數(shù)與式

易錯點1:分母有理化

____________________，易錯點2:分式新定義

分式與二次木艮式易錯點3:分式中的倒數(shù)

易錯點4:根式有理化

易錯點5:復合二次根式

有理數(shù)專題

易錯點:

1.混淆有理數(shù)和無理數(shù)：學生可能難以區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)。例如，無法正確識別無

限不循環(huán)小數(shù)(如又和J2)為無理數(shù)。

2.運算錯誤：在進行有理數(shù)的加、減、乘、除等運算時，學生可能會犯錯誤，如忽視

運算順序、運算符號錯誤或處理復雜表達式時出錯。

3.對絕對值理解不足：學生可能對絕對值的定義和性質理解不足，例如將負數(shù)的絕對

值理解為負數(shù)，或在處理涉及絕對值的復雜問題時出錯。

4.對分數(shù)運算不熟悉：學生可能對分數(shù)的加、減、乘、除等運算不太熟悉，導致在處

理涉及分數(shù)的問題時出錯。

5.對數(shù)軸理解有誤：數(shù)軸是有理數(shù)的重要表示工具，但學生可能無法正確理解和使用

數(shù)軸，如無法正確標記有理數(shù)、無法理解數(shù)軸上的相對位置關系等。

6.對有理數(shù)的混合運算順序不熟悉：在進行有理數(shù)的混合運算時，學生可能不清楚之

算的優(yōu)先級，導致運算順序錯誤。

7.忽視未知數(shù)的取值范圍：在進行有理數(shù)的函數(shù)運算時，學生可能忽視位置上的取值

范圍的重要性，導致答案不準確。

8,對概念理解不足：學生可能對有理數(shù)的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整數(shù)、

什么是負數(shù)等。

易錯點1：絕對值化簡

例：若有理數(shù)。、/八c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則,+4+卜一4=()

III1.

Caob

A.b+cB.-b-cC.-2a-b+cD.b-c

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)地、絕對值，根據(jù)數(shù)軸判斷出式子正負是解題關鍵.根據(jù)數(shù)軸可

知，進而得出。+人<0,c-a<0,然后化簡絕對值即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，c<a<0<-|4>|。>陶，

則a+Z?<0,c-a<0,

：.\a+h\+\c-c^=~(a+b)-(<c-a)=-a-b-c+a=-b-c,

故選：B

變式L如果，J〃都是有理數(shù)那么野+"

【答案】?；?或-2

【分析】本題考查了絕對值的定義，及分類討論的思想，有一定的難度.

根據(jù)絕對值的定義分情況討論即可求解.

【詳解】解：當。>0,…時，?+羽=1+1=2；

當〃〉0,“<0時，（+導一=0；

當。<0,。>0時，子+_L=T+I=O

當"。一<。時，詈

綜上，號+4=?；虮?/p>

故答案為：?；?或-2.

x,x>0

變式2：閱讀下列材料：兇=0/=0,即當％>0時，區(qū)=2=1,當xvO時，兇=三=一

八XXXX

一x,x<0

運用以上結論解決卜面句題：

（1）已知〃?，〃是有理數(shù)，當〃機>0時，則㈣-?=；

mn

（2）已知〃?，〃，，是有理數(shù)，當〃〃〃<0時，求回_?_口的值；

mnt

（3）已知〃?，〃，，是有理數(shù)，〃z+〃+r=O,j=Lnmt<0,求加----------k的值.

n+ttn+tm+n

【答案】（1）0;

（2）1或-3；

⑶-1或3.

【分析】本題考查的是芍理數(shù)的四則混合運算，化簡絕對值，熟練的化簡絕對值是解本

題的關鍵；

（1）先判斷九〃同號，再分兩種情況化簡絕對值，再計算即可；

（2）先判斷〃?，〃，/全負或〃?，〃，/兩正一負，再分情況化簡絕對值，再計算即可；

（3）先判斷〃?，〃，/兩正一負，再結合（2）的結論即可得到答案.

【詳解】（1）解：,：m,〃是有理數(shù)，當〃?〃>0時，

:.〃?,〃同號，

當tn>0,〃>0時，

當in<0,〃<0時,

口1/7/1-UIni=-1+1=0；

inn

（2）mnt<0

???〃?，〃，/全負或/〃，〃，/兩正一負

①當〃?，〃，「全負時，==l

②當〃2,，兩正一負時

I）當〃7>0,n>0,ivO時，㈣一處一<二1一I一（一1）二1

mnt

II）當〃?>0,〃<0,1>0時，-----=1-（-1）-1=1

mnt

III）當〃?<0,n>0,f>0時,1-1=-3

innt

綜卜所述,㈣一處一口的值為i或_3：

mnt

（3）Vm+n+t=0

zi4-/=-m,ni+t=-n,m+n--t.

.\m\\n\|r|_\m\同\t\

n+tm+tm+n-m-n-t（帆ntJ

又?:mnt<0,

?1〃，〃，/兩正一負

由（2）可知加L-M——LL的值為-或3.

n+trn+fin+n

易錯點2：絕對值最值

例：式子l%-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)絕對值化簡計算，當4WXS6時，取得最小值，熟練掌握絕對值的性質和

化簡是解題的關鍵.

