⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．（2）系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來．知識點03二項式展開式中的系數(shù)和有關(guān)問題（1）設(shè)，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．（2）若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．

題型一：求二項展開式【典例1】.（24-25高三上·北京通州·期末）在二項式的展開式中，常數(shù)項為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.65【知識點】二項展開式的應(yīng)用、求二項展開式的第k項【分析】求出通項，找到常數(shù)項即可.【詳解】的通項公式為，常數(shù)項時，則，所以常數(shù)項為，故選：D.【變式1】.已知二項式的展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式的應(yīng)用【分析】應(yīng)用二項展開式的通項求解可得.【詳解】的展開式的通項公式.令，解得，可得，即的系數(shù)為.故選：A.【變式2】.（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）的二項展開式是．【答案】【難度】0.94【知識點】求二項展開式【分析】根據(jù)二項式定理可得答案.【詳解】．故答案為：．【變式3】.在二項式的展開式中，常數(shù)項是第項．【答案】11【難度】0.65【知識點】二項展開式的應(yīng)用、求二項展開式、求二項展開式的第k項【分析】求出通項，找到常數(shù)項，然后確定第幾項即可.【詳解】的通項公式為，常數(shù)項時，則，所以常數(shù)項是第11項，故答案為：11題型二：求含有參數(shù)的二項展開式【典例2】.（24-25高二下·上?！て谥校┤舻恼归_式中含項的系數(shù)為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)【分析】求出的展開式的通項，令的次數(shù)等于，求出對應(yīng)的值，再代入系數(shù)結(jié)合題意即可求得實數(shù)的值.【詳解】二項式的展開式的通項為,令，解得，所以，解得故選：D.【變式1】.（25-26高三上·云南昭通·階段練習(xí)）展開式中的常數(shù)項為160，則實數(shù)．【答案】1【難度】0.65【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)、求二項展開式的第k項【分析】根據(jù)二項式的通項公式結(jié)合常數(shù)項計算求參數(shù).【詳解】由題意知，則，即，故即．故答案為：1.【變式2】.（24-25高二下·河北保定·階段練習(xí)）在展開式中的系數(shù)為20，則實數(shù)的值為．【答案】4【難度】0.85【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)【分析】寫出二項式的展開式通項，結(jié)合指定項系數(shù)求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，二項式展開式通項為，，令，得，故，可得.故答案為：4.【變式3】.（2025·北京東城·一模）在的展開式中，的系數(shù)為10，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【難度】0.85【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)【分析】寫出二項式通項，令字母因數(shù)部分指數(shù)為3即可求解.【詳解】因為的通項為，令，解得，則，解方程得：.故選：D.題型三：求幾個二（多）項式的和（積）的展開式中條件項系數(shù)【典例3】.（25-26高三上·山東聊城·開學(xué)考試）的展開式中項的系數(shù)為（）A．120 B．90 C．60 D．45【答案】C【難度】0.65【知識點】三項展開式的系數(shù)問題、求指定項的系數(shù)【分析】將變形成，利用二項式定理，可得項的系數(shù).【詳解】因為，所以的展開式中項的系數(shù)為.故選：C.【變式1】.（24-25高二下·廣東廣州·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．14 C． D．9【答案】A【難度】0.65【知識點】兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】先確定二項式展開式的通項，再根據(jù)分配律運算得的系數(shù)即可.【詳解】因為中二項式展開式的通項為，所以的展開式中，的系數(shù)是．故選：A．【變式2】.（24-25高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）展開式中含項的系數(shù)為．【答案】【難度】0.85【知識點】三項展開式的系數(shù)問題【分析】確定展開式中對應(yīng)的各項指數(shù)組合，即可列出該項得解.【詳解】展開式中含項的為，則其系數(shù)為.故答案為：.【變式3】.（2025·浙江麗水·一模）展開式中的常數(shù)項是．【答案】【難度】0.85【知識點】兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】根據(jù)題意，先求得二項式的展開式的通項公式為，進而求得展開式的常數(shù)項，得到答案.【詳解】由二項式的展開式的通項公式為，所以，所以當(dāng)時有常數(shù)項，當(dāng)時有常數(shù)項，所以所求展開式的常數(shù)項為.故答案為：.題型四：求二項式系數(shù)與項的系數(shù)的最值【典例1】.（2025·江蘇宿遷·三模）（多選題）的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．展開式共8項 B．含項的系數(shù)為480C．無常數(shù)項 D．所有項的二項式系數(shù)之和為128【答案】ACD【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】利用二項式定理可判斷A正確，根據(jù)展開式通項可判斷B錯誤、C正確，根據(jù)所有項的二項式系數(shù)之和為可得D正確.【詳解】對于A，易知的展開式中共有8項，即A正確；對于B，設(shè)展開式中的第項為,令，解得；因此含項的系數(shù)為，所以B錯誤；對于C，令，此時不是正整數(shù)，因此展開式中不存在常數(shù)項，即C正確；對于D，易知所有項的二項式系數(shù)之和為，可得D正確.故選：ACD【變式1】.（24-25高二下·河南鄭州·期末）已知的展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項為.【答案】54【難度】0.85【知識點】求二項展開式的第k項、求指定項的二項式系數(shù)【分析】根據(jù)展開式中第二項與第四項的二項式系數(shù)相等求出，再根據(jù)二項式的展開式通項公式求出常數(shù)項.【詳解】的展開式中第二項和第四項的二項式系數(shù)分別為和，所以，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得.對于，易得展開式的通項為，，令，得，所以常數(shù)項為.故答案為：54.【變式2】.（24-25高二下·上海奉賢·期末）在的二項展開式中系數(shù)最大的項的系數(shù)是（結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】20412【難度】0.85【知識點】求系數(shù)最大（?。┑捻棥痉治觥扛鶕?jù)二項展開式得到第項系數(shù)為，再利用二項式系數(shù)最大項的求法得出的值即可求最大項的系數(shù).【詳解】的展開式通項為，則系數(shù)為，設(shè)第項系數(shù)最大，則即，解得，又，所以，所以最大項系數(shù)為第7項，最大系數(shù)為.故答案為：20412.【變式3】.（2025·甘肅白銀·三模）已知展開式的所有二項式系數(shù)之和為32，則展開式的各項中系數(shù)的最大值為（

