微積分學(xué)教程全套可編輯PPT課件

2目錄上冊(cè)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應(yīng)用第0章預(yù)備知識(shí)第五章不定積分微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)3目錄上冊(cè)第八章級(jí)數(shù)第九章常微分方程第十章差分方程第七章多元函數(shù)微積分學(xué)

第六章定積分微積分學(xué)教程（上冊(cè)）5目錄上冊(cè)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應(yīng)用第0章預(yù)備知識(shí)第五章不定積分微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)6微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)微積分學(xué)（Calculus）是經(jīng)典數(shù)學(xué)分析的主體內(nèi)容.包含微分學(xué)與積分學(xué)兩大部分.微分學(xué)（DifferentialCalculus）的主要內(nèi)容包括一元函數(shù)、多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分、全微分的基本概念、運(yùn)算法則及以此為基礎(chǔ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究的一系列方法.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方法統(tǒng)稱為微分法（Differentiation）.積分學(xué)（IntegralCalculus）的主要內(nèi)容包括一元函數(shù)的定積分、不定積分和多元函數(shù)的各種積分的概念、理論、計(jì)算，及以此為基礎(chǔ)對(duì)函數(shù)的數(shù)量變化進(jìn)行研究的方法.求函數(shù)各種積分的方法統(tǒng)稱為積分法（Integration）.簡(jiǎn)而言之，微積分學(xué)的目標(biāo)是研究函數(shù)的改變量：微分學(xué)研究函數(shù)在某一點(diǎn)（局部）的“微觀”改變量；積分學(xué)研究函數(shù)在某一個(gè)范圍內(nèi)（整體）的“宏觀”改變量.將函數(shù)在一個(gè)范圍內(nèi)的宏觀改變量“細(xì)分”為每一點(diǎn)的微小改變量，這就是微分；反之，將函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)每一點(diǎn)的微觀改變量“累加”，成為這個(gè)函數(shù)在此范圍內(nèi)的總體改變量，這便是積分.7微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)8第0章預(yù)備知識(shí)首先，在這一章中要回顧在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要的歸納總結(jié)，并將主要結(jié)果列出，以便于今后的使用.它們都是學(xué)習(xí)微積分課程所需的基本知識(shí)，因此要求對(duì)其熟練掌握.這些內(nèi)容有：其次，除了以上這些大家比較熟悉的內(nèi)容外，還將簡(jiǎn)單介紹一些在中學(xué)沒(méi)有詳細(xì)學(xué)習(xí)過(guò)（尤其是文科）的知識(shí)模塊，便于今后相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，這些內(nèi)容包括：（1）實(shí)數(shù)集合的表示方法；（2）不等式及其性質(zhì)；（3）本教材中常用的數(shù)集和邏輯符號(hào)；（4）常用公式集.（1）行列式；（2）極坐標(biāo)；（3）復(fù)數(shù).9第0章預(yù)備知識(shí)０.１集合０.２實(shí)數(shù)集０.３實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與不等式０.４常用公式與符號(hào)集０.７復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介０.６極坐標(biāo)簡(jiǎn)介０.５行列式簡(jiǎn)介10§０.１集合集合也簡(jiǎn)稱集，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)性概念，在數(shù)學(xué)中具有很重要的地位，發(fā)揮著重要的作用.定義0.1具有某種屬性的事物或?qū)ο蟮娜w稱為集合（Set）.集合中的事物或?qū)ο蠓Q為元素（Element）.通常用大寫的字母A，B，C，X，Y等表示集合，而用小寫字母a，b，c，x，y…或數(shù)字1，2，3…或其他有確定含義的字符來(lái)表示集合的元素.如果a是集合A的一個(gè)元素，則稱a屬于A，或說(shuō)元素a在集合A中，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，則稱a不屬于A，或說(shuō)元素a不在集合A中，記作aA（或）.元素a對(duì)集合A的隸屬關(guān)系是明確的，即a或者屬于A，或者不屬于A，二者必居其一.11§０.１集合請(qǐng)記住以下幾個(gè)與集合相關(guān)的概念.12§０.１集合二、集合的表示方法（1）列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用大括號(hào)“{}”括起來(lái).（2）描述法：用以下形式表示集合A（3）圖示法：用曲線圍成的封閉區(qū)域（圓、橢圓、矩形等）表示集合及相互間的關(guān)系.常用的是維恩圖（也稱文氏圖）（VennGraph）和歐拉圖（EulerGraph）.13§０.１集合三、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算有“并”，“交”，“補(bǔ)”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的并運(yùn)算有下列性質(zhì).14§０.１集合三、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算有“并”，“交”，“補(bǔ)”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的交運(yùn)算有下列性質(zhì).15§０.１集合三、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算有“并”，“交”，“補(bǔ)”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的補(bǔ)運(yùn)算有下列性質(zhì).16316§０.１集合三、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算有“并”，“交”，“補(bǔ)”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的差運(yùn)算有下列性質(zhì).關(guān)于差集，有的教材中采用A＼B來(lái)表示，請(qǐng)?jiān)陂喿x時(shí)注意書(shū)中的說(shuō)明.本書(shū)采用A-B來(lái)表示差集17§０.１集合三、集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算有“并”，“交”，“補(bǔ)”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.舉例18§０.１集合四、集合的混合運(yùn)算律集合的交、并除了各自符合交換律、結(jié)合律等運(yùn)算律外，集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算還符合下列運(yùn)算律：差與笛卡爾乘積的運(yùn)算不符合交換律、結(jié)合律.19§0.2實(shí)數(shù)集一、實(shí)數(shù)的表示以下是幾個(gè)常用數(shù)集的表示符號(hào)，以后可以直接使用.自然數(shù)集(SetofNaturalNumbers)，記為N，N={0，1，2，3，…}；正整數(shù)集(SetofPositiveIntegers)，記為N+（或Z+），N+={1，2，3，…}；整數(shù)集(SetofIntegers)，記為Z，Z={0，±1，±2，±3，…}；有理數(shù)集(SetofRationalNumbers)，記為Q，,q互質(zhì)且q≠0}；實(shí)數(shù)集(SetofRealNumbers)，記為R，R={x|－∞≤x≤+∞}；平面點(diǎn)集(SetofPointsInPlane)，記為R×R（或R2），R×R={(x,y)|－∞≤x≤+∞，－∞≤y≤+∞}；復(fù)數(shù)集(SetofComplexNumbers)，記為C，C={x+yi|x∈R,y∈R}.實(shí)數(shù)包含有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)又包含整數(shù)和分?jǐn)?shù).實(shí)際上，最大的數(shù)系統(tǒng)是復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)只是復(fù)數(shù)系統(tǒng)中的一部分（見(jiàn)本章§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介）20§0.2實(shí)數(shù)集一、實(shí)數(shù)的表示數(shù)集之間的包含關(guān)系21§0.2實(shí)數(shù)集一、實(shí)數(shù)的表示實(shí)數(shù)可以用一個(gè)一維坐標(biāo)系統(tǒng)表示.“一維坐標(biāo)系（One-dimensionCoordinatesSystem）”這一名稱用的較少，通常稱之為“數(shù)軸”一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和長(zhǎng)度單位的直線稱為數(shù)軸.這樣每一個(gè)實(shí)數(shù)便與數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)和它在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不加區(qū)別，所以，說(shuō)實(shí)數(shù)a，與說(shuō)數(shù)軸上的點(diǎn)a沒(méi)有區(qū)別，表示相同含義.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也稱為實(shí)數(shù)a的坐標(biāo).22§0.2實(shí)數(shù)集二、區(qū)間23§0.2實(shí)數(shù)集二、區(qū)間各種區(qū)間所表示的實(shí)數(shù)范圍24§0.2實(shí)數(shù)集二、區(qū)間以上區(qū)間的右端點(diǎn)b與左端點(diǎn)a的差b－a，稱為區(qū)間的長(zhǎng)度（LengthofInterval）.長(zhǎng)度有限的區(qū)間稱為有限區(qū)間(FiniteInterval).在這里要注意有限區(qū)間不是含有有限個(gè)實(shí)數(shù)的意思.下列幾種長(zhǎng)度無(wú)限的區(qū)間，稱為無(wú)限區(qū)間(InfiniteInterval).事實(shí)上，(－∞,+∞)=R這些區(qū)間的示意圖，由同學(xué)們參照?qǐng)D0-2自己畫出所有的區(qū)間實(shí)質(zhì)上都是集合，因此它們都可以用集合的各種運(yùn)算符進(jìn)行運(yùn)算.25§0.2實(shí)數(shù)集二、區(qū)間有兩個(gè)區(qū)間(－1,3］和(2,20］，則(－1,3］∪(2,20］=(－1,20］；(－1,3］∩(2,20］=(2,3］；(－1,3］－(2,20］=(－1,2］；(－1,3］×(2,20］={(x,y)|－1<x≤3,2<y≤20}例

