6/15解答題三角函數(shù)與解三角形根據(jù)近幾年的高考情況，三角函數(shù)、三角恒變換與解三角形是高考必考點(diǎn)。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函數(shù)與解三角形的綜合問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求解。還考察把實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合.題型1三角恒等變換與三角函數(shù)1．（2025·廣東·一模）已知函數(shù)，其中．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若時(shí)，的最小值為4，求的值．【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期；利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）由已知找到取最小值為4時(shí)的值，得到關(guān)于的方程．【詳解】（1），．由，，求得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由時(shí)，，，，解得．2．（2025·全國(guó)·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，且在區(qū)間上恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值.(1)求的值及的取值范圍；(2)若是整數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，求的最大值.【答案】(1)，；(2)2【分析】（1）將代入解析式，求出，并求出，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出的取值范圍；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到，求出平移后的解析式，得到，結(jié)合求出最大值.【詳解】（1）將代入解析式得，又，故，又，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，故，解得；（2）是整數(shù)，又，故，所以，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以，，又，故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。1、首先要通過(guò)降冪公式降冪，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通過(guò)輔助角公式“化一”，化為3、輔助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計(jì)算：一般將看做一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的問(wèn)題（零點(diǎn)問(wèn)題），通常通過(guò)函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，再借助圖象進(jìn)行分析。1．（2025·湖北黃岡·一模）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再結(jié)合條件，即可求解；（2）根據(jù)條件得，由可得或，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】（1），又的最小正周期為，，則，所以.（2）由（1）知，所以，由時(shí)，得到，所以或即或，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，由，令，得；令，得；由，令，得；，得；所以，故的取值范圍是.2．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及在上的值域；(2)若為銳角且，求的值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)?2)【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.【詳解】（1）依題意，函數(shù)由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由，得，，所以當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)?（2）由（1）知，，由，得，由，得，所以，，所以.3．（2025·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸方程為：；(2)最大值為，最小值為0．【分析】（1）先用半角公式降次，再利用輔助角公式可化簡(jiǎn)為，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求解即可．（2）當(dāng)時(shí)，，可得，即可得出函數(shù)的最值．【詳解】（1），令，解得，對(duì)稱軸方程為：．令，解得，函數(shù)的對(duì)稱中心為．（2）當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的最大值為1，最小值為，函數(shù)的最大值為，最小值為0．4．（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將的圖象向右平移個(gè)單位后，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，最終得到的圖象，若，滿足不等式，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）先由三角函數(shù)的圖像變換得到的解析式，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，結(jié)合換元法以及二次函數(shù)的值域，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），所以，所以的周期為，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即可得到，再將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即可得到，因?yàn)椋?，所以?dāng)，時(shí)，，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為所以，解得或，故的取值范圍為．5．（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若函數(shù)的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為．(1)求的值，并求函數(shù)在的值域；(2)若函數(shù)（其中常數(shù)）為奇函數(shù)，求的值．【答案】(1)1，(2)．【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)后，利用正弦型函數(shù)的周期求出，再由自變量的范圍求出值域；（2）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期，所以，所以．，，．所以，在的值域?yàn)椋?）函數(shù)為奇函數(shù)，令得，所以，因?yàn)?，所以，?．（2025·遼寧大連·一模）已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示.(1)求的值;(2)記求的解集.【答案】(1)1(2)或【分析】（1）分子分母同乘以，化簡(jiǎn)，再由圖象得到周期，代入到周期公式可得的值；（2）由的解析式得到的解析式，再利用倍角公式化簡(jiǎn)，然后把當(dāng)成整體，分類討論解不等式.【詳解】（1）分子分母同乘以得：，由函數(shù)圖象知：，又由得：.（2）由小問(wèn)1知：.，由得：，得，，，或，解得：或，，得：或，，所以的解集為：或.題型二：正余弦定理解三角形的邊與角1．（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，.(1)求C的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）由正弦定理可得答案；（3）由平方關(guān)系求出，再利用兩角和的余弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】（1）由余弦定理，得，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，由正弦定理，得；?）因?yàn)?，所以，所以，所?.2．（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求；(2)若，面積為，求c.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】（1），，，又，，即，解得或，，，；（2）由（1）知，且，，，面積為，，，由余弦定理得，，，.利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。1．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且.(1)求A；(2)若，，求c的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，可借助兩角和正弦公式來(lái)化簡(jiǎn)求角；（2）利用正弦定理求，再利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）由正弦定理邊化角得：，再由三角形內(nèi)角和定理得：，代入可得：，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以；?）由正弦定理得：，再由余弦定理得：，解得或（舍去），所以2．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)證明：；(2)若，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換、同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合角度關(guān)系即可得證；（2）根據(jù)正弦定理、余弦定理，結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）由已知得，所以，又，或，因由可得，則得，不合題意，故得；（2）由正弦定理，，即，則，化簡(jiǎn)得，由余弦定理，，故得，即，因，故，解得，或（舍去），故.3．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.(1)求；(2)若，點(diǎn)在邊上，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理將邊化為角后，結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可得；（2）借助向量及模長(zhǎng)與數(shù)量積關(guān)系可得與、有關(guān)等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得與、有關(guān)等式，結(jié)合計(jì)算即可得解.【詳解】（1）由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，故；?）