）A．252 B．210 C．120 D．10【答案】B【難度】0.65【知識點】求系數(shù)最大（?。┑捻棥⒍検降南禂?shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和公式求出m，結(jié)合通項公式進行求解即可.【詳解】因為展開式的所有二項式系數(shù)之和為32，所以，所以的通項公式為，當(dāng)或6時，展開式的系數(shù)最大，其系數(shù)最大值為，故選：B題型五：求二項展開式中的二項式系數(shù)和、各項系數(shù)和【典例5】.（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）（多選題）設(shè)，則下列說法正確的有（

）A．的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為B．C．D．【答案】ABC【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、奇次項與偶次項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】A選項，由結(jié)論直接可得二項式系數(shù)的和為，A正確；B選項，令得；C選項，賦值得到，相加可得C正確；D選項，令得，D錯誤.【詳解】A選項，的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為，A正確；B選項，中，令得，B正確；C選項，中，令得①，令得②，兩式①+②得，即，C正確；D選項，，由二項式定理得，故，，令得，D錯誤.故選：ABC【變式1】.（25-26高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）若二項式的展開式中二項式系數(shù)和為64，那么該展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C．15 D．20【答案】A【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、二項式的系數(shù)和【分析】由二項式系數(shù)和求得，再由二項式展開式的通項得，令，解出，代入即可求解.【詳解】由題意得，，所以展開式的通項為令，所以展開式中的常數(shù)項為．故選：A.【變式2】.（25-26高三上·北京昌平·期中）已知的二項式系數(shù)和為64，則二項式系數(shù)最大值為【答案】20【難度】0.85【知識點】二項式系數(shù)的增減性和最值、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為可得，再結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的二項式系數(shù)和為64，則，解得，所以二項式系數(shù)最大值為.故答案為：20.【變式3】.（25-26高三上·四川南充·階段練習(xí)）已知的展開式中各項系數(shù)之和為64，則該展開式中的系數(shù)為．【答案】135【難度】0.85【知識點】二項展開式各項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法求得指數(shù)，再利用二項式展開式的通項計算求解.【詳解】依題意，，解得，故二項式的展開式的通項為：，當(dāng)時，可得該展開式中的系數(shù)為.故答案為：.題型六：楊輝三角【典例6】.我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式和的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”，若“楊輝三角”中第行的各數(shù)之和比上一行各數(shù)之和大64，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【難度】0.65【知識點】楊輝三角、二項式的系數(shù)和【分析】合理歸納，得到規(guī)律，建立方程求解即可.【詳解】易知第一行的各數(shù)和為，第二行為，第三行為，第四行為，第五行為，歸納得第行的各數(shù)之和為，第行的各數(shù)之和為，而第行的各數(shù)之和比上一行各數(shù)之和大64，故有，解得，故B正確.故選：B【變式1】.（2024高二下·全國·專題練習(xí)）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【難度】0.85【知識點】楊輝三角【分析】根據(jù)題意可得第斜列各項之和為，第斜列各項之和為，則可求出.