第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分）1．（4分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）拋物線y＝2（x﹣1）2﹣6對(duì)稱軸是（）A．直線x＝﹣6 B．直線x＝﹣1 C．直線 D．直線x＝13．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，點(diǎn)D在上，CD．下列角中，與∠ABD相等的是（）A．∠DBC B．∠BDC C．∠ACD D．∠ACB4．（4分）如圖，在⊙O中半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，且AB＝16，則CD的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（4分）如圖所示，將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B，A，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°6．（4分）若要得到拋物線y＝（x﹣2）2+3，可以將拋物線y＝x2（）A．先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C．先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度7．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．168．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．3 B．2 C．3 D．29．（4分）被譽(yù)為“蘊(yùn)藏著人類上古文明密碼的哲學(xué)之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場(chǎng)和時(shí)尚行業(yè)中，展現(xiàn)出匠人匠心的“針”功夫．小星奶奶手繡了一幅長(zhǎng)為38cm、寬為23cm的矩形繡品（如圖所示），計(jì)劃將其塑封，塑封時(shí)需四周留白（上下左右寬度相同）2，設(shè)留白部分的寬度為xcm，則可列方程為（）A．（38﹣2x）（23﹣2x）＝874 B．（38+2x）（23+2x）＝874 C．（38﹣2x）（23﹣2x）＝1000 D．（38+2x）（23+2x）＝100010．（4分）已知函數(shù)y＝ax2﹣（a+1）x+1，下列說法正確的序號(hào)是（）①若該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一個(gè)整數(shù)根；③若，則y＝ax2﹣（a+1）x+1的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)；④不存在實(shí)數(shù)a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④二、填空題（本大題共有6小題，每題4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是．12．（4分）如圖是拋物線y＝ax2+bx+c的示意圖，則a的值可以是（填寫符合條件一個(gè)數(shù)值即可）．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的解，則m的值為．14．（4分）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為°．15．（4分）《彈簧探險(xiǎn)家的能量之旅》假設(shè)你是一名年輕的物理探險(xiǎn)家，正在實(shí)驗(yàn)室中研究一個(gè)神奇的彈簧系統(tǒng)．想象一下：光滑如鏡的水平實(shí)驗(yàn)臺(tái)上（忽略所有摩擦和空氣阻力），一個(gè)銀色的金屬小球（質(zhì)量m＝1.35kg），彈簧的勁度系數(shù)k＝180N/m——這意味著一拉一壓之間，它就蘊(yùn)含著可觀的能量!你小心翼翼地用機(jī)械臂將彈簧壓縮了x0＝﹣0.1m（負(fù)號(hào)表示壓縮方向），然后從靜止?fàn)顟B(tài)（初速度v0＝0）釋放小球．瞬間，彈簧“嗡”的一聲舒展開，小球開始舞蹈般地滑動(dòng)．整個(gè)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒其中：E是總機(jī)械能（單位：焦耳，J），在無能量損失的情況下保持不變．是小球的動(dòng)能（速度v的單位：米/秒，m/s）．是彈簧的彈性勢(shì)能（位移x的單位：米，m；以彈簧原長(zhǎng)位置為參考點(diǎn)x＝0）．請(qǐng)閱讀以上內(nèi)容回答問題：當(dāng)x＝0.05m時(shí)，你要像偵探一樣，根據(jù)總機(jī)械能守恒公式，記住，能量守恒是你的指南針——系統(tǒng)總能量E終恒定，此時(shí)小球的速度v為．16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點(diǎn)C，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”．已知P是直線，且存在⊙O的弦MN，使得點(diǎn)P是弦MN的“60°可及點(diǎn)”．記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．三、解答題（本題共9題，共86分）17．（8分）解方程：x2+2x﹣1＝0．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，DF．證明：BE＝DF．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20．（8分）某市為減少汽車尾氣污染，改善空氣質(zhì)量，鼓勵(lì)市民選擇新能源汽車作為出行的交通工具，該市2020年新建100座充電站，2022年新建169座．