由知，，則有，即，化簡(jiǎn)得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，則，則，化簡(jiǎn)得，則，即，則（負(fù)值舍去），所以.題型三：解三角形中角度最值范圍1．（25-26高二上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是、、，且．(1)若，求的面積；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理變化角可得，求出，在由余弦定理，結(jié)合，求出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）由三角形內(nèi)角和為，結(jié)合，化簡(jiǎn)可得，再由銳角三角形求出，然后求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，所以?即.由余弦定理知，代入數(shù)據(jù)得，解得，所以，所以的面積為.（2），因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.2．（24-25高一下·廣東江門·期中）在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c，且(1)求角A的大?。?2)若，，求a；(3)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦定理角化邊求解.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解.（3）由（1）令，再利用銳角三角形條件及和差角的正弦求出范圍.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，而，解得，而，所以.（2）由及，得，解得，而，則，由余弦定理得，所以.（3）由（1）知，令，由為銳角三角形，得，則，因此，所以的取值范圍是.求解三角形的角度范圍問(wèn)題,常見(jiàn)解題思路為:(1)對(duì)所給條件做出分析,根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適定理表達(dá)所求角度,若已知邊長(zhǎng)值較多則考慮余弦定理,已知角度大小則考慮正弦定理;(2)根據(jù)角度的具體表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),討論有關(guān)變量的具體定義域;(3)選擇三角函數(shù)求值域或基本函數(shù)求值域方式,在所求定義域內(nèi)求得對(duì)應(yīng)值域,即可得到問(wèn)題所求的角度相關(guān)范圍大小.1．（24-25高一下·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍；(3)若，求外接圓面積的最小值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用兩角差的正弦公式和正弦定理可得，進(jìn)而利用余定理可得結(jié)論；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式與（1）可得的取值范圍；（3）利用（2）求得，進(jìn)而求得外接圓的半徑的最小值，可求面積的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理得，由余弦定理：，所以，即，所以；?）由余弦定理得又因?yàn)?，所以所以的取值范圍是：；?）由（2）可得，所以外接圓，所以外接圓面積的最小值為.2．（24-25高一下·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，且．(1)求角A的大?。?2)若的面積是，求的周長(zhǎng)；(3)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理的邊角互化，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由三角形的面積公式可得的值，再由余弦定理可得的值，從從而可得，即可得到結(jié)果；（3）由三角形的內(nèi)角和將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得，即，因?yàn)椋?，則，即.（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，即，所以，則，所以，則的周長(zhǎng)為.（3）由可得，則，且為銳角三角形，則，解得，所以，則，所以，即的取值范圍是.3．（2025·遼寧·一模）在中，角所對(duì)的邊分別是，且滿足(1)求角的大??；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求得，利用三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)將式子化簡(jiǎn)成只關(guān)于角A的函數(shù)，然后利用換元的方法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解值域即可．【詳解】（1）由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?（2）由余弦定理得：，代入得：，根據(jù)基本不等式，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：，故面積的最大值為.（3）令，則，所以可化為：因?yàn)?，由二次函?shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式大于，當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，故的取值范圍為4．（2025·廣東揭陽(yáng)·三模）已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的最值；(3)若，，求的面積S的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)最小值，無(wú)最大值.(3).【分析】(1)根據(jù)和差化積公式的證明構(gòu)成做答即可.(2)根據(jù)半角公式，題干條件化簡(jiǎn)為余弦,通過(guò)兩角和差的余弦公式帶入解方程,得內(nèi)角三角函數(shù)關(guān)系式,帶入求得最值.(3)根據(jù)正弦面積公式,和正弦定理,將面積公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,利用對(duì)鉤函數(shù)單調(diào)性,求出面積范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，，兩式相加得，得證.（2）當(dāng)時(shí)，，滿足.令，，故無(wú)最大值，因?yàn)椋瑒t，，，則或，由，有，則.①時(shí)，，時(shí)取等號(hào)，②時(shí)，，時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋瑒t的最小值是，綜上，有最小值，無(wú)最大值.（3）①時(shí)，，則.②時(shí)，在中，由正弦定理有，則，，則，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，∴綜上，的面積的取值范圍是.題型四：解三角形中邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)最值范圍1．（2025·山東德州·三模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．(1)求；(2)若，求的邊的最大值．【答案】(1)(2)4．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用和角的正弦化簡(jiǎn)求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.【詳解】（1）由，得，即，又，則，于是，又，所以.（2）由（1）知，由余弦定理，得，而，則，因此，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以的邊的最大值為4.2．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，且．(1)求；(2)若，求的周長(zhǎng)最大值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）法一根據(jù)條件，利用倍角公式和誘導(dǎo)公式得，再利用射影公式：，可得，即可求解；法二，利用正弦定理邊化角，即可求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)果，利用余弦定理得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）方法1：由，得，可得到，根據(jù)射影公式得，則，即，因，所以．方法2：由法一知，由正弦定理得，即．因?yàn)?，所以，故．又，所以．?）因?yàn)椋?）知，由余弦定理得，即．由基本不等式，代入上式，所以，即，得到（取得等號(hào)），又，故的周長(zhǎng)的最大值是6．在解三角形中，求解邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)最值是常見(jiàn)的基本題型，其中邊長(zhǎng)類最值包括“和”、“差”、“積”、“商”類最值，需進(jìn)行邊角互化巧妙轉(zhuǎn)化變量，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的值域或基本不等式來(lái)求解.基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)，通常表達(dá)為：（積定和最小），應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論重要不等式（和定積最大）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)輔助角公式及三角函數(shù)值域形如，，其中，對(duì)于，類函數(shù)，叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?，有時(shí)也會(huì)結(jié)合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來(lái)求解最值及范圍1．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化條件等式，再結(jié)合正弦定理角化邊和余弦定理即可求解角B；（2）由正弦定理進(jìn)行邊化角得到，再利用結(jié)合兩角差的正弦公式和余弦函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，有，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，故的取值范圍為?．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知、、分別為斜中角、、的對(duì)邊，．(1)求；(2)已知的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知，由已知條件及正弦定理化簡(jiǎn)得出，再利用正弦定理可求得的值；（2）由三角形的面積公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，即，因?yàn)闉樾比切危?，故，由正弦定理可得．?）