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2目錄上冊第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應用第0章預備知識第五章不定積分微積分學基本知識結構3目錄上冊第八章級數(shù)第九章常微分方程第十章差分方程第七章多元函數(shù)微積分學

第六章定積分微積分學教程（上冊）5目錄上冊第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應用第0章預備知識第五章不定積分微積分學基本知識結構6微積分學基本知識結構微積分學（Calculus）是經典數(shù)學分析的主體內容.包含微分學與積分學兩大部分.微分學（DifferentialCalculus）的主要內容包括一元函數(shù)、多元函數(shù)的導數(shù)、高階導數(shù)、偏導數(shù)、微分、全微分的基本概念、運算法則及以此為基礎對函數(shù)進行研究的一系列方法.求函數(shù)的導數(shù)或微分的方法統(tǒng)稱為微分法（Differentiation）.積分學（IntegralCalculus）的主要內容包括一元函數(shù)的定積分、不定積分和多元函數(shù)的各種積分的概念、理論、計算，及以此為基礎對函數(shù)的數(shù)量變化進行研究的方法.求函數(shù)各種積分的方法統(tǒng)稱為積分法（Integration）.簡而言之，微積分學的目標是研究函數(shù)的改變量：微分學研究函數(shù)在某一點（局部）的“微觀”改變量；積分學研究函數(shù)在某一個范圍內（整體）的“宏觀”改變量.將函數(shù)在一個范圍內的宏觀改變量“細分”為每一點的微小改變量，這就是微分；反之，將函數(shù)在某個范圍內每一點的微觀改變量“累加”，成為這個函數(shù)在此范圍內的總體改變量，這便是積分.7微積分學基本知識結構8第0章預備知識首先，在這一章中要回顧在中學已經學過的基礎知識，對其進行簡要的歸納總結，并將主要結果列出，以便于今后的使用.它們都是學習微積分課程所需的基本知識，因此要求對其熟練掌握.這些內容有：其次，除了以上這些大家比較熟悉的內容外，還將簡單介紹一些在中學沒有詳細學習過（尤其是文科）的知識模塊，便于今后相關知識的學習，這些內容包括：（1）實數(shù)集合的表示方法；（2）不等式及其性質；（3）本教材中常用的數(shù)集和邏輯符號；（4）常用公式集.（1）行列式；（2）極坐標；（3）復數(shù).9第0章預備知識０.１集合０.２實數(shù)集０.３實數(shù)的絕對值與不等式０.４常用公式與符號集０.７復數(shù)簡介０.６極坐標簡介０.５行列式簡介10§０.１集合集合也簡稱集，是數(shù)學中的一個重要的基礎性概念，在數(shù)學中具有很重要的地位，發(fā)揮著重要的作用.定義0.1具有某種屬性的事物或對象的全體稱為集合（Set）.集合中的事物或對象稱為元素（Element）.通常用大寫的字母A，B，C，X，Y等表示集合，而用小寫字母a，b，c，x，y…或數(shù)字1，2，3…或其他有確定含義的字符來表示集合的元素.如果a是集合A的一個元素，則稱a屬于A，或說元素a在集合A中，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，則稱a不屬于A，或說元素a不在集合A中，記作aA（或）.元素a對集合A的隸屬關系是明確的，即a或者屬于A，或者不屬于A，二者必居其一.11§０.１集合請記住以下幾個與集合相關的概念.12§０.１集合二、集合的表示方法（1）列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用大括號“{}”括起來.（2）描述法：用以下形式表示集合A（3）圖示法：用曲線圍成的封閉區(qū)域（圓、橢圓、矩形等）表示集合及相互間的關系.常用的是維恩圖（也稱文氏圖）（VennGraph）和歐拉圖（EulerGraph）.13§０.１集合三、集合的運算集合的運算有“并”，“交”，“補”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的并運算有下列性質.14§０.１集合三、集合的運算集合的運算有“并”，“交”，“補”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的交運算有下列性質.15§０.１集合三、集合的運算集合的運算有“并”，“交”，“補”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的補運算有下列性質.16316§０.１集合三、集合的運算集合的運算有“并”，“交”，“補”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.集合的差運算有下列性質.關于差集，有的教材中采用A＼B來表示，請在閱讀時注意書中的說明.本書采用A-B來表示差集17§０.１集合三、集合的運算集合的運算有“并”，“交”，“補”，“差”，“乘積”，下面分別給出它們的定義.舉例18§０.１集合四、集合的混合運算律集合的交、并除了各自符合交換律、結合律等運算律外，集合的交、并、補的混合運算還符合下列運算律：差與笛卡爾乘積的運算不符合交換律、結合律.19§0.2實數(shù)集一、實數(shù)的表示以下是幾個常用數(shù)集的表示符號，以后可以直接使用.自然數(shù)集(SetofNaturalNumbers)，記為N，N={0，1，2，3，…}；正整數(shù)集(SetofPositiveIntegers)，記為N+（或Z+），N+={1，2，3，…}；整數(shù)集(SetofIntegers)，記為Z，Z={0，±1，±2，±3，…}；有理數(shù)集(SetofRationalNumbers)，記為Q，,q互質且q≠0}；實數(shù)集(SetofRealNumbers)，記為R，R={x|－∞≤x≤+∞}；平面點集(SetofPointsInPlane)，記為R×R（或R2），R×R={(x,y)|－∞≤x≤+∞，－∞≤y≤+∞}；復數(shù)集(SetofComplexNumbers)，記為C，C={x+yi|x∈R,y∈R}.實數(shù)包含有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)又包含整數(shù)和分數(shù).實際上，最大的數(shù)系統(tǒng)是復數(shù)，實數(shù)只是復數(shù)系統(tǒng)中的一部分（見本章§0.7復數(shù)簡介）20§0.2實數(shù)集一、實數(shù)的表示數(shù)集之間的包含關系21§0.2實數(shù)集一、實數(shù)的表示實數(shù)可以用一個一維坐標系統(tǒng)表示.“一維坐標系（One-dimensionCoordinatesSystem）”這一名稱用的較少，通常稱之為“數(shù)軸”一條規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線稱為數(shù)軸.這樣每一個實數(shù)便與數(shù)軸上的一個點建立了一一對應關系.因此在實際應用時，常常對一個實數(shù)和它在數(shù)軸上的對應點不加區(qū)別，所以，說實數(shù)a，與說數(shù)軸上的點a沒有區(qū)別，表示相同含義.實數(shù)a在數(shù)軸上對應的點也稱為實數(shù)a的坐標.22§0.2實數(shù)集二、區(qū)間23§0.2實數(shù)集二、區(qū)間各種區(qū)間所表示的實數(shù)范圍24§0.2實數(shù)集二、區(qū)間以上區(qū)間的右端點b與左端點a的差b－a，稱為區(qū)間的長度（LengthofInterval）.長度有限的區(qū)間稱為有限區(qū)間(FiniteInterval).在這里要注意有限區(qū)間不是含有有限個實數(shù)的意思.下列幾種長度無限的區(qū)間，稱為無限區(qū)間(InfiniteInterval).事實上，(－∞,+∞)=R這些區(qū)間的示意圖，由同學們參照圖0-2自己畫出所有的區(qū)間實質上都是集合，因此它們都可以用集合的各種運算符進行運算.25§0.2實數(shù)集二、區(qū)間有兩個區(qū)間(－1,3］和(2,20］，則(－1,3］∪(2,20］=(－1,20］；(－1,3］∩(2,20］=(2,3］；(－1,3］－(2,20］=(－1,2］；(－1,3］×(2,20］={(x,y)|－1<x≤3,2<y≤20}例

