正弦定理和余弦定理

2026年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)檢測訓(xùn)練（人教A版）

一、單選題

1.記V48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,若6=1,/T=c(c-1),則A=()

itc2兀一兀n5兀

A.-B.—C.一D.—

3366

2.已知V4BC中，4=120,。是BC的中點(diǎn)，且4）=1,貝IJVAAC面積的最大值（）

A.V3B.2x/3C.1D.2

3.在V4BC中，角的對邊分別為。力,c,D為4c的中點(diǎn)，已知c=2,BD=—2,

日〃cosA+A=-2rccs?.則V八8（7的面積為（）

A.2萬B.立C.GD.—

22

4.VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小兒c,且。=4,sinC=-,若VABC有兩解,

4

則c的取值可能為（）

A.3B.4C.5D.6

5.若VABC滿足酎=從=°2_兒,且sin5=2sinC,則VABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角三角形或直角三角形

二、多選題

6.在VA3C中，已知sin?A+cos?4+GsinAsinC=cos2C,則下列結(jié)論中正確的是（）

入?75萬

A.cosB=——B?cosB=-----

22

n

C.sinB=-D.tanB=

23

三、填空題

2cosAcosBcosC

7.已知VA4C的內(nèi)角ARC所對的邊分別為------------=-----------4-----------，則角A二

beac

8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》的“田域類”中寫道：問沙田一段，有三斜，

其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知為出幾何.意思是已知三角形沙

田的三邊長分別為13,14,15里，求三角形沙田的面積.請問此田面積為一平方里.

9.已知VABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若b=l,cosB=@，且

3

(?+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sinB),貝ij邊長c的值為.

四、解答題

10.在VA8C中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC：

(2)若力=6,且VABC的面積為66，求VA8C的周長.

11.在VA8C中，2Gcos20+2sin0cos￡=6.

222

(1)求4的大??；

⑵若6(〃+C)=勃，證明：a=c.

答案第2頁，共10頁

五、多選題

12.平面直角坐標(biāo)系中,VABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0,2）,5（l,0）,C（4,l）,則（）

A.sia4<sinCB.VABC銳角三角形

7

C.V44c的面積為§D.VA4c的外接圓半徑大于2

13.VA8C中，角ARC所對的邊分別為。力,c.以下結(jié)論中正確的有（）

A.若4=40,〃=20,3=25,則VA4C必有兩解

B.若sin2A=sin23,則VA8C一定為等腰三角形

C.若優(yōu)os8-6cosA=c,則VA8C一定為直角三角形

D.若8="=2,且該三角形有兩解，則人的范圍是（6,+8）

六、解答題

14.在VABC中,設(shè)A在C所對的邊分別為4b,c,且滿足ccosA—acosC=a+〃.

⑴求角C;

（2）若c=5,,-.A5C的內(nèi)切圓半徑「二立，求NABC的面積.

4

參考答案

題號1234561213

答案AADABBCCDAC

1.A

【分析】根據(jù)已知條件得/+/—/=%.,又余弦定理可得COSA=g,結(jié)合AW((),7L),即可

求解4=1

【詳解】由/-l=c(c=l)有"—l=c2—c,即。2-/=51,

乂因?yàn)椤?1,上式可化為/+。2-儲=歷,

又余弦定理得8sA="+‘2—寸，所以8sA=!，

2bc2

又因?yàn)锳e(O,兀)，所以A=g.

故選：A

2.A

【分析】利用中線得到4=〃+°2-權(quán)?，結(jié)合不等式得出僅:K4,進(jìn)而得到面積的最大值.

【詳解】因?yàn)锳=120,所以4?/10=卜@卜。卜00120。=—(兒，

因?yàn)锳O是中線，所以A0=g(A8+AC),AO—jA^+A^+ZABAc),

所以4=Z/十/一譏?之〃一當(dāng)且僅當(dāng)〃—c時(shí)，等號成立；

NABCS=—^csir.y4<—x4x—=>/3.

222

故選：A

3.D

【分析】先利用正弦定理化邊為角求出角8,在向量化求出邊。，再根據(jù)三角形的面積公式

即可得解.

【詳解】因?yàn)?8sB+bcosA=-2ccosB,

由正弦定理得sinAcosZ?+sinBcosA=-2sinCeosB,

即sin(/l+B)=sinC=-2sinCcos^,

又sinC>0,所以cos8=-/,

又8?0,兀)，所以B二,，

答案第4頁，共10頁

在VA8C中，。為AC的中點(diǎn)，則8O=g+

則加=；(BA+BC)2=：網(wǎng)+BC'+2BA?BC；

即(=；(4+〃2-24),解得4=3(〃=一1舍去),

所以S~WC=；X2X3X4=￥.

故選：D.

4.A

【分析】由題意可得〃sinC<c<a,計(jì)算即nJ得.

【詳解】由題意可得asinCvcca,即l<c<4.

故選:A.

5.B

【分析】由正弦定理可得3=2c,結(jié)合/=b1+1-此，可得"&,b=2c,即〃=/+。2,

分析即得解

【詳解】由正弦定理，以及sin3=2sinC,可得/?=2c

代入a2=b-+d-反，可得a2=(2c)2+c2-2cxc=3c2

a=>/3c,b=2c

故/=/+/.4=90

故VA8C為直角三角形

故選：B

6.BC

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理化簡已知等式可得/+。2—/-=—#",

由余弦定理可得cosB,利用同角三角函數(shù)基本公式進(jìn)而可求sinB,tanB的值，即可得解.