由（1）知，，所以，所以，即，因?yàn)?，則，故，所以，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值．3．（24-25高三下·河南焦作·階段練習(xí)）已知中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．(1)若在上單調(diào)遞增，求c的取值范圍；(2)若，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)為的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求出的取值范圍，（2）利用小問(wèn)1的結(jié)論，代入計(jì)算，根據(jù)的范圍求出，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式可以得到的最大值.【詳解】（1）．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，可得c的取值范圍為．（2），，，，是三角形內(nèi)角，，所以，得，由余弦定理：；即，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最大值．4．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）由是銳角三角形可求出角的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?、，則，所以，，則有，故.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，則，所以，，所以，，則，由正弦定理可得，所以，，即的取值范圍是.5．（2025·遼寧·二模）已知銳角，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）由為銳角三角形求出角的取值范圍，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出的取值范圍，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求出的取值范圍，即為所求.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，由正弦定理得，，所以，，因?yàn)椤?，則，所以，，即．（2）在銳角中，由，可得，則，又，則，所以，的取值范圍為，又，設(shè)，設(shè)，其中，，由可得，由可得，所以，在上遞減，在上遞增，所以，，又因?yàn)?，，故的取值范圍為，即的取值范圍?8．（2025·新疆喀什·二模）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】(1)利用將已知中的切化弦，再利用正弦定理將邊化角，即可得證；(2)利用(1)中的結(jié)論可求出，再利用正弦定理將化成角，即可求出范圍.【詳解】（1），，兩邊同時(shí)乘以得，，由正弦定理得，；在中，，，，，又，，，或，若，且，則，，不合題意，舍去..（2）由(1)可知，又，，，，又由已知可得，，，，，，，，，的取值范圍是.6.（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A、、的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦以及同角的三角函數(shù)關(guān)系可得；（2）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦表示出，再結(jié)合正弦和正切的單調(diào)性求解即可；【詳解】（1）由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，，所?（2）由正弦定理可得，，所以，因?yàn)樵诰鶠閱握{(diào)遞增，所以在為單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大值為；所以當(dāng)時(shí)，最小值為；所以的取值范圍為.7．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為銳角三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若；求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角變形已知等式，再結(jié)合兩角和的正弦，輔助角公式和誘導(dǎo)公式可得；（2）由正弦定理邊化角和兩角差的正弦得到，再結(jié)合銳角范圍和三角函數(shù)值域可得.【詳解】（1）.由正弦定理得在中，代入上式化簡(jiǎn)得：因?yàn)椋裕礊殇J角，.（2）由正弦定理得所以，是銳角三角形，，，即，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.8．（2025·湖南益陽(yáng)·三模）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，且．(1)若，求A；(2)若是銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件通過(guò)三角函數(shù)公式得出角之間的關(guān)系，求出角（2）利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的正弦形式，然后化簡(jiǎn)表達(dá)式，最后根據(jù)角的范圍求出邊的和的范圍，進(jìn)而得到三角形周長(zhǎng)的范圍.【詳解】（1）由，可得，即，∴，則或（舍），∴，當(dāng)，由，可得.（2）由正弦定理可得∴，易知，可得，因此，易知在上單調(diào)遞增，所以，可得周長(zhǎng)范圍為.題型五：解三角形面積最值范圍1．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求內(nèi)角的大小；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合特殊角即可求出角A；（2）法一：結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根據(jù)正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)求最值，注意定義域.【詳解】（1）由正弦定理有，因?yàn)椋?，故，即，即，因?yàn)?，所以，所以，?（2）法一：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以當(dāng)時(shí)，△ABC面積S有最大值，最大值為.法二：由正弦定理有，即，，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為1，.1、常用三角形的面積公式：（1）；（2）；（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑）；（4），即海倫公式，其中為三角形的半周長(zhǎng)。2、針對(duì)三角形面積進(jìn)行提問(wèn)的取值范圍問(wèn)題,屬于中等難度的一類解三角形問(wèn)題,解答這類問(wèn)題,主要思路在于借助公式將面積問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或基本不等式求最值,進(jìn)而對(duì)問(wèn)題作出具體完整的解答,這些解題思路在解題過(guò)程中具體可表現(xiàn)為:(1)對(duì)所求三角形大致形狀做出分析,明確選擇面積求解公式;(2)運(yùn)用正余弦定理,取得三角形邊長(zhǎng)、角度具體值,將其代人面積公式中得到具體表達(dá)式;(3)根據(jù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),運(yùn)用函數(shù)求值域思路或基本不等式求臨界值思路,得到具體的范圍大小,即對(duì)應(yīng)問(wèn)題所求的面積范圍值.1．（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且的周長(zhǎng)為(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將的周長(zhǎng)為利用正弦定理及余弦定理變形化簡(jiǎn)，求出，再結(jié)合角的范圍，即可求出角；（2）利用余弦定理及基本不等式先求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求出面積的最大值.【詳解】（1）由正弦定理可得，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，即，化簡(jiǎn)可得，故由余弦定理可得，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積，即當(dāng)時(shí)，面積取最大值.2．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用兩角和差公式結(jié)合輔助角公式可得，結(jié)合正弦函數(shù)即可得結(jié)果；（2）利用正弦定理結(jié)合兩角和差公式可得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得面積最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，可得，則，又因?yàn)?，則，可得，則，且，則，可得，所以．（2）設(shè)，則，因?yàn)?，即，可得，即．由余弦定理可得，即，又因?yàn)?，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得，所以面積的最大值為．3．（2025·湖北黃岡·三模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，若，且.(1)若，求；(2)求△ABC面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式計(jì)算求解；（2）應(yīng)用已知條件化簡(jiǎn)再結(jié)合面積公式及基本不等式計(jì)算求解.【詳解】（1）若，則，所以，所以，即，因?yàn)?，所?則，解得；（2），

有，故

