分式方程的應用人教版八年級上冊導入新課1.解分式方程的基本思路是什么？2.解分式方程有哪幾個步驟？3.驗根有哪幾種方法？分式方程整式方程轉化去分母一化二解三檢驗有兩種方法：第一種是代入最簡公分母；第二種代入原分式方程.通常使用第一種方法.導入新課基本上有4種：（1）行程問題：路程=速度×時間以及它的兩個變式；（2）數字問題：在數字問題中要掌握十進制數的表示法；（3）工程問題：工作量=工時×工效以及它的兩個變式；（4）利潤問題：批發(fā)成本=批發(fā)數量×批發(fā)價；批發(fā)數量=批發(fā)成本÷批發(fā)價；打折銷售價=定價×折數；銷售利潤=銷售收入一批發(fā)成本；每本銷售利潤=定價一批發(fā)價；每本打折銷售利潤=打折銷售價一批發(fā)價，利潤率=利潤÷進價.我們現在所學過的應用題有哪幾種類型？每種類型的基本公式是什么？

能找出實際問題中的等量關系，熟練地列出相應的方程.

會解含有字母系數的分式方程.

知道列方程解應用題為什么必須驗根，掌握解題的基本步驟和要求.學習目標重點難點素養(yǎng)課標要求思考：兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？表格法分析如下：工作時間（月）工作效率工作總量（1）甲隊乙隊等量關系：甲隊完成的工作總量+乙隊完成的工作總量=“1”設乙單獨完成這項工程需要x個月.知識點1列分式方程解決工程問題探究新知

請審題分析題意設元

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快?分析:甲隊1個月完成總工程的

,設乙隊如果單獨施工1個月完成總工程的

,那么甲隊半個月完成總工程的_____,乙隊半個月完成總工程的_____,兩隊半個月完成總工程的_______.解：設乙單獨完成這項工程需要x個月.記工作總量為1，甲的工作效率是，根據題意得.即方程兩邊都乘以2x,得.解得x=1.檢驗：當x=1時，2x≠0.所以，原分式方程的解為x=1.由上可知，若乙隊單獨施工1個月可以完成全部任務，而甲隊單獨施工需3個月才可以完成全部任務，所以乙隊的施工速度快.思考：本題的等量關系還可以怎么找？甲隊單獨完成的工作總量+兩隊合作完成的工作總量=“1”此時表格怎么列，方程又怎么列呢？工作時間（月）工作效率工作總量（1）甲單獨兩隊合作設乙單獨完成這項工程需要x天.則乙隊的工作效率是，甲隊的工作效率是，合作的工作效率是.此時方程是：1工程問題（1）題中有“單獨”字眼通?？芍ぷ餍?；（2）通常間接設元，如××單獨完成需x（單位時間），則可表示出其工作效率；（4）解題方法：可概括為“321”，即3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作時間，工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊，或“甲單獨和兩隊合作”；1指該問題中的一個等量關系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和=全部工作總量.（3）弄清基本的數量關系.如本題中的“合作的工效=甲乙兩隊工作效率的和”.注意：二元一次方程組分式方程方程的應用類比一元一次方程列方程解應用題的一般步驟審、找、設、列、解、驗、答.列方程解應用題的步驟：（1）審：審清題意；（2）找：找出等量關系；（3）設：設出未知數(直接設法、間接設法)；（5）解：解分式方程；（7）答：寫出答案.（4）列：用代數式表示等量關系，列出分式方程；（6）驗：必須檢驗根的正確性與合理性；

列方程解應用題的一般步驟結論例

抗洪搶險時，需要在一定時間內筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完成，而乙隊由于人少，單獨做則超期3個小時才能完成．現甲、乙兩隊合作2個小時后，甲隊又有新任務，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成．求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需多少小時？分析：設甲隊單獨完成需要x小時，則乙隊需要(x＋3)小時，根據等量關系“甲工效×2＋乙工效×甲隊單獨完成需要時間＝1”列方程．工程問題素養(yǎng)考點解：設甲隊單獨完成需要x小時，則乙隊需要(x＋3)小時．由題意得.解得x＝6.經檢驗x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.答：甲單獨完成全部工程需6小時，乙單獨完成全部工程需9小時．解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關系．為了提高產品的附加值，某公司計劃將研發(fā)生產的1200件新產品進行精加工后再投放市場，現有甲、乙兩個工廠都具備加工能力，公司派出相關人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數量是甲工廠每天加工數量的1.5倍.根據以上信息，求甲、乙兩個工廠每天分別能加工多少件新產品？解：設甲工廠每天加工x件產品，則乙工廠每天加工.1.5x件產品，依題意得.解得：x=40.經檢驗x=40是原方程的解，所以1.5x=60.答：甲工廠每天加工40件產品，乙工廠每天加工60件產品.某小微企業(yè)為加快產業(yè)轉型升級步伐,引進一批A,B兩種型號的機器.已知一臺A型機器比一臺B型機器每小時多加工2個零件,且一臺A型機器加工80個零件與一臺B型機器加工60個零件所用時間相等.