126§0.2實(shí)數(shù)集三、鄰域鄰域（Neighborhood）也用來(lái)表示一個(gè)實(shí)數(shù)集合27§0.2實(shí)數(shù)集三、鄰域

從定義看，鄰域就是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，為什么不直接用開(kāi)區(qū)間，而要定義鄰域、設(shè)置專用符號(hào)呢？這主要是考慮到方便今后的應(yīng)用，才提出的這個(gè)概念.今后的應(yīng)用中，若在一個(gè)整體范圍內(nèi)討論問(wèn)題時(shí)，就用區(qū)間；若在某一點(diǎn)處討論問(wèn)題，但不可避免地涉及到以這點(diǎn)為中心的附近的點(diǎn)，而且對(duì)該點(diǎn)附近的范圍可大可小并無(wú)固定要求時(shí)，多用鄰域.28§0.2實(shí)數(shù)集三、鄰域x0點(diǎn)的任意一個(gè)鄰域：U(x0)，如果在使用時(shí)對(duì)鄰域半徑?jīng)]有要求時(shí)可以這樣表示；x0點(diǎn)的任意一個(gè)空心鄰域：U(x0)；正無(wú)窮遠(yuǎn)處的左鄰域：U－(+∞)，表示+∞遠(yuǎn)處左側(cè)的任意一個(gè)開(kāi)區(qū)間.即U－(+∞)=(M,+∞)，M為一很大的正數(shù)；負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)處的右鄰域：U+(－∞)，表示－∞遠(yuǎn)處右側(cè)的任意一個(gè)開(kāi)區(qū)間.即U+(－∞)=(－∞,－M)，M為一很大的正數(shù)；無(wú)窮遠(yuǎn)處的鄰域：U(∞)，表示+∞和－∞附近的開(kāi)區(qū)間.即U(∞)=(－∞,－M)∪(M,+∞)，M為一很大的正數(shù).o29§0.3實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與不等式一、絕對(duì)值由絕對(duì)值的定義可以看出，它的幾何意義是：|a|表示點(diǎn)a與原點(diǎn)O的距離.進(jìn)一步，設(shè)a和b為兩個(gè)實(shí)數(shù)，由絕對(duì)值的定義可知它的幾何意義是：|a－b|表示點(diǎn)a與點(diǎn)b之間的距離.30§0.3實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與不等式一、絕對(duì)值|a|與|a－b|的幾何意義如圖31§0.3實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與不等式二、不等式32§0.4常用公式與符號(hào)集一、基礎(chǔ)公式1.對(duì)數(shù)恒等式33§0.4常用公式與符號(hào)集一、基礎(chǔ)公式2.因式分解對(duì)任意正整數(shù)n都有

an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)；若將上式中的b換為－b，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有

an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)；則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有

an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1).34§0.4常用公式與符號(hào)集一、基礎(chǔ)公式3.數(shù)列35§0.4常用公式與符號(hào)集一、基礎(chǔ)公式4.求和36§0.4常用公式與符號(hào)集一、基礎(chǔ)公式5.排列與組合37§0.4常用公式與符號(hào)集二、三角公式1.基本關(guān)系38§0.4常用公式與符號(hào)集二、三角公式2.兩角和（差）39§0.4常用公式與符號(hào)集二、三角公式3.倍角與半角40§0.4常用公式與符號(hào)集二、三角公式4.積化和差以兩角和與差的公式為基礎(chǔ)（兩式相加或相減），可得以下積化和差公式.41§0.4常用公式與符號(hào)集二、三角公式5.和差化積42§0.4常用公式與符號(hào)集三、常用符號(hào)43§0.5行列式簡(jiǎn)介一、行列式的定義定義0.14將4（22）個(gè)實(shí)數(shù)分別排成兩行兩列，再在兩側(cè)加上兩條豎線所得到的式子為一個(gè)二階行列式(SecondOrderDeterminant).44§0.5行列式簡(jiǎn)介一、行列式的定義這個(gè)“式子”與平時(shí)所熟知的“式子”在形式上有很大不同.既然是式子，那么它代表的是什么樣的算術(shù)表達(dá)式呢定義如下.45§0.5行列式簡(jiǎn)介一、行列式的定義46§0.5行列式簡(jiǎn)介一、行列式的定義定義0.15將9（32）個(gè)實(shí)數(shù)分別排成三行三列，再在兩側(cè)加上兩條豎線所得到的式子稱為一個(gè)三階行列式(ThirdOrderDeterminant).47§0.5行列式簡(jiǎn)介一、行列式的定義三階行列式展開(kāi)項(xiàng)正負(fù)示意圖48§0.5行列式簡(jiǎn)介二、行列式的簡(jiǎn)單性質(zhì)以下內(nèi)容僅作參考、了解.下列性質(zhì)是任意階行列式都具有的，這里不加證明，只用二階行列式的實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.（1）行列互換，其值不變.即49§0.5行列式簡(jiǎn)介二、行列式的簡(jiǎn)單性質(zhì)（2）兩行（或列）互換，其值變號(hào).即（3）行列式中某一行（或列）有公因子時(shí)，公因子可提到行列式外，即（4）如果行列式的兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)相等，則其值為0；如果行列式的兩行（或列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則其值也為050§0.5行列式簡(jiǎn)介二、行列式的簡(jiǎn)單性質(zhì)（5）行列式的某一行（或列）各元素乘以一個(gè)常數(shù)后，加到另一行（或列），其值不變，即請(qǐng)自己舉出實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.51§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介一、極坐標(biāo)系此前，在平面上標(biāo)定一個(gè)點(diǎn)時(shí)，用的是平面直角坐標(biāo)系（RectangularCoordinatesSystem），也稱為二維坐標(biāo)系（Two-dimensionsCoordinatesSystem）或笛卡兒直角坐標(biāo)系.在這個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中，用一個(gè)二元有序數(shù)組(a,b)來(lái)標(biāo)定平面上的一個(gè)點(diǎn)A，其中a和b分別是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).另一個(gè)重要的表示平面上點(diǎn)的方法就是所謂的極坐標(biāo)系（PolarCoordinatesSystem）那么極坐標(biāo)系是什么樣子？如何表示平面上的點(diǎn)？與直角坐標(biāo)系相比有什么不同？有什么優(yōu)點(diǎn)？它怎樣表示函數(shù)？又怎樣表示函數(shù)的圖像？先看極坐標(biāo)系的建立.52§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介一、極坐標(biāo)系在平面上設(shè)一固定點(diǎn)O（稱為原點(diǎn)，或極點(diǎn)（Pole））從O點(diǎn)出發(fā)向右畫一條射線（稱為極軸（PoleAxis））.對(duì)于平面上任何異于O的點(diǎn)P，將O與P兩點(diǎn)間的距離稱為極徑（RadiusVector），記為r；將線段OP與極軸的夾角稱為極角（PoleAngle），記為θ.這時(shí)P點(diǎn)的位置可以用一個(gè)二元有序數(shù)組(r,θ)唯一地表示出來(lái).(r,θ)稱為點(diǎn)P的極坐標(biāo)（PolarCoordinates），記為(r,θ)或P(r,θ)53§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介一、極坐標(biāo)系為了使用方便，這里做一簡(jiǎn)單規(guī)定：極點(diǎn)處，r=0，除極點(diǎn)外，r>0；極軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)與極徑形成的夾角θ是正值，極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)與極徑形成的夾角θ為負(fù)值.具體使用時(shí)，正負(fù)均可，視方便而定54§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系將平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)按照“原點(diǎn)重合，x軸與極軸重合”的規(guī)則放置在一起，這樣平面上的一點(diǎn)P(x,y)也可用極坐標(biāo)P(r,θ)來(lái)表示.如圖所示55§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系顯然x，y與r，θ相互之間有如下關(guān)系.這說(shuō)明用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)來(lái)表示，反之亦然.利用坐標(biāo)變換，就可以使數(shù)學(xué)上一些本來(lái)很難解決、甚至無(wú)法解決的“疑難雜癥”“手到病除”，既簡(jiǎn)單又方便.這一點(diǎn)在今后學(xué)到相關(guān)的知識(shí)時(shí)便會(huì)有所體會(huì).56§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系在直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)間的距離公式為如圖所示57§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系利用坐標(biāo)變換公式（0.2）得到將它們代入（0.3）便得到（或用余弦定理也有相同結(jié)果）如圖所示58§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介三、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為什么要采用極坐標(biāo)系呢？它有什么優(yōu)越性嗎？此前都用直角坐標(biāo)系來(lái)繪制函數(shù)的圖形，同時(shí)也用含有x，y的方程來(lái)表示函數(shù).從現(xiàn)在起，來(lái)看看如何用極坐標(biāo)來(lái)表示函數(shù).59§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介三、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程60§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介三、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程圓在不同坐標(biāo)系下的方程61§0.6極坐標(biāo)簡(jiǎn)介三、直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程62§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介一、復(fù)數(shù)及相關(guān)概念虛部為0的數(shù)顯然是實(shí)數(shù)，可見(jiàn)，實(shí)數(shù)包含于復(fù)數(shù)之中.引入虛數(shù)后，我們便有=±i，于是對(duì)于實(shí)數(shù)a<0，也便有了意義.63§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介一、復(fù)數(shù)及相關(guān)概念64§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介二、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的表示從復(fù)數(shù)的定義可以看到，一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)二元數(shù)組(x,y)，即一個(gè)復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)(x,y)一一對(duì)應(yīng).所以，以橫軸（x軸）為實(shí)軸，長(zhǎng)度單位為實(shí)數(shù)單位“1”；以縱軸（y軸）為虛軸，長(zhǎng)度單位為虛數(shù)單位“i”而建立的平面，稱為復(fù)（數(shù)）平面，如圖010所示.可見(jiàn)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)實(shí)軸上的點(diǎn)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)虛軸上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外），在復(fù)平面上，“復(fù)數(shù)z”也稱“點(diǎn)z”.點(diǎn)z到原點(diǎn)的距離r稱為復(fù)數(shù)z的模（或絕對(duì)值），記作|z|.當(dāng)|z|≠0時(shí)，原點(diǎn)到z點(diǎn)的連線與正實(shí)軸所成的夾角θ稱為復(fù)數(shù)z的輻角.當(dāng)然，輻角不是唯一的，2kπ+θ,k∈Z都可以作為復(fù)數(shù)z的輻角.為了方便應(yīng)用，規(guī)定輻角的主值區(qū)間為(－π,π］，記作argz（但還是用θ表示輻角更方便，以下多用θ）.當(dāng)|z|=0時(shí)，輻角不確定.65§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以下內(nèi)容僅作參考、了解.66§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介二、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的表示67§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介二、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的表示2.復(fù)數(shù)的n（n為正整數(shù)）次方定義為：68§0.7復(fù)數(shù)簡(jiǎn)介二、復(fù)平面及復(fù)數(shù)的表示69微積分（一）主編謝小良劉春生

