2/17專題3.3組合與組合數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.理解組合與組合數(shù)的概念，正確認(rèn)識排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系。2.會推導(dǎo)組合數(shù)公式，并組合數(shù)公式進(jìn)行計算。3.能解決有限制的組合問題，掌握常見的類型與解題策略。4.能解決簡單的排列、組合的綜合問題。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）組合與組合數(shù)的概念，正確區(qū)分排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系；（2）能解決簡單的排列與組合的計算以及排列與組合的綜合問題；2.難點(diǎn)（1）有限制的組合問題；（2）分組分配問題與涂色問題。知識點(diǎn)01組合數(shù)公式的推導(dǎo)：從4個不同元素SKIPIF1<0中取出3個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先再，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0可以求得，故我們可以考察一下SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系，如下：組合排列SKIPIF1<0由此可知,每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素中取出3個元素的組合，共有SKIPIF1<0個；②對每一個組合的3個不同元素進(jìn)行全排列，各有SKIPIF1<0種方法．由分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．知識點(diǎn)02組合數(shù)公式的推廣：一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；②求每一個組合中m個元素全排列數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)分步計數(shù)原理得：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0．知識點(diǎn)03組合數(shù)公式：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0規(guī)定:SKIPIF1<0.知識點(diǎn)04定位、定元的排列問題：一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．知識點(diǎn)05相鄰問題：解決相鄰問題的方法是“”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．知識點(diǎn)06不相鄰問題：6、解決不相鄰問題的方法為“”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．

題型01組合數(shù)的化簡及簡單計算【典例1】．（24-25高二下·重慶·期中）若，則（

）A． B． C． D．【變式1】．已知，則的值是（

）A．9 B．7 C．9或 D．8【變式2】．（24-25高二下·廣東惠州·期中）（多選題）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則正整數(shù)的值是B．C．D．【變式4】．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9題型02代數(shù)中的組合問題【典例2】．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）將3個2和2個1隨機(jī)排成一行，則2個1不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】．從2，3，5，7，11這5個素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】．（24-25高二下·吉林長春·階段練習(xí)）若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“凸數(shù)”，如360、253等都是“凸數(shù)”．用0，1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則在組成的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為．（用數(shù)字作答）【變式3】．（24-25高二下·江蘇·期末）已知，，且．則滿足條件的集合共有個．題型03幾何中的組合問題【典例3】．（2025·安徽·模擬預(yù)測）在三棱錐的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式1】．（24-25高二下·河南南陽·期中）觀察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線相交，交點(diǎn)的個數(shù)最多是（

）A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【變式2】．（23-24高二下·四川眉山·期末）一個直四棱柱的底面為梯形，這個四棱柱的每兩個頂點(diǎn)相連形成多條直線，這些直線最多能組成（

）對異面直線A．174 B．180 C．210 D．368【變式3】．（24-25高二下·廣東廣州·期末）以平行六面體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個數(shù)為（

）A．70 B．64 C．58 D．24

題型04分組分配問題【典例4】．（24-25高二下·福建泉州·期末）為了提高人們的環(huán)保意識，讓所有人都能為保護(hù)環(huán)境出一份力，學(xué)校安排A，B，C，D4名學(xué)生去甲、乙、丙三個社區(qū)宣講，每個學(xué)生去且只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少有1名學(xué)生，其中學(xué)生A不能去甲社區(qū)，則不同安排方式的總數(shù)是（

）A．20 B．24 C．32 D．36【變式1】．（24-25高三下·山西大同·期末）在全國人口普查過程中，甲、乙、丙、丁四位普查員要去A、B、C三個小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，若甲普查員不能去A小區(qū)，且每個小區(qū)至少去一名普查員，每人只能去一個小區(qū)．則不同的安排方法共有（

）A．24種 B．36種 C．6種 D．12種【變式2】．（25-26高三上·上?！るA段練習(xí)）某校安排甲，乙，丙，丁共4位教師分別去高一，高二，高三三個年級任教，其中每個年級至少安排一位教師，若甲，乙不去高三年級但能去其他兩個年級，丙，丁都能去三個年級，則不同的安排方案的種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【變式3】．（25-26高三上·廣東·階段練習(xí)）為了表揚(yáng)三位樂于助人的同學(xué)，班主任購買了4個價錢相同的禮盒全部分給這3名同學(xué)，若購買的4個禮盒僅有2個相同，按一人2個禮盒，另兩人各1個禮盒進(jìn)行分配，共有種分法.（用數(shù)字作答）題型05x+y+z=n的整數(shù)問題【典例5】．方程的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為.【變式1】．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為.【變式2】．（24-25高二下·青海西寧·期末）已知方程，若x，y，z均為正整數(shù)，則稱為該方程的正整數(shù)解.則方程共有（