【詳解】當A<2時，

|x-2|+|x—4|+|x—6|+|x—8|=2—x+4—x+6—x+8—x=20—4x>l2,

當2Kx<4時，|X-2|+|X-4|+|X-6|+|X-8|=X-2+4-X+6-X+87=16-2X>8

當4<x?6時，|x-2|+|x-4|+|K-6|+|x—8|=x—2+x—4+6—x+8—x=8,

當6<JvW8時，|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x—8|=x-2+x—4+.T—6+8—x=2x-4>8,

當x>8時，|A'—2|+|x—4|+|x—6|+|x—8|=x—2+x—4+x—6+x—8=4x—20>l2,

故|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|有最小值8,

故選D.

變式1：當》=時，卜―1|+k+2|+,—3|+卜+4|+…+卜+100|+h—101|的值最小，最

小值為.

【答案】I5050

【分析】木題考查絕對值的意義，化簡絕對值，

,一1|+卜+2|+,一3|+|x+4j+…+卜+100|+,一101|表不工至ji1,—2,3,—4…—100,101各個點

的距離之和，最中間的點為x=l,進而得到當x=l,

打一1|+卜+2|+卜一3|+卜+4|+-+卜+100|+k一101|的值最小，進行求解即可.掌握絕對

值的意義，是解題的關犍.

【詳解】解：q_1|+,_2|+,_3|+卜+4|+...+卜+100|+,_101|表示x至U

I,-2,3,-4…-1(X),101的距離之和，最中間的點為x=1,

?'.當x=l時，|x—1+,+2|+上—3|+|x+41H---^^+100|+打一101的值最小為：

‘-1|+|1+2|+|1-3|+|1+4"...+[1+100j+|l—101|

=0+3+2+5+…+101+KX)

(1+101)

-----zxl01-l

2

=5150；

故答案為：L5050.

變式2：學習“一次函數(shù)”時，我們從“數(shù)”和“形”兩方面研究一次函數(shù)的性質，并積累了

一些經(jīng)驗和方法.小聰同學嘗試運用積累的經(jīng)驗和方法對函數(shù)y=|x-i|-3的圖象與性

質進行探究，下面是小聰同學的探究過程，請你補充完整.

⑴列表：

X???-2-101234???

y??,0-1-2a-2b0???

貝（J4=,b=

⑵描點并畫出該函數(shù)的圖象;

⑶①判斷：函數(shù)y=|x-i|-3的圖象（填“是”或“不是”）軸對稱圖形；

②觀察函數(shù)圖象，當-3K），K-1時，X的取值范圍是.

③觀察函數(shù)圖象，試判斷函數(shù)y=|x-i卜3是否存在最小值？若存在，直接寫出最小值.

【答案】（1）一3；-1

（2）圖見解析

（3）①是；②-l?xW3；③存在最小值，最小值是一3

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，絕對值的意義，軸對稱圖形的識別，熟練

掌握一次函數(shù)的性質是解題關鍵.

（1）把x的值代入計算，即可求出〃、〃的值；

（2）根據(jù)（1）中的表格，描點連線即可畫出圖象；

（3）①利用軸對稱圖形的定義對函數(shù)圖象進行分析即可判斷；

②分情況討論：x>l時和“<1時，分別求解不等式，即可得到答案；

③利用絕對值的性質，得到卜-1卜32-3,當且僅當入=1時取等號，即可判斷最小值.

【詳解】⑴解：???尸卜一1|一3,

當x=］時，y=|l-l|-3=-3,即a=-3；

當x=3時，y=|3-1|-3=-1,即〃=?1,

故答案為:-3；-1；

（2）解；函數(shù)圖象如下:

(3)解：①由(2)圖象可知，函數(shù))，=,-1|-3的圖像是軸對稱圖形,

故答案為：是;

②vy=|x-l|-3,

當時，y=x4,Bp—3<x—4<-1,解得：1<x<3；

當x<l時，y=-x-2,BP-3<-x-2<-l,解得：一1?工41,

綜上所述：x的取值范圍是-14XK3；

故答案為：—1<x<3；

③存在，最小值為-3,證明如下：

v|x-l|>0,

/.|x-l|-3>-3,當且僅當x=l時取等號，

二?函數(shù)y=k-i|-3的最小值為-3；

即存在最小值，最小值為-3.

易錯點3：絕對值方程

例：若帆=2/〃+6,則〃/+4〃?的值為()

A.12B.-4C.5D.-3

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值方程，求代數(shù)式的值，先求出m的值，再代入計算即可.

【詳解】解：當〃后()時，m=2m+6f

解得〃?=-6(不合題意，舍去).

當〃?<0時，-nt=2m+6,

解得=

Am2+4ni=(-2)2+4x(-2)=-4.

故選B.

變式h已知：時=3,網(wǎng)=2,且|。+)|<同+可，則a+b=

【答案】1或T

【分析】本題考查的是絕對值的含義，有理數(shù)的加法運算，求解代數(shù)式的值，本題先求

解。=±3,b=±2,再根據(jù)|。+耳<同+可分兩種情況分別代入計算即可，準確得出。=3,

8=-2或。=一3,方=2是解本題的關鍵.

【詳解】解：?.?1|=3,網(wǎng)=2,

/.?=±3,b=±2,

V\a+b\<\a\+\b\t

,a=3,。=—2或a=—3,Z?=2,

當a=3,8=一2時，

a+b=3+(-2)=1；

當〃=-3,〃=2時，

a+/>=—3+2=—1.