趙軍產(chǎn)71目錄上冊(cè)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應(yīng)用第0章預(yù)備知識(shí)第五章不定積分微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)72第一章函數(shù)73第一章函數(shù)函數(shù)是微積分學(xué)的主要研究對(duì)象.世界是變化的，世界上的一切事物也是變化的，事物的變化不是孤立的，變化著的事物之間是相互依賴、相互影響的，同時(shí)這些變化也是復(fù)雜的.而函數(shù)恰恰能夠且善于刻畫這些復(fù)雜的依賴關(guān)系.因此，將現(xiàn)實(shí)世界中的變量間的關(guān)系用函數(shù)表示出來(lái)，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行量化研究，進(jìn)而達(dá)到研究客觀事物的目的.因此可以認(rèn)為函數(shù)是從現(xiàn)實(shí)世界中的自然現(xiàn)象或相關(guān)事物間的相互依賴關(guān)系中抽象出來(lái)的量化（或數(shù)學(xué)）表示形式.在這一章將系統(tǒng)總結(jié)和回顧函數(shù)的概念、函數(shù)的一般性質(zhì)，介紹反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)等基本知識(shí)內(nèi)容，并使大家對(duì)這些知識(shí)的理解有進(jìn)一步提高.74第一章函數(shù)§1.1函數(shù)的概念§1.２函數(shù)的性質(zhì)§1.３反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)§1.４基本初等函數(shù)§1.７綜合與提高§1.６常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介§1.５初等函數(shù)75§1.1函數(shù)的概念在對(duì)自然現(xiàn)象或客觀事物的觀察研究中，常遇到各種不同的量，其中有的量在整個(gè)變化過(guò)程中保持不變，這樣的量稱為常量（Constant）；還有的量在事物的變化中不斷變化（從而可以取得不同的值），這樣的量稱為變量（Variable）.一、常量與變量例1已知一個(gè)物體從一定高度自由下落，其落下的高度H與下落的時(shí)間t的關(guān)系為其中的重力加速度g是一個(gè)不變的量，是常量；高度H隨時(shí)間t的變化而變化，因此高度和時(shí)間都是變量.76§1.1函數(shù)的概念在本書(shū)中，常用a，b，c，m，n，α，β等符號(hào)表示常量，常用x，y，z，u，v，t等符號(hào)來(lái)表示變量.這只不過(guò)是大家認(rèn)可的習(xí)慣用法，并不是絕對(duì)和不能改變的，當(dāng)然可以在對(duì)一個(gè)符號(hào)加以說(shuō)明的前提下，將其作為常量或變量來(lái)使用.一、常量與變量77§1.1函數(shù)的概念什么是函數(shù)？簡(jiǎn)要地說(shuō)，函數(shù)是變量間的一種單值對(duì)應(yīng)關(guān)系（或?qū)?yīng)法則）.具體有如下定義.二、函數(shù)的概念函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的基礎(chǔ)概念之一，因此要對(duì)它進(jìn)行深入的了解，熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí).主要包括以下幾個(gè)要點(diǎn)：78§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念函數(shù)相關(guān)的符號(hào)79§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的兩個(gè)要素定義域D與對(duì)應(yīng)規(guī)則f是一個(gè)函數(shù)的兩要素.也就是說(shuō)如果定義域D和對(duì)應(yīng)規(guī)則f確定了，這個(gè)函數(shù)就確定了.這同時(shí)也表明，觀察兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，只要觀察它們的定義域是否相同，對(duì)應(yīng)規(guī)則是否相同.若兩者都相同則是同一個(gè)函數(shù)，否則就不是同一個(gè)函數(shù).80§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的表示方法（1）公式法

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示自變量與因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.特

點(diǎn)：對(duì)應(yīng)規(guī)則明顯，函數(shù)值的計(jì)算方便，但不易看出其變化規(guī)律.（2）圖像法

用二維坐標(biāo)平面上的圖形表示自變量與因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.特

點(diǎn)：易于觀察函數(shù)的變化規(guī)律和變化趨勢(shì)，但對(duì)應(yīng)規(guī)則不明顯，且不易計(jì)算函數(shù)值.（3）表格法