【詳解】當(dāng)時，第斜列各項之和為，同理，第斜列各項之和為，所以，所以第斜列與第斜列各項之和最大時，，則.故選：C．【變式2】.（2025高二·全國·專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)明的“楊輝三角”（如圖所示）是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大創(chuàng)造，它展現(xiàn)了二項式系數(shù)在三角形中的幾何排列．按照這一規(guī)律，第9行第8個數(shù)是．【答案】36【難度】0.85【知識點】楊輝三角【分析】根據(jù)題意，結(jié)合楊輝三角，找出規(guī)律，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖分析，第0行的數(shù)為1，第1行的數(shù)為，第2行的數(shù)為，第3行的數(shù)為……因此，第n行第m個數(shù)為，所以第9行第8個數(shù)是.故答案為：【變式3】.（24-25高二下·上海·期中）“楊輝三角”是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就．在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數(shù)字1，余下的數(shù)逐行從左到右排列，得到數(shù)列為2，3，3，4，6，4，5，10，…，若，，則的最大值為．【答案】【難度】0.65【知識點】楊輝三角【分析】根據(jù)“楊輝三角”確定的位置，再分析出去掉所有的之后的位置，從而得到的最大值.【詳解】依據(jù)“楊輝三角”的分布規(guī)律及可知最后一個出現(xiàn)在第行的第個數(shù)，去掉所有之后是第行第個數(shù)，所以的最大值為，故答案為：.題型七：二項式定理與數(shù)列求和【典例7】.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，公比是的展開式的第二項（按的降冪排列）.（1）求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列前項和；（3）若，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【難度】0.65【知識點】二項式定理與數(shù)列求和、寫出等比數(shù)列的通項公式、求等比數(shù)列前n項和、求二項展開式的第k項【分析】（1）利用二項式定理求得的展開式的第二項，可求得數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得；（2）分和兩種情況討論，利用等比數(shù)列的求和公式可求得；（3）分和兩種情況討論，利用二項式定理可求得的表達式.【詳解】（1）的展開式的第二項為，所以，數(shù)列的公比為，則；（2）當(dāng)時，則，；當(dāng)時，.綜上所述，；（3）當(dāng)時，，，此時，；當(dāng)時，，此時，.綜上所述，.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的求解、等比數(shù)列求和以及利用二項式定理求和，考查計算能力，屬于中等題.【變式1】.已知函數(shù)，其中．（1）若，，求的值；（2）若，，求(，1，2，3，…，8)的最大值；（3）若，求證：．【答案】（1）（2）1792（3）見解析【難度】0.4【知識點】求系數(shù)最大（?。┑捻?、二項式定理與數(shù)列求和、二項展開式各項的系數(shù)和【分析】（1）令和，兩式相加即得解；（2）先求出，設(shè)為中的最大值，則解不等式組即得解；（3）先得到，再利用二項式定理證明.【詳解】（1），時，，令得，令得，兩式相加可得．（2），．不妨設(shè)為中的最大值，則或6，中最大值為．（3）若，，．因為，所以．．故得證.【點睛】本題主要考查二項式定理求展開式的系數(shù)和差，求展開式系數(shù)的最大值，考查組合數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.題型八：排列組合綜合【典例8】.（25-26高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）三個家庭的3位媽媽帶著2名女寶和2名男寶共7人踏春，在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；2名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法種數(shù)共有（