126§0.2實數(shù)集三、鄰域鄰域（Neighborhood）也用來表示一個實數(shù)集合27§0.2實數(shù)集三、鄰域

從定義看，鄰域就是一個開區(qū)間，為什么不直接用開區(qū)間，而要定義鄰域、設置專用符號呢？這主要是考慮到方便今后的應用，才提出的這個概念.今后的應用中，若在一個整體范圍內討論問題時，就用區(qū)間；若在某一點處討論問題，但不可避免地涉及到以這點為中心的附近的點，而且對該點附近的范圍可大可小并無固定要求時，多用鄰域.28§0.2實數(shù)集三、鄰域x0點的任意一個鄰域：U(x0)，如果在使用時對鄰域半徑沒有要求時可以這樣表示；x0點的任意一個空心鄰域：U(x0)；正無窮遠處的左鄰域：U－(+∞)，表示+∞遠處左側的任意一個開區(qū)間.即U－(+∞)=(M,+∞)，M為一很大的正數(shù)；負無窮遠處的右鄰域：U+(－∞)，表示－∞遠處右側的任意一個開區(qū)間.即U+(－∞)=(－∞,－M)，M為一很大的正數(shù)；無窮遠處的鄰域：U(∞)，表示+∞和－∞附近的開區(qū)間.即U(∞)=(－∞,－M)∪(M,+∞)，M為一很大的正數(shù).o29§0.3實數(shù)的絕對值與不等式一、絕對值由絕對值的定義可以看出，它的幾何意義是：|a|表示點a與原點O的距離.進一步，設a和b為兩個實數(shù)，由絕對值的定義可知它的幾何意義是：|a－b|表示點a與點b之間的距離.30§0.3實數(shù)的絕對值與不等式一、絕對值|a|與|a－b|的幾何意義如圖31§0.3實數(shù)的絕對值與不等式二、不等式32§0.4常用公式與符號集一、基礎公式1.對數(shù)恒等式33§0.4常用公式與符號集一、基礎公式2.因式分解對任意正整數(shù)n都有

an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)；若將上式中的b換為－b，則當n為奇數(shù)時有

an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)；則當n為偶數(shù)時有

an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1).34§0.4常用公式與符號集一、基礎公式3.數(shù)列35§0.4常用公式與符號集一、基礎公式4.求和36§0.4常用公式與符號集一、基礎公式5.排列與組合37§0.4常用公式與符號集二、三角公式1.基本關系38§0.4常用公式與符號集二、三角公式2.兩角和（差）39§0.4常用公式與符號集二、三角公式3.倍角與半角40§0.4常用公式與符號集二、三角公式4.積化和差以兩角和與差的公式為基礎（兩式相加或相減），可得以下積化和差公式.41§0.4常用公式與符號集二、三角公式5.和差化積42§0.4常用公式與符號集三、常用符號43§0.5行列式簡介一、行列式的定義定義0.14將4（22）個實數(shù)分別排成兩行兩列，再在兩側加上兩條豎線所得到的式子為一個二階行列式(SecondOrderDeterminant).44§0.5行列式簡介一、行列式的定義這個“式子”與平時所熟知的“式子”在形式上有很大不同.既然是式子，那么它代表的是什么樣的算術表達式呢定義如下.45§0.5行列式簡介一、行列式的定義46§0.5行列式簡介一、行列式的定義定義0.15將9（32）個實數(shù)分別排成三行三列，再在兩側加上兩條豎線所得到的式子稱為一個三階行列式(ThirdOrderDeterminant).47§0.5行列式簡介一、行列式的定義三階行列式展開項正負示意圖48§0.5行列式簡介二、行列式的簡單性質以下內容僅作參考、了解.下列性質是任意階行列式都具有的，這里不加證明，只用二階行列式的實例進行驗證.（1）行列互換，其值不變.即49§0.5行列式簡介二、行列式的簡單性質（2）兩行（或列）互換，其值變號.即（3）行列式中某一行（或列）有公因子時，公因子可提到行列式外，即（4）如果行列式的兩行（或列）元素對應相等，則其值為0；如果行列式的兩行（或列）元素對應成比例，則其值也為050§0.5行列式簡介二、行列式的簡單性質（5）行列式的某一行（或列）各元素乘以一個常數(shù)后，加到另一行（或列），其值不變，即請自己舉出實例進行驗證.51§0.6極坐標簡介一、極坐標系此前，在平面上標定一個點時，用的是平面直角坐標系（RectangularCoordinatesSystem），也稱為二維坐標系（Two-dimensionsCoordinatesSystem）或笛卡兒直角坐標系.在這個坐標系統(tǒng)中，用一個二元有序數(shù)組(a,b)來標定平面上的一個點A，其中a和b分別是點A的橫坐標和縱坐標.另一個重要的表示平面上點的方法就是所謂的極坐標系（PolarCoordinatesSystem）那么極坐標系是什么樣子？如何表示平面上的點？與直角坐標系相比有什么不同？有什么優(yōu)點？它怎樣表示函數(shù)？又怎樣表示函數(shù)的圖像？先看極坐標系的建立.52§0.6極坐標簡介一、極坐標系在平面上設一固定點O（稱為原點，或極點（Pole））從O點出發(fā)向右畫一條射線（稱為極軸（PoleAxis））.對于平面上任何異于O的點P，將O與P兩點間的距離稱為極徑（RadiusVector），記為r；將線段OP與極軸的夾角稱為極角（PoleAngle），記為θ.這時P點的位置可以用一個二元有序數(shù)組(r,θ)唯一地表示出來.(r,θ)稱為點P的極坐標（PolarCoordinates），記為(r,θ)或P(r,θ)53§0.6極坐標簡介一、極坐標系為了使用方便，這里做一簡單規(guī)定：極點處，r=0，除極點外，r>0；極軸逆時針轉動與極徑形成的夾角θ是正值，極軸順時針轉動與極徑形成的夾角θ為負值.具體使用時，正負均可，視方便而定54§0.6極坐標簡介二、極坐標與直角坐標的關系將平面直角坐標與極坐標按照“原點重合，x軸與極軸重合”的規(guī)則放置在一起，這樣平面上的一點P(x,y)也可用極坐標P(r,θ)來表示.如圖所示55§0.6極坐標簡介二、極坐標與直角坐標的關系顯然x，y與r，θ相互之間有如下關系.這說明用直角坐標表示的點，可以轉換成極坐標來表示，反之亦然.利用坐標變換，就可以使數(shù)學上一些本來很難解決、甚至無法解決的“疑難雜癥”“手到病除”，既簡單又方便.這一點在今后學到相關的知識時便會有所體會.56§0.6極坐標簡介二、極坐標與直角坐標的關系在直角坐標系中，兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)間的距離公式為如圖所示57§0.6極坐標簡介二、極坐標與直角坐標的關系利用坐標變換公式（0.2）得到將它們代入（0.3）便得到（或用余弦定理也有相同結果）如圖所示58§0.6極坐標簡介三、直角坐標方程轉化為極坐標方程為什么要采用極坐標系呢？它有什么優(yōu)越性嗎？此前都用直角坐標系來繪制函數(shù)的圖形，同時也用含有x，y的方程來表示函數(shù).從現(xiàn)在起，來看看如何用極坐標來表示函數(shù).59§0.6極坐標簡介三、直角坐標方程轉化為極坐標方程60§0.6極坐標簡介三、直角坐標方程轉化為極坐標方程圓在不同坐標系下的方程61§0.6極坐標簡介三、直角坐標方程轉化為極坐標方程62§0.7復數(shù)簡介一、復數(shù)及相關概念虛部為0的數(shù)顯然是實數(shù)，可見，實數(shù)包含于復數(shù)之中.引入虛數(shù)后，我們便有=±i，于是對于實數(shù)a<0，也便有了意義.63§0.7復數(shù)簡介一、復數(shù)及相關概念64§0.7復數(shù)簡介二、復平面及復數(shù)的表示從復數(shù)的定義可以看到，一個復數(shù)對應一個二元數(shù)組(x,y)，即一個復數(shù)與平面上的點(x,y)一一對應.所以，以橫軸（x軸）為實軸，長度單位為實數(shù)單位“1”；以縱軸（y軸）為虛軸，長度單位為虛數(shù)單位“i”而建立的平面，稱為復（數(shù)）平面，如圖010所示.可見實數(shù)對應實軸上的點，純虛數(shù)對應虛軸上的點（原點除外），在復平面上，“復數(shù)z”也稱“點z”.點z到原點的距離r稱為復數(shù)z的模（或絕對值），記作|z|.當|z|≠0時，原點到z點的連線與正實軸所成的夾角θ稱為復數(shù)z的輻角.當然，輻角不是唯一的，2kπ+θ,k∈Z都可以作為復數(shù)z的輻角.為了方便應用，規(guī)定輻角的主值區(qū)間為(－π,π］，記作argz（但還是用θ表示輻角更方便，以下多用θ）.當|z|=0時，輻角不確定.65§0.7復數(shù)簡介三、復數(shù)的運算以下內容僅作參考、了解.66§0.7復數(shù)簡介二、復平面及復數(shù)的表示67§0.7復數(shù)簡介二、復平面及復數(shù)的表示2.復數(shù)的n（n為正整數(shù)）次方定義為：68§0.7復數(shù)簡介二、復平面及復數(shù)的表示69微積分（一）主編謝小良劉春生