求該市這兩年新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．21．（8分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0）22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，連接CD，∠BCD＝∠A，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，且BE＝3，求⊙O的半徑．23．（10分）閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報(bào)告博學(xué)小組研究對(duì)象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測(cè)量、實(shí)驗(yàn)）﹣猜想﹣推理證明研究?jī)?nèi)容：【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為▲°．對(duì)角線：…任務(wù)：（1）直接寫出研究報(bào)告中“▲”處空缺的內(nèi)容：．（2）如圖3，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．連接對(duì)角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓．請(qǐng)?jiān)趫D4中作一個(gè)等邊半正六邊形ABCDEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．24．（12分）綜合與探究【問題情境】如圖1，在矩形ABCD中，，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E．使得CE＝2CD．點(diǎn)F是AD邊上一點(diǎn)，連接EF，CF．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）若EF＝2，則CD的長(zhǎng)為，AF的長(zhǎng)為．【拓展探索】（2）如圖2，將Rt△EFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，F(xiàn)G分別與AD，DC相交于點(diǎn)M①請(qǐng)判斷DM和DN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②如圖3，探索Rt△EFG旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)F恰好在矩形對(duì)角線AC的中點(diǎn)上．求出圖3中所有與圖1中AF相等的線段．25．（14分）某施工隊(duì)在屋頂上安裝太陽能光伏板，發(fā)現(xiàn)光伏板的輸出功率P（瓦）受太陽光入射角影響（°）有關(guān)．實(shí)驗(yàn)測(cè)定中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)傾斜角為0°時(shí)功率為100W；當(dāng)傾斜角為20°時(shí)功率為240W（θ在0°至60°之間）可以近似將P視為關(guān)于θ的二次函數(shù)．（1）請(qǐng)估算出這條二次函數(shù)的解析式．（2）某地冬季太陽高度較低，而夏季太陽高度較高．當(dāng)?shù)匚蓓敯惭b太陽能板，若只固定一次傾斜角，最佳屋頂傾斜角常取該地緯度±10°之間．此外，當(dāng)傾斜角不當(dāng)時(shí)（s），按照秋冬季、春夏季時(shí)間的長(zhǎng)短比例分布在秋冬季、春夏季兩季．①已知該地春夏季時(shí)間t1（s）、秋冬季時(shí)間t2（s）之比k＝2．實(shí)驗(yàn)測(cè)定發(fā)現(xiàn)秋冬季太陽能板的功率相較于（1）中的P下降至，春夏季太陽能板的功率相較于（1）．若要使年總功W＝P2t1+P1t2最大，求該地?cái)[放太陽能板的最佳傾斜角θm．（其中：W＝Pt）②根據(jù)地理學(xué)相關(guān)知識(shí)，一年中春夏季時(shí)間t1、秋冬季時(shí)間t2之比k隨緯度f（°）增高而減小，且變化規(guī)律呈一條直線（f＝90）處k＝0．已知①中該地的緯度是30°．經(jīng)過一番計(jì)算，發(fā)現(xiàn)最佳傾斜角θm和k存在關(guān)系．為了使年總功W＝P1t1+P2t2盡可能大，試判斷“最佳屋頂傾斜角常取該地緯度±10°之間的角度”對(duì)于緯度多少的區(qū)域是適用的．（僅考慮0＜f＜60的地區(qū)）

2025-2026學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)湖濱中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DDCCDCCCDB一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分）1．（4分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，故不是中心對(duì)稱圖形；B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，故不是中心對(duì)稱圖形；C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，故不是中心對(duì)稱圖形；D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，故是中心對(duì)稱圖形；故選：D．2．（4分）拋物線y＝2（x﹣1）2﹣6對(duì)稱軸是（）A．直線x＝﹣6 B．直線x＝﹣1 C．直線 D．直線x＝1【解答】解：由拋物線的解析式y(tǒng)＝2（x﹣1）4﹣6可知，拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1．