【詳解】解：因?yàn)閟in?A+cos?3+>/5sinAsinC=cos?C,

可得sin"A+1-sinJB+6sinAsinC=1-sin*C>整埋可得:sin*A—sin*B+V5sin4sinC=—sin*C?

所以由正弦定理可得a2+c2-b2=-瓜c，

由余弦定理可得cos8=°+1-'=氈竺=-且,因?yàn)?e(0,乃)，所以

2ac2ac2

si.nB?=7R"cos7B7=—1,tanH_=-s-i-n--B-=---V--3-.

2cos83

故選：BC.

7.—/60

J

【分析】先將等式去分母，然后利用正弦定理變形整理可得角A.

2cos4cosBcosC…

【詳解】將等式一；一=——+----兩邊同時(shí)乘以"c得

beabac

2acosA=ccosB+Z?cosC,

由正弦定理得2sinAcosA=sinCcos4+sinBcosC=sin(/^+C)=sinA,

又在V/A4C中人e(0,7t),得sinAqO

A1

，cosA=一,

2

A=—.

3

故答案為：y.

8.84

【分析】由題意畫出圖象,并求出AB、BC、AC的長，由余弦定理求出cosB,由平方關(guān)系

求出sinB的值，代入三隹形的面積公式求出該沙田的面積.

【詳解】由題意畫出圖象：

且AB=13里,BC=14里,AC=15里,

在△ABC中，由余弦定理得，

DAB2+BC2-AC2132+142-1525

cosB=------------------------=------------------=—

2ABBC2x13x1413

._______|2

所以sinB=71-c(?rB=—?

答案第6頁，共10頁

I1I?

則該沙田的面積：即^ABC的面積S=—AB?BC?sinB=-xl3x]4x—=84.

2213

故答案為84.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，以及三角形面積公式的實(shí)際應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

9.史

4

【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得角。的值，求出sinB的值，再利用正弦定理可

求得邊長c的值.

【詳解】由(a+c)(sinA-sinC)=〃(sin4-$1118)及正弦定理可得(〃+6*)(々一(?)=/?(〃一。),

可得,-，由余弦定理可得由二七1號'

,,o<c<^?則c=q,

因?yàn)閏osB=@，則8為銳角，可得sin8=嬴/=],

33

bbsinCx/333x/3

由正弦定理一J可得c=

sinCsinBsinB~~2X2~~

故答案為：更.

4

10.⑴g

o

(2)6+6^3

【分析】(I)利用二倍角的正弦公式化簡可得cos。的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C的

值；

(2)利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得VA3C的

周長.

【詳解】(1)解：因?yàn)椤?0,4),則sinC>0,由已知可得6sinC=2sinCcosC,

可得cosC=且，因此，C=j

26

(2)解：由三角形的面積公式可得SABc=:"sinC=g〃=66,解得〃=4&.

2z

由余弦定理可得c2=a2+/-2H)cosC=48+36-2x4>Ax6x^=12,：.c=2B

2

所以，VA3c的周長為+C=6G+6.

11.⑴1；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用降塞公式化簡已知條件，求出tan8即可求出B；

⑵結(jié)合余弦定理和已知條件即可證明.

【詳解】(1)在VA3c中，???2版os20+2sin0cos0=G,

222

l+cosfirr

???25---------4-sinB=V3

**?GCOSB+sin8=0,

tanB=一\/5，

*.*Ae(0,兀),

AB=—；

3

(2)VB=—,：.cosB=--.

32

由余弦定理得//=a2+c2+ac?r

???G(a+c)=%,???/,=^e+c)②，

將②代入①，得［(/+2ac+(?)=/+c?+,

整理得(a-c)2=0,???a=J

12.CD

【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識確定正確答案.

【詳解】c=\AB\=45.b=\AC\=^,a=\BC\=^.

所以cva,由正弦定理得sinCvsiM,故A錯(cuò)誤：

5+10—17

由余弦定理,得8sB二=--<0,所以角4是鈍角,故B錯(cuò)誤:

2回

*7/2

由sin28+cos，8=1,得sinB=-----?

10

VABC的面積為,acxsinB=—x^5x>/iox1.^3L-Z,故C正確;

22102

設(shè)VA8C的外接圓半徑為R,

答案第8頁，共10頁

...2/?=-^=^^=-^X=-5/34=->/850>->/784=-X28=4,/?>2八丁注

則sinB7及7a7777，故D正確.

Ho

故選：CD

13.AC

【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)A；已知條件得出角的關(guān)系，可判斷選項(xiàng)B；化邊為

角可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正弦定理可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于A,若〃=40,〃=20,4=25,則sirtA=一由8=40sin5=2sin25<1,

b20

又A>3,所以VA3c必有兩解，故A正確；

對于B,若sin2A=sin28,則2A=23或2A=?t-2B,

即A=8或A+8=5,所UVA8C為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；

對于C,由正弦定理得：acosB-IKOSA=C<=>sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sin（A—A）=sinC=sin（A+8）=sin88S=0,而sinSwO,故A=],

所以V八3c一定為直角三角形，故C正確；

對于D,若B=*a=2,且該三角形有兩解，所以asin8<〃<a,

即2sin]v〃<2,也即故D錯(cuò)誤.

綜上所述，只有AC正確，

故選：AC.

14.⑴與

⑵2

16

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得