趙軍產71目錄上冊第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應用第0章預備知識第五章不定積分微積分學基本知識結構72第一章函數(shù)73第一章函數(shù)函數(shù)是微積分學的主要研究對象.世界是變化的，世界上的一切事物也是變化的，事物的變化不是孤立的，變化著的事物之間是相互依賴、相互影響的，同時這些變化也是復雜的.而函數(shù)恰恰能夠且善于刻畫這些復雜的依賴關系.因此，將現(xiàn)實世界中的變量間的關系用函數(shù)表示出來，再對函數(shù)進行量化研究，進而達到研究客觀事物的目的.因此可以認為函數(shù)是從現(xiàn)實世界中的自然現(xiàn)象或相關事物間的相互依賴關系中抽象出來的量化（或數(shù)學）表示形式.在這一章將系統(tǒng)總結和回顧函數(shù)的概念、函數(shù)的一般性質，介紹反函數(shù)與復合函數(shù)以及初等函數(shù)等基本知識內容，并使大家對這些知識的理解有進一步提高.74第一章函數(shù)§1.1函數(shù)的概念§1.２函數(shù)的性質§1.３反函數(shù)與復合函數(shù)§1.４基本初等函數(shù)§1.７綜合與提高§1.６常用經濟函數(shù)簡介§1.５初等函數(shù)75§1.1函數(shù)的概念在對自然現(xiàn)象或客觀事物的觀察研究中，常遇到各種不同的量，其中有的量在整個變化過程中保持不變，這樣的量稱為常量（Constant）；還有的量在事物的變化中不斷變化（從而可以取得不同的值），這樣的量稱為變量（Variable）.一、常量與變量例1已知一個物體從一定高度自由下落，其落下的高度H與下落的時間t的關系為其中的重力加速度g是一個不變的量，是常量；高度H隨時間t的變化而變化，因此高度和時間都是變量.76§1.1函數(shù)的概念在本書中，常用a，b，c，m，n，α，β等符號表示常量，常用x，y，z，u，v，t等符號來表示變量.這只不過是大家認可的習慣用法，并不是絕對和不能改變的，當然可以在對一個符號加以說明的前提下，將其作為常量或變量來使用.一、常量與變量77§1.1函數(shù)的概念什么是函數(shù)？簡要地說，函數(shù)是變量間的一種單值對應關系（或對應法則）.具體有如下定義.二、函數(shù)的概念函數(shù)是高等數(shù)學中非常重要的基礎概念之一，因此要對它進行深入的了解，熟練掌握相關的基礎知識.主要包括以下幾個要點：78§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念函數(shù)相關的符號79§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的兩個要素定義域D與對應規(guī)則f是一個函數(shù)的兩要素.也就是說如果定義域D和對應規(guī)則f確定了，這個函數(shù)就確定了.這同時也表明，觀察兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，只要觀察它們的定義域是否相同，對應規(guī)則是否相同.若兩者都相同則是同一個函數(shù)，否則就不是同一個函數(shù).80§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的表示方法（1）公式法

用數(shù)學表達式表示自變量與因變量的對應關系.特

點：對應規(guī)則明顯，函數(shù)值的計算方便，但不易看出其變化規(guī)律.（2）圖像法

用二維坐標平面上的圖形表示自變量與因變量的對應關系.特

點：易于觀察函數(shù)的變化規(guī)律和變化趨勢，但對應規(guī)則不明顯，且不易計算函數(shù)值.（3）表格法

用表格列出自變量與因變量的對應數(shù)值.特

點：自變量與函數(shù)值對應明顯，但不易知道對應規(guī)則，且在理論上只能表示有限（但實際上只是少量）點的函數(shù)值.本書中常用的是公式法和圖像法，且二者結合使用，優(yōu)勢互補.81§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)定義域的確定原則函數(shù)定義域的確定是研究函數(shù)的一個前提，由數(shù)學表達式（公式法）表示的函數(shù)的定義域，稱為自然定義域（NaturalDomain），它的確定要綜合考慮以下原則：（1）分式的分母不為零；（2）使函數(shù)的數(shù)學計算在實數(shù)范圍內有意義；（3）滿足某些函數(shù)（如反三角函數(shù)）自身的特殊要求；（4）由幾個函數(shù)經一定的方式結合（如四則運算）而成的函數(shù)的定義域為這幾個函數(shù)定義域的公共部分（交集）；（5）分段函數(shù)的定義域為各段中自變量取值范圍的總和（并集）；（6）對于表述實際問題的函數(shù)，應綜合考慮自然定義域和實際意義來確定函數(shù)的定義域.82§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)定義域的確定原則83§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運算將自變量x的“值”（可能是數(shù)值，也可能是一個式子）代入函數(shù)表達式f(x)中出現(xiàn)x的地方進行計算即可.84§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運算85§1.1函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念

函數(shù)的四則運算86§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)有些函數(shù)在其定義域內無法用一個統(tǒng)一的表達式來表示，而是隨自變量的不同取值范圍而采用不同的表達式來表示，這種形式的函數(shù)稱為分段函數(shù)(PiecewiseFunction).這里要注意兩點：雖然分段函數(shù)用幾個式子表達，但它表示的是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).