）個正整數(shù)解.A．171 B．190 C．342 D．380【變式3】．（24-25高二下·湖北·期中）已知元一次方程（，，，）的正整數(shù)解的個數(shù)為，則方程滿足（）的整數(shù)解的個數(shù)為（

）A．35 B．56 C．84 D．120題型06其它排列與組合的綜合問題【典例6】．埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因?yàn)?，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：，…，若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y，，將所有可能的三位數(shù)x按從小到大依次排序，則第12個三位數(shù)x為（

）A．214 B．215 C．248 D．284【變式1】．（24-25高二上·重慶沙坪壩·期中）將4個相同的白球、5個相同的黑球放入4個不同盒子中的3個中，使得有1個空盒且其他3個盒子中球的顏色齊全的不同放法共有種．用數(shù)字作答

一、單選題1．（24-25高二上·福建寧德·期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東臨沂·一模）將1到30這30個正整數(shù)分成甲?乙兩組，每組各15個數(shù)，使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2，則不同的分組方法數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）北斗七星是夜空中的七顆亮星，我國漢代緯書《春秋運(yùn)斗樞》就有記載，它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不僅是天上的星象，也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)，，，，，，表示某一時期的北斗七星，其中，，，看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線，過這七個點(diǎn)中任意兩個點(diǎn)作直線，所得直線的條數(shù)為（

）

A．4 B．13 C．15 D．164．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個點(diǎn)．在這10點(diǎn)中取4個不共面的點(diǎn)，則不同的取法種數(shù)為（

）A．141 B．144 C．150 D．1556．已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（

）組不同的解.A． B． C． D．7．（24-25高三上·云南臨滄·開學(xué)考試）為了提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甲、乙、丙等五名同學(xué)打算選修學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)拓展課程，現(xiàn)有幾何畫板、數(shù)學(xué)與生活、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)獨(dú)四門課程可供選修，每名同學(xué)均需選修且只能選修其中一門課程，每門課程至少有一名同學(xué)選修，則甲不選修幾何畫板，且數(shù)獨(dú)只能由乙和丙中一人或兩人選修的情況的種數(shù)為（

）A．48 B．50 C．52 D．548．（24-25高二下·湖北·期末）某校將開展三項(xiàng)不同的社會實(shí)踐活動，現(xiàn)招募了5名學(xué)生志愿者參與.要求每個活動項(xiàng)目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知學(xué)生甲和乙是好朋友，須一起參與同一個活動項(xiàng)目，那么不同的人員分配方案共有（

）種?A．18 B．24 C．30 D．369．（24-25高二下·重慶·期中）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，，，是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則甲、乙兩人相遇的概率為（

）

A． B． C． D．10．（2023·山東濰坊·一模）過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種二、多選題11．（24-25高二下·廣東江門·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．B．（，為正整數(shù)且）C．D．滿足方程的值可能為或或或三、填空題12．（2025·江西·二模）為吸引顧客，某大型超市開業(yè)期間租了含甲、乙在內(nèi)的五個迎賓機(jī)器人，現(xiàn)將這五個機(jī)器人分別分配到一、二、三樓擔(dān)任迎賓工作，若要求每個樓層至少分配一個機(jī)器人，一個機(jī)器人只能去一個樓層，且機(jī)器人甲、乙不在同一個樓層，則不同的分配方法種數(shù)為.(用數(shù)字作答)13．已知集合，則A中的元素的個數(shù)為.14．（25-26高二上·全國·期末）基礎(chǔ)學(xué)科對于一個國家科技發(fā)展至關(guān)重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領(lǐng)先的關(guān)鍵，其中數(shù)學(xué)學(xué)科尤為重要．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了《九章算術(shù)》《古今數(shù)學(xué)思想》《數(shù)學(xué)原理》《世界數(shù)學(xué)通史》《算術(shù)研究》五門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式種數(shù)為．15．（24-25高二下·河北邯鄲·期末）已知小張、小王等6名同學(xué)需要到甲、乙、丙、丁4個單位去實(shí)習(xí)，要求每名同學(xué)只去一個單位實(shí)習(xí)，每個單位都有學(xué)生參加實(shí)習(xí)，則在小張去丁單位實(shí)習(xí)的前提下，小王不去丁單位實(shí)習(xí)的概率為.16．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖是某城區(qū)的街道平面網(wǎng)格