）A．192種 B．288種 C．144種 D．96種【答案】D【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、排列組合綜合、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用【分析】利用捆綁法和插空法進行求解．【詳解】第一步：先將3名母親全排，共有種排法；第二步：將2名女寶“捆綁”在一起，共有種排法；第三步：將“捆綁”在一起的2名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有種排法；第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有種排法．∴不同的排法種數(shù)有：種．故選：D【變式1】.雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎儀式上，女籃隊員12人（其中1人為隊長），教練組3人，站成一排照相，要求隊長必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識點】元素（位置）有限制的排列問題、排列組合綜合、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、相鄰問題的排列問題【分析】根據(jù)捆綁法以及特殊元素優(yōu)先安排的原則，即可由排列組合以及分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個整體安排共有種排法，將剩余的11名隊員全排列共有，由分步乘法計數(shù)原理可得總的站法有，故選:B.【變式2】.現(xiàn)有個小球和個小盒子，下面的結(jié)論正確的是.①若個不同的小球放入編號為、、、的盒子中（允許有空盒），則共有種放法；②若個相同的小球放入編號為、、、的盒子中，且恰有兩個空盒的放法共有種；③若個不同的小球放入編號為、、、的盒子中，且恰有一個空盒的放法共有種；④若編號為、、、的小球放入編號為、、、的盒子中，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有種.【答案】②③④【難度】0.65【知識點】實際問題中的計數(shù)問題、排列組合綜合、分組分配問題【分析】由分步乘法計數(shù)原理可判斷①的正誤；由分類加法、分步乘法結(jié)合排列、組合的知識可判斷②的正誤；由分步乘法、排列、組合知識可判斷③的正誤；利用枚舉法可判斷④的正誤.【詳解】對于①，若個不同的小球放入編號為、、、的盒子中（允許有空盒），每個小球有種放法，共有種不同的放法，①錯誤；對于②，將個相同的小球放入編號為、、、的盒子中，且恰有兩個空盒，則一個盒子放個小球、另一個盒子放個小球或兩個盒子均放個小球，此時，共有種不同的放法，②正確；對于③，將個不同的小球放入編號為、、、的盒子中，且恰有一個空盒，則兩個盒子各放個小球，另一個盒子放個小球，此時，共有種放法，③正確；對于④，將編號為、、、的小球放入編號為、、、的盒子中，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法為：、、、、、、、、，共種，④正確.故答案為：②③④.【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).【變式3】.冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．將6個不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1個冰墩墩，則不同的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）【答案】1560【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用、分組分配問題【分析】根據(jù)題意可知有兩個人各分得2個、兩個人各分得1個和有一個人分得3個、其余三人各分得1個兩種情況，結(jié)合平均分配的思想方法與分步乘法計數(shù)原理即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，有兩種情況：一、有兩個人各分得2個，兩個人各分得1個，可以先從6個冰墩墩中任選2個，組成一個小組，有種選法，然后再從剩余4個冰墩墩中任選2個，組成一個小組，有種選法；然后連同兩個冰墩墩，看成四個元素，四人看成四個不同的元素在四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，完成這件事，共有種不同的分配方案；二、有一個人分得3個，其余三人各分得1個，可以先從6個冰墩墩中任選3個，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三個冰墩墩，看成四個元素，四人看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，完成這件事，共有種不同的分配方案．綜上，不同的分配方案共有種．