有，即，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以面積的最大值為.4．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，且．(1)求；(2)若，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）由向量建立等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，化簡(jiǎn)可得，即，由余弦定理可得，因?yàn)?，?（2）因?yàn)?，則，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故，即面積的最大值為.5．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，邊化角結(jié)合二倍角公式求出，得解；（2）根據(jù)三角形面積公式，正弦定理可得，結(jié)合，進(jìn)而求出面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，則，又，所以，則，又，所以，因?yàn)?，解得．?）因?yàn)槭卿J角三角形，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，從而，故面積的取值范圍是.題型六：三角形的角平分線、中線、垂線1．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的角平分線，且交于點(diǎn)，且.(1)求；(2)若的內(nèi)切圓的半徑為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)15【分析】（1）由利用三角形面積公式求解即可；（2）由三角形內(nèi)切圓的半徑公式及余弦定理建立方程求出即可得解.【詳解】（1）設(shè)，，由，得，解得，又，即，故.（2）設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，而，可得，故，故由，解得，故，所以的周長(zhǎng)為15.2．（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為、、，滿足(1)求角的大?。?2)若，邊上的中線的長(zhǎng)為2，求的面積；【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）解法一：利用余弦定理以及，可得出關(guān)于的方程組，解出的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積；解法二：由已知條件得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得出關(guān)于的方程組，解出的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積；【詳解】（1）由及正弦定理得：，因?yàn)?，所以，則，故.（2）解法一：因?yàn)?，為中點(diǎn)，則，由余弦定理得，得，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，，解得：，故的面積為；解法二：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，即，由余弦定理可得，即，所以，故的面積為.3．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可求解；（2）先求，由正弦定理得，進(jìn)而得，再由平方關(guān)系求，利用兩角和的正弦公式求，進(jìn)而求解.【詳解】（1）由和正弦定理，可得，因?yàn)?，所以，兩邊取平方，可得，解得，因，則得；（2）由（1）可得.由和正弦定理，可得，，又，故為銳角，則.所以.因，則.邊上的高為.1、涉及中線長(zhǎng)的工具：在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對(duì)的邊分別為，，（1）向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：（2）角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、涉及角平分線的工具：如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，（1）內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或（2）等面積法核心技巧（3）角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;1．（2025·江西·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若∠BAC的角平分線AD與邊BC交于點(diǎn)D，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式、和角的正弦公式化簡(jiǎn)即得.（2）設(shè)，利用正弦定理用表示，換元結(jié)合余弦定理求出范圍，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值.【詳解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，即，則，而，解得，又，所以.（2）由（1）知，設(shè)，在中，由正弦定理得，，則，令，，在中，由余弦定理得，解得，因此，，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以的最小值為.2．（2025·四川樂(lè)山·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，的角平分線交于，求.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用和差角的余弦公式將變形，再結(jié)合角的范圍即可求出角；（2）解法一：等面積法.根據(jù)，利用三角形面積公式列出等式，即可求出；解法二，在中，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出角及角，進(jìn)而得到，從而推出是等腰三角形，即可求出.【詳解】（1）由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，?（2）解法一：等面積法.因?yàn)椋桑?）知，所以，，，因?yàn)?，即，所以解?解法二：在中，因?yàn)椋?，由?）知，由余弦定理，解得，由正弦定理可得，所以，即或（舍），所以.又，所以是等腰三角形，所以.3．（24-25高三上·河北秦皇島·期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且．(1)求；(2)若，記的角平分線與BC交于點(diǎn)D，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合已知化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)特殊角的正切值求出角即可；（2）利用余弦定理及求得，，利用等面積法，結(jié)合三角形的面積公式列方程求解即可．【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫海?，所以，所以，又因?yàn)?，所以．?）由余弦定理可得，即，又，則，解得：，或（舍去），所以，根據(jù)面積關(guān)系可得，即，即，又，所以．4．（2025·湖北武漢·三模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，角的角平分線交于點(diǎn)，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用降冪公式求出，再結(jié)合余弦定理求解即可；（2）先求出，，利用等面積法求出，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由，則，因?yàn)?，所以，所以，則，又是角的角平分線，則在中，由余弦定理得，即.（2）由（1）知，則，由，則，又是角的角平分線，由，則，則，解得，所以.5．（24-25高三下·云南德宏·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求cosA；(2)若點(diǎn)D在線段BC上，AD為的角平分線，且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)等式，根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式，可得答案；（2）根據(jù)圖形組合建立面積的等式，利用余弦定理，建立方程組，可得答案.【詳解】（1）由，得，所以，所以．（2）由（1）知．由題意知，，即，化簡(jiǎn)得．在中，，，根據(jù)余弦定理有，則，解得，從而，所以的周長(zhǎng)為．6．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為，已知是的角平分線，且．(1)求角的值；(2)若，求長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形面積公式列出等式，即可求出角；（2）根據(jù)余弦定理，利用重要不等式求出的范圍，通過(guò)換元，借助對(duì)勾函數(shù)在的單調(diào)性，即可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，，，，，，，；（2）由余弦定理知，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，此時(shí)，即，即.7．（2025·河北石家莊·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求角的大小；(2)若，且，求邊上中線的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中線向量可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，即為所求.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得，即，因?yàn)椤?，則，即，可得，故.（2）由正弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，故，因此，邊上的中線的長(zhǎng)為.8．（2025·河北張家口·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)若，求；(2)當(dāng)BC邊上的中線最小時(shí)，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由題設(shè)結(jié)合倍角公式和正弦定理得，接著由即可結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和正弦公式即可依次求出和，從而由正弦定理即可求解c；（2）先由（1）求出a，接著由結(jié)合余弦定理和基本不等式即可依次求出和，再由正弦定理形式面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，故，又，即，所以由正弦定理，若，則，則，所以；（2）由（1）得，取中點(diǎn)，則為BC邊上的中線，則，又由余弦定理得，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以BC邊上的中線最小值為，此時(shí).9．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）在中，已知，，．(1)求；(2)設(shè)BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理先求得，再結(jié)合正弦定理求解即可；（2）設(shè)，，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律求解即可.【詳解】（1）由余弦定理得，則．由正弦定理得，則，解得．（2）設(shè)，，則b與c的夾角為，且，因?yàn)锳M，BN為中線，所以有，，于是，則，，則．又，所以．

10．（2025·海南三亞·一模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求邊上的高的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，進(jìn)而求出角；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊的值，再通過(guò)三角形面積公式求出邊上的高.【詳解】（1）由正弦定理可得，因?yàn)椋?，又因?yàn)殇J角三角形，，所以.（2）由余弦定理可知又因即代入上式可得則的面積為則解得：.題型七：多三角形問(wèn)題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在中，，D是斜邊上的一點(diǎn)，，.