故選：D．3．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，點(diǎn)D在上，CD．下列角中，與∠ABD相等的是（）A．∠DBC B．∠BDC C．∠ACD D．∠ACB【解答】解：∵所對(duì)的圓周角有∠ABD，∴∠ABD＝∠ACD，故選：C．4．（4分）如圖，在⊙O中半徑OC與弦AB垂直于點(diǎn)D，且AB＝16，則CD的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：連接OA，設(shè)CD＝x，∵OA＝OC＝10，∴OD＝10﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂徑定理可知：AB＝16，由勾股定理可知：102＝86+（10﹣x）2，∴x＝4，∴CD＝8，故選：C．5．（4分）如圖所示，將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B，A，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【解答】解：旋轉(zhuǎn)角是∠CAC′＝180°﹣30°＝150°．故選：D．6．（4分）若要得到拋物線y＝（x﹣2）2+3，可以將拋物線y＝x2（）A．先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C．先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移8個(gè)單位長(zhǎng)度2+3，故選：C．7．（4分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣4）2﹣3c＝0，解得c＝4．故選：C．8．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．3 B．2 C．3 D．2【解答】解：連接AA′，如圖，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴AC＝BC＝2，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′為等邊三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′為等邊三角形，過點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝，∴點(diǎn)A到直線A'C的距離為3，故選：C．9．（4分）被譽(yù)為“蘊(yùn)藏著人類上古文明密碼的哲學(xué)之書”的古老苗繡，在貴州文旅市場(chǎng)和時(shí)尚行業(yè)中，展現(xiàn)出匠人匠心的“針”功夫．小星奶奶手繡了一幅長(zhǎng)為38cm、寬為23cm的矩形繡品（如圖所示），計(jì)劃將其塑封，塑封時(shí)需四周留白（上下左右寬度相同）2，設(shè)留白部分的寬度為xcm，則可列方程為（）A．（38﹣2x）（23﹣2x）＝874 B．（38+2x）（23+2x）＝874 C．（38﹣2x）（23﹣2x）＝1000 D．（38+2x）（23+2x）＝1000【解答】解：根據(jù)題意，可列方程為：（38+2x）（23+2x）＝1000，故選：D．10．（4分）已知函數(shù)y＝ax2﹣（a+1）x+1，下列說法正確的序號(hào)是（）①若該函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a＝1；②方程ax2﹣（a+1）x+1＝0至少有一個(gè)整數(shù)根；③若，則y＝ax2﹣（a+1）x+1的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)；④不存在實(shí)數(shù)a，使得ax2﹣（a+1）x+1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④【解答】解：①當(dāng)a＝0時(shí)，y＝﹣x+1，4）；②當(dāng)a＝0時(shí)，﹣x+1＝6；當(dāng)a≠0時(shí)，ax2﹣（a+8）x+1＝（x﹣1）（ax﹣4）＝0，解得x＝1或x＝，故②正確；③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，若，則y＜5；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象開口向下，若，則y＞3；故③錯(cuò)誤；④當(dāng)a≠0時(shí)，y＝ax2﹣（a+4）x+1，Δ＝（a﹣1）7≥0，此時(shí)ax2﹣（a+6）x+1≤0函數(shù)與x至少有一個(gè)交點(diǎn)，不能使ax6﹣（a+1）x+1≤6對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立；當(dāng)a＝0時(shí)，﹣x+1≤32﹣（a+1）x+8≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立；故④正確；故選：B．二、填空題（本大題共有6小題，每題4分，共24分）11．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（2，﹣1）．【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（6．故答案為：（2，﹣1）．12．（4分）如圖是拋物線y＝ax2+bx+c的示意圖，則a的值可以是2（答案不唯一）（填寫符合條件一個(gè)數(shù)值即可）．【解答】解：∵拋物線的靠口向上，∴二次項(xiàng)系數(shù)大于0，∴a的值可以為2，故答案為：2（答案不唯一）．13．（4分）已知x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的解，則m的值為4．【解答】解：把x＝1代入x2﹣mx+4＝0得，1﹣m+2＝0，解得m＝4．