用表格列出自變量與因變量的對(duì)應(yīng)數(shù)值.特

點(diǎn)：自變量與函數(shù)值對(duì)應(yīng)明顯，但不易知道對(duì)應(yīng)規(guī)則，且在理論上只能表示有限（但實(shí)際上只是少量）點(diǎn)的函數(shù)值.本書(shū)中常用的是公式法和圖像法，且二者結(jié)合使用，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ).81§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)定義域的確定原則函數(shù)定義域的確定是研究函數(shù)的一個(gè)前提，由數(shù)學(xué)表達(dá)式（公式法）表示的函數(shù)的定義域，稱為自然定義域（NaturalDomain），它的確定要綜合考慮以下原則：（1）分式的分母不為零；（2）使函數(shù)的數(shù)學(xué)計(jì)算在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；（3）滿足某些函數(shù)（如反三角函數(shù)）自身的特殊要求；（4）由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)一定的方式結(jié)合（如四則運(yùn)算）而成的函數(shù)的定義域?yàn)檫@幾個(gè)函數(shù)定義域的公共部分（交集）；（5）分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫沃凶宰兞咳≈捣秶目偤停ú⒓唬?）對(duì)于表述實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)，應(yīng)綜合考慮自然定義域和實(shí)際意義來(lái)確定函數(shù)的定義域.82§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)定義域的確定原則83§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運(yùn)算將自變量x的“值”（可能是數(shù)值，也可能是一個(gè)式子）代入函數(shù)表達(dá)式f(x)中出現(xiàn)x的地方進(jìn)行計(jì)算即可.84§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運(yùn)算85§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運(yùn)算86§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)有些函數(shù)在其定義域內(nèi)無(wú)法用一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式來(lái)表示，而是隨自變量的不同取值范圍而采用不同的表達(dá)式來(lái)表示，這種形式的函數(shù)稱為分段函數(shù)(PiecewiseFunction).這里要注意兩點(diǎn)：雖然分段函數(shù)用幾個(gè)式子表達(dá)，但它表示的是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù).

分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.87§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)88§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)89§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)90§1.1函數(shù)的概念四、隱函數(shù)常見(jiàn)的函數(shù)都是y=f(x)的形式，即y是由x的表達(dá)式來(lái)表示的.這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)(ExplicitFunction).如果將y=f(x)看作一個(gè)含有兩個(gè)變量的二元方程y－f(x)=0，那么，對(duì)任意的x，按照“使方程成立”這一規(guī)則，有唯一y與之對(duì)應(yīng)，因此這個(gè)方程就確定了一個(gè)函數(shù).這種由二元方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=f(x)稱為隱函數(shù)(ImplicitFunction).亦即“函數(shù)y=f(x)‘隱藏’在方程F(x,y)=0中”之意.91§1.1函數(shù)的概念四、隱函數(shù)關(guān)于隱函數(shù)要理解以下幾點(diǎn)：92§1.1函數(shù)的概念五、建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)舉例為了解決實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題，先要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)能用數(shù)學(xué)方法求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程叫做建立數(shù)學(xué)模型，也就是常說(shuō)的數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)模型的種類很多，如概率模型、微分方程模型、線性規(guī)劃模型等.在這里用的是一種最簡(jiǎn)單的模型，即函數(shù)關(guān)系模型，它是將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題表示為一個(gè)函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)的討論，進(jìn)一步解決實(shí)際問(wèn)題.93§1.1函數(shù)的概念五、建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)舉例例8某公司生產(chǎn)一種設(shè)備，每年的總產(chǎn)量為a臺(tái)，分成若干批生產(chǎn)，每一批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元.設(shè)產(chǎn)品均勻投放市場(chǎng)（即常年平均庫(kù)存量保持為每一批產(chǎn)量的一半），且?guī)齑尜M(fèi)用為c元/（年·臺(tái)）.試求一年中總費(fèi)用（庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的總和）與每一批的產(chǎn)量間的函數(shù)關(guān)系.在學(xué)習(xí)了函數(shù)的極值后（見(jiàn)第四章§4.3函數(shù)的極值），就可求出每一批的產(chǎn)量定為多少時(shí)，可使一年的總費(fèi)用最少.此時(shí)每一批的產(chǎn)量稱為最優(yōu)批量.94§1.1函數(shù)的概念五、建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)舉例例9有一家工廠A距一條鐵路的垂直距離為akm，其垂足B到一港口C的鐵路總長(zhǎng)為bkm，工廠的產(chǎn)品經(jīng)港口C轉(zhuǎn)往國(guó)外.已知汽車的運(yùn)費(fèi)是m元/（T·km），火車的運(yùn)費(fèi)是n元/（T·km）.為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，計(jì)劃在BC間選一點(diǎn)D作為轉(zhuǎn)運(yùn)站，這樣先將產(chǎn)品直線運(yùn)至D，再由火車運(yùn)往C港.這時(shí)運(yùn)費(fèi)的數(shù)量就與D的位置有關(guān)，如圖所示.試將每噸貨物的總運(yùn)費(fèi)表示為距離|BD|的函數(shù).95§1.1函數(shù)的概念五、建立應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)舉例例9有一家工廠A距一條鐵路的垂直距離為akm，其垂足B到一港口C的鐵路總長(zhǎng)為bkm，工廠的產(chǎn)品經(jīng)港口C轉(zhuǎn)往國(guó)外.已知汽車的運(yùn)費(fèi)是m元/（T·km），火車的運(yùn)費(fèi)是n元/（T·km）.為節(jié)省運(yùn)費(fèi)，計(jì)劃在BC間選一點(diǎn)D作為轉(zhuǎn)運(yùn)站，這樣先將產(chǎn)品直線運(yùn)至D，再由火車運(yùn)往C港.這時(shí)運(yùn)費(fèi)的數(shù)量就與D的位置有關(guān)，如圖所示.試將每噸貨物的總運(yùn)費(fèi)表示為距離|BD|的函數(shù).96§1.2函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的奇偶性可了解函數(shù)的圖形（關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸）的對(duì)稱性.定義1.3設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果(1)對(duì)任意的x∈D（此時(shí)必然－x∈D），都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)（EvenFunction）；（2）對(duì)任意的x∈D（此時(shí)必然－x∈D），都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)（OddFunction）.對(duì)于偶函數(shù)，因f(－x)=f(x)，所以如果任意一點(diǎn)P(x,f(x))在圖形上，則點(diǎn)P′(－x,f(x))也在圖形上，顯然P(x,f(x))與P′(－x,f(x))關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.

對(duì)于奇函數(shù)，因f(－x)=－f(x)，所以如果任意一點(diǎn)Q(x,f(x))在圖形上，則與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q′(－x,－f(x))也在圖形上.因此，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.97§1.2函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的奇偶性奇、偶函數(shù)的圖像特征如圖98§1.2函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的奇偶性例1

確定函數(shù)

的奇偶性.99§1.2函數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)的奇偶性【思考與討論】100§1.2函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性也稱為增減性.它研究的是當(dāng)自變量增加時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是增加還是減少的性質(zhì).定義1.4

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內(nèi)有定義.對(duì)區(qū)間I內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和x2，若當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)遞增，同時(shí)稱f(x)為增函數(shù)（IncreasedFunction）；當(dāng)x1<x2時(shí)，若有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)減少或單調(diào)遞減，同時(shí)稱f(x)為減函數(shù)（DecreasedFunction）.單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)(MonotoneFunction).使得函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間(MonotoneInterval).101§1.2函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的單調(diào)性注：

定義中的x1和x2是區(qū)間I內(nèi)的任意兩點(diǎn).

單調(diào)函數(shù)的圖像在單調(diào)（遞增、遞減）區(qū)間內(nèi)是單調(diào)（上升、下降）的.