故答案為：1或-1

變式2：“數(shù)形結合”是一種非常重要的數(shù)學思想，它可以把抽象的數(shù)量關系與直觀的幾

何圖形結合起來解決問邈.

探究：方程卜-1|=2,可以用兩種方法求解，將探究過程補充完整.

方法一、當工一1>0時，,一1|="-1=2；

當X-1W0時，

卜-1|==2.

方法二、卜-1|=2的意義是數(shù)釉上表示x的點與表示的點之間的距離是2.

-3-2-10123

上述兩種方法，都可以求得方程卜-1|=2的解是.

應用：根據(jù)探究中的方法，求得方程卜-1|+卜+3|=9的解是.

拓展：方程|3-1|-|-工-3|=；的解是___________.

【答案】探究：IT、I、x=3或尸-1：應用：x=-5.5或x=3.5；拓展：x=-4

【分析】本題考查了絕對值的意義，解絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離.熟練掌握

絕對值的意義，解絕對值方程，數(shù)軸上兩點之間的距離是解題的關鍵.

探究：根據(jù)題意化簡絕對值，利用絕對值的意義進行作答即可；

應用：由卜-1|+|x+3|=9的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示1和-3兩點之間的距離和為

9,表示1和-3兩點之間的距離為4,可知表示x的點在-3左側，或在I右側；分當x<-3

時，當工>1時，解絕對值方程即可；

拓展：由題意知，,-1卜*3|4整理得k-1|-卜+3|=；,分當/+3<0時，當1>0

時，當OWx+3,x-lWO時，三種情況解絕對值方程即可.

【詳解】探究：解：由題意知，當x—l>0時，卜―1|二工-1=2,

解得，x=3；

當X-1=0時，|x-l|=l-x=2,

解得，x=-\；

k-1|=2的意義是數(shù)軸上表示X的點與表示1的點之間的距離是2,

上述兩種方法，都可以求得方程卜-1|=2的解是x=3或4-1；

故答案為：1一%、1、x=3或x=-l.

應用：解：|x-l|+|x+3=9的意義是數(shù)軸上表示工的點與表示1和-3兩點之間的距離和

為9,

???表示1和-3兩點之間的距離為4,

，表示x的點在-3左側，或在1右側；

當xv-3時，|x-l|+|x+3|=l-x-x-3=9,

解得，x=-5.5：

當x>l時，|x—l|+|x4-3j=x-l+x+3=9,

解得，無=3.5；

綜上所述，1二一5.5或/=3.5；

拓展：解：|%-1|一卜工一科=；,

**?|x-l|-|x+3|=-^,

當x+3<0時，|x-l|-|x+3|=l-x+x+3=4^1,無解；

當彳_[>0時，|X-1|-|A+3|=x-l-x-3=-4*i,無解;

當0K/+3,X-1|x—1|—|x+3|=1—x—x—3=—,

解得，工=二；

故答案為：x=~~7?

4

易錯點4：數(shù)軸動點

例：如圖1,圓的周長為4個單位.在該圓的4等分點處分別標上字母〃?、〃、p、?如

圖2,先將圓周上表示p的點與數(shù)軸原點重合，然后招該圓沿著數(shù)軸的負方向滾動，則

數(shù)軸上表示-2024的點與圓周上重合的點對應的字母是（）

A.inB.nC.pD.q

【答案】C

【分析】本題考查數(shù)軸上點的規(guī)律探究.根據(jù)題意，每經(jīng)過4次，點〃回到數(shù)軸上，利

用2024+4=506,即可得出結果.

【詳解】解：由題意，可知：每經(jīng)過4次，點尸回到數(shù)軸上，

,/2024+4=506,

:.表示-2024的點與圓周上重合的點對應的字母是〃，

故選：C.

變式1：如圖，邊長為3的正方形A8C。的邊在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為

-4.將正方形ABC。在數(shù)軸上水平移動，移動后的正方形記為AEC77,點A、B、C、

D的對應點分別為4、*、「、墳,點￡是線段A4'的中點，當面積為15時，

點4表示的數(shù)為.

DC

AB01

【答案】-18或22/22或T8

【分析】本題考查數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的實際應用，設點A表示的數(shù)為x,

則：點七表示的數(shù)為根據(jù)兩點間的距離公式，結合面積為15,列出方

程求解即可.掌握兩點間的距離公式，正確的列出方程，是解題的關鍵.

【詳解】解：???邊長為3的正方形A8CO的邊A3在數(shù)軸上，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為

-4,

???點3表示的數(shù)為T+3=-l,

設平移后點A表示的數(shù)為x,貝的點E表示的數(shù)為二

由題意，得：△BE。的面積=［一1一彳：?3=15,

解得：x=-18或x=22,

即：點A表示的數(shù)為-18或22：

故答案為:78或22.

變式2：【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美北

結合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b,

則人，8兩點之間的距離線段AB的中點表示的數(shù)為審.

【問題情境】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-3,點8表示的數(shù)為7,點。從點A出發(fā)，

以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點。從點8出發(fā)，以每秒3個

單位長度的速度向左勻速運動.

設運動時間為，秒

【綜合運用】

AHAH

oL6十

備用圖

⑴填空：

①A、H兩點間的距離力8=,線段AK的中點表示的數(shù)為；

②用含，的代數(shù)式表示：，秒后，點尸表示的數(shù)為:點Q表示的數(shù)為.

⑵求當，為何值時，尸、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù)；

⑶求當/為何值時，PQ，AB；

4

(4)若點M為姑的中點，點N為依的中點，點戶在運動過程中，線段的長度是否

發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長.