(1)每臺A,B兩種型號的機器每小時分別加工多少個零件?變式訓練解：(1)設每臺B型機器每小時加工x個零件,則每臺A型機器每小時加工(x+2)個零件.依題意,得:解得:x=6. 經檢驗,x=6是原方程的解,且符合題意. ∴x+2=8.答:每臺A型機器每小時加工8個零件,每臺B型機器每小時加工6個零件.解：(2)設A型機器安排m臺,則B型機器安排(10-m)臺.依題意,得.(2)如果該企業(yè)計劃安排A,B兩種型號的機器共10臺一起加工一批該零件,為了如期完成任務,要求兩種機器每小時加工的零件不少于72件,同時為了保障機器的正常運轉,兩種機器每小時加工的零件不能超過76件,那么A,B兩種型號的機器可以各安排多少臺?解得:6≤m≤8.

∵m為正整數,∴m=6,7,8. 答:共有三種安排方案,方案一:A型機器安排6臺,B型機器安排4臺;方案二:A型機器安排7臺,B型機器安排3臺;方案三:A型機器安排8臺,B型機器安排2臺.思考：朋友們約著一起開著2輛車自駕去黃山玩，其中面包車為領隊，小轎車緊隨其后，他們同時出發(fā)，當面包車行駛了200公里時，發(fā)現小轎車只行駛了180公里，若面包車的行駛速度比小轎車快10km/h,請問面包車，小轎車的速度分別為多少km/h？列分式方程解決行程問題知識點20180200路程速度時間面包車小轎車200180x+10x分析：設小轎車的速度為x千米/小時.面包車的時間=小轎車的時間.等量關系：

列表格如下：解：設小轎車的速度為x千米/小時，則面包車速度為x+10千米/小時，依題意得.

解得x＝90經檢驗，x＝90是原方程的解.且x=90，x+10=100，符合題意.答：面包車的速度為100千米/小時.

小轎車的速度為90千米/小時.注意兩次檢驗:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.思考：小轎車發(fā)現跟丟時，面包車行駛了200公里，小轎車行駛了180公里，小轎車為了追上面包車，他就馬上提速，他們約定好在300公里的地方碰頭，他們正好同時到達，請問小轎車提速多少km/h？0180200300解：設小轎車提速為x千米/小時，依題意得.

解得x＝30.經檢驗，x＝30是原方程的解，且x=30，符合題意.答：小轎車提速為30千米/小時.思考：兩車發(fā)現跟丟時，面包車行駛了200公里，小轎車行駛了180公里，小轎車為了追上面包車，他就馬上提速，他們約定好在s公里的地方碰頭，他們正好同時到達，請問小轎車提速多少km/h？0180200S路程速度時間面包車小轎車s-200s-18010090+x解：設小轎車提速為x千米/小時，依題意得.

解得x＝經檢驗，

是原方程的解，且滿足題意.答：小轎車的提速為.km/h思考：小轎車提速前速度為vkm/h,用相同的時間，小轎車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km,請問小轎車提速多少km/h？0SS+50路程速度時間提速前提速后ss+50vx+v經檢驗，

是原方程的解，且滿足題意.答：小轎車的提速為

.

解：設小轎車提速為x千米/小時，依題意得.