分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.87§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)88§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)89§1.1函數(shù)的概念三、分段函數(shù)90§1.1函數(shù)的概念四、隱函數(shù)常見的函數(shù)都是y=f(x)的形式，即y是由x的表達式來表示的.這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)(ExplicitFunction).如果將y=f(x)看作一個含有兩個變量的二元方程y－f(x)=0，那么，對任意的x，按照“使方程成立”這一規(guī)則，有唯一y與之對應，因此這個方程就確定了一個函數(shù).這種由二元方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)y=f(x)稱為隱函數(shù)(ImplicitFunction).亦即“函數(shù)y=f(x)‘隱藏’在方程F(x,y)=0中”之意.91§1.1函數(shù)的概念四、隱函數(shù)關于隱函數(shù)要理解以下幾點：92§1.1函數(shù)的概念五、建立應用問題的函數(shù)舉例為了解決實際中的應用問題，先要將問題轉化為一個能用數(shù)學方法求解的數(shù)學問題，這個過程叫做建立數(shù)學模型，也就是常說的數(shù)學建模.數(shù)學模型的種類很多，如概率模型、微分方程模型、線性規(guī)劃模型等.在這里用的是一種最簡單的模型，即函數(shù)關系模型，它是將一個實際問題表示為一個函數(shù)，通過對函數(shù)的討論，進一步解決實際問題.93§1.1函數(shù)的概念五、建立應用問題的函數(shù)舉例例8某公司生產一種設備，每年的總產量為a臺，分成若干批生產，每一批的生產準備費為b元.設產品均勻投放市場（即常年平均庫存量保持為每一批產量的一半），且?guī)齑尜M用為c元/（年·臺）.試求一年中總費用（庫存費與生產準備費的總和）與每一批的產量間的函數(shù)關系.在學習了函數(shù)的極值后（見第四章§4.3函數(shù)的極值），就可求出每一批的產量定為多少時，可使一年的總費用最少.此時每一批的產量稱為最優(yōu)批量.94§1.1函數(shù)的概念五、建立應用問題的函數(shù)舉例例9有一家工廠A距一條鐵路的垂直距離為akm，其垂足B到一港口C的鐵路總長為bkm，工廠的產品經港口C轉往國外.已知汽車的運費是m元/（T·km），火車的運費是n元/（T·km）.為節(jié)省運費，計劃在BC間選一點D作為轉運站，這樣先將產品直線運至D，再由火車運往C港.這時運費的數(shù)量就與D的位置有關，如圖所示.試將每噸貨物的總運費表示為距離|BD|的函數(shù).95§1.1函數(shù)的概念五、建立應用問題的函數(shù)舉例例9有一家工廠A距一條鐵路的垂直距離為akm，其垂足B到一港口C的鐵路總長為bkm，工廠的產品經港口C轉往國外.已知汽車的運費是m元/（T·km），火車的運費是n元/（T·km）.為節(jié)省運費，計劃在BC間選一點D作為轉運站，這樣先將產品直線運至D，再由火車運往C港.這時運費的數(shù)量就與D的位置有關，如圖所示.試將每噸貨物的總運費表示為距離|BD|的函數(shù).96§1.2函數(shù)的性質一、函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的奇偶性可了解函數(shù)的圖形（關于原點或坐標軸）的對稱性.定義1.3設函數(shù)y=f(x)的定義域D關于原點對稱，如果(1)對任意的x∈D（此時必然－x∈D），都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)（EvenFunction）；（2）對任意的x∈D（此時必然－x∈D），都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)（OddFunction）.對于偶函數(shù)，因f(－x)=f(x)，所以如果任意一點P(x,f(x))在圖形上，則點P′(－x,f(x))也在圖形上，顯然P(x,f(x))與P′(－x,f(x))關于y軸對稱，因此，偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱.

對于奇函數(shù)，因f(－x)=－f(x)，所以如果任意一點Q(x,f(x))在圖形上，則與它關于原點對稱的點Q′(－x,－f(x))也在圖形上.因此，奇函數(shù)的圖形關于原點對稱.97§1.2函數(shù)的性質一、函數(shù)的奇偶性奇、偶函數(shù)的圖像特征如圖98§1.2函數(shù)的性質一、函數(shù)的奇偶性例1

確定函數(shù)

的奇偶性.99§1.2函數(shù)的性質一、函數(shù)的奇偶性【思考與討論】100§1.2函數(shù)的性質二、函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性也稱為增減性.它研究的是當自變量增加時，對應的函數(shù)值是增加還是減少的性質.定義1.4

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I內有定義.對區(qū)間I內的任意兩點x1和x2，若當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內單調增加或單調遞增，同時稱f(x)為增函數(shù)（IncreasedFunction）；當x1<x2時，若有f(x1)>f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內單調減少或單調遞減，同時稱f(x)為減函數(shù)（DecreasedFunction）.單調增加函數(shù)和單調減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)(MonotoneFunction).使得函數(shù)單調遞增或單調遞減的區(qū)間稱為單調區(qū)間(MonotoneInterval).101§1.2函數(shù)的性質二、函數(shù)的單調性注：

定義中的x1和x2是區(qū)間I內的任意兩點.

單調函數(shù)的圖像在單調（遞增、遞減）區(qū)間內是單調（上升、下降）的.

有的函數(shù)在其定義域內不是單調增加的，也不是單調減少的，而在某個子區(qū)間上卻是單調的.如f(x)=x2便是如此.因此，討論一個函數(shù)的單調性時應注明函數(shù)在什么區(qū)間上單調，是單調增加還是單調減少.在單調性的定義中，直接給出了一個判定函數(shù)單調性的方法，即：在函數(shù)的定義區(qū)間中任取兩點x1和x2，且假定x1<x2，進一步計算并比較f(x1)和f(x2)的大小，再由定義，即可知函數(shù)的單調性.102§1.2函數(shù)的性質二、函數(shù)的單調性103§1.2函數(shù)的性質三、函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性刻畫的是自變量在一定范圍內變化時，相應的函數(shù)值是否有限的性質.注：

定義中的x必須是區(qū)間I內的所有點.