(1)若，求和；(2)若，證明：.【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理及幾何關(guān)系得出，進(jìn)而得出是等邊三角形及邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求解.（2）在與中，利用余弦定理列出方程組，化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1）由，，可得.因?yàn)椋栽谥?，由正弦定理可得，即，則或60°，又因?yàn)椋?因此，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，又在中，，，故，所?（2）證明：令，，，.因?yàn)?，則.在與中，由余弦定理可得消去，得，整理得，所以，即.2．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知，，，且

(1)求BO的長(zhǎng)；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，，在和中分別應(yīng)用余弦定理即可求解；（2）由（1）知，設(shè),，，在和中分別應(yīng)用正弦定理可得，結(jié)合已知可得，代入等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，所以，，在中，，在中，，因?yàn)?，解得，所以BO的長(zhǎng)為；（2）由（1）知，設(shè),，，在中，，在中，，所以，若，則與全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的值?利用正弦定理、余弦定理解平面圖形問(wèn)題對(duì)解平面圖形中邊角問(wèn)題，若在同一個(gè)三角形，直接利用正弦定理與余弦定理求解，若圖形中條件與結(jié)論不在一個(gè)三角形內(nèi)，思路1：要將不同的三角形中的邊角關(guān)系利用中間量集中到一個(gè)三角形內(nèi)列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根據(jù)圖像分析條件和結(jié)論所在的三角形，分析由條件可計(jì)算出的邊角和由結(jié)論需要計(jì)算的邊角，逐步建立未知與已知的聯(lián)系.1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四邊形中，平分．(1)求；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求．【答案】(1)(2)=1【分析】（1）解法一：將原式變形，再利用余弦定理并結(jié)合角的范圍即可求出；解法二：將原式變形，并利用正弦定理與余弦定理并結(jié)合角的范圍化簡(jiǎn)求解．（2）利用余弦定理將兩邊的平方用表示出來(lái)，再利用均值不等式確定取得最大值時(shí)的大小.【詳解】（1）解法一：因?yàn)?，所以，則，在中，由余弦定理得因?yàn)?，所以．解法二：因?yàn)椋?，在中，由正弦定理和余弦定理得，所以，因?yàn)?，代入上式整理得，由題意可得，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可得，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)椋瑒t在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取最大值，即取最大值，故當(dāng)取最大值時(shí)，．2．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）在四邊形中，，，，．(1)求的周長(zhǎng)(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理結(jié)合的取值范圍可得出角的值，結(jié)合及正弦定理可求得的值，然后利用正弦定理可求得、的長(zhǎng)，即可得出的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)已知條件分析可知四邊形為等腰梯形，，即可得出梯形的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，故，所以，，且，由正弦定理，所以，則，故，所以的周長(zhǎng)為.（2）連接，因?yàn)?，，，所以，，所以，且，所以四邊形為等腰梯形，所以，，則，又因?yàn)椋?，設(shè)，所以四邊形的面積.3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）某鎮(zhèn)計(jì)劃在一處紫藤花種植地修建花海公園.如圖，公園用柵欄圍成等腰梯形形狀，其中，長(zhǎng)為米；在上選擇一點(diǎn)作為公園入口，從公園入口出發(fā)修建兩條觀光步道、，其中步道終點(diǎn)、兩點(diǎn)在邊界、上，且.

(1)觀光步道的總長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)為吸引了眾多周圍的游客，在花海公園原有規(guī)劃基礎(chǔ)上增添一條商業(yè)步道用于建設(shè)“集市”，若建設(shè)觀光步道平均每米需花費(fèi)元，建設(shè)商業(yè)步道平均每米需花費(fèi)元，試求建設(shè)步道總花費(fèi)的最小值.【答案】(1)定值，百米，理由見(jiàn)解析(2)元.【分析】（1）設(shè)百米，則，在中，由正弦定理，求得，同理求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.（2）根據(jù)余弦定理，求得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為百米，進(jìn)而求得花費(fèi)的最小值.【詳解】（1）解：由題意知，和為相似三角形，所以，設(shè)百米，則，在中，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理，可得，同理可得：，所以，所以觀光步道的總長(zhǎng)度為定值米.（2）解：由（1），根據(jù)余弦定理，可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為百米，所以建設(shè)步道花費(fèi)最小值為元.4．（24-25高一下·云南·期中）如圖，在四邊形中，，，是等邊三角形．(1)若，求的面積；(2)若，求的面積；(3)求的面積的最大值．【答案】(1)(2).(3)．【分析】（1）通過(guò)余弦定理建立方程，求出等邊的邊長(zhǎng).從而得到面積.，（2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，從而得到的余弦值，進(jìn)而求出的面積.（3）由（2）知，可設(shè)出，通過(guò)正余弦定理在表示出，表示出，最終通過(guò)輔助角公式求最值得出第（3）問(wèn).【詳解】（1）在中，由余弦定理可得:，則．因?yàn)槭堑冗吶切?，所以的面積．（2）在中，由余弦定理可得，則，故，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以，則的面積為，（3）設(shè)，，在中，由正弦定理可得，則，由余弦定理可得，，則，所以的面積：，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，取得最大值，即的面積的最大值為．題型八：三角函數(shù)與解三角形的綜合1．（24-25高一下·海南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心；(2)在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由的圖象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心；（2）由，求得，由正弦定理得，得到，化簡(jiǎn)得到的周長(zhǎng)為，結(jié)合為銳角三角形，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，所以，又由，即，解得，即，因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為；令，可得，所以的對(duì)稱中心為.（2）解：因?yàn)椋傻?，即，因?yàn)椋傻?，所以，所以，又因?yàn)?，由正弦定理可得，則，所以的周長(zhǎng)為因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，可得，可得，可得，則，可得，所以的周長(zhǎng)為.1．（2024·北京·三模）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.【答案】(1)1(2)【分析】利用三角恒等變換整理可得，結(jié)合最小正周期分析求解；以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可知：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.（2）由（1）可知：，因?yàn)?，則，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.若條件①：因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)椋傻?，且，則，可得，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若條件②；因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，因?yàn)?，則，可得，即，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為；若選③：因?yàn)?，則，整理得，且，所以，由正弦定理可得，可得，則，因?yàn)殇J角三角形，則，解得，可得，則，可得所以的取值范圍為.2．（24-25高二下·安徽·階段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，，設(shè)，的周長(zhǎng)為.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求函數(shù)的解析式及最大值.