解得x＝km/h行程問題（1）注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；（2）明確兩個“主人公”的行程問題中三個量用代數式表示出來；（3）行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.注意：例

已知甲車行駛30千米與乙車行駛40千米所用時間相同,并且乙車每小時比甲車多行駛15千米.若設甲車的速度為x千米/時,依題意列方程正確的是(

).A行程問題素養(yǎng)考點八年級學生去距學校skm的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了th后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．已知汽車的速度是學生騎車速度的2倍，求學生騎車的速度．解：設學生騎車的速度是xkm/h，由題意得，方程兩邊同乘2x，得2s–s=2tx.解得

x=．檢驗：由于s，t都是正數，x=時，2x≠0.所以，x=

是原分式方程的解，且符合題意.答：學生騎車的速度是km/h．徐州至北京的高鐵里程約為700km,甲、乙兩人從徐州出發(fā),分別乘坐“徐州號”高鐵A與“復興號”高鐵B前往北京.已知A車的平均速度比B車的平均速度慢80km/h,A車的行駛時間比B車的行駛時間多40%,兩車的行駛時間分別為_________________.

3.5小時,2.5小時變式訓練思考：佳佳果品店在批發(fā)市場購買某種水果銷售，第一次用1200元購進若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果暢銷，第二次購買時，每千克的進價比第一次提高了10%，用1452元所購買的數量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出現高溫天氣，水果不易保鮮，為減少損失，便降價50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的進價是每千克多少元？列分式方程解決銷售問題知識點3解：(1)設第一次購買的進價為x元，則第二次的進價為1.1x元.根據題意得.解得x＝6.經檢驗，x＝6是原方程的解．答：第一次水果的進價為每千克6元．分析：根據第二次購買水果數量比第一次多20千克，可得出方程，解出即可得出答案.(2)該果品店在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？分析：先計算兩次購買水果的數量，賺錢情況：銷售的水果量×(實際售價－當次進價)，兩次合計，就可以求得是盈利還是虧損了．解：(2)第一次購買水果1200÷6＝200(千克)．第二次購買水果200＋20＝220(千克)．第一次賺錢為200×(8－6)＝400(元).第二次賺錢為100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．所以兩次共賺錢400－12＝388(元)．探究新知銷售問題解題常用數量關系：(1)利潤=售價-進價.(2)利潤率=

×100%.(3)售價=標價×(4)售價=進價×(1+利潤率).某市從今年1月1日起調整居民用水價格,每噸水費上漲1/3,小麗家去年12月的水費是15元,今年7月的水費是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求該市今年居民用水的價格?分析：此題的主要等量關系是：小麗家今年7月的用水量－小麗家去年12月的用水量=5m3.銷售問題素養(yǎng)考點例解：設該市去年居民用水的價格為x元/m3,則今年的水價為元/m3,根據題意，得.解得

經檢驗，

是原方程的根.答：該市今年居民用水的價格為2元/m3.為順利通過國家義務教育均衡發(fā)展驗收,我市某中學配備了兩個多媒體教室,購買了筆記本電腦和臺式電腦共120臺,購買筆記本電腦用了7.2萬元,購買臺式電腦用了24萬元,已知筆記本電腦單價是臺式電腦單價的1.5倍,那么筆記本電腦和臺式電腦的單價各是多少?變式訓練解：設臺式電腦的單價為x萬元,則筆記本電腦的單價為_________萬元.由題意,得_____+_______=120.

解得x=_________. 經檢驗,x=_________為原方程的解,且符合題意.

1.5x=1.5×_________=_________. 答:臺式電腦的單價為_________萬元,筆記本電腦的單價為_________萬元.

1.5x

0.24

0.24

0.24

0.36

0.24

0.36

例

關于x的方程無解,求k的值.利用分式方程的根求字母的值或取值范圍解：方程的兩邊同時乘(x+3)(x–3)得x+3+kx–3k=k+3。整理得:(k+1)x=4k,因為方程無解,則x=3或x=–3。當x=3時,(k+1)·3=4k,k=3。當x=–3時,(k+1)(–3)=4k。所以當k=3或

時,原分式方程無解.素養(yǎng)考點如果關于x的方程無解,則m的值等于（）。A.–3B.–2C.–1D.3B解析:方程的兩邊都乘x–3,得2=x–3–m,移項并合并同類項得,x=5+m，由于方程無解,此時x=3,即5+m=3。

∴m=–2.連接中考（綿陽）甲乙二人同駕一輛車出游，各勻速行駛一半路程，共用三小時，到達目的地后，甲對乙說：“我用你所花的時間，可以行駛180km”，乙對甲說：“我用你所花的時間，只能行駛80km”.從他們的交談中可以判斷，乙駕車的時長為

(

).A.1.2小時

B.1.6小時C.1.8小時

D.2小時C

A鏈接中考我們一起來吧!1.下列方程中屬于分式方程的有（）;屬于一元分式方程的有（）.