【答案】⑴①10,2；②—3+17-31

⑵相遇點表示的數(shù)為1

⑶當，=1.5或2.5.=

(4)5

【分析】本題考查一元一次方程的應用、數(shù)軸、兩點間的距離、絕對值，解答本題的關

鍵是明確題意，利用方程和數(shù)形結合的思想解答.

（1）①根據(jù)點A表示的數(shù)為-3,點8表示的數(shù)為7,即可得到A、8兩點間的距離以

及線段A3的中點表示的數(shù)；②依據(jù)點尸，。的運動速度以及方向，即可得到結論；

（2）根據(jù)當尸、Q兩點相遇時，P、。表示的數(shù)相等，可以得到關于/的方程，然后求

出，的值，本題得以解決；

（3）根據(jù)=可以求得相應的/的值；

（4）根據(jù)題意可以表示出點M和點N,從而可以解答本題.

【詳解】（1）①4、B兩點間的距離A3=卜3-7|=10,線段48的中點表示的數(shù)為:產(chǎn)=2：

②用含，的代數(shù)式表示：/秒后，點尸表示的數(shù)為：-3+2/,點Q表示的數(shù)為：7-3/,

故答案為:①10,2；②-3+267-31；

（2）、?當/＞、。兩點相遇時，P、。表示的數(shù)相等，

-3+2/=7—3/9

解得：7=2,

???當r=2時，P、Q相遇，

止匕時，-3+2/=-3+2x2=l,

「?相遇點表示的數(shù)為I;

（3）??"秒后，點P表示的數(shù)-3+Z,點Q表示的數(shù)為7-3/,

???^0=1（-34-2/）-（7-3/）|=|5/-10|,

又做=!46一X|7-（-3H=!X]0=:，

4442

N5/-10|=j,

解得：f=1.5或2.5,

.??當，=1.5或2.5時，PQ=-AB-

4

（4）點P在運動過程中，線段MN的長度不發(fā)生變化，

理由如下：???點M表示的數(shù)為：-3+（；+2/）=.3,

點N表示的數(shù)為：7+學功=,+2,

.?.MN=|(-3)-(r+2)|=5,

「?點戶在運動過程中，線段例N的長度不發(fā)生變化，長為5.

易錯點5：數(shù)軸新定義

例：己知數(shù)軸上兩點4B對應的數(shù)分別為-2,4,點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)

為Xp.

AOB

—I——I1414_I——I——I41->

-5-4-3-2-1012345

（1）若點P為線段43的中點，則點戶對應的數(shù)七=；

（2）點尸在移動的過程中，其到點A、點8的距離之和為10,求此時點尸對應的數(shù)與的

值；

（3）對于數(shù)軸上的三點，給出如下定義：若當其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2

倍關系時，則稱該點是其他兩個點的“友好點”.如圖，原點。是點A,B的友好點.現(xiàn)

在，點A、點。分別以每秒3個單位K度和每秒1個單位K度的速度同時向右運動，同

時點P以每秒2個單位長度的速度從表示數(shù)5的點向左運動.設出發(fā)，秒后，點P恰好

是點A,B的“友好點”，求此時的“直.

【答案】（1）1

⑵T或6；

【分析】（I）根據(jù)點P到點4、點B的距離相等，結合數(shù)軸可得答案：

（2）此題要分兩種情況：①當尸在AA左側時，②當P在AA右側時，再列出方程求解

即可；

（3）由點尸恰好是點A,8的“友好點”，列出方程可求解.

本題考查了一元一次方程的應用，以及數(shù)釉，關鍵是理解題意，表示出兩點之間的距離，

利用數(shù)形結合法列出方程.

【詳解】（1）解：P為A4的中點，BP=PA.

依題意得4一巧,=巧,一（-2）,

解得:?=1.

故答案為：1;

（2）由48=6,若存在點尸到點A、點B的距離之和為8,P不可能在線段A8上，只

能在A點左側，或B點右側.

①P在點A左側，PA7』PB=4-xpf

依題意得（-2_與）+（4_為,）=10,

解得：牛=-4：

②P在點8右側，24二七一（一2）=~+2,PB=xp-4f

依題意得（巧,+2）+（巧「4）=10,

解得：?=6.

故P點對應的數(shù)是-4或6；

（3）由題意可得：/秒后，點A對應的數(shù)為-2+3,，點B對應的數(shù)為4+f,點尸對應

的數(shù)為5-2，，

???點尸恰好是點A,B的“友好點”，

???|（5-2。一（-2+3"=2|（5-力）一（4+叫或2|（5-21）-（-2+3。|=|（5-力）一（4+3.

解得：/=—5（舍去）或9或/=寧13或/=]15,

???,的值。9或，13或15

變式1：【定義新知】在數(shù)軸上點M和點N表示的數(shù)為/〃、小則可以用絕對值表示點M

和點N之間的距離4（M,N）,即d（M,N）=W-〃|.

【初步應用】

（1）在數(shù)軸上，點A、B、。分別表示的數(shù)為-2、1、x,解答下列問題：

①"（A.B）=；

②若d（4C）=2,則x的值為；

③若"（AC）+或B,C）="（A,8）,且x為負整數(shù)，則式的值為.