有的函數(shù)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)增加的，也不是單調(diào)減少的，而在某個(gè)子區(qū)間上卻是單調(diào)的.如f(x)=x2便是如此.因此，討論一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)應(yīng)注明函數(shù)在什么區(qū)間上單調(diào)，是單調(diào)增加還是單調(diào)減少.在單調(diào)性的定義中，直接給出了一個(gè)判定函數(shù)單調(diào)性的方法，即：在函數(shù)的定義區(qū)間中任取兩點(diǎn)x1和x2，且假定x1<x2，進(jìn)一步計(jì)算并比較f(x1)和f(x2)的大小，再由定義，即可知函數(shù)的單調(diào)性.102§1.2函數(shù)的性質(zhì)二、函數(shù)的單調(diào)性103§1.2函數(shù)的性質(zhì)三、函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性刻畫的是自變量在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是否有限的性質(zhì).注：

定義中的x必須是區(qū)間I內(nèi)的所有點(diǎn).

有界函數(shù)的圖形一定處于兩條水平直線之間.104§1.2函數(shù)的性質(zhì)三、函數(shù)的有界性105§1.2函數(shù)的性質(zhì)三、函數(shù)的有界性關(guān)于函數(shù)的有界性還可采用下述定義：106§1.2函數(shù)的性質(zhì)三、函數(shù)的有界性綜合兩個(gè)定義，容易得到結(jié)論：一個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)有界的充分必要條件為該函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)既有下界，同時(shí)又有上界.請(qǐng)同學(xué)們利用相關(guān)的定義給予證明.107§1.2函數(shù)的性質(zhì)四、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性是考察隨自變量的不斷變化，函數(shù)出現(xiàn)規(guī)律性重復(fù)的性質(zhì)顯然，如果T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則按定義，對(duì)任何整數(shù)n，nT也是其周期.把所有周期中的最小者稱為最小正周期(MinimalPositivePeriod)，也簡(jiǎn)稱為函數(shù)的周期.108§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)函數(shù)的周期性是考察隨自變量的不斷變化，函數(shù)出現(xiàn)規(guī)律性重復(fù)的性質(zhì)關(guān)于反函數(shù)，應(yīng)明確以下幾個(gè)要點(diǎn)：109§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)110§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)但是，如果在應(yīng)用中強(qiáng)調(diào)“反函數(shù)的自變量就是直接函數(shù)的因變量，反函數(shù)的因變量就是直接函數(shù)的自變量”的相互對(duì)應(yīng)和等量關(guān)系時(shí)，一般不進(jìn)行變量符號(hào)的變化.111§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)112§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)

圖像特征反函數(shù)y=f－1(x)與直接函數(shù)y=f(x)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱，如圖1-4所示.113§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)114§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)115§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)在微積分學(xué)中有著非常重要的地位，也是一個(gè)較難理解的概念，下面對(duì)它進(jìn)行全方位的講解，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)和掌握其要點(diǎn).

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)函數(shù)y=f(u)的定義域Df與函數(shù)u=g(x)的值域Zg的交集不為

，是二者構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的必不可少的條件.否則所謂的“復(fù)合函數(shù)”的定義域?qū)榭占簿筒荒艹蔀椤昂瘮?shù)”，如圖1-5所示.116§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)與非復(fù)合函數(shù)的形象理解我們知道，函數(shù)y=f(x)是在對(duì)應(yīng)法則f下，一個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一的y.若將函數(shù)f形象地比作一個(gè)“加工機(jī)器”，則對(duì)于輸入的“原料”x，經(jīng)f“加工”，最終輸出“產(chǎn)品”y.而復(fù)合函數(shù)的這一“加工”過(guò)程則較復(fù)雜，首先輸入的“原料”x，經(jīng)第一道工序g“加工”成“半成品”u，再經(jīng)第二道工序f“加工”成“成品”y輸出，如圖1-6所示.117§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)的通俗理解函數(shù)的復(fù)合可通俗地理解為函數(shù)的嵌套，即函數(shù)套函數(shù).它的明顯特征是一個(gè)函數(shù)的“自變量”不是一個(gè)簡(jiǎn)單的自變量，而是另外一個(gè)函數(shù)，這樣兩個(gè)（或兩個(gè)以上的）簡(jiǎn)單函數(shù)就復(fù)合成一個(gè)較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù).118§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)

多層次復(fù)合上述復(fù)合函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的兩層復(fù)合，此外還有更多函數(shù)構(gòu)成的更多層次的復(fù)合，如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)三個(gè)函數(shù)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f{g[h(x)}，x是復(fù)合函數(shù)的自變量，u，v均為中間變量.119§1.3

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)的分解給定一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，能分析出它是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成，并能將這些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)中間變量表示出來(lái)，這是判別對(duì)復(fù)合函數(shù)掌握與否的一個(gè)重要標(biāo)志.這項(xiàng)技能對(duì)今后函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)（如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的積分等）都有非常重要的作用.120§1.4

基本初等函數(shù)以下六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).121§1.4

基本初等函數(shù)一、常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)（ConstantFunction）為

y=C.

對(duì)任意自變量x，函數(shù)值均為C；定義域?yàn)镈=R，值域Z={C}；它是偶函數(shù)；有界；是周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期；它單調(diào)不減且單調(diào)不增.圖形為一條與x軸平行的直線.如圖1-7所示.122§1.4

基本初等函數(shù)二、冪函數(shù)冪函數(shù)（PowerFunction）為

y=xa.其中參數(shù)a為實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的定義域和值域隨參數(shù)a的不同而不同，但不論a的取值如何，在x∈(0，∞)時(shí)，y=xa總有意義；圖形都過(guò)點(diǎn)(1，1).冪函數(shù)y=xa的性質(zhì)：當(dāng)a>0時(shí)，圖形都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)和(1，1)，在第一象限內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，圖形必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，在第一象限內(nèi)是減函數(shù).冪函數(shù)一般都是無(wú)界函數(shù)且不是周期函數(shù)，它的單調(diào)性、奇偶性也隨a的不同而有所不同.圖1-8為幾種常見(jiàn)的不同形式的冪函數(shù).123§1.4

基本初等函數(shù)二、冪函數(shù)幾種常見(jiàn)的不同形式的冪函數(shù)124§1.4

基本初等函數(shù)三、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunction）為

y=ax

（a>0，a≠1）；

y=expx=ex.其中，expx（或exp(x)）是指數(shù)函數(shù)ex的帶有專屬函數(shù)名的另一種表示形式（與sinx相似）.當(dāng)自變量為一個(gè)規(guī)模較大的表達(dá)式時(shí)，這種表示方法用起來(lái)較為方便.如125§1.4

基本初等函數(shù)三、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，即(－∞，+∞)，值域?yàn)?0，+∞)，它是無(wú)界函數(shù)，不是周期函數(shù)，且不具奇偶性；圖形都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，如圖1-9（A）所示；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，如圖1-9（B）所示.126§1.4

基本初等函數(shù)四、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)（LogarithmicFunction）為

y=logax

（a>0，a≠1）.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)镽，即(－∞，+∞)，它是無(wú)界函數(shù)，不是周期函數(shù)，且不具奇偶性；圖形都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，如圖1-10（A）所示；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少，如圖1-10（B）所示.127§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)三角函數(shù)（TrigonometricFunction）有如下幾組.1.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦(Sine)函數(shù)y=sinx與余弦(Cosine)函數(shù)y=cosx的定義域都是R，值域都是閉區(qū)間[－1，1]；它們都是有界的，且都是周期為2π的周期函數(shù)；正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，如圖1-11所示.128§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)2.正切函數(shù)與余切函數(shù)切(Tangent)函數(shù)y=tanx與余切(Cotangent)函數(shù)y=cotx的值域都是R，即(－∞，+∞)；都是無(wú)界的奇函數(shù)；都是以π為周期的周期函數(shù).