一、單選題1．（24-25高二上·江西·期末）二項式的展開式中有理項的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【難度】0.85【知識點】二項展開式的應(yīng)用【分析】由二項式展開式的通項公式求出通項，然后由指數(shù)為整數(shù)得到的取值，得出結(jié)果.【詳解】二項式展開式的通項為．其中當(dāng)k的值分別為0，2，4時，為有理項，共有3項．故選：B．2．（24-25高二下·廣西河池·階段練習(xí)）在的展開式中，的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【難度】0.65【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)【分析】根據(jù)二項展開式通式得，再令，解出后即可得到方程，解出即可.【詳解】的展開式通項為，令，可得，所以的系數(shù)為，解得．故選：C.3．（25-26高三上·廣東·階段練習(xí)）的展開式中的常數(shù)項為（

）A．120 B．88 C．24 D．18【答案】B【難度】0.85【知識點】三項展開式的系數(shù)問題、分類加法計數(shù)原理【分析】利用多項式乘多項式的規(guī)則及分類計數(shù)原理即可求解.【詳解】因為，要想得到常數(shù)項，則有兩種可能性：（1）5個括號都取常數(shù)項，則得到的常數(shù)項為；（2）2個括號取常數(shù)項，2個括號取，1個括號取，則得到的常數(shù)項為.根據(jù)多項式乘多項式的規(guī)則可知展開式的常數(shù)項為.故選：B4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．25 C． D．50【答案】A【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】利用的二項展開式的通項公式，可求的系數(shù).【詳解】易得展開式通項公式為，令可得的系數(shù)為，令可得的系數(shù)為，故原展開式中的系數(shù)為.故選：A.5．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展開式中第3項與第5項的二項式系數(shù)之比為，則展開式中的有理項的項數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【難度】0.65【知識點】求有理項或其系數(shù)、求指定項的二項式系數(shù)【分析】根據(jù)第項的二項式系數(shù)為，求出，再根據(jù)二項展開式的通項，即可求出其有理項.【詳解】由題知，又，所以，展開式通項為，令，則，所以展開式中有4項的有理項.故選：C6．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）的展開式的第二項的二項式式系數(shù)為（

）A．10 B．5 C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】求指定項的二項式系數(shù)【分析】求出展開式的第二項的二項式系數(shù)可得答案.【詳解】的展開式的第二項的二項式式系數(shù)為.故選：B.7．（24-25高二下·廣東汕頭·期中）在二項式展開式中，下列說法不正確的是（

）A．第三項的二項式系數(shù)為15 B．所有項的二項式系數(shù)之和為64C．有理項共有3項 D．常數(shù)項為第五項【答案】C【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、求有理項或其系數(shù)、二項式的系數(shù)和、求指定項的二項式系數(shù)【分析】結(jié)合二項展開式的通項公式可判斷ACD的真假，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷B的真假.【詳解】設(shè)展開式的第項為，則：.所以的二項式系數(shù)為，故A正確；由為整數(shù)，可得的值可以為，故展開式中有理項為4項，故C錯誤；由，所以為常數(shù)項，故D正確；對B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：所有項的二項式系數(shù)之和為，故B正確.故選：C8．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）的展開式中系數(shù)最小的項和二項式系數(shù)最大的項分別為（