【綜合應用】

（2）在數(shù)軸上，點。、E、產(chǎn)分別表示數(shù)-3、5、12,動點尸沿數(shù)軸以每秒3個單位長

度從點。開始向點尸運動，到達尸點后立刻原速返回到。點；同時，動點。沿數(shù)軸以

每秒1個單位長度從點E開始向點尸運動，到達尸點后停止.設點〃的運動時間為/

秒，在整個運動過程中，若d（P,Q）=：d（D,E）,求/的值.

O

7□919^

【答案】⑴①3：②?；験；③一2或T；⑵；或評號或寧

【分析】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸以及絕對值，由數(shù)軸上兩點的距離公式

列出一元一次方程是解題的關鍵，注意分類討論.

(1)①由兩點距離公式可求解；②由兩點距離公式可求解；③由兩點距離公式可求解；

(2)先求出或。,。)=)(。,&=1,再分“當04區(qū)5時"，“當5</47時”，“當7々410

O

時''三種情況，列出方程即可求解.

【詳解】解：(1)①由題意得：|一2-1|=3；

②由題意得：|一2-乂=2,即|2+目=2,

」.x=0或Y；

③由題意得：|一2-田+|1-討=k2-1|,即|2+目+|1-乂=3,

??”為負整數(shù)，

當x=-l時，有|2+目+卜目=|2-1|+1一(一1)|=3,

當國<2時，2+%>0,

:.2+x+\-x=3,此方程無解;

當國>2時，2+x>0,

/.-2—x+1-x=3?

解得，x=-2,

故答案為：3,0或-4,-1或-2；

(2)點。、E、尸分別表示數(shù)-3、5、12,d(RE)43-5|=8,

.?.d(P,Q)=gd(D,E)=l,

O

?J從點力運動到E的時間為(12+3)+3=5(秒)，

???當0W/W5時，P表示的數(shù)為一3+3/,Q表示的數(shù)為5+f,

則?2，e)=|-3+3r-5-r|=|2/-8|=l,

9

,當2，一8=1時，/=-：

2

當8-2/=1時，

當5<fW7時，這時P表示的數(shù)為12-3(/-5),Q表示的數(shù)學5+八

.\|22-4/|=1,

2123

，當22-41=1時,當22—41=一1時,/=—

T4

當時，這時Q表示的數(shù)為12,P表示的數(shù)為12-3（/-5）=27-3/,

J（^e）=|（27-3r）-12|>l,不存在.

綜上，/的值為7:或Q那日91或寧.

變式2：在平面直角坐標系式。），中，對于點?，點”給出如下定義：如果點尸與原點。

的距離為。，點”與點。的距離是。的々倍（女為整數(shù)），那么稱點“為點"的“倍關

聯(lián)點

備用圖備用圖

⑴當爪-150）時，

①如果點［的3倍關聯(lián)點M在x軸上，那么點M的坐標為.

②如果點"（％），）是點4的左倍關聯(lián)點，且滿足x=-L5,-2WyW4,那么整數(shù)攵的最大

值為.

（2）已知在RtZXABC中，NA8C=90。,NACB=30。,4（"0）,3（。+1,0）.若打（一1,0）,且

在MBC的邊上存在點2的2倍關聯(lián)點。，求匕的取值范圍.

【答案】⑴①（-6,0）,（3,0）；②2

（2）5的取值范圍是-4K6K-3或-ICG

【分析】本題考查了兩坐標點的距離、?次函數(shù)的實際應用，圓的基本概念，由題意正

確理解關聯(lián)點的定義，分析出點鳥（7。）的2倍關聯(lián)點的軌跡是以點?（TO）為圓心，

半徑為2的圓是解答本題的關鍵.

（1）①根據(jù)題意對關設點的定義，點片與點M的距圖是點M與原點O距離的三倍,

由于題目沒有給出點M的和點4的位置關系，因此有兩種情況：點"在點4的左側，

坐標為（-6,0）,點M在點耳的右側，坐標為（3,0）；

②根據(jù)題意對關聯(lián)點的定義，點M（x,y）是x=-1.5,且-2W），W4這條線段上的一個動

點，由于k為整數(shù)，經(jīng)過分析，攵最大只能為2.

（2）結合題意及對關聯(lián)點的定義分析，得到點的2倍關聯(lián)點的軌跡是以點

右（-1,0）為圓心，半徑為2的圓，邊A6在x軸上，且45=1,由此得到。的取值

范圍.

【詳解】（1）解：①依據(jù)題意，對關聯(lián)點的定義知：

點M與原點。的距離為1.5,

???點R的3倍關聯(lián)點用在x軸上，

點R與點M的距囹是3x1.5=4.5.

???點"的坐標為（-6,0）,（3,0）.

②依據(jù)題意，

得：點M（x，y）是X=TS且-24）*4這條線段上的一個動點，

依據(jù)題意對關聯(lián)點的定義，

當坐標為“（一153）時，

整數(shù)攵最大，最大值為2.

故答案為:①（-6,0）,（3,0）；②2

（2）

如圖,

?.?8(〃+1,0),A(/?,0),

.，.AB=\.

???點。為點八的2倍關聯(lián)點，6（70）,

QP2-2OP2=2,

點P2（-1,0）的2倍關聯(lián)點的軌跡是半徑為2的0呂；

當直角三角形A8C沿工軸運動與02的交點為點Q

二〃的取彳宜范圍是或一.

