16/16第03講等式與不等式的性質(zhì)目錄01TOC\o"1-3"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅 3知能解碼 3知識點1兩個實數(shù)大小的比較 3知識點2不等式的性質(zhì) 4題型破譯 5題型1作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小 5題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假 6【方法技巧】利用不等式判斷正誤的方法題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式 8題型4利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍 10【易錯分析】利用同向相加求范圍出錯題型5不等式的綜合 1104真題溯源·考向感知 1305課本典例·高考素材 14考點要求考察形式2025年2024年2023年（1）理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù)（2）理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.單選題多選題填空題解答題///考情分析：近三年考情顯示，高考對不等式性質(zhì)的考查雖單獨命題頻率較低，但相關(guān)知識貫穿各類題型，是進行不等式變形、證明及解題的核心工具。其重要性體現(xiàn)在：作為數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)支撐，不等式性質(zhì)為函數(shù)、數(shù)列、幾何等模塊的解題提供理論依據(jù)；同時，其應(yīng)用能力直接影響考生對復(fù)雜問題的轉(zhuǎn)化與分析能力，成為高考數(shù)學(xué)考查邏輯思維與運算素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。因此，掌握不等式性質(zhì)不僅是應(yīng)對單一題型的需要，更是提升整體數(shù)學(xué)能力的必備基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)目標：1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)2.能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關(guān)系3.能夠利用不等式的關(guān)系表示不等式的范圍知識點1兩個實數(shù)大小的比較作差法：如果是正數(shù),那么;如果等于零,那么;如果是負數(shù),那么.反過來也對.這個基本事實可以表示為:.作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進一步比較與的大小．則有；；．自主檢測已知，，設(shè)，，則與的大小關(guān)系為．【答案】【詳解】．因為，，所以，，，所以，所以．知識點2不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性傳遞性可加性可乘性的符號同向可加性同向同正可乘性可乘方性同正自主檢測（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若且，則D．若，則【答案】BC【詳解】對于A選項，若，，則，A錯誤；對于B選項，若，，則，，B正確；對于C選項，若且，則，即，C正確；對于D選項，若，取，，，則，，此時，D錯誤.故選：BC.題型1作差法、作商法比較兩數(shù)（式）的大小例1-1（多選）設(shè)，則P，Q，R的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因為，所以．因為，又，所以，所以．例1-2如果，比較與的大小并證明．【詳解】，理由如下：，當(dāng)時等號成立，所以.【變式1-1】設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【詳解】∵，即.又，.故答案為：>.【變式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為一個不等式（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】這一事實表示為一個不等式為．證明：，又，，，即，即.故選：【變式1-3·變載體】若，則與的大小關(guān)系是．（用“>”連接）【答案】【詳解】方法一（作商法）：因為，所以，所以．方法二（作差法）：，即．故答案為：題型2利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例2-1（多選）對于實數(shù)、、，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【詳解】對于A選項，因為，則，故，A錯；對于B選項，若，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，B對；對于C選項，若，由不等式的基本性質(zhì)可得，C對；對于D選項，若，則，所以，D對.故選：BCD.例2-2已知x，y是實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】若，滿足，此時，所以不是的充分條件，反過來，若，滿足，此時，所以也不是的必要條件，所以”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D方法技巧利用不等式判斷正誤的方法①直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．【變式2-1】設(shè)，若，則下列不等式中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，則，則，A選項正確；因為，則，則，B選項正確；因為，則，則，C選項正確；取，所以，D選項錯誤；故選：D.【變式2-2】（多選）設(shè)，則下列選項中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，取滿足，而不成立，B錯誤；對于C，由，得，則，C正確；對于D，由，得，則，D正確.故選：ACD【變式2-3】下列說法中正確的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件D．“”是“”的必要條件【答案】B【詳解】項，若，，此時，但不滿足，故A項錯誤；B項，根據(jù)不等式性質(zhì)，可由推導(dǎo)出，故是的必要條件，故B項正確；C項，若，，此時，但不滿足，故C項錯誤；D項，若，，此時，但是不滿足，故D項錯誤．故選：B題型3利用不等式的性質(zhì)證明不等式例3-1若，，證明：．【詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，則有：，又∵，∴．例3-2已知，．(1)求證：；(2)求證：．【詳解】（1）由，則，故，由，則，故，所以，得證.（2）由，而，所以，即，得證.【變式3-1】已知，，求證．【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)利用綜合法即可證明．因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以．【變式3-2】設(shè)，求證.【詳解】由，因為，可得，所以，即，所以.【變式3-3】（1）設(shè)，求證：，（2）設(shè)，求證：，【詳解】（1）方法一：，，，．方法二：，．（2）方法一：，，，．，.題型4利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例4-1已知，若，則的取值范圍是；若，且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】若，則，而，所以有．設(shè)，則解得若，，則有，所以，即．易錯警示：題中的第二空易錯誤的利用如下解法：先由條件得出a，b的范圍，再由此得出的范圍，即得出的錯誤結(jié)果（其取值范圍擴大了）.例4-2已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，即，所以，則，所以.故選：D.易錯分析利用同向相加求范圍出錯在多次運用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式【變式4-1】如果，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】,,又,,兩式相加得,故答案為:.【變式4-2】已知，，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】令，則，即，由，即，可得，則.故答案為：.【變式4-3】已知，．(1)求，的取值范圍；(2)求，的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，，所以．又因為，所以.（2）由題意得，則，得，又因為，則，得.題型5不等式的綜合例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，且可得，即，則，又，即，化簡可得，即，其中，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，綜上所述，.故選：A例5-2已知，，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，若，且，則，，可得，即；若，且，則，，可得，即；若，則，即；綜上可知，對于，，，都有.故選：C.【變式5-1】設(shè)為實數(shù)，滿足，則的最大值是．【答案】32【詳解】由題設(shè)，則，所以的最大值是32.故答案為：32【變式5-2】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知正數(shù)x，y，z滿足或，記（M為x，y，z中最大者），則M的最小值為．【答案】【詳解】若，由，可得，所以，即，若，則有，所以，即，故的最小值為．故答案為：【變式5-3】（1）已知，且，請證明：.（2）已知，，且，請證明：與至少有一個大于.【詳解】（1）證明：若，則，，不合題意，.要證，只需證，又，只需證，即，只需證，只需證，成立，原式成立.（2）證明：假設(shè)，，，，與矛盾，假設(shè)不成立，與至少有一個大于.1．（2017·北京·高考真題）能夠說明“設(shè)是任意實數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為.【答案】【詳解】試題分析：，矛盾，所以?1，?2，?3可驗證該命題是假命題.2．（2019·全國II卷·高考真題）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．1．下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】對于A,當(dāng)時，顯然不成立，故A錯誤；對于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對于C，當(dāng)時，取，則，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯誤.故選：B.2．用不等號“>”或“<”填空:(1)如果,,那么;(2)如果,,那么;(3)如果,那么;(4)如果,那么.【答案】><<<【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次填寫即可【詳解】解析:(1),.,.(2),.,,.(3),,,,,,即.(4),所以,.于是,即,即.,.故答案為:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<【點睛】本題考查利用不等式性質(zhì)判斷不等關(guān)系,熟練掌握不等式性質(zhì)是解題關(guān)鍵3．比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：（1）與；（2）與；（3）當(dāng)時，與；（4）與.【詳解】解：（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以當(dāng)時，.（4）因為，所以.【點睛】本題