【答案】(1)(2)，其中；最大值為【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，得到三角形的周長(zhǎng)；（2）由，根據(jù)正弦定理得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，設(shè)三角形的外接圓半徑是，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又又由，解得，所以三角形的周長(zhǎng)為.（2）解：由，且，可得，可得，所以，由，所以當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.題型九：解三角形與平面向量的綜合1．（24-25高二上·貴州遵義·期末）已知銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算并結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)后即可得；（2）借助正弦定理可得，再利用銳角三角形性質(zhì)得到的范圍即可得.【詳解】（1）由，則有，即，由為銳角三角形，故、，故，則有，即，即；（2）由正弦定理可得，由為銳角三角形，故，解得，故，則，則.解三角形與平面向量的綜合題，關(guān)鍵在于靈活轉(zhuǎn)化。通?？蓪⑾蛄筷P(guān)系通過(guò)基底分解或坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為邊與角的關(guān)系，再利用正弦、余弦定理求解；或反過(guò)來(lái)，用三角形的邊、角表示向量，通過(guò)向量的模、數(shù)量積等工具處理長(zhǎng)度、角度與垂直、平行等問(wèn)題。解題時(shí)要根據(jù)已知條件選擇合適的切入點(diǎn)，注意數(shù)形結(jié)合，理清向量與三角形元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，合理運(yùn)用運(yùn)算律和公式，逐步推導(dǎo)得出結(jié)論。1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知向量，，且.（1）求角的大?。唬?）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)向量平行列出方程，再利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，然后求出角的大??；（2）根據(jù)余弦定理求出的取值范圍，再根據(jù)三角形邊的幾何性質(zhì)求出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1）由得，由正弦定理，得，即，因?yàn)樵谌切沃?，則，又，故；（2）在中，因，，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，又由三角形性質(zhì)得，故，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理的應(yīng)用，結(jié)合考查了兩向量平行，屬于一般題.第二問(wèn)屬于典型的已知三角形一角和該角所對(duì)邊的問(wèn)題，可以利用圓中弦所對(duì)圓周角相等的這個(gè)幾何性質(zhì)求出三角形邊長(zhǎng)范圍.2．（24-25高一下·青海海南·期末）在銳角中，角的對(duì)邊分別是，向量，且.(1)求；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，，利用正弦定理及和差公式可得，進(jìn)而得即可求得角；（2）由，得到，兩邊平方，結(jié)合和，可得，利用基本不等式即可求解；（3）有正弦定理可得，再利用和差及輔助角公式化解，結(jié)合銳角三角形確定范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，所?因?yàn)?，所以，所以，，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的面積，即面積的最大值為.（3）由正弦定理可得，則，故，因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍為.3．（24-25高一下·陜西渭南·期末）在中，角的對(duì)邊分別為.已知向量，，且.(1)求角的大??；(2)若是的中點(diǎn)，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用向量平行的坐標(biāo)表示可得，再根據(jù)正弦定理邊化角化簡(jiǎn)求解即可；（2）由是的中點(diǎn)可得，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合基本不等式和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，且，所以，由正弦定理得，因?yàn)樵谥?，，所以，，所以，又，所以；?）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積，即面積的最大值為.4．（24-25高一下·河北滄州·期末）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，向量，且．(1)求A；(2)若，求面積的最大值；(3)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)，再應(yīng)用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)求解；（2）應(yīng)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律結(jié)合基本不等式得出，最后應(yīng)用面積公式計(jì)算求解即可；（3）應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用三角恒等變換結(jié)合角的范圍求解三角函數(shù)值域即可解題.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以．因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的面積，即面積的最大值為，（3）由正弦定理可得，則，故．因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得，所以，所以，則，即的取值范圍為．題型十：解三角形的實(shí)際應(yīng)用1．（2025·河南南陽(yáng)·一模）如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A的正東方20km和54km處.某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，20s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào).在當(dāng)時(shí)的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.(1)設(shè)A到P的距離為xkm，求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離（結(jié)果精確到0.01km）.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)速度得三角形邊之間關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求結(jié)果，（2）作垂線，根據(jù)直角三角形解結(jié)果.【詳解】（1）依題意，得，，所以，．在中，，余弦定理，得．同理在中，．由于，所以，解得．（2）作，垂足為，在中，．所以目標(biāo)到海防警戒線的距離為．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖，某人開(kāi)車在山腳下水平公路上自向行駛，在處測(cè)得山頂處的仰角，該車以的速度勻速行駛4分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角，且.(1)求此山的高的值；(2)求該車從到行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)的仰角正切值的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，由銳角三角函數(shù)表示出、，再在中利用余弦定理計(jì)算可得；（2）設(shè)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，即可得到點(diǎn)處觀測(cè)點(diǎn)的仰角為，且，求出的最小值，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，在中，因?yàn)椋?，同理，在中，，在中，由余弦定理得，由，所以，解得（?fù)值已舍去），所以此山的高為；（2）由（1）得，設(shè)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則在點(diǎn)處觀測(cè)點(diǎn)的仰角為，且，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，最短，記最小值為，由，即，解得，所以，所以該車從到行駛過(guò)程中觀測(cè)點(diǎn)仰角正切值的最大值為．1.把握解三角形應(yīng)用題的四步：①閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖；②根據(jù)圖形分析圖中哪些量是已知量，哪些量是未知量，需要通過(guò)哪些量將未知與已知溝通起來(lái)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型；③根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解；④將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等．2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能將其化為三角形內(nèi)角.1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）2019年7月4日下午在遼寧開(kāi)原突發(fā)的龍卷風(fēng)，風(fēng)力超過(guò)15級(jí)．