它們的不同點(diǎn)：正切函數(shù)y=tanx的定義域?yàn)橛嗲泻瘮?shù)y=cotx的定義域?yàn)镈={x|x≠kπ，k∈Z}.D={x|x≠kπ+

，k∈Z}；129§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)二者的圖形如圖1-12所示130§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)3.正割函數(shù)與余割函數(shù)它們的共同點(diǎn)：值域都是（-∞，-1］∪［1，+∞）；都是無(wú)界函數(shù)；都是以2π為周期的周期函數(shù).它們的不同點(diǎn)：正割函數(shù)y=secx是偶函數(shù)，其定義域?yàn)橛喔詈瘮?shù)y=cscx為奇函數(shù)，其定義域?yàn)?31§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)二者的圖形如圖1-13所示.132§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)反三角函數(shù)（InverseTrigonometricFunction）主要包括反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切函數(shù)y=arctanx、反余切函數(shù)y=arccotx.它們分別是正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx、余切函數(shù)y=cotx的反函數(shù).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義及它們的圖形可以知道，它們的反函數(shù)是一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)多個(gè)因變量，因此不是我們所講的單值函數(shù).為此我們?nèi)∪呛瘮?shù)的定義域的一部分，稱為主值區(qū)間，使其在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)，因而存在反函數(shù).具體約定如下：133§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)這樣，它們對(duì)應(yīng)的反函數(shù)就定義為：134§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)按上述反三角函數(shù)的定義，它們都是有界函數(shù)，都是單調(diào)函數(shù)，y=arcsinx和y=arctanx是奇函數(shù)，如圖1-14、圖1-15所示.135§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)按上述反三角函數(shù)的定義，它們都是有界函數(shù)，都是單調(diào)函數(shù)，y=arcsinx和y=arctanx是奇函數(shù)，如圖1-14、圖1-15所示.136§1.5

初等函數(shù)初等函數(shù)是微積分（高等數(shù)學(xué)）的主要研究對(duì)象.定義1.11

基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和（或）有限次的復(fù)合而得到的且可由一個(gè)表達(dá)式統(tǒng)一表示的所有函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)（ElementaryFunction）.按照上述定義，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).但由于分段函數(shù)在其定義域內(nèi)的各個(gè)子區(qū)間上都是由初等函數(shù)表示的，所以研究分段函數(shù)時(shí)仍可使用一般初等函數(shù)的研究方法.137§1.5

初等函數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)138§1.5

初等函數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)n（n≥1）次多項(xiàng)式函數(shù)的一個(gè)共同特征，就是當(dāng)x沿正方向或負(fù)方向無(wú)限增大（x→+∞或x→－∞）時(shí)，函數(shù)值f(x)也無(wú)限增大（|f(x)|→∞）.特別地，一次多項(xiàng)式函數(shù)，即

f(x)=ax+b，簡(jiǎn)稱為一次函數(shù)（OneDegreeFunction）.它是一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的函數(shù)，又由于它的圖形是一條直線，故常稱之為線性函數(shù)(LinearFunction).139§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)140§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)關(guān)于有理函數(shù)，要注意和掌握以下要點(diǎn)：141§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)形如F(x)=[f(x)]g(x)的函數(shù)稱為冪指函數(shù)(Power-exponentialFunction).其中f(x)和g(x)都是初等函數(shù).它是由一個(gè)初等函數(shù)為底（為保證函數(shù)有意義，設(shè)f(x)>0），另一個(gè)初等函數(shù)為指數(shù)構(gòu)成的.從這個(gè)形式上看，它不符合初等函數(shù)的定義，但如果使用對(duì)數(shù)恒等式對(duì)它進(jìn)行一下恒等變形，便可看出它是初等函數(shù).142§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)“需求量”是指在特定的價(jià)格基礎(chǔ)上，消費(fèi)者有能力購(gòu)買的商品的數(shù)量.消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求是由多方面因素決定的，在這里我們假設(shè)其他因素不變，只考慮產(chǎn)品價(jià)格對(duì)需求量的影響，因此消費(fèi)者對(duì)某產(chǎn)品的需求量便可表示為產(chǎn)品價(jià)格的函數(shù).設(shè)P為商品價(jià)格，是自變量，Q表示需求量，是因變量，則函數(shù)

Q=Q(P),DQ=［0，+∞)稱為需求函數(shù).事實(shí)上，商品價(jià)格低，需求量就大，反之商品價(jià)格高，需求量就小，因此需求函數(shù)一般都是關(guān)于價(jià)格P的單調(diào)減少函數(shù).143§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)常見(jiàn)的需求函數(shù)的形式有如下幾種：（1）線性函數(shù)Q=b－aP,a,b>0；（2）指數(shù)函數(shù)Q=ae－bP,a,b>0；（3）冪函數(shù)Q=aP－b,a,b>0,P≠0.對(duì)于線性函數(shù)Q=b－aP，Q=b為價(jià)格P=0時(shí)的最大需求量，而價(jià)格增加到P=

時(shí)，需求量將為0.對(duì)于指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)兩種需求函數(shù)都是隨價(jià)格的無(wú)限增加，需求量逐漸趨近于0.另外，需求函數(shù)Q=Q(P)的反函數(shù)P=Q－1(Q)或記作P=P(Q)稱為價(jià)格函數(shù).需求函數(shù)Q=Q(P)表示商品的價(jià)格相對(duì)穩(wěn)定在某個(gè)值時(shí)的需求量，而價(jià)格函數(shù)P=P(Q)則表示需求量相對(duì)穩(wěn)定在某個(gè)值時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格.二者互為反函數(shù).144§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)2.供給函數(shù)“供給量”是指在一定的價(jià)格基礎(chǔ)上，生產(chǎn)者愿意提供的商品數(shù)量.

與需求量的討論類似，生產(chǎn)者對(duì)某種商品的生產(chǎn)供給也是由多方面因素決定的，在這里我們也略去其他因素，只討論產(chǎn)品價(jià)格對(duì)供給量的影響.設(shè)P為商品價(jià)格，是自變量，Qs表示供給量，是因變量，則函數(shù)

Qs=Qs(P),DQs=［0，+∞)稱為供給函數(shù).

一般說(shuō)來(lái)，商品價(jià)格低，生產(chǎn)者不愿意生產(chǎn)，供給量就小，反之商品價(jià)格高，供給量就大，因此供給函數(shù)一般都是關(guān)于價(jià)格P的單調(diào)增加函數(shù).145§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)2.供給函數(shù)常見(jiàn)的供給函數(shù)有如下幾種形式：

（1）線性函數(shù)

Qs=cP－d,c,d>0；

（2）指數(shù)函數(shù)

Qs=cedP,c,d>0；

（3）冪函數(shù)

Qs=cPd,c,d>0.Qs146§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)3.均衡價(jià)格某一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格，稱為均衡價(jià)格.假設(shè)均衡價(jià)格為P0，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格P高于P0時(shí)，供給量增加而需求量減少；反之，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格P低于P0時(shí)，供給量減少而需求量增加.市場(chǎng)價(jià)格的調(diào)節(jié)作用就是這樣來(lái)實(shí)現(xiàn)的.【思考與討論】試按照?qǐng)D1-17所示來(lái)分析市場(chǎng)價(jià)格P高于或低于均衡價(jià)格P0時(shí)，供給量Qs和需求量Q的變化，進(jìn)而將會(huì)帶動(dòng)價(jià)格進(jìn)行怎樣的變化.147§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)3.均衡價(jià)格148§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介二、成本、收入、利潤(rùn)函數(shù)所有經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的最終目的都是要追求經(jīng)濟(jì)利益，人們無(wú)論在生產(chǎn)或在銷售等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，總希望能降低成本，增加收入和利潤(rùn).因此成本（C）、收入（R）和利潤(rùn)（L）這些經(jīng)濟(jì)量的變化就引起了人們的關(guān)注，而這些量都與產(chǎn)品的生產(chǎn)量或銷售量（x）有密切的關(guān)系.為了能從數(shù)量上表示它們之間的關(guān)系，可采用數(shù)學(xué)的方法，將成本、收入和利潤(rùn)看作產(chǎn)量或銷量的函數(shù)，分別稱為成本函數(shù)（記為C(x)）、收入函數(shù)（記為R(x)）、利潤(rùn)函數(shù)（記為L(zhǎng)(x)）.對(duì)這些函數(shù)的量化研究可以知道什么時(shí)候成本最低，什么時(shí)候利潤(rùn)最大，做出什么樣的決策可使利潤(rùn)增加等，同時(shí)也可避免做出錯(cuò)誤的決策.149§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介二、成本、收入、利潤(rùn)函數(shù)1.成本函數(shù)成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的某種產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源的費(fèi)用總額.成本由固定成本C0和可變成本C1兩部分組成，因此成本也常稱作總成本.固定成本是與產(chǎn)量x無(wú)關(guān)的費(fèi)用，如設(shè)備維護(hù)維修、企業(yè)管理等費(fèi)用，可變成本包含勞動(dòng)力、原材料、電力等費(fèi)用，因此可變成本隨產(chǎn)量的增加而增加.通過(guò)上述分析，（總）成本函數(shù)C(x)是產(chǎn)量x的單調(diào)增加函數(shù).其一般形式為