有界函數(shù)的圖形一定處于兩條水平直線之間.104§1.2函數(shù)的性質三、函數(shù)的有界性105§1.2函數(shù)的性質三、函數(shù)的有界性關于函數(shù)的有界性還可采用下述定義：106§1.2函數(shù)的性質三、函數(shù)的有界性綜合兩個定義，容易得到結論：一個函數(shù)在區(qū)間I內有界的充分必要條件為該函數(shù)在區(qū)間I內既有下界，同時又有上界.請同學們利用相關的定義給予證明.107§1.2函數(shù)的性質四、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性是考察隨自變量的不斷變化，函數(shù)出現(xiàn)規(guī)律性重復的性質顯然，如果T是函數(shù)f(x)的一個周期，則按定義，對任何整數(shù)n，nT也是其周期.把所有周期中的最小者稱為最小正周期(MinimalPositivePeriod)，也簡稱為函數(shù)的周期.108§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)函數(shù)的周期性是考察隨自變量的不斷變化，函數(shù)出現(xiàn)規(guī)律性重復的性質關于反函數(shù)，應明確以下幾個要點：109§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)110§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)但是，如果在應用中強調“反函數(shù)的自變量就是直接函數(shù)的因變量，反函數(shù)的因變量就是直接函數(shù)的自變量”的相互對應和等量關系時，一般不進行變量符號的變化.111§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)112§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)

圖像特征反函數(shù)y=f－1(x)與直接函數(shù)y=f(x)的圖形關于直線y=x對稱，如圖1-4所示.113§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)114§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)115§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)復合函數(shù)在微積分學中有著非常重要的地位，也是一個較難理解的概念，下面對它進行全方位的講解，請同學們認真體會和掌握其要點.

構成復合函數(shù)的一個關鍵點函數(shù)y=f(u)的定義域Df與函數(shù)u=g(x)的值域Zg的交集不為

，是二者構成復合函數(shù)的必不可少的條件.否則所謂的“復合函數(shù)”的定義域將為空集，也就不能成為“函數(shù)”，如圖1-5所示.116§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)

復合函數(shù)與非復合函數(shù)的形象理解我們知道，函數(shù)y=f(x)是在對應法則f下，一個x對應唯一的y.若將函數(shù)f形象地比作一個“加工機器”，則對于輸入的“原料”x，經f“加工”，最終輸出“產品”y.而復合函數(shù)的這一“加工”過程則較復雜，首先輸入的“原料”x，經第一道工序g“加工”成“半成品”u，再經第二道工序f“加工”成“成品”y輸出，如圖1-6所示.117§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)

復合函數(shù)的通俗理解函數(shù)的復合可通俗地理解為函數(shù)的嵌套，即函數(shù)套函數(shù).它的明顯特征是一個函數(shù)的“自變量”不是一個簡單的自變量，而是另外一個函數(shù)，這樣兩個（或兩個以上的）簡單函數(shù)就復合成一個較為復雜的復合函數(shù).118§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)

多層次復合上述復合函數(shù)為兩個函數(shù)構成的兩層復合，此外還有更多函數(shù)構成的更多層次的復合，如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)三個函數(shù)可以構成復合函數(shù)y=f{g[h(x)}，x是復合函數(shù)的自變量，u，v均為中間變量.119§1.3

反函數(shù)與復合函數(shù)二、復合函數(shù)

復合函數(shù)的分解給定一個復雜函數(shù)，能分析出它是由哪些簡單函數(shù)復合而成，并能將這些簡單函數(shù)通過中間變量表示出來，這是判別對復合函數(shù)掌握與否的一個重要標志.這項技能對今后函數(shù)的進一步學習（如函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)的積分等）都有非常重要的作用.120§1.4

基本初等函數(shù)以下六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).121§1.4

基本初等函數(shù)一、常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)（ConstantFunction）為

y=C.

對任意自變量x，函數(shù)值均為C；定義域為D=R，值域Z={C}；它是偶函數(shù)；有界；是周期函數(shù)，但無最小正周期；它單調不減且單調不增.圖形為一條與x軸平行的直線.如圖1-7所示.122§1.4

基本初等函數(shù)二、冪函數(shù)冪函數(shù)（PowerFunction）為

y=xa.其中參數(shù)a為實數(shù)，冪函數(shù)的定義域和值域隨參數(shù)a的不同而不同，但不論a的取值如何，在x∈(0，∞)時，y=xa總有意義；圖形都過點(1，1).冪函數(shù)y=xa的性質：當a>0時，圖形都經過點(0，0)和(1，1)，在第一象限內是增函數(shù)；當a<0時，圖形必經過點(1，1)，在第一象限內是減函數(shù).冪函數(shù)一般都是無界函數(shù)且不是周期函數(shù)，它的單調性、奇偶性也隨a的不同而有所不同.圖1-8為幾種常見的不同形式的冪函數(shù).123§1.4

基本初等函數(shù)二、冪函數(shù)幾種常見的不同形式的冪函數(shù)124§1.4

基本初等函數(shù)三、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunction）為

y=ax

（a>0，a≠1）；

y=expx=ex.其中，expx（或exp(x)）是指數(shù)函數(shù)ex的帶有專屬函數(shù)名的另一種表示形式（與sinx相似）.當自變量為一個規(guī)模較大的表達式時，這種表示方法用起來較為方便.如125§1.4

基本初等函數(shù)三、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域為R，即(－∞，+∞)，值域為(0，+∞)，它是無界函數(shù)，不是周期函數(shù)，且不具奇偶性；圖形都經過點(0，1)，當a>1時，函數(shù)單調增加，如圖1-9（A）所示；當0<a<1時，函數(shù)單調減少，如圖1-9（B）所示.126§1.4

基本初等函數(shù)四、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)（LogarithmicFunction）為

y=logax

（a>0，a≠1）.對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，+∞)，值域為R，即(－∞，+∞)，它是無界函數(shù)，不是周期函數(shù)，且不具奇偶性；圖形都經過點(1，0)，當a>1時，函數(shù)單調增加，如圖1-10（A）所示；當0<a<1時，函數(shù)單調減少，如圖1-10（B）所示.127§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)三角函數(shù)（TrigonometricFunction）有如下幾組.1.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦(Sine)函數(shù)y=sinx與余弦(Cosine)函數(shù)y=cosx的定義域都是R，值域都是閉區(qū)間[－1，1]；它們都是有界的，且都是周期為2π的周期函數(shù)；正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，如圖1-11所示.128§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)2.正切函數(shù)與余切函數(shù)切(Tangent)函數(shù)y=tanx與余切(Cotangent)函數(shù)y=cotx的值域都是R，即(－∞，+∞)；都是無界的奇函數(shù)；都是以π為周期的周期函數(shù).

