6/15解答題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)根據(jù)近幾年的高考情況，導(dǎo)數(shù)已知是非常重要的一個專題，作為壓軸題之一，經(jīng)常在高考中看到導(dǎo)數(shù)的身影，其重要地位不可言喻。在考試中通常包含兩部分內(nèi)容，一部分內(nèi)容為函數(shù)求導(dǎo)和含參或不含餐單調(diào)性，另外一部分通過各種工具求參數(shù)的取值范圍，在2026年的高考中，仍然是解答題最有可能出現(xiàn)的壓軸題，在本專題中，我們將對導(dǎo)數(shù)的壓軸題部分進(jìn)行詳解。題型一：導(dǎo)數(shù)的切線方程以及切線條數(shù)問題（25-26高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)若曲線在處的切線過原點，求的值.(2)當(dāng)時，①判斷過點的切線條數(shù)，直接寫出結(jié)果；②判斷過點的切線條數(shù)并說明理由.根據(jù)求切線方程構(gòu)造函數(shù)切線方程當(dāng)切線條線為三條時，切線方程有三個零點當(dāng)切線條線為三條時，切線方程有兩個零點當(dāng)切線條線為三條時，切線方程有一個零點3.根據(jù)方程和零點之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍（25-26高三上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最值；(2)若過點存在3條直線與曲線相切，求實數(shù)的取值范圍.題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（不含參）以及利用單調(diào)性求參數(shù)（25-26高三上·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，（i）求的取值范圍；（ii）記較小的一個零點為，證明：.求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0導(dǎo)函數(shù)大于0的函數(shù)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0的函數(shù)區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間1．（安徽省皖江名校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期9月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍．題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參）（24-25高三上·福建三明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)判斷是否存在，使得的最小值為，并說明理由.含參數(shù)單調(diào)性討論：1.求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；2.變號保留定號去（變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨討論的部分）；3.恒正恒負(fù)先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；4.根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；5.判斷定義域是否符合取值范圍1.（2025·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．2．（2025·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)的值；(3)若，證明：．3．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（2025高三下·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求a的值；(2)解不等式（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．解題步驟：求導(dǎo)判斷單調(diào)區(qū)間根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而求參數(shù)的取值范圍1.（25-26高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的值；(2)設(shè)，證明：存在最小值且最小值小于1.題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究極值點問題（25-26高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)若在內(nèi)恰有兩個不同的極值點，求的取值范圍．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟1.先確定函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)；3.求方程的根；4.檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.5.通過函數(shù)的極值點個數(shù)問題求參數(shù)的取值范圍1．（25-26高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)若在內(nèi)恰有兩個不同的極值點，求的取值范圍.2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，求實數(shù)的取值范圍．題型六：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的最值；(2)若，對，求證：；(3)若是函數(shù)的極小值點，求的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)1.（25-26高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，證明：．2（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有最大值且為.則求的值.3．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)設(shè)．①證明：時，函數(shù)有最小值；②若恰有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍．題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若曲線在點處的切線與y軸垂直，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對成立，求實數(shù)k的取值范圍．恒成立問題：設(shè)函數(shù)的值域為或，或或中之一種，則①若恒成立（即無解），則；②若恒成立（即無解），則；解題步驟：求導(dǎo)判斷單調(diào)性分離參變量或者分類討論①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；注意：【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．1．（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性，并求相應(yīng)極值.(2)若，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求的最大值；(3)證明：方程在上有唯一實數(shù)解.題型八：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題（25-26高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍．導(dǎo)數(shù)能成立問題知識點：若有解（即存在使得成立），則；若有解（即存在使得成立），則；若有解（即無解），則；若無解（即有解），則．求導(dǎo)判斷單調(diào)性分離參變量或者分類討論通過能成立問題相關(guān)知識點進(jìn)行求解參數(shù)的取值范圍1.（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)求出函數(shù)在上的最值(2)若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．題型九：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點（25-26高三上·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍.求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性通過函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)性質(zhì)確定零點個數(shù)以及通過零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)若是定義域上的增函數(shù)，求的最小值；(3)若使，求的取值范圍.題型十：利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題（25-26高三上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在上的最值及其零點個數(shù)；(2)若對于任意的，均有，求的取值范圍．1.求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性2.通常通過其中一個變量的取值范圍來判斷另一個變量的取值范圍1．（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，．