C=C(x)=C0+C1(x).150§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介二、成本、收入、利潤(rùn)函數(shù)2.收入函數(shù)收入也稱收益，是指生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品時(shí)所得到的全部資金數(shù)量.收入函數(shù)的表達(dá)比較簡(jiǎn)單，若售出的產(chǎn)品數(shù)量為x，此時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格是P，則收入函數(shù)為

R=R(x)=P·x.事實(shí)上，提供到市場(chǎng)的產(chǎn)品數(shù)量要考慮需求量，而需求量又影響著價(jià)格，如果當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)需求函數(shù)為x=x(P)，則銷售價(jià)格可以由需求函數(shù)確定為P=P(x)，從而收入可表示為與銷量有關(guān)的函數(shù).當(dāng)然也可以表示為與價(jià)格有關(guān)的函數(shù).這里假設(shè)了一個(gè)理想市場(chǎng)狀態(tài)時(shí)的等量關(guān)系，即

需求量=生產(chǎn)量=銷售量.151§1.6

常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)簡(jiǎn)介二、成本、收入、利潤(rùn)函數(shù)3.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是指總收入減去總成本之后的純收入.顯然利潤(rùn)函數(shù)可表示為

L(x)=R(x)－C(x).例1

已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為x=50－5P，成本函數(shù)為C=50+2x，試將利潤(rùn)表示為產(chǎn)量x的函數(shù).解：由已知的需求函數(shù)可得此時(shí)的價(jià)格為則銷售總收入為于可得利潤(rùn)函數(shù)為152§1.7

綜合與提高本書(shū)每一章的最后都設(shè)置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內(nèi)容，不納入教學(xué)課時(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)擴(kuò)展知識(shí)之用.153§1.7

綜合與提高本書(shū)每一章的最后都設(shè)置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內(nèi)容，不納入教學(xué)課時(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)擴(kuò)展知識(shí)之用.154§1.7

綜合與提高本書(shū)每一章的最后都設(shè)置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內(nèi)容，不納入教學(xué)課時(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)擴(kuò)展知識(shí)之用.155§1.7

綜合與提高本書(shū)每一章的最后都設(shè)置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內(nèi)容，不納入教學(xué)課時(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)擴(kuò)展知識(shí)之用.156§1.7

綜合與提高本書(shū)每一章的最后都設(shè)置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內(nèi)容，不納入教學(xué)課時(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)擴(kuò)展知識(shí)之用.157微積分學(xué)教程（上冊(cè)）159目錄上冊(cè)第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應(yīng)用第0章預(yù)備知識(shí)第五章不定積分微積分學(xué)基本知識(shí)結(jié)構(gòu)160第二章極限與連續(xù)161第二章極限與連續(xù)極限思想的萌芽在中國(guó)古代很早就有記載，《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”含無(wú)限可分的思想.中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)提出：“割之彌細(xì)，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣.”這等同于現(xiàn)代微積分中的極限思想.極限論的發(fā)展跨越了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，在極限論的基礎(chǔ)上建立了微積分理論.許多基本概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等都是建立在極限基礎(chǔ)之上的.本章主要針對(duì)極限與連續(xù)的概念及計(jì)算進(jìn)行討論.首先討論一種特殊函數(shù)的極限——數(shù)列的極限.162第二章極限與連續(xù)§2.1數(shù)列的極限 §2.２函數(shù)的極限§2.３無(wú)窮小量與無(wú)窮大量§2.4極限運(yùn)算法則§2.8連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性§2.7函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)§2.6無(wú)窮小量的比較§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限§2.10綜合與提高§2.9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)163§2.1數(shù)列的極限 1數(shù)列的概念一、數(shù)列極限的概念例如，下面的(1)至(6)都是數(shù)列的例子.164§2.1數(shù)列的極限 對(duì)數(shù)列可作如下理解：一、數(shù)列極限的概念

數(shù)列就是按一定順序排列的一列數(shù).

數(shù)列{xn}可看作自變量離散地取正整數(shù)n的函數(shù)xn=f(n)，它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3,…等一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列{xn}，故數(shù)列也可記作{f(n)}.

作為特殊函數(shù)，它的圖形是平面上一些離散的點(diǎn).如果將數(shù)列{xn}在坐標(biāo)平面上描出點(diǎn)的位置，能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢(shì)呢？165§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念166§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念167§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念從上面的分析可知，數(shù)列{xn}隨n的無(wú)限增大而呈現(xiàn)三種趨勢(shì)：（1）{xn}無(wú)限接近常數(shù)A；（2）{xn}無(wú)限增大（－∞或+∞）；（3）{xn}的值交替或振蕩變化，無(wú)確定的變化趨勢(shì).對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，最重要的是研究其在變化過(guò)程中無(wú)限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說(shuō)的數(shù)列的極限問(wèn)題.168§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念169§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念170§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念定義2.2設(shè){xn}為一數(shù)列，A為常數(shù).若對(duì)任意的ε>0（不論多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，|xn－A|<ε恒成立，則稱常數(shù)A為數(shù)列{xn}的極限（LimitofNumberSequence），同時(shí)稱數(shù)列{xn}收斂（Convergence）于A，記為

lim

xn=A，

或xn→A（n→∞）.

否則，稱數(shù)列發(fā)散（Divergence）.n→∞171§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念關(guān)于數(shù)列極限的定義需要注意以下幾點(diǎn)：

ε是衡量xn與A的接近程度的，它可以任意小.然而，盡管ε具有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為確定.（另外，ε具有任意性，那么,2ε,ε2等也具有任意性，它們也可代替ε）.

N是依賴于ε的，是ε的函數(shù)，隨ε的變小而變大.在解題中，N等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|xn－A|<ε就行了，而不必求最小的N.

有時(shí)找N比較困難，這時(shí)可把|xn－A|適當(dāng)?shù)刈冃?、放大，若放大后小于ε，那么必有|xn－A|<ε.