它們的不同點：正切函數(shù)y=tanx的定義域為余切函數(shù)y=cotx的定義域為D={x|x≠kπ，k∈Z}.D={x|x≠kπ+

，k∈Z}；129§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)二者的圖形如圖1-12所示130§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)3.正割函數(shù)與余割函數(shù)它們的共同點：值域都是（-∞，-1］∪［1，+∞）；都是無界函數(shù)；都是以2π為周期的周期函數(shù).它們的不同點：正割函數(shù)y=secx是偶函數(shù)，其定義域為余割函數(shù)y=cscx為奇函數(shù)，其定義域為131§1.4

基本初等函數(shù)五、三角函數(shù)二者的圖形如圖1-13所示.132§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)反三角函數(shù)（InverseTrigonometricFunction）主要包括反正弦函數(shù)y=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切函數(shù)y=arctanx、反余切函數(shù)y=arccotx.它們分別是正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、正切函數(shù)y=tanx、余切函數(shù)y=cotx的反函數(shù).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義及它們的圖形可以知道，它們的反函數(shù)是一個自變量對應多個因變量，因此不是我們所講的單值函數(shù).為此我們取三角函數(shù)的定義域的一部分，稱為主值區(qū)間，使其在此區(qū)間內單調，因而存在反函數(shù).具體約定如下：133§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)這樣，它們對應的反函數(shù)就定義為：134§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)按上述反三角函數(shù)的定義，它們都是有界函數(shù)，都是單調函數(shù)，y=arcsinx和y=arctanx是奇函數(shù)，如圖1-14、圖1-15所示.135§1.4

基本初等函數(shù)六、反三角函數(shù)按上述反三角函數(shù)的定義，它們都是有界函數(shù)，都是單調函數(shù)，y=arcsinx和y=arctanx是奇函數(shù)，如圖1-14、圖1-15所示.136§1.5

初等函數(shù)初等函數(shù)是微積分（高等數(shù)學）的主要研究對象.定義1.11

基本初等函數(shù)經有限次的四則運算和（或）有限次的復合而得到的且可由一個表達式統(tǒng)一表示的所有函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)（ElementaryFunction）.按照上述定義，分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).但由于分段函數(shù)在其定義域內的各個子區(qū)間上都是由初等函數(shù)表示的，所以研究分段函數(shù)時仍可使用一般初等函數(shù)的研究方法.137§1.5

初等函數(shù)一、多項式函數(shù)138§1.5

初等函數(shù)一、多項式函數(shù)n（n≥1）次多項式函數(shù)的一個共同特征，就是當x沿正方向或負方向無限增大（x→+∞或x→－∞）時，函數(shù)值f(x)也無限增大（|f(x)|→∞）.特別地，一次多項式函數(shù)，即

f(x)=ax+b，簡稱為一次函數(shù)（OneDegreeFunction）.它是一個簡單而重要的函數(shù)，又由于它的圖形是一條直線，故常稱之為線性函數(shù)(LinearFunction).139§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)140§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)關于有理函數(shù)，要注意和掌握以下要點：141§1.5

初等函數(shù)二、有理函數(shù)形如F(x)=[f(x)]g(x)的函數(shù)稱為冪指函數(shù)(Power-exponentialFunction).其中f(x)和g(x)都是初等函數(shù).它是由一個初等函數(shù)為底（為保證函數(shù)有意義，設f(x)>0），另一個初等函數(shù)為指數(shù)構成的.從這個形式上看，它不符合初等函數(shù)的定義，但如果使用對數(shù)恒等式對它進行一下恒等變形，便可看出它是初等函數(shù).142§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)“需求量”是指在特定的價格基礎上，消費者有能力購買的商品的數(shù)量.消費者對某種商品的需求是由多方面因素決定的，在這里我們假設其他因素不變，只考慮產品價格對需求量的影響，因此消費者對某產品的需求量便可表示為產品價格的函數(shù).設P為商品價格，是自變量，Q表示需求量，是因變量，則函數(shù)

Q=Q(P),DQ=［0，+∞)稱為需求函數(shù).事實上，商品價格低，需求量就大，反之商品價格高，需求量就小，因此需求函數(shù)一般都是關于價格P的單調減少函數(shù).143§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)1.需求函數(shù)常見的需求函數(shù)的形式有如下幾種：（1）線性函數(shù)Q=b－aP,a,b>0；（2）指數(shù)函數(shù)Q=ae－bP,a,b>0；（3）冪函數(shù)Q=aP－b,a,b>0,P≠0.對于線性函數(shù)Q=b－aP，Q=b為價格P=0時的最大需求量，而價格增加到P=

時，需求量將為0.對于指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)兩種需求函數(shù)都是隨價格的無限增加，需求量逐漸趨近于0.另外，需求函數(shù)Q=Q(P)的反函數(shù)P=Q－1(Q)或記作P=P(Q)稱為價格函數(shù).需求函數(shù)Q=Q(P)表示商品的價格相對穩(wěn)定在某個值時的需求量，而價格函數(shù)P=P(Q)則表示需求量相對穩(wěn)定在某個值時的市場價格.二者互為反函數(shù).144§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)2.供給函數(shù)“供給量”是指在一定的價格基礎上，生產者愿意提供的商品數(shù)量.

與需求量的討論類似，生產者對某種商品的生產供給也是由多方面因素決定的，在這里我們也略去其他因素，只討論產品價格對供給量的影響.設P為商品價格，是自變量，Qs表示供給量，是因變量，則函數(shù)

Qs=Qs(P),DQs=［0，+∞)稱為供給函數(shù).

一般說來，商品價格低，生產者不愿意生產，供給量就小，反之商品價格高，供給量就大，因此供給函數(shù)一般都是關于價格P的單調增加函數(shù).145§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)2.供給函數(shù)常見的供給函數(shù)有如下幾種形式：

（1）線性函數(shù)

Qs=cP－d,c,d>0；

（2）指數(shù)函數(shù)

Qs=cedP,c,d>0；

（3）冪函數(shù)

Qs=cPd,c,d>0.Qs146§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)3.均衡價格某一種商品的市場需求量與供給量相等時的價格，稱為均衡價格.假設均衡價格為P0，當市場價格P高于P0時，供給量增加而需求量減少；反之，當市場價格P低于P0時，供給量減少而需求量增加.市場價格的調節(jié)作用就是這樣來實現(xiàn)的.【思考與討論】試按照圖1-17所示來分析市場價格P高于或低于均衡價格P0時，供給量Qs和需求量Q的變化，進而將會帶動價格進行怎樣的變化.147§1.6

常用經濟函數(shù)簡介一、需求函數(shù)與供給函數(shù)3.均衡價格148§1.6

常用經濟函數(shù)簡介二、成本、收入、利潤函數(shù)所有經濟活動的最終目的都是要追求經濟利益，人們無論在生產或在銷售等經濟活動中，總希望能降低成本，增加收入和利潤.因此成本（C）、收入（R）和利潤（L）這些經濟量的變化就引起了人們的關注，而這些量都與產品的生產量或銷售量（x）有密切的關系.為了能從數(shù)量上表示它們之間的關系，可采用數(shù)學的方法，將成本、收入和利潤看作產量或銷量的函數(shù)，分別稱為成本函數(shù)（記為C(x)）、收入函數(shù)（記為R(x)）、利潤函數(shù)（記為L(x)）.對這些函數(shù)的量化研究可以知道什么時候成本最低，什么時候利潤最大，做出什么樣的決策可使利潤增加等，同時也可避免做出錯誤的決策.149§1.6