故答案為：-A<b<-3^.-\<b<\

實數(shù)專題

易錯點：

1.混淆有理數(shù)和無理數(shù)的概念：

有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而無理數(shù)處無法表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)

小數(shù)。

2.混淆實數(shù)的運算性質：

（1）實數(shù)具有加法、減法、乘法和除法的運算性質，例如結合律、交換律等。

（2）容易忽視實數(shù)的運算性質，導致在運算中出現(xiàn)錯誤。

3.對絕對值的理解不足：

（1）絕對值表示一個數(shù)距離0的距離，正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的

相反數(shù)。

（2）容易忽略絕對值的定義，導致在處理絕對值時出現(xiàn)錯誤。

4.對平方根的理解不足：

（1）平方根是一個數(shù)的非負值，即正平方根和零的平方根。

（2）容易忽略平方根的定義，導致在處理平方根時出現(xiàn)錯誤。

5.對無理數(shù)近似表示的誤解：

（1）無理數(shù)可以用有理數(shù)進行近似表示，例如丸可以使用分數(shù)進行近似表示。

（2）容易將無理數(shù)的近似表示誤認為是無理數(shù)的準確值，導致在計算中出現(xiàn)錯誤。

6.對實數(shù)的大小關系理解不足：

（1）實數(shù)的大小關系可以通過數(shù)軸來表示，正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于一切

負數(shù)。

（2）容易忽略實數(shù)的大小關系，導致在比較實數(shù)大小時出現(xiàn)錯誤。

易錯點1:算術平方根與立方根的規(guī)律

例：已知：后為=4.858,7236=1.536,則Jo.(X)236=()

A.0.1536B.15.36C.0.04858D.48.58

【答案】C

【分析】本題考查積的算術平方根的性質，理解''被開力數(shù)向一個方向移動2位，對應

的算術平方根的小數(shù)點向相同的方向移動1位''是解題的關鍵.

【詳解】解：x/0.00236=V23.6x0.0001=4.858x0.01=0.04858,

故選C.

變式1：小明用計算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.

X1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916

X225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256

下面有四個推斷:

①12.2801=1.51

②一定有3個整數(shù)的算術平方根在15.5?15.6之間

③對于小于15的兩個正數(shù)，若它們的差等于01，則它們的平方的差小于3.01

④16.22比16.「大323

所有合理推斷的序號是.

【答案】D

【分析】此題考杳了乘方運算,算術平方根，平方差公式：根據(jù)表格中的信息可知，和

其對應的算術平方根的值，然后依次判斷各題即可.

【詳解】解：根據(jù)表格中的信息知：7228^1=15.1,

x/2.2801=1.51,故①正確：

根據(jù)表格中的信息知：15.52?=240.25</?<15.622=243.36，

???正整數(shù)〃=241或242或243,

，一定有3個整數(shù)的算術平方根在15.5?15.6之間，故②正確;

由題意設。=%+0.1,且0<〃<々<15,

一6=(a+3(cL〃)=(2Z7+O.l)xO.l=O.?+O.OI,

由0<b<a<15,/.0.2b<3,

.-.0.2/?+0.01<3.01,

，對于小于15的兩個正數(shù)，若它們的差等于0.1,則它們的平方的差小于3.01,故③正

確；

???16.22=262.44,16.12=259.21,262.44-259.21=3.23,故④正確；

???合理推斷的序號是①②③④.

故答案為：①②?④.

變式2：愛學習愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數(shù)據(jù):

???V0.0324J0.32473.24J32.4N/324J3240V32400???

???0.180.5691.85.691856.9180???

⑴你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是被開方數(shù)擴大100倍，它的算術平方根擴大」

(2)已知6。1.732(精確到0.001),并用上述規(guī)律宜接寫出各式的值：麻氣，V300

一,

(3)已知710404=102,4=10.2,方=1020,則x=_,V=_.

(4)類似小明的探究，把表中所有平方根換成立方根，你能根據(jù)厲。1.442,直接說出

V300和V3000的近似值嗎？

【答案】(1)10倍

(2)0.1732；17.32

(3)104.04；1040400

(4)能直接說出痂而。14.42,不能直接說出中麗的值

【分析】(1)根據(jù)根號內的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，算術平方根的規(guī)律為，根號內的

小數(shù)點移動2位，對應的結果小數(shù)移動1位其結果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方

向保持一致：

<2)根據(jù)規(guī)律進行計算即可求解；

(3)根據(jù)規(guī)律進行計算即可求解：

(4)根據(jù)根號內的小數(shù)點移動規(guī)律即可求解，立方根的規(guī)律為，根號內的小數(shù)點移動

3位，其結果的小數(shù)點移動一位，小數(shù)點的移動方向保持一致.

【詳解】(1)解：被開方數(shù)擴大100倍，它的算術平方根擴大10倍，

故答案為：10倍.

(2)6a1.732(精確到0.001)，并用上述規(guī)律直接寫出各式的值：底方0.1732；國

?17.32,

故答案為：0.1732；1732.

(3)V710404=102,x/x=10.2,77=1020,

Ax=104.04；y=1040400

(4)解:V^/3?1.442,

:.13(X)()a14.42,不能直接說出溝^的值

【點睛】本題考查了算術平方根。立方根的應用，掌握小數(shù)點的移動規(guī)律是解題的關鍵.

易錯點2：整數(shù)部分與小數(shù)部分

例：已知〃〈后〈〃+1,且〃是整數(shù)，則〃=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算求解即可.