①②③④x2+2x–1=0①①基礎鞏固題③2.解方程：得：（x–1）+2（x+1）=4∴原方程無解.

∴x=1檢驗：當x=1時，（x+1）（x–1）=0.所以x=1不是原方程的根.解：方程兩邊都乘以最簡公分母基礎鞏固題3.兒童節(jié)前夕,某校社團進行愛心義賣活動,先用800元購進第一批康乃馨,包裝后售完,接著又用400元購進第二批康乃馨,已知第二批所購數量是第一批所購數量的三分之一,且康乃馨的單價比第一批的單價多1元,設第一批康乃馨的單價是x元,則下列方程中,正確的是(

).CA. B.C. D.800x=3×400(x+1)基礎鞏固題4.世界文化遺產“三孔”景區(qū)已經完成5G基站布設,“孔夫子家”自此有了5G網絡.5G網絡峰值速率為4G網絡峰值速率的10倍,在峰值速率下傳輸500兆數據,5G網絡比4G網絡快45秒,求這兩種網絡的峰值速率.設4G網絡的峰值速率為每秒傳輸x兆數據,依題意,可列方程是(

).A基礎鞏固題5.甲、乙兩班參加植樹造林,已知甲班每天比乙班每天多植5棵樹,甲班植80棵樹所用天數與乙班植70棵樹所用的天數相等,若設甲班每天植x棵,根據題意列出的方程是 (

).A基礎鞏固題6.某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支,第二次又用600元購進該款鉛筆,但這次每支的進價是第一次進價的

倍,購進數量比第一次少了30支,則該商店第一次購進的鉛筆,每支的進價是______元.

4

基礎鞏固題7.為了改善生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,紅旗村計劃在荒坡上種樹960棵,由于青年志愿者支援,實際每天種樹的棵數是原計劃的2倍,結果提前4天完成任務,若設原計劃每天種樹x棵.則根據題意,可列出方程_____________.

基礎鞏固題1.甲開汽車,乙騎自行車,從A地同時出發(fā)到相距A地90km的B地,若汽車的速度是自行車的速度的3倍,汽車比自行車早到3h,那么汽車及自行車的速度各是多少?解:設自行車的速度為xkm/h,則汽車的速度為3x

km/h.依題意,有

.解這個方程,得x=20.經檢驗,x=20是原方程的解.當x=20時,3x=60.答:汽車的速度為60km/h,自行車的速度為20km/h.能力提升題2.一輪船往返于A、B兩地之間，順水比逆水快1小時到達.已知A、B兩地相距80千米，水流速度是2千米/時，求輪船在靜水中的速度.x=－18（不合題意，舍去）.解:設船在靜水中的速度為x千米/時,根據題意得.解得x=±18.檢驗得：x=18.答：船在靜水中的速度為18千米/時.方程兩邊同乘（x-2)(x+2)得.80x+160－80x+160=x2－4.能力提升題3.某公司購買了一批A、B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元，已知該公司用3120元購買A型芯片的條數與用4200元購買B型芯片的條數相等．（1）求該公司購買的A、B型芯片的單價各是多少元？（2）若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費用為6280元，求購買了多少條A型芯片？能力提升題

1.某商場購進甲、乙兩種商品,甲種商品共用了2000元,乙種商品共用了2400元.已知乙種商品每件進價比甲種商品每件進價多8元,且購進的甲、乙兩種商品件數相同.求甲、乙兩種商品每件的進價.拓廣探索題解:方法一:(設甲種商品的進價為未知數x)設甲種商品的每件進價為x元,則乙種商品的每件進價為(x+8)元.根據題意,得:

解得:x=40.經檢驗,x=40是原方程的解,則x+8=48.答:甲種商品的每件進價為40元,乙種商品的每件進價為48元.方法二:(設乙種商品的進價為未知數y)設乙種商品的每件進價為y元,則甲種商品的每件進價為(y-8)元,根據題意,得:

解得:y=48.經檢驗,y=48是原方程的解,則y-8=40.答: