2025年成人高考成考(專升本)高等數(shù)學(xué)(二)試卷及答案一、選擇題（每小題4分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+ax)在x=0處可導(dǎo)，且f′(0)=2，則常數(shù)a等于A.1??B.2??C.3??D.4答案：B2.設(shè)向量α=(1,2,3)，β=(4,?5,6)，則|α×β|的值為A.21??B.39??C.42??D.63答案：C3.設(shè)矩陣A=[12;34]，則A2的跡tr(A2)等于A.25??B.29??C.30??D.37答案：B4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E(X2)=6，則λ等于A.1??B.2??C.3??D.4答案：B5.曲線y=e^{?x}sinx在區(qū)間[0,π]上與x軸圍成的面積為A.(1+e^{?π})/2??B.(1?e^{?π})/2??C.(1+e^{π})/2??D.(1?e^{π})/2答案：A6.設(shè)函數(shù)z=xy2+x2y，則?2z/?x?y在點(diǎn)(1,2)處的值為A.8??B.10??C.12??D.14答案：C7.設(shè)級(jí)數(shù)∑_{n=1}^{∞}(?1)^{n+1}/n^{p}條件收斂，則p的取值范圍是A.0<p≤1??B.1<p≤2??C.p>1??D.p>0答案：A8.設(shè)函數(shù)f(x)=|x?1|+|x?2|，則f(x)的最小值為A.0??B.1??C.2??D.3答案：B9.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=2x,0≤x≤1，則P(X≤0.5)等于A.0.125??B.0.25??C.0.5??D.0.75答案：B10.設(shè)函數(shù)f(x)=x3?3x2+2x在區(qū)間[0,3]上的最大值為A.0??B.2??C.6??D.8答案：C二、填空題（每小題4分，共32分）11.設(shè)極限lim_{x→0}(sin3x)/(ax)=1，則a=________。答案：312.設(shè)函數(shù)f(x)=∫_{0}^{x}te^{?t}dt，則f′(1)=________。答案：e^{?1}13.設(shè)矩陣A=[21;12]，則A的逆矩陣A^{?1}=________。答案：[2/3?1/3;?1/32/3]14.設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=4，則D(2X+3)=________。答案：1615.曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的曲率κ=________。答案：1/2√216.設(shè)函數(shù)z=sin(xy)，則全微分dz在點(diǎn)(1,π)處的值為________。答案：πcosπdx+cosπdy=?πdx?dy17.設(shè)級(jí)數(shù)∑_{n=1}^{∞}1/n2的前10項(xiàng)和S_{10}≈________（保留三位小數(shù)）。答案：1.55018.設(shè)函數(shù)f(x)=x^{x}，則f′(1)=________。答案：1三、解答題（共78分）19.（10分）求極限lim_{x→0}(1?cos2x)/(xsinx).解：原式=lim_{x→0}(2sin2x)/(x·x)=lim_{x→0}2·(sinx/x)2=2·12=2.答案：220.（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x3?3x+1，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。解：(1)f′(x)=3x2?3=3(x2?1)，令f′(x)=0得x=±1。當(dāng)x<?1或x>1時(shí)f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)增；當(dāng)?1<x<1時(shí)f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)減。極大值f(?1)=3，極小值f(1)=?1。(2)f″(x)=6x，令f″(x)=0得x=0。當(dāng)x<0時(shí)f″(x)<0，當(dāng)x>0時(shí)f″(x)>0，故(0,1)為拐點(diǎn)。答案：(1)增區(qū)間(?∞,?1)∪(1,+∞)，減區(qū)間(?1,1)，極大值3，極小值?1；(2)拐點(diǎn)(0,1)。21.（12分）計(jì)算二重積分?_{D}(x+2y)dσ，其中D由直線y=x，y=2x，x=1圍成。解：交點(diǎn)(1,1)，(1,2)。積分區(qū)域可表示為1≤x≤1，x≤y≤2x，顯然x上限應(yīng)為1，但y上限2x在x=1時(shí)為2，故∫_{0}^{1}∫_{x}^{2x}(x+2y)dydx=∫_{0}^{1}[xy+y2]_{y=x}^{y=2x}dx=∫_{0}^{1}(2x2+4x2?x2?x2)dx=∫_{0}^{1}4x2dx=4/3.答案：4/322.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=kx(2?x),0≤x≤2，(1)求常數(shù)k；(2)求E(X)；(3)求P(0.5≤X≤1.5)。解：(1)∫_{0}^{2}kx(2?x)dx=1?k[x2?x3/3]_{0}^{2}=1?k(4?8/3)=1?k=3/4.(2)E(X)=∫_{0}^{2}x·(3/4)x(2?x)dx=(3/4)∫_{0}^{2}(2x2?x3)dx=(3/4)[2x3/3?x?/4]_{0}^{2}=1.(3)P=∫_{0.5}^{1.5}(3/4)x(2?x)dx=(3/4)[x2?x3/3]_{0.5}^{1.5}=0.6875.答案：(1)3/4；(2)1；(3)0.687523.（10分）求微分方程y″?4y′+4y=e^{2x}的通解。解：特征方程r2?4r+4=0?r=2（重根）。齊次通解y_h=(C?+C?x)e^{2x}。設(shè)特解y_p=Ax2e^{2x}，代入得A=1/2。通解y=(C?+C?x+x2/2)e^{2x}。答案：y=(C?+C?x+x2/2)e^{2x}24.（10分）設(shè)函數(shù)f(x)=x^{2}e^{?x}，(1)求f(x)在[0,+∞)上的最大值；(2)判斷反常積分∫_{0}^{+∞}x^{2}e^{?x}dx是否收斂，并求其值。解：(1)f′(x)=2xe^{?x}?x2e^{?x}=x(2?x)e^{?x}，令f′(x)=0得x=0或2。當(dāng)x=2時(shí)f(2)=4e^{?2}為最大值。(2)∫_{0}^{+∞}x2e^{?x}dx=Γ(3)=2!=2，收斂。答案：(1)4e^{?2}；(2)收斂，值為2。25.（12分）設(shè)矩陣A=[120;012;001]，(1)求A的特征值；(2)求A^{n}的表達(dá)式；(3)計(jì)算lim_{n→∞}A^{n}/n2。解：(1)上三角矩陣，特征值為主對(duì)角線元素1,1,1。(2)A=I+N，其中N=[020;002;000]，N3=0，故