【詳解】解：:25＜35＜36,

:,后＜底＜底，及5＜后＜6,

又??"＜用＜〃+1,且〃為整數(shù)，

；?〃=5,

故選：B.

【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)估算方法是解答的關鍵.

變式1：定義國為不大于x的最大整數(shù)，如[2]=2,[V3]=l,[4.1]=4,則滿足[6]=5,

則”的最大整數(shù)為.

【答案】35

【分析】根據(jù)題意可知5工分＜6,然后利用平方運算進行計算即可解答.

【詳解】解：??[冊]=5,

；?54冊<6，

，25</?<36,

???〃的最大整數(shù)為35.

故答案為：35.

【點睛】本題主要考查了算術平方根，根據(jù)題目得出56是解此題的關鍵.

變式2：閱讀下面的對話，解答問題.

小紅：不是無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，因此它的小數(shù)部分我們不可能表示出來，對

嗎？

小高：你說的不對，我為知道，它住2和3之間，它的整數(shù)部分是2,用它本身減去整

數(shù)部分2就可以表示它的小數(shù)部分.

(1)&T的整數(shù)部分是_____，小數(shù)部分是______;

⑵若5+石的小數(shù)部分為4-石的整數(shù)部分為力，求a-四的值：

⑶若4a+l的算術平方根是7,38-2的立方根是-5,c是加的整數(shù)部分，求4a+b+3c

的平方根

【答案】(1)4,V21-4

⑵-2

(3)±4

【分析】(1)先用夾逼法估算夜T，再求出其整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；

(2)先用夾逼法估算有，進而估算5+石和4-石，得出。和兒即可求解；

(3)根據(jù)算術平方根的定義得出4a+l=49,即可求乜。的值，根據(jù)立方根的定義得出

3h-2=-125,即可求出。的值，用夾逼法估算加，即可得出c?的值，再將。、b、c

的值代入而+人+3c,即可求出其平方根.

【詳解】(1)解：6V21<25,

???4<后<5，

的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是&L4;

故答案為：4,y/2l-4：

(2)解：V4<5<9,

：?？<亞<3,則

7<5+75<8,1<4-75<2,

工5+石的整數(shù)部分為7,小數(shù)部分為5+逐-7=石-2,

4-6的整數(shù)部分為1,小數(shù)部分為4-6-1=3-6，

:.a=亞-2,b=1,

工〃-回=6-2-^/^T=-2；

(3)解：???4。+1的算術平方根是7,

.??4。+1=49,

解得：a=\2：

?:3)-2的立方根是-5,

，32一2=-125,

解得：Z?=-41；

V9<10<16,

，3<而<4,

；?c=3,

???4a+6+3c=4xl2-41+3x3=16,

:.4a+h+3c的平力根為±屈=±4.

【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，算術平方根，平方根，土方根的定義，解題的

關鍵是熟練掌握用夾逼法估算無理數(shù)的方法和步驟，以及算術平方根，平方根，立方根

的定義.

易錯點3：無理數(shù)的估算

例：估計Gx(G+V5)的值應在()

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【答案】C

【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算，二次根式的乘法運算，熟記運算法則以及估算方

法是解本題的關鍵.先計算二次根式的乘法再估算即可.

【詳解】解：V3x(V3+^)=3+V15,

V3<V15<4,

，6<3+岳<7,

???75x(73+75)的值應在6和7之間，

故選C

變式1：已知113=1331,12'=1728,133=2197,143=2744.若〃為整數(shù)，且”-2023<%+1

貝lj〃=.

【答案】12

【分析】本題考查了立方根的定義及估值，準確理解相關概念掌握估值的方法是解題的

關鍵.

由己知可■得，1728<2023v2197,由立方根定義及不等式性質可得，

V1728<V2023<V2197,結合題中條件可知，12〈病萬<13,即“=12.

【詳解】解：V1728<2023<2197,

:.V1728<V2023<V2197,

V12'=1728,133=2197,

A12=</1728?13=^/2197,

?/V1728<"2023<V2197,

A12<</2023<13，

???〃為整數(shù)且〃v耳2()23<〃+1,

/.w=12.

故答案為：12.

變式2：任意一個無理數(shù)介于兩個整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)T：m<T<n,(其

中加、〃為連片的整數(shù)〕,則稱無理數(shù)的“美好區(qū)間”為(以〃),加1<0<2,所以0的

“美好區(qū)間”為(1,2).

⑴無理數(shù)的“美好區(qū)間''是;

⑵若一個無理數(shù)的“美好區(qū)間”為(〃?,〃)，且滿足10<小+冊<20,其中「一是關于工，

y=5

y的二元一次方程/"-〃v=c的一絹方擎數(shù)解.求。的值.

⑶實數(shù)x,加滿足如下關系式:

（2X+3），+，〃）2+（3X+2），—3〃?）2二歷3二2024+J20241二y,求”的算術平方根的“美

好區(qū)間

【答案】（1）（-4,-3）

⑵37或161

⑶（71,72）

【分析】本題主要考查無理數(shù)的估算，以及二次根式有意義的條件：

（1）根據(jù)“美好區(qū)間’'的定義，確定-而在哪兩個相鄰整數(shù)之間，即可得出“美好區(qū)間”；

（2）根據(jù)“美好區(qū)間''的定義和二元一次方程正整數(shù)解這兩個條件，找到符合的情況即

可求出C的值；

（3）先根據(jù)x+y—2024之0,2024—x-），NO,得出x+y=2024,進而得出2x+3y+m=0,

3x+2y-3機=0,兩式相加得5（x+y）—2，〃=（）,得，加=5060,再根據(jù)“美好區(qū)間”的定

義即可求解..