常用經濟函數(shù)簡介二、成本、收入、利潤函數(shù)1.成本函數(shù)成本是指生產一定數(shù)量的某種產品所需的全部經濟資源的費用總額.成本由固定成本C0和可變成本C1兩部分組成，因此成本也常稱作總成本.固定成本是與產量x無關的費用，如設備維護維修、企業(yè)管理等費用，可變成本包含勞動力、原材料、電力等費用，因此可變成本隨產量的增加而增加.通過上述分析，（總）成本函數(shù)C(x)是產量x的單調增加函數(shù).其一般形式為

C=C(x)=C0+C1(x).150§1.6

常用經濟函數(shù)簡介二、成本、收入、利潤函數(shù)2.收入函數(shù)收入也稱收益，是指生產者出售一定量的產品時所得到的全部資金數(shù)量.收入函數(shù)的表達比較簡單，若售出的產品數(shù)量為x，此時的市場價格是P，則收入函數(shù)為

R=R(x)=P·x.事實上，提供到市場的產品數(shù)量要考慮需求量，而需求量又影響著價格，如果當時的市場需求函數(shù)為x=x(P)，則銷售價格可以由需求函數(shù)確定為P=P(x)，從而收入可表示為與銷量有關的函數(shù).當然也可以表示為與價格有關的函數(shù).這里假設了一個理想市場狀態(tài)時的等量關系，即

需求量=生產量=銷售量.151§1.6

常用經濟函數(shù)簡介二、成本、收入、利潤函數(shù)3.利潤函數(shù)利潤是指總收入減去總成本之后的純收入.顯然利潤函數(shù)可表示為

L(x)=R(x)－C(x).例1

已知某產品的需求函數(shù)為x=50－5P，成本函數(shù)為C=50+2x，試將利潤表示為產量x的函數(shù).解：由已知的需求函數(shù)可得此時的價格為則銷售總收入為于可得利潤函數(shù)為152§1.7

綜合與提高本書每一章的最后都設置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內容，不納入教學課時，供學有余力的同學擴展知識之用.153§1.7

綜合與提高本書每一章的最后都設置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內容，不納入教學課時，供學有余力的同學擴展知識之用.154§1.7

綜合與提高本書每一章的最后都設置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內容，不納入教學課時，供學有余力的同學擴展知識之用.155§1.7

綜合與提高本書每一章的最后都設置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內容，不納入教學課時，供學有余力的同學擴展知識之用.156§1.7

綜合與提高本書每一章的最后都設置了“綜合與提高”一節(jié)，作為課外閱讀內容，不納入教學課時，供學有余力的同學擴展知識之用.157微積分學教程（上冊）159目錄上冊第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導數(shù)與微分第四章中值定理及層數(shù)應用第0章預備知識第五章不定積分微積分學基本知識結構160第二章極限與連續(xù)161第二章極限與連續(xù)極限思想的萌芽在中國古代很早就有記載，《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”含無限可分的思想.中國數(shù)學家劉徽的割圓術提出：“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.”這等同于現(xiàn)代微積分中的極限思想.極限論的發(fā)展跨越了相當長的時間，在極限論的基礎上建立了微積分理論.許多基本概念，如連續(xù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)等都是建立在極限基礎之上的.本章主要針對極限與連續(xù)的概念及計算進行討論.首先討論一種特殊函數(shù)的極限——數(shù)列的極限.162第二章極限與連續(xù)§2.1數(shù)列的極限 §2.２函數(shù)的極限§2.３無窮小量與無窮大量§2.4極限運算法則§2.8連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性§2.7函數(shù)的連續(xù)性與間斷點§2.6無窮小量的比較§2.5極限存在準則兩個重要極限§2.10綜合與提高§2.9閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質163§2.1數(shù)列的極限 1數(shù)列的概念一、數(shù)列極限的概念例如，下面的(1)至(6)都是數(shù)列的例子.164§2.1數(shù)列的極限 對數(shù)列可作如下理解：一、數(shù)列極限的概念

數(shù)列就是按一定順序排列的一列數(shù).

數(shù)列{xn}可看作自變量離散地取正整數(shù)n的函數(shù)xn=f(n)，它的定義域是全體正整數(shù)，當自變量n依次取1,2,3,…等一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排列成數(shù)列{xn}，故數(shù)列也可記作{f(n)}.

作為特殊函數(shù)，它的圖形是平面上一些離散的點.如果將數(shù)列{xn}在坐標平面上描出點的位置，能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？165§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念166§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念167§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念從上面的分析可知，數(shù)列{xn}隨n的無限增大而呈現(xiàn)三種趨勢：（1）{xn}無限接近常數(shù)A；（2）{xn}無限增大（－∞或+∞）；（3）{xn}的值交替或振蕩變化，無確定的變化趨勢.對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題.168§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念169§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念170§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念2數(shù)列極限的概念定義2.2設{xn}為一數(shù)列，A為常數(shù).若對任意的ε>0（不論多么小），總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，|xn－A|<ε恒成立，則稱常數(shù)A為數(shù)列{xn}的極限（LimitofNumberSequence），同時稱數(shù)列{xn}收斂（Convergence）于A，記為

lim

xn=A，

或xn→A（n→∞）.

否則，稱數(shù)列發(fā)散（Divergence）.n→∞171§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念關于數(shù)列極限的定義需要注意以下幾點：

ε是衡量xn與A的接近程度的，它可以任意小.然而，盡管ε具有任意性，但一經給出，就應視為確定.（另外，ε具有任意性，那么,2ε,ε2等也具有任意性，它們也可代替ε）.

N是依賴于ε的，是ε的函數(shù)，隨ε的變小而變大.在解題中，N等于多少關系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個N，使得當n>N時，有|xn－A|<ε就行了，而不必求最小的N.

有時找N比較困難，這時可把|xn－A|適當?shù)刈冃?、放大，若放大后小于ε，那么必有|xn－A|<ε.