）A．第1項和第3項 B．第2項和第4項C．第3項和第1項 D．第4項和第2項【答案】B【難度】0.65【知識點】求系數(shù)最大（小）的項、求指定項的二項式系數(shù)【分析】寫出的二項展開式的通項，進而可知項的系數(shù)為，進而可知當(dāng)取奇數(shù)時，系數(shù)為負值，因此分別求出、、時的項的系數(shù)，進而可知最小值；因為的展開式有7項，因此中間一項的二項式系數(shù)最大.【詳解】的展開式的通項為，當(dāng)取奇數(shù)時，系數(shù)為負值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以第2項的系數(shù)最??；因為的展開式有7項，所以中間一項的二項式系數(shù)最大，即第項的二項式系數(shù)最大.故選：B.9．在的二項展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第5項和第6項【答案】B【難度】0.85【知識點】求系數(shù)最大（?。┑捻?、二項式系數(shù)的增減性和最值【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】的通項公式為,根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知，第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，第6項時，展開式的系數(shù)為負，因此第5項，展開式系數(shù)最大故選：B10．（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）的展開式中二項式系數(shù)的和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．60 B． C．15 D．【答案】A【難度】0.85【知識點】求二項展開式的第k項、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)，求出參數(shù)；根據(jù)二項式展開式，求出指定項即可.【詳解】由題可知，解得，則二項式展開式通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為.故選：A.11．（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、奇次項與偶次項的系數(shù)和、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】令計算可判斷A；利用展開式的通項公式計算可判斷B，令計算可判斷C；令結(jié)合C選項計算可判斷D.【詳解】對于A，令，得，即，故A錯誤；對于B，展開式的通項公式為，所以，故B錯誤；對于C，令，得，即，故C正確；對于D，令，得，即，因為，所以，因為，所以不成立，故D錯誤.故選：C12．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知，則下列選項中錯誤的是（

）A．B．的最大值為C．D．【答案】C【難度】0.65【知識點】求系數(shù)最大（小）的項、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、奇次項與偶次項的系數(shù)和【分析】求出二項式展開式的通項公式，求出分析判斷AB；賦值計算判斷CD.【詳解】展開式的通項公式為，對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，即有，因此的最大值為，B正確；對于C，當(dāng)分別取時，，則，C錯誤；對于D，當(dāng)分別取時，，則，而，因此，D正確.故選：C13．當(dāng)時，將三項式展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：

若在的展開式中，的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【難度】0.85【知識點】求指定項的系數(shù)、楊輝三角、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】閱讀題意，結(jié)合廣義楊輝三角形和二項式定理求解即可.【詳解】依題意，“廣義楊輝三角形”構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)(不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0)之和，所以“廣義楊輝三角形”的第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，在的展開式中，的系數(shù)為45，的系數(shù)為30，的展開式中，的系數(shù)為，解得.故選：A14．中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種基本才能（六藝）：禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團周末開展“六藝”課程講座活動，一天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，則“射”與“數(shù)”之間間隔一藝的不同排課方法總數(shù)有（

）A．432種 B．240種 C．192種 D．96種【答案】C【難度】0.65【知識點】排列組合綜合、不相鄰排列問題【分析】利用排列組合知識進行求解即可【詳解】根據(jù)題意，在“射”與“數(shù)”之間間隔一藝，先將“射”與“數(shù)”進行全排列，從剩余的4藝中選擇1個放在“射”與“數(shù)”中間，再將這三藝看做一個整體和剩余的3個元素進行全排列，這樣的排課方法數(shù)為：有種排課方法.故選：C.15．某電視臺計劃在春節(jié)期間某段時間連續(xù)播放6個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個連續(xù)播放，則不同的播放方式有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種【答案】B【難度】0.65【知識點】排列組合綜合【分析】將第一個和最后一個先安排為公益廣告，然后由商業(yè)廣告不能3個連續(xù)播放，將其排成一列，之間有兩個空，將剩下的公益廣告插進去即可.【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，然后將3個不同的商業(yè)廣告排成一列有種方法，3個不同的商業(yè)廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，所以總共有：種方式.故選:B二、多選題16．（24-25高二下·貴州安順·期末）（多選題）已知的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中（