故答案為：7．14．（4分）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為43°．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切線，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案為：43．15．（4分）《彈簧探險(xiǎn)家的能量之旅》假設(shè)你是一名年輕的物理探險(xiǎn)家，正在實(shí)驗(yàn)室中研究一個(gè)神奇的彈簧系統(tǒng)．想象一下：光滑如鏡的水平實(shí)驗(yàn)臺(tái)上（忽略所有摩擦和空氣阻力），一個(gè)銀色的金屬小球（質(zhì)量m＝1.35kg），彈簧的勁度系數(shù)k＝180N/m——這意味著一拉一壓之間，它就蘊(yùn)含著可觀的能量!你小心翼翼地用機(jī)械臂將彈簧壓縮了x0＝﹣0.1m（負(fù)號(hào)表示壓縮方向），然后從靜止?fàn)顟B(tài)（初速度v0＝0）釋放小球．瞬間，彈簧“嗡”的一聲舒展開，小球開始舞蹈般地滑動(dòng)．整個(gè)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒其中：E是總機(jī)械能（單位：焦耳，J），在無能量損失的情況下保持不變．是小球的動(dòng)能（速度v的單位：米/秒，m/s）．是彈簧的彈性勢(shì)能（位移x的單位：米，m；以彈簧原長(zhǎng)位置為參考點(diǎn)x＝0）．請(qǐng)閱讀以上內(nèi)容回答問題：當(dāng)x＝0.05m時(shí)，你要像偵探一樣，根據(jù)總機(jī)械能守恒公式，記住，能量守恒是你的指南針——系統(tǒng)總能量E終恒定，此時(shí)小球的速度v為1m/s．．【解答】解：由題意，系統(tǒng)的總機(jī)械能E初始狀態(tài)（x0＝﹣0.5m，小球動(dòng)能為0，∴總機(jī)械能等于彈簧的彈性勢(shì)能：E＝＝＝0.4J．∵E＝0.9J，m＝4.35kg，x＝0.05m，∴利用機(jī)械能守恒求速度v機(jī)械能守恒：得，又∵彈簧彈性勢(shì)能：，∴動(dòng)能對(duì)應(yīng)的速度：．∴最終小球的速度v為6m/s．故答案為：1m/s．16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點(diǎn)C，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”．已知P是直線，且存在⊙O的弦MN，使得點(diǎn)P是弦MN的“60°可及點(diǎn)”．記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t或．【解答】解：反過來思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，∴點(diǎn)C應(yīng)在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，∴點(diǎn)P需要在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，作出△MPN的外接圓⊙O''，連接O''M，∵點(diǎn)P在以O(shè)''為圓心，MO''為半徑的、N），∴∠MO''N＝2∠MPN＝120°，∴∠O''MN＝30°，由對(duì)稱得點(diǎn)O，O'在MN的垂直平分線上，∵△MPN的外接圓為⊙O''，∴點(diǎn)O''也在MN的垂直平分線上，記OO'與MN交于點(diǎn)Q，∴，∴，隨著MN的增大，⊙O''會(huì)越來越靠近⊙O'，點(diǎn)P在上⊙O'，此時(shí)MN最大，，連接O''P，OP，∵OP≤OO''+O''P，∴當(dāng)MN最大，時(shí)，此時(shí)△MPN為等邊三角形，由上述過程知，∴，當(dāng)r＝1，OP的最大值為3，設(shè)P，，則，解得：，設(shè)直線與⊙O交于T，S，過點(diǎn)S作SL⊥x軸，當(dāng)，當(dāng)y＝0時(shí)，∴與x軸交于點(diǎn)T（1，7），∴，∴∠OTK＝60°，∵OT＝OS，∴△OTS為等邊三角形，∴∠TOS＝60°，∴，即點(diǎn)，∴t的取值范圍是或，故答案為：或．三、解答題（本題共9題，共86分）17．（8分）解方程：x2+2x﹣1＝0．【解答】解：方程變形得：x2+2x＝5，配方得：x2+2x+3＝2，即（x+1）4＝2，開方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．18．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，DF．證明：BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，∴AE＝CF，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝，當(dāng)時(shí)，原式＝．20．（8分）某市為減少汽車尾氣污染，改善空氣質(zhì)量，鼓勵(lì)市民選擇新能源汽車作為出行的交通工具，該市2020年新建100座充電站，2022年新建169座．求該市這兩年新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率．【解答】解：設(shè)新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：100（1+x）2＝169．解得：x3＝0.3，x3＝﹣2.3（舍去）．答：該市這兩年新建充電站的數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為2.3．21．（8分）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n（m＞n＞0）【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N．