若limxn=A，則對于以A為中心，任意小的正數(shù)ε為半徑的鄰域(A－ε,A+ε)，至多有N個點x1,x2,…,xN落在該鄰域之外，其他的所有點xn都落在該鄰域之內，如圖2－5所示.n→∞172§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的幾何意義173§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念174§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念175§2.1數(shù)列的極限 二、收斂數(shù)列的性質定理2.1（極限的唯一性）若數(shù)列{xn}有極限，則極限值唯一.176§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念177§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念定理2.2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界.根據(jù)上述定理，如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散.但是，如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂.例如，數(shù)列1，－1，…，(－1)n+1，…有界，但［例4］證明了這數(shù)列是發(fā)散的.所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件.178§2.1數(shù)列的極限 一、數(shù)列極限的概念定理2.2（收斂數(shù)列的保號性）如果limxn=a，且a>0（或a<0），那么存在正整數(shù)N，當n>N時，都有xn>0（或xn<0）n→∞179§2.2函數(shù)的極限上節(jié)討論了特殊函數(shù)——數(shù)列的極限.而實踐中更關心的是一般函數(shù)的變化趨勢，由于函數(shù)的變化趨勢依賴于自變量的變化過程，因此關于函數(shù)極限主要討論以下兩種情形：（1）自變量x的絕對值|x|無限增大，即趨向于無窮大（記作x→∞）時，對應的函數(shù)f(x)的變化趨勢.（2）自變量x無限趨向于有限值x0（記作x→x0）時，對應的函數(shù)f(x)的變化趨勢.180§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無窮大（x→∞）時函數(shù)的極限觀察函數(shù)f(x)=當x→∞時的變化趨勢，如圖2-6所示，易見，當|x|無限增大時，f(x)無限接近于零，即當x→∞時，|f(x)－0|無限小.可仿照數(shù)列極限的定義給出函數(shù)極限的定義.181§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無窮大（x→∞）時函數(shù)的極限定義2.3設函數(shù)f(x)在∞的某個鄰域U(∞)內有定義，A是常數(shù).如果對于任意給定的ε>0（無論它多么?。偞嬖谥龜?shù)X，使得當|x|>X時，有|f(x)－A|<ε成立，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→∞時的極限(LimitofaFunction)，記作limf(x)=A或f(x)→A(x→∞).n→∞（1）limf(x)=A的幾何意義是：對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)X，只要變量x進入?yún)^(qū)域(－∞,－X)∪(X,+∞)之內，曲線f(x)上的相應點(x,f(x))必落在兩水平直線y=A－ε與y=A+ε之間的帶形區(qū)域內，如圖2-7所示.x→∞182§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無窮大（x→∞）時函數(shù)的極限183§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義（2）在上述極限定義中，x是同時向+∞和－∞兩個方向變化，但有時可能出現(xiàn)x只向+∞或－∞一個方向變化的情況，這就引出了x→－∞和x→+∞時的極限.如果x>0且無限增大（記作x→+∞），那么只要把上面定義中的|x|>X改為x>X，就可得limf(x)=A的定義.同樣，x<0而|x|無限增大（記作x→－∞），那么只要把|x|>X改為x<－X，便得limf(x)=A的定義.x→+∞x→－∞請同學們自己試著完整地寫出這兩個極限的數(shù)學定義.184§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1.自變量趨于無窮大（x→∞）時函數(shù)的極限定理2.4函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是極限及極限都存在并且都等于A，即

185§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1862自變量趨于有限值（x→x0）時函數(shù)的極限§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義187§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義定義2.4

設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義.如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當0<|x－x0|<δ時，|f(x)－A|<ε恒成立，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x→x0時的極限，記作或

188§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義189§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義例3證明limc=c，此處c為一常數(shù).證明：這里|f(x)－A|=|c－c|=0，因此對于任意給定的正數(shù)ε，可任取一正數(shù)δ，當0<|x－x0|<δ時，能使不等式|f(x)－A|=|c－c|=0<ε成立.所以limc=c.□例4證明limx=x0.證明：這里|f(x)－A|=|x－x0|，因此對于任意給定的正數(shù)ε，總可取δ=ε，當0<|x－x0|<δ=ε時，能使得不等式|f(x)－A|=|x－x0|<ε成立.所以limx=x0.□例5證明lim(2x－1)=1.證明：由于|f(x)－A|=|(2x－1)－1|=2|x－1|，為了使|f(x)－A|<ε，只要|x－1|<ε2.所以，對于任意給定的正數(shù)ε，可取δ=ε2，則當0<|x－1|<δ時，

|f(x)－1|=|(2x－1)－1|<ε，從而lim(2x－1)=1.□x→x0x→x0x→x0x→x0x→1x→1190§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義191§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義192§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義定理2.5函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是函數(shù)在該點的左極限與右極限都存在并且相等，即證明略.■193§2.2函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義194§2.2函數(shù)的極限二、極限符號的使用約定195§2.2函數(shù)的極限二、極限符號的使用約定說明196§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質利用函數(shù)極限的定義，可證明下列定理.197§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質利用函數(shù)極限的定義，可證明下列定理.198§2.2函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質推論199§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量1無窮小量的概念定義2.5

在自變量的某一變化過程中，極限為零的變量稱為這一變化過程中的無窮小量(InfiniteSimal).200§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量1無窮小量的概念無窮小量是一個非常重要的概念，要深入理解.關于它的定義需要注意以下幾點：

定義中的“變量”是指函數(shù)f(x)或數(shù)列{xn}.

定義中的“自變量的某一變化過程”是指以下七種變化趨向之一.

無窮小量是絕對值無限減小的一個變量，不能等同于一個很小的常數(shù)（如10－10000）.

一個變量是不是無窮小量，是和自變量的變化過程密切相關的，同一個函數(shù)在不同的變化過程中結論可能不同.

零函數(shù)（f(x)=0）是一個特殊（自變量可取任何變化過程）的無窮小量.而零數(shù)列（{0}）是n→∞時的無窮小量.

無窮小量的極限為0，因此，當自變量取定一個變化過程時，便可以給出它的數(shù)學定義.請同學們自己寫一寫.201§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量2無窮小量的性質性質1有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量；性質2有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量；性質3有界函數(shù)與無窮小量之積為無窮小量.202§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量2無窮小量的性質下面只證性質3203§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量3無窮小量與函數(shù)極限的關系定理2.9在自變量x的某一變化過程中，函數(shù)極限存在且為A的充分必要條件是函數(shù)等于它的極限A與一個無窮小量α之和，即204§2.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量3無窮小量與函數(shù)極限的關系證明：對選取的情形進行證明，其他類似.205§2.3無窮小量與無窮大量二、無窮大量3無窮小量與函數(shù)極限的關系206§2.3無窮小量與無窮大量二、無窮大量3無窮小量與函數(shù)極限的關系207§2.3無窮小量與無窮大量二、無窮大量3無窮小量與函數(shù)極限的關系208§2.3無窮小量與無窮大量三、無窮大量與無窮小量的關系209§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則210§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則211§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則注意212§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則213§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則1.直接利用運算法則214§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則2.消去公因子化簡215§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則3.利用無窮大量與無窮小量的關系216§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則4.分子、分母同時除以x的最高次冪217§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則4.分子、分母同時除以x的最高次冪218§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則5.利用分母有理化219§2.4極限運算法則一、函數(shù)極限的四則運算法則6.無窮項和的極限220§2.4極限運算法則二、復合函數(shù)的極限運算法則6.無窮項和的極限221§2.4極限運算法則二、復合函數(shù)的極限運算法則6.無窮項和的極限222§2.4極限運算法則三、冪指函數(shù)的極限運算法則6.無窮項和的極限223§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則1夾逼準則224§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則1夾逼準則225§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則1夾逼準則226§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則1夾逼準則

使用夾逼準則的關鍵是對函數(shù)或數(shù)列通項進行適當放縮，得到相應的不等式.

縮放時要把握“抓大頭”的原則，即占絕對優(yōu)勢的量不可縮放，其他相對較小的“零頭”可進行增減.227§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則2單調有界準則準則Ⅱ單調有界數(shù)列必有極限.由極限的性質知，收斂數(shù)列必定有界，有界數(shù)列不一定收斂.準則Ⅱ表明，如果一個數(shù)列有界，而且單調，則必定收斂.228§2.5極限存在準則兩個重要極限一、極限存在準則2單調有界準則229§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限230§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限231§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限232§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限233§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限234§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限235§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限236§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限237§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限238§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限239§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限注意：240§2.5極限存在準則兩個重要極限二、兩個重要極限241§