）A．各項的二項式系數(shù)之和為 B．含的項的系數(shù)為C．奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為 D．二項式系數(shù)最大項為第項【答案】ABC【難度】0.65【知識點】求系數(shù)最大（?。┑捻?、求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】令，即可求得各項系數(shù)之和，由此解方程得到的值.對于A，利用二項式系數(shù)之和的公式求解即可；對于B，寫出該二項式展開式的通項，令的指數(shù)為求解即可；對于C，利用奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和的公式求解即可；對于D，當(dāng)為偶數(shù)時，二項式系數(shù)最大的項是中間項.【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)之和為，所以令，，即，解得.對于A，各項的二項式系數(shù)之和為，故選項A正確；對于B，的展開式的通項為，令，解得，，故含的項的系數(shù)為，選項B正確；對于C，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故選項C正確；對于D，當(dāng)為偶數(shù)時，二項式系數(shù)最大的項是中間項，時，中間項是第項，故二項式系數(shù)最大項為第項，選項D錯誤.故選：ABC.17．（24-25高二下·內(nèi)蒙古·期末）（多選題）已知的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為64，則（

）A． B．各項系數(shù)之和為C．第3項的二項式系數(shù)最大 D．常數(shù)項為【答案】ABD【難度】0.65【知識點】二項展開式各項的系數(shù)和、二項式系數(shù)的增減性和最值、求二項展開式的第k項、二項式的系數(shù)和【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)列式求得，判斷A，令得各項系數(shù)之和判斷B，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C，求出展開式的通項，令得，代入即可求常數(shù)項判斷D.【詳解】根據(jù)各項的二項式系數(shù)之和為64，可得，解得，A正確．令，則各項系數(shù)之和為，B正確．因為，所以第4項的二項式系數(shù)最大，C錯誤．的展開式的通式為，令得，故所求的常數(shù)項為，D正確．故選：ABD18．（24-25高二下·河北保定·期末）（多選題）已知，則（

）A． B．C．的展開式的二項式系數(shù)之和為 D．【答案】ABD【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、奇次項與偶次項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】令得即可判斷A，利用二項式定理的通項公式求即可判斷B，二項式系數(shù)之和為即可判斷C，令和即可求即可判斷D.【詳解】由題意有：令有，故A正確；由，故B正確；的展開式的二項式系數(shù)之和為，故C錯誤；令有，令有，兩式相加有，故D正確.故選：ABD.19．（24-25高二下·山西·期末）（多選題）已知，則（

）A．B．在中的最大值為C．D．【答案】BCD【難度】0.65【知識點】求指定項的系數(shù)、二項展開式各項的系數(shù)和、奇次項與偶次項的系數(shù)和、二項式的系數(shù)和【分析】將二項式化為并寫出其展開式通項，進而根據(jù)各選項的分別求、確定中的最大值；用賦值法，令可求的值；將目標(biāo)式去絕對值符號，應(yīng)用賦值法令，即可求的值.【詳解】由，得展開式通項為.對于A，，故A錯誤；對于B，均為負數(shù)，，，，，所以在中最大，故B正確；對于C，令，得，又，所以.故C正確；對于D，因為均為負數(shù)，其余的均為正數(shù)，所以，令，得.，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題20．展開：．【答案】【難度】0.65【知識點】求二項展開式【分析】根據(jù)二項式定理，求出二項展開式即可.【詳解】由二項展開式可得，.故答案為：21．（24-25高二下·天津和平·期末）已知二項式的展開式中，的系數(shù)為28，則的系數(shù)為.【答案】70【難度】0.85【知識點】由項的系數(shù)確定參數(shù)、求指定項的系數(shù)【分析】根據(jù)二項式的展開式的通項公式先求出，進而求解即可.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，，，令，得，由于的系數(shù)為28，則，解得，則，，令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：70.22．（25-26高三上·全國·階段練習(xí)）在展開式中，的系數(shù)為．【答案】【難度】0.65【知識點】三項展開式的系數(shù)問題【分析】利用二項式定理的原理可求解.【詳解】表示4個相乘，要想得到，需要從4個因式中，3個選擇項，1個選擇常數(shù)項，所以的系數(shù)為：.故答案為：23．（25-26高三上·山東青島·開學(xué)考試）的展開式中項的系數(shù)是．【答案】【難度】0.85【知識點】兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題【分析】根據(jù)題意，先求得展開式的通項，結(jié)合多項式的運算法則，求得的展開式中項，進而得到答案.【詳解】由二項式展開式的通項為，則的展開式