∵點(diǎn)A，C在拋物線y＝﹣x2+4上，且A，n（m＞n＞2），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，﹣m2+4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n2+4），∴AM＝m，CN＝n．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCN＝∠ADM．在△ADM和△DCN中，，∴△ADM≌△DCN（AAS）．∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n．∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+8）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．∴m﹣n＝1．22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，連接CD，∠BCD＝∠A，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，且BE＝3，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠ABC＝90°．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，∴BD＝AB＝2OC．∵OB＝OC，∴OD＝OB+BD＝3OC，∴，∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°，又∵∠OCD＝90°，∴．∴DE＝3BE＝9，在Rt△DBE中，，∴，即⊙O半徑為．23．（10分）閱讀與思考下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報(bào)告博學(xué)小組研究對(duì)象：等邊半正多邊形研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念﹣性質(zhì)﹣判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行研究．研究方法：觀察（測(cè)量、實(shí)驗(yàn)）﹣猜想﹣推理證明研究?jī)?nèi)容：【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我們學(xué)習(xí)過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：概念理解：如圖2，如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為▲°．對(duì)角線：…任務(wù)：（1）直接寫出研究報(bào)告中“▲”處空缺的內(nèi)容：240．（2）如圖3，六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．連接對(duì)角線AD，猜想∠BAD與∠FAD的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圓．請(qǐng)?jiān)趫D4中作一個(gè)等邊半正六邊形ABCDEF（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．【解答】解：（2）∠BAD＝∠FAD．理由如下：連接BD，F(xiàn)D．∵六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形．∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E．∴△BCD≌△FED．∴BD＝FD．在△ABD與△AFD中，∴△BAD≌△FAD．∴∠BAD＝∠FAD．（3）答案不唯一，作法：如圖，六邊形ABCDEF即為所求．24．（12分）綜合與探究【問題情境】如圖1，在矩形ABCD中，，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E．使得CE＝2CD．點(diǎn)F是AD邊上一點(diǎn)，連接EF，CF．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）若EF＝2，則CD的長(zhǎng)為，AF的長(zhǎng)為﹣．【拓展探索】（2）如圖2，將Rt△EFC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，F(xiàn)G分別與AD，DC相交于點(diǎn)M①請(qǐng)判斷DM和DN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②如圖3，探索Rt△EFG旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)F恰好在矩形對(duì)角線AC的中點(diǎn)上．求出圖3中所有與圖1中AF相等的線段．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，∵CE＝2CD，∴DE＝CD，∴AD垂直平分CE，∴CF＝EF＝2，∵DF＝DC，∴△DCF為等腰直角三角形，∴CD＝DE＝CE＝，∵AD＝DC＝，∴AF＝AD﹣DF＝﹣；故答案為：，﹣；（2）①DM＝DN；理由如下：∵四邊形ABCD為矩形，如圖，∴∠ADC＝90°，由題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△EFG為等腰直角三角形，DF＝DG＝DE，∴DF⊥EG，∴∠EFD＝∠FGD＝45°，∠FDG＝∠ADC＝90°，∴∠FDG﹣∠FDN＝∠ADC﹣∠FDN，即∠MDF＝∠NDG，在△MDF和△NDG中，，∴△MDF≌△NDG（ASA），∴DM＝DN；②圖3中所有與圖7中AF相等的線段為DM、DN由（1）可得：AF＝（﹣1）CD，∵四邊形ABCD為矩形