路邊一棵參天大樹(shù)在樹(shù)干某點(diǎn)處被龍卷風(fēng)折斷，剩余部分與折斷部分的夾角為，樹(shù)尖著地處與樹(shù)根相距10米，樹(shù)根與樹(shù)尖著地處恰好在路的兩側(cè)，設(shè)（三點(diǎn)所在平面與地面垂直，樹(shù)干粗度忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)若，求折斷前樹(shù)的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)問(wèn)一輛寬2米，高2.5米的救援車能否從此處通過(guò)？并說(shuō)明理由．【答案】(1)11.2米(2)不能從此處通過(guò)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理可求答案；（2）利用三角恒等變換，求出恰好能通過(guò)的高度，與車高比較可得答案.【詳解】（1）在中，，，所以，由正弦定理，得，所以（米）．答：折斷前樹(shù)的高度11.2米．（2）設(shè)的內(nèi)接矩形的邊在上且，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，．因?yàn)?，所以．所以，所以．因?yàn)?，所以救援車不能從此處通過(guò)．2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，某城市有一條公路從正西方沿通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東北方，沿鋪設(shè)．現(xiàn)要修一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在部分視為直線段，要求市中心與鐵路的距離為10km，問(wèn)把分別設(shè)在距多遠(yuǎn)的地方才能使最?。坎⑶蟪龅淖钚≈担敬鸢浮慨?dāng)且僅當(dāng)和與的距離均為時(shí)，最小，為．【分析】設(shè)，，，應(yīng)用余弦定理及基本不等式得，再由，注意取等號(hào)條件，即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，，因?yàn)檠卣鞣较?，沿東北方向，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．設(shè)，則，又點(diǎn)到直線的距離為10，所以，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)和與的距離均為時(shí)，最小，為．3．（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測(cè).如圖所示，、、三地位于同一水平面上，這種儀器在地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)兩地相距.在地聽(tīng)到彈射聲音的時(shí)間比地晚.在地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)處的仰角為（已知聲音的傳播速度為）.(1)求兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則，從而在中，利用余弦定理求出x即可；（2）在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求解可得.【詳解】（1）由題意，設(shè)，因?yàn)樵诘芈?tīng)到彈射聲音的時(shí)間比地晚，所以.在中，由余弦定理得，即，解得.故兩地的距離為.（2）在中，，所以，故該儀器的垂直彈射高度為.4．（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑.蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地.如圖，某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米，，求蜚英塔的高度.【答案】35米【分析】設(shè)由圖中角的關(guān)系得到，，再由余弦定理求解即可；【詳解】設(shè)米，在中，，則米.在中，，則米.因?yàn)?，所以由余弦定理得，整理得，?所以蜚英塔的高度為35米.5．（24-25高一下·吉林延邊·期中）海岸上建有相距海里的雷達(dá)站C，D，某一時(shí)刻接到海上B船因動(dòng)力故障發(fā)出的求救信號(hào)后，調(diào)配附近的A船緊急前往救援，雷達(dá)站測(cè)得角度數(shù)據(jù)為.

(1)救援出發(fā)時(shí)，A船距離雷達(dá)站C距離為多少？(2)求之間的距離，并判斷若A船以30海里每小時(shí)的速度前往B處，能否在3小時(shí)內(nèi)趕到救援（說(shuō)明理由）？【答案】(1)120海里(2)，能在3小時(shí)內(nèi)趕到救援，理由見(jiàn)解析【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可.（2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比較時(shí)間即可判斷.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，所以，，又，所以由正弦定理可得，即，解得，所以A船距離雷達(dá)站C距離為120海里；（2）在中，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，解得，因?yàn)锳船以30海里每小時(shí)的速度前往B處，而，所以能在3小時(shí)內(nèi)趕到救援.6．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某班級(jí)學(xué)生用皮尺和測(cè)角儀（測(cè)角儀的高度為1.7m）測(cè)量重慶瞰勝樓的高度，測(cè)角儀底部A和瞰勝樓樓底O在同一水平線上，從測(cè)角儀頂點(diǎn)C處測(cè)得樓頂M的仰角，（點(diǎn)E在線段MO上）．他沿線段AO向樓前進(jìn)100m到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)從測(cè)角儀頂點(diǎn)D處測(cè)得樓頂M的仰角，樓尖MN的視角（N是樓尖底部，在線段MO上）．(1)求樓高M(jìn)O和樓尖MN；(2)若測(cè)角儀底在線段AO上的F處時(shí)，測(cè)角儀頂G測(cè)得樓尖MN的視角最大，求此時(shí)測(cè)角儀底到樓底的距離FO．參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)，(2)FO為37．4m【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，進(jìn)而求得MO，進(jìn)而求得CE，計(jì)算可求得樓離MO和樓尖MN；法二：利用，，可求得ME，進(jìn)而計(jì)算可求得樓離MO和樓尖MN；（2）設(shè)，，，進(jìn)而可得，利用基本不等式可求得樓尖MN的視角最大時(shí)x的值．【詳解】（1）法一：，，∴．在中，由正弦定理得，，又，∴．∴，∴．（m）．∴．∵，∴，．法二：，，∴，即，∴，∴．m．∴．∵，∴，．（2）設(shè)，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴測(cè)角儀底到樓底的距離FO為37．4m處時(shí)，測(cè)得樓尖MN的視角最大．1．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，且的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將所有的正零點(diǎn)按從小到大順序排列得到數(shù)列，求數(shù)列的前30項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等變換可先將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）由正弦函數(shù)性質(zhì)可得所有的正零點(diǎn)，則可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列求和公式分組計(jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)?，因?yàn)榈膱D象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為，所以，又，所以，所以，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，令，得，所以或，，即或，，所以所有的正零點(diǎn)為或，，所以是以為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，所以是以為首項(xiàng)，π為公差的等差數(shù)列，所以.2．（25-26高三上·山東煙臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）(1)求的最小正周期?單調(diào)遞增區(qū)間(2)在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，求m的范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得，再求函數(shù)的周期與單調(diào)增區(qū)間即可；（2）由得，作出的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題意有，所以，所以的最小正周期為，令，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由有，作出的圖像：