【詳解】（1）V9<13<16,

A3<Vl3<4,

:.-4<-yf[3<-3

???無理數(shù)-9的“美好區(qū)間”是（工-3）,

故答案為：（T-3）

（2）???（〃[,〃）為“美好區(qū)間”

，機，〃為連續(xù)的整數(shù)

x=m

又,:廠是關于“，）'的二元一次方程，心-少=。的一組正整數(shù)解

，〃是一個平方數(shù)

X*?*10<m+Vn<20

m=8m=15

，滿足題意的〃?，〃的值為c或

n=9n=l1Ao

.*.8x8-9x3=C

，C=37,

m-15,fx=15

當《“時，A,

〃=16[y=4

A15xl5-16x4=c,

C=16I,

綜上所述：C的值為第或161.

2

(3)(2x+3y+/〃)2+(3x+2y-3fn)=>/x4-y-2024+>/2024-x-y,

Ax+y-2024>0,2024-x-j>0,

/.x+y=2024,

:.(2x+3y+m)2+(3x4-2y-3/?02=0,

:.2,v+3y+，〃=0,3x+2y-3m=0,

兩式相加得5(x+y)-2m二。

ni—5060

???加的算術平方根為何而

v71<75060<72

機的算術平方根的美好區(qū)間為(71,72).

代數(shù)式專題

易錯點：

I.對代數(shù)式的理解不深刻：有些學生可能對代數(shù)式的概念和表示方法理解不夠深入，

導致在解題時出現(xiàn)混淆或錯誤。

2.變量與常數(shù)混淆：在代數(shù)式中，學生有時會將變量與常數(shù)混淆，影響解題的正確性。

3.運算順序錯誤：在復雜的代數(shù)式中，運算的順序(如先乘除后加減)容易被忽略，

導致結果錯誤。

4.括號處理不當：括號在代數(shù)式中具有優(yōu)先級。學生在處理括號時，可能會忽略或錯

誤地處理，導致答案不正確。

5.對函數(shù)表達式的理解偏差：有些學生可能對函數(shù)表達式和其對應的函數(shù)圖像理解不

清晰，影響后續(xù)的分析和應用。

6.忽略實際意義：在某些問題中，代數(shù)式的取值范恒或實際意義可能受到限制。學生

如果不注意這?點，可能會導致答案不合理或錯誤。

7.化簡過程中出錯：在化簡代數(shù)式的過程中，學生可能會因為粗心或計算錯誤而導致

結果不正確。

8.對代數(shù)式的變換不熟悉：對于?些常用的代數(shù)式變換技巧，如提公因式、分組分解

等，有些學生可能還不夠熟練，導致解題效率低下或出錯。

9.對代數(shù)式的應用場景不明確：代數(shù)式在不同的數(shù)學問題和實際應用中有不同的作用

和意義。學生如果對應用場景不明確，可能會誤解題意或應用不當。

易錯點1：整式中的整體代入

例：已知代數(shù)式x—2y的值是一3,則代數(shù)式4y—2x+5的值是()

A.-IB.2C.11D.8

【答案】C

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，掌握整體代入的方法是解決問題的關鍵.

把題中的代數(shù)式4y-2x+5變形，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值.

【詳解】4y-2x+5=-2(x-2y)+5,

x-2y=-3,

4y-2x+5=-2x(-3)+5=ll；

故選：C

變式1：若機是方程Y-2x-4=0的一個根，則代數(shù)式2032-2>+4m的值為.

【答案】2024

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程解是

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值得到〃/一2m-4=0,即>-2〃?=4,再根據(jù)

2032-2m2+4m=2U32-2("『-進行求解即可.

【詳解】解；:小是方程f-2x-4=0的一個根，

m2-26一4=0,

:.nr-2m=4，

2032-+4機=2032-2(^2-2"。=2032-2x4=2024,

故答案為：2024.

變式2：閱讀材料：我們知道，4x-2x+x=(4-2+l)x=3x,類似地，我們把“看

成一個整體，則4(。+旬-2.+人)+(。+6)=(4-2+1),+人)=3但+3「‘整體思想”是

中學教學解題中的一種真要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應用極為廣泛.

嘗試應用：

(1)把(。一看成一個整體，合并3(4-。)2-6(a-/))2+2(4-2?『=；

(2)己知f-2y=4,求3/-6)，-21的值；

拓廣探索：

(3)已知。一5人=3,魴-3c=-5,3c-d=10,求(。一女)+(5匕一”)一(58—3c)的值.

【答案】(1)-(a-b)2：(2)-9；(3)8

【分析】本題主要考杳代數(shù)式求值和整式的加減運算，掌握整體代入法是解題的關鍵.

(1)利用整體的思想進行合并即可；

(2)先對3/-6y-21進行變形，然后整體代入即可；

(3)首先根據(jù)題意將原式進行變形，然后整體代入即可.

【詳解】解：(I)3(a-b)2-6(a-^)2+2(a-b)2

=(3-6+2)(a-b)2

=-(a-b)2

故答案為：-(a-b)2；

2

(2)解：Vx-2y=4f

J3x2-6y-21

=3(x2-2y)-21

=12-21

=-9；

(3)