存在，，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍．題型十一：利用導(dǎo)數(shù)研究端點效應(yīng)問題（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，若函數(shù)有2個極值，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，若函數(shù)的最小值為4，求實數(shù)的值；(3)當(dāng)時，求證：總存在實數(shù)，當(dāng)時，．利用“端點效應(yīng)”解決問題的一般步驟可分為以下幾步①利用端點處函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足的條件，初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個范圍是不等式恒成立的必要條件②利用所得出的參數(shù)范圍判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否單調(diào)③若函數(shù)在限定參數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)，則必要條件即為充要條件，問題解決.若不單調(diào)，則需進(jìn)一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件（24-25高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，設(shè)．(1)若，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)若對于任意的，總存在，使得，求的取值范圍．題型十二：利用導(dǎo)數(shù)通過同構(gòu)研究函數(shù)問題（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)解不等式：；(2)函數(shù)，求的零點個數(shù)；(3)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.利用以下函數(shù)同構(gòu)問題進(jìn)行構(gòu)造1、積型對數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得2、商型對數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得不等式兩邊同時取對數(shù)變形：令，得3、和差型對數(shù)化:令，得指數(shù)化:令，得比如令，得．然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解。1.（25-26高三上·四川綿陽·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)，是否存在，使得曲線在點處的切線與至少有2個交點？若存在，探究滿足條件的的個數(shù)；若不存在，說明理由．2．（2025·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時，，求的最大值；(3)證明：方程在上有唯一實數(shù)解.題型十三：極值點偏移問題（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不相等的零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.1.（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個極值點且.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明:.2.．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若有兩個不同的零點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)求證：．3．（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不相等的零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：題型十四：隱零點問題1．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若的極小值小于，求m的取值范圍；(3)當(dāng)時，證明：有2個零點．1、隱零點的處理思路第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.2、隱零點的同構(gòu)實際上,很多隱零點問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項,而這類問題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個問題,它的隱零點代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點問題中的應(yīng)用的原理分析所以在解決形如,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作（2025·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求在上的最值．(2)若且，關(guān)于的方程在上僅有一個實根．（ⅰ）證明：；（ⅱ）求的最大值．題型十五：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根（25-26高三上·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的方程有唯一實數(shù)根，求實數(shù)的值；(2)若當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分離參數(shù)構(gòu)造出相關(guān)的方程通過討論函數(shù)單調(diào)性判斷參數(shù)的取值范圍1．（24-25高二下·天津濱海新·期中）已知函數(shù)，滿足.(1)求實數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.(3)方程無實數(shù)根，求實數(shù)的范圍.1．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，恒成立，求的取值范圍．2．（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的極小值為．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，且存在，使得成立，求實數(shù)b的取值范圍．3．（2025·北京海淀·三模）已知．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值點和極值；(2)時，求函數(shù)在上的最小值；(3)若不等式的解集非空，求a取值范圍．4．（2025·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若方程有3個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍．5．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)有且只有一個極值點；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．6．（2025·廣東茂名·二模）已知為常數(shù)，且．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有且僅有2個不等的實數(shù)解，求的值．7．（24-25高二下·貴州六盤水·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點”．(1)若函數(shù)和為“契合函數(shù)”，求的取值范圍．(2)已知函數(shù)和為“契合函數(shù)”且有兩個“契合點”．①求的取值范圍；②若，證明：．8．（2025·天津南開·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若方程有兩個不同的實數(shù)解，證明：．9．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．若曲線在點處的切線的斜率為（是自然對數(shù)的底數(shù)），求的值．10．（24-25高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值；(3)若方程恰有兩個不等的實根，求的取值范圍．11．（2025·湖北·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，討論方程的根的個數(shù).12．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極值．(1)求m的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．13．（2025·湖南·三模）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若為函數(shù)的極值點，求a的值；(3)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，若對于任意，總存在，使得，求實數(shù)b的取值范圍．14．（2021·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)的取值范圍．15．（2026高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)求證：當(dāng)時，；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍．1．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．2．（2025·天津·高考