由圖可知，在區(qū)間有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以所以.3．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知向量.(1)若為鈍角，且的最大值為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若為銳角，且是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出的表達(dá)式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出，最后根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求出其單調(diào)遞增區(qū)間.（2）由（1）得的表達(dá)式，再根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)求出，在結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)在上的值域.【詳解】（1）由題意，已知向量，，則因?yàn)椋裕驗(yàn)榈淖畲笾禐?，所以，又為鈍角，所以.此時(shí)，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性，可得，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一條對(duì)稱軸，所以存在，使得，解得，又為銳角，所以當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，又，所以，從而，則，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?4．（2025·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知，的面積為．(1)求；(2)為邊上一點(diǎn)，①若是的平分線，求線段的長(zhǎng)；②若，求．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，結(jié)合角的范圍求出，根據(jù)三角形面積公式和余弦定理即可求得邊；（2）①利用三角形面積相等即可解方程求得線段的長(zhǎng)；②設(shè)，所以，分別在和，利用正弦定理，推得，計(jì)算即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，故由，可得.因?yàn)椋?，解得，由余弦定理得，解?（2）

①因，依題意有，解得.②設(shè)，所以．在中，由正弦定理得，，即，在中，由正弦定理得，，即，因，代入化簡(jiǎn)得，即，解得，即.5．（2025·江蘇宿遷·三模）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，的面積為，為邊上一點(diǎn)，滿足，①求的周長(zhǎng)；②求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)①的周長(zhǎng)為,②【分析】（1）結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理以及兩角和與差的正弦公式，可求角.（2）①先根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求得，可得為等邊三角形，進(jìn)而求得周長(zhǎng)；②根據(jù)余弦定理求.【詳解】（1）由，可得，，即，即，又，則，即.（2）①因?yàn)?，所?由余弦定理：，則，即，則，所以，即為等邊三角形，則的周長(zhǎng)為.②由，所以，在中，由余弦定理得，，所以.6．（2025·河北邯鄲·一模）在銳角中，內(nèi)角滿足.(1)求角；(2)若，求面積的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）由正弦定理可得，由銳角可得，再表示出，進(jìn)而求解即可；（3）結(jié)合分析法利用三角恒等變換公式求證即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，?（2）由正弦定理，所以，因?yàn)?，則，又為銳角三角形，則，即，所以，因?yàn)?，所以，則，所以面積的取值范圍是.（3）證明：由（1）可知，，要證，即證，而，即證，即證，即證，而，顯然滿足上式，原式得證.7．（2025·黑龍江大慶·一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的邊角互化并化簡(jiǎn)得，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）由三角形的面積公式可得的值，再由余弦定理可得的值，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所?由余弦定理可得，即，所以.所以.則的周長(zhǎng)為.8．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且向量，,點(diǎn)M在邊BC上，AM是角A的平分線．(1)求角A；(2)求AM的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)向量垂直的關(guān)系，結(jié)合正弦定理邊角互化即可求解，（2）由余弦定理以及三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故，由正弦定理可?由于，所以,結(jié)合,則，（2）由于AM是角A的平分線，，由余弦定理可得，解得，又,解得9．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，設(shè)函數(shù)．(1)化簡(jiǎn)并寫出的最小正周期；(2)在中，角對(duì)的邊分別為，若，，的面積為，是線段的中點(diǎn)，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求最小正周期即可；（2）由求出，由三角形面積公式和余弦定理求出和，再根據(jù)是線段的中點(diǎn)可得，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】（1）由題意可得，故最小正周期為．（2）因?yàn)椋遥?，解得，由，得，由余弦定理即，解得，又因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，得，故．10．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，，，.

(1)求的長(zhǎng).(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的長(zhǎng)；（2）先求出，然后由為銳角三角形，求出角的范圍，再利用正弦定理表示出，從而可表示出面積，化簡(jiǎn)后結(jié)合角的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，，，則，由正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，解得，在中，由正弦定理得，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，?11．（24-25高一下·四川成都·期末）在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求B的值；(2)若b=2，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換即可.（2）由正弦定理、三角形面積公式結(jié)合三角恒等變換得，結(jié)合角的范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)椋裕?）在銳角中，，記的面積為．由正弦定理得，即．所以．因?yàn)樵阡J角中，，所以，，解得，則，所以，所以，所以面積的．12．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，，，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理求得，從而得，進(jìn)而在中，可解；（2）設(shè)，，（），借助直角三角形可，則利用正弦定理求得，再用余弦定理求出，即可得解.【詳解】（1）在中，，由余弦定理，，得，所以．所以在中，．（2）設(shè)，，（），在中，由正弦定理得，又因?yàn)?，代入上式有：，得．由余弦定理得，綜上，．13.（2025·全國(guó)·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.(1)求A；(2)延長(zhǎng)至，使，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)對(duì)已知等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用余弦定理求出角A.（2）利用正弦定理列出等式，進(jìn)而求出的值.【詳解】（1）由得，所以根據(jù)余弦定理得，，則.（2）如圖：因?yàn)?，所以，則是正三角形，所以，在中，根據(jù)正弦定理，由題意，得，所以.14．（2025·全國(guó)·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)設(shè)D為邊的中點(diǎn)，若，的面積為14，求的長(zhǎng)【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理邊化角已知條件，再由兩角和正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件即可求解；（2）先由題設(shè)求出，接著由正弦定理求出，進(jìn)而由面積公式求出，再在三角形中由余弦定理即可計(jì)算求解.【詳解】（1）由正弦定理可得，即.在中，由，得，所以，又，，所以，所以.（2）因?yàn)?，，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，即，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所?1．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.2．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．3．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.4．（2023·天津·高考真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．5．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.6．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中