若limxn=A，則對(duì)于以A為中心，任意小的正數(shù)ε為半徑的鄰域(A－ε,A+ε)，至多有N個(gè)點(diǎn)x1,x2,…,xN落在該鄰域之外，其他的所有點(diǎn)xn都落在該鄰域之內(nèi)，如圖2－5所示.n→∞172§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的幾何意義173§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念174§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念175§2.1數(shù)列的極限 二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理2.1（極限的唯一性）若數(shù)列{xn}有極限，則極限值唯一.176§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念177§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念定理2.2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界.根據(jù)上述定理，如果數(shù)列{xn}無(wú)界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散.但是，如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂.例如，數(shù)列1，－1，…，(－1)n+1，…有界，但［例4］證明了這數(shù)列是發(fā)散的.所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.178§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念定理2.2（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果limxn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，都有xn>0（或xn<0）n→∞179§2.2函數(shù)的極限上節(jié)討論了特殊函數(shù)——數(shù)列的極限.而實(shí)踐中更關(guān)心的是一般函數(shù)的變化趨勢(shì)，由于函數(shù)的變化趨勢(shì)依賴于自變量的變化過(guò)程，因此關(guān)于函數(shù)極限主要討論以下兩種情形：（1）自變量x的絕對(duì)值|x|無(wú)限增大，即趨向于無(wú)窮大（記作x→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì).（2）自變量x無(wú)限趨向于有限值x0（記作x→x0）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì).180§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無(wú)窮大（x→∞）時(shí)函數(shù)的極限觀察函數(shù)f(x)=當(dāng)x→∞時(shí)的變化趨勢(shì)，如圖2-6所示，易見(jiàn)，當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，f(x)無(wú)限接近于零，即當(dāng)x→∞時(shí)，|f(x)－0|無(wú)限小.可仿照數(shù)列極限的定義給出函數(shù)極限的定義.181§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無(wú)窮大（x→∞）時(shí)函數(shù)的極限定義2.3設(shè)函數(shù)f(x)在∞的某個(gè)鄰域U(∞)內(nèi)有定義，A是常數(shù).如果對(duì)于任意給定的ε>0（無(wú)論它多么?。偞嬖谥龜?shù)X，使得當(dāng)|x|>X時(shí)，有|f(x)－A|<ε成立，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限(LimitofaFunction)，記作limf(x)=A或f(x)→A(x→∞).n→∞（1）limf(x)=A的幾何意義是：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)X，只要變量x進(jìn)入?yún)^(qū)域(－∞,－X)∪(X,+∞)之內(nèi)，曲線f(x)上的相應(yīng)點(diǎn)(x,f(x))必落在兩水平直線y=A－ε與y=A+ε之間的帶形區(qū)域內(nèi)，如圖2-7所示.x→∞182§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無(wú)窮大（x→∞）時(shí)函數(shù)的極限183§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義（2）在上述極限定義中，x是同時(shí)向+∞和－∞兩個(gè)方向變化，但有時(shí)可能出現(xiàn)x只向+∞或－∞一個(gè)方向變化的情況，這就引出了x→－∞和x→+∞時(shí)的極限.如果x>0且無(wú)限增大（記作x→+∞），那么只要把上面定義中的|x|>X改為x>X，就可得limf(x)=A的定義.同樣，x<0而|x|無(wú)限增大（記作x→－∞），那么只要把|x|>X改為x<－X，便得limf(x)=A的定義.x→+∞x→－∞請(qǐng)同學(xué)們自己試著完整地寫出這兩個(gè)極限的數(shù)學(xué)定義.184§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無(wú)窮大（x→∞）時(shí)函數(shù)的極限定理2.4函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是極限及極限都存在并且都等于A，即

185§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1862自變量趨于有限值（x→x0）時(shí)函數(shù)的極限§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義187§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義定義2.4

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x－x0|<δ時(shí)，|f(x)－A|<ε恒成立，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作或

188§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義189§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義例3證明limc=c，此處c為一常數(shù).證明：這里|f(x)－A|=|c－c|=0，因此對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，可任取一正數(shù)δ，當(dāng)0<|x－x0|<δ時(shí)，能使不等式|f(x)－A|=|c－c|=0<ε成立.所以limc=c.□例4證明limx=x0.證明：這里|f(x)－A|=|x－x0|，因此對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總可取δ=ε，當(dāng)0<|x－x0|<δ=ε時(shí)，能使得不等式|f(x)－A|=|x－x0|<ε成立.所以limx=x0.□例5證明lim(2x－1)=1.證明：由于|f(x)－A|=|(2x－1)－1|=2|x－1|，為了使|f(x)－A|<ε，只要|x－1|<ε2.所以，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，可取δ=ε2，則當(dāng)0<|x－1|<δ時(shí)，

|f(x)－1|=|(2x－1)－1|<ε，從而lim(2x－1)=1.□x→x0x→x0x→x0x→x0x→1x→1190§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義191§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義192§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義定理2.5函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的左極限與右極限都存在并且相等，即證明略.■193§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義194§2.2函數(shù)的極限二、極限符號(hào)的使用約定195§2.2函數(shù)的極限二、極限符號(hào)的使用約定說(shuō)明196§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)利用函數(shù)極限的定義，可證明下列定理.197§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)利用函數(shù)極限的定義，可證明下列定理.198§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質(zhì)推論199§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量1無(wú)窮小量的概念定義2.5

在自變量的某一變化過(guò)程中，極限為零的變量稱為這一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量(InfiniteSimal).200§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量1無(wú)窮小量的概念無(wú)窮小量是一個(gè)非常重要的概念，要深入理解.關(guān)于它的定義需要注意以下幾點(diǎn)：

定義中的“變量”是指函數(shù)f(x)或數(shù)列{xn}.

定義中的“自變量的某一變化過(guò)程”是指以下七種變化趨向之一.

無(wú)窮小量是絕對(duì)值無(wú)限減小的一個(gè)變量，不能等同于一個(gè)很小的常數(shù)（如10－10000）.

一個(gè)變量是不是無(wú)窮小量，是和自變量的變化過(guò)程密切相關(guān)的，同一個(gè)函數(shù)在不同的變化過(guò)程中結(jié)論可能不同.

零函數(shù)（f(x)=0）是一個(gè)特殊（自變量可取任何變化過(guò)程）的無(wú)窮小量.而零數(shù)列（{0}）是n→∞時(shí)的無(wú)窮小量.

無(wú)窮小量的極限為0，因此，當(dāng)自變量取定一個(gè)變化過(guò)程時(shí)，便可以給出它的數(shù)學(xué)定義.請(qǐng)同學(xué)們自己寫一寫.201§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量2無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量；性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量；性質(zhì)3有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量.202§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量2無(wú)窮小量的性質(zhì)下面只證性質(zhì)3203§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量3無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系定理2.9在自變量x的某一變化過(guò)程中，函數(shù)極限存在且為A的充分必要條件是函數(shù)等于它的極限A與一個(gè)無(wú)窮小量α之和，即204§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量3無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系證明：對(duì)選取的情形進(jìn)行證明，其他類似.205§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量二、無(wú)窮大量3無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系206§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量二、無(wú)窮大量3無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系207§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量二、無(wú)窮大量3無(wú)窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系208§2.3無(wú)窮小量與無(wú)窮大量三、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系209§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則210§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則211§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則注意212§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則213§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則1.直接利用運(yùn)算法則214§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則2.消去公因子化簡(jiǎn)215§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則3.利用無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系216§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則4.分子、分母同時(shí)除以x的最高次冪217§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則4.分子、分母同時(shí)除以x的最高次冪218§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則5.利用分母有理化219§2.4極限運(yùn)算法則一、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則6.無(wú)窮項(xiàng)和的極限220§2.4極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則6.無(wú)窮項(xiàng)和的極限221§2.4極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則6.無(wú)窮項(xiàng)和的極限222§2.4極限運(yùn)算法則三、冪指函數(shù)的極限運(yùn)算法則6.無(wú)窮項(xiàng)和的極限223§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1夾逼準(zhǔn)則224§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1夾逼準(zhǔn)則225§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1夾逼準(zhǔn)則226§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則1夾逼準(zhǔn)則

使用夾逼準(zhǔn)則的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)或數(shù)列通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放縮，得到相應(yīng)的不等式.

縮放時(shí)要把握“抓大頭”的原則，即占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)的量不可縮放，其他相對(duì)較小的“零頭”可進(jìn)行增減.227§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則2單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.由極限的性質(zhì)知，收斂數(shù)列必定有界，有界數(shù)列不一定收斂.準(zhǔn)則Ⅱ表明，如果一個(gè)數(shù)列有界，而且單調(diào)，則必定收斂.228§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則2單調(diào)有界準(zhǔn)則229§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限230§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限231§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限232§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限233§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限234§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限235§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限236§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限237§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限238§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限239§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限注意：240§2.5極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限241§