1的>。）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線，與雙曲

線分別交于點(diǎn)力、B，若△4B尸2為等邊三角形，則的面現(xiàn)為（）

A.8V3B.9V3

C.18V3D.27V3

【答案】C

【解題思路】由雙曲線的定義，可得|8%|=2a,|BBJ=l/il+2Q=4a,由三角形面積公式S=gabsinC,

即可求出△8%/2的面積.

【解答過程】在雙曲線中：a2=9,所以。=3,

根據(jù)雙曲線的定義,可得|4%|一供尸21=2。=6,

16/40

???△48&是等邊三角形，即M&l=I48|

\AF}\-\AB\=|8%|=2a

又???|BF2H8F]|=2a,

???|8尸2l=|B&l+2a=4a=12,

???△BFir2的面積為S=1|BrJ?IBF2I?sin為0°=1x6x12xy=18g.

故選:C.

【題型7雙曲線的漸近線方程】

【例7】（2025?河北?一模）雙曲線￡:《一5=1（。>0,6>0）的離心率為2,則E的漸近線方程為（）

A.y=±V3xB.y=±vx

C.y=±2xD.y=±1x

【答案】B

【解題思路】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，可知漸近線方程為y=±￡x,再結(jié)合條件及a,b,c間的關(guān)系，即可求解.

【解答過程】由題知e=：=舊彳=2,得到g二巡，

所以雙曲線E的漸近線方程為y=二9=土劣，

b3

故選：B.

【變式7-1]（2025?四川成都?一模）雙曲線三一二二1的漸近線方程為（）

No

A.2x+y=0B.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

【答案】A

【解題思路】根據(jù)漸近線方程直接進(jìn)行求解.

【解答過程】7-^=1的漸近線方程為y=±=±第％=±2%,

即2%±y=0.

故選:A.

【變式7-2]（2025?安徽六安?模擬預(yù)測）已知雙曲線，-攝=l（a,b>0）的離心率為亨，則此雙曲線的漸近

線方程為（）

A.y=±yxB.y=±C.y=±yxD.y=±yx

ZLLL

17/40

【答案】B

【解題思路】由雙曲線的離心率得出《即可求解漸近線方程.

【解答過程】由離心率得《4-1二卜1=3=w

所以此雙曲線的漸近線方程為y=±yX,

故選：B.

【變式7-3］（2025?福建泉州?模擬預(yù)測）已知片,r2分別為雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，直線1過％與C

交于48兩點(diǎn)，^\AB\=\BF2\,3哂=甲+2菽，則C的漸近線為（）

A.y=±^-xB.y=±C.y=±D.y=±釁x

JJJo

【答案】A

【解題思路】由題意求得|/?%|=a,M%|=2a,|/?&|=而，\AF\=4a,結(jié)合余弦定理貯學(xué)亨二一

2L'Q:LC

4a2+4c2-16a2_p.zb24日口白

2.2。2c求得a戶=§即可?

【解答過程】

由3研>=底?+2無瓦即取及1用，可得布=2宿.

設(shè)|B"|=￡,Q>0,b>0,根據(jù)上述條件及雙曲線的定義，可知

\AFY\=2t,\BF2\=2a+t,\AF2\=2a+2t.

乂因?yàn)閨力8|=\BF2\,所以t=a,

故|BFd=a,|4%|=2a,|B尸2l=3a,伊&1=4。.

_

在^ABF2由COSZ/?F1F2=cos乙4//2，

爾。2+41-9a24a2+4c2-16a2。日c27a2+b27

得--------=------------,得r=u即rt一5—=

2a-2c2-2a-2ca23a23

需故C的兩條漸近線方程為y=土）=±竿尢

18/40

故選：A.

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】

【例8】（2025?全國一卷?高考真題）已知雙曲線C的虛軸長是實(shí)軸長的近倍，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V7D.2V2

【答案】D

【解題思路】由題可知雙曲線中a,b的關(guān)系，結(jié)合/+/=。2和離心率公式求解

【解答過程】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為2a,2b,2c,

由題知，b=V7a,

22222

于是層+b=c=a+7a=8a,則c=2ea,

即e=-=2\/2.

a

故選：D.

【變式8-1］（2025?河南信陽?模擬預(yù)測）若雙曲線