《高等代數》教學大綱

一\課程120

二、的適用專業(yè)、學時及學分

本課程的適用專業(yè)為：數學與應用數學專業(yè)，187學時，11學分。

二、課程的性質、目的和任務

《高等代數》是高等學校數學專業(yè)的一門必修的專業(yè)基礎課程。通過學習本課

程，使學生掌握一元多項式及線性代數的基本知識和基礎理論，熟悉和掌握抽象的、

嚴格的代數方法，理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辨證關系，提高抽

象思維、邏輯推理及運算能力。

三、與其它課程的聯系

《高等代數》是數學專業(yè)必修的代數類基礎課,是中學代數的繼續(xù)和提高,是

后續(xù)的專業(yè)課如常微分方程、近世代數、泛函分析等課程的先修課。

四、課程的基本內容、重點及難點

(一)基本概念

本章主要介紹了集合、映射、數環(huán)、數域等基本概念，這些概念是學習本課

程及其它數學分支的基礎知識。

1、集合

子集集的相等集合的交與并及其運算律笛卡兒積

2、映射

映射滿射單射雙射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充

要條件

3、數學歸納法

自然數的最小數原理第一數學歸納法第二數學歸納法

4、整數的一些整除性質

5、數環(huán)和數域

重點及難點：映射可逆映射數域。

(―)多項式

本章主要介紹數域上一元多項式的概念及其運算、整除性、因式分解和有理系

數多項式有理根的求法，簡單介紹了多元多項式及對稱多項式。多項式理論是高等

代數的重要內容，是中學數學有關知識的加深和擴充，是學習其它數學分支的必要

基礎。

1、一元多項式的定義和運算

2、多項式的整除性

整除的基本性質帶余除法定理

3、多項式的最大公因式

最大公因式概念、性質輾轉相除法多項式互素概念、性質

4、多項式的唯一因式分解定理

不可約多項式概念唯一因式分解定理典型分解式

5、多項式的重因式

多項式的重因式概念多項式有重因式的充要條件

6、多項式函數與多項式的根

多項式函數的概念余式定理綜合除法多項式的根的概念根與一次因

式的關系多項式根的個數

7、復數域和實數域上多項式的因式分解（代數基本定理不證明）

8、有理數域上多項式的可約性及有理根

本原多項式的定義Gauss引理整系數多項式在有理數域上的可約性問

題Eisenstein判別法有理數域上多頂式的有理根

9、多元多項式

多元多項式的概念字典排列法多元多項式的和與積的次數

10、對稱多項式

對稱多項式的概念初等對稱多項式對稱多項式基本定理

重點及難點：整除，最大公因式，互素，典型分解式，代數基本定理，Eisenstein

判別法。

（三）行列式

行列式是線性方程組理論的一個重要組成部分，是中學數學有關內容的提高

和推廣，也是一種重要的數學工具。

1、二階和三階行列式的結構

2、排列

排列的概念反序數及排列的奇偶性對換及其對排列奇偶性的影響

3、n階行列式的定義和性質

4、行列式依行依列展開

余子式與代數余子式的概念行列式依行依列展開Vandermonde行列式

5、Cramer規(guī)則

6、Laplace定理

重點及難點：n階行列式的計算，Vandermonde行列式。

（四）線性方程組

本章在理論上解決了線性方程組有解的判定，解的個數及求法，對中學數

學有直接的指導意義。此外，它在本課程及數學的其它分支、生產實踐及其它學

科都有廣泛應用。

1、線線方程組的消元法

線性方程組的初等變換方程組的一般解和自由未知量系數矩陣和增廣矩

陣

2、矩陣的秩

k階子式矩陣秩的定義初等變換不改變矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩

3、線性方程組有解的判別法

線性方程組有解判別定理及解的個數定理

4、線性方程組的公式解

線性方程組的公式解齊次線性方程組及其非零解的概念齊次線性方程組有

非零解的充要條件

5、結式和判別式

結式判別式二元高次方程組的解法

重點及難點：矩陣的秩的概念及求法線性方程組有解的判別及求解

（五）矩陣

矩陣是線性代數的一個主要研究對象，它是數學及其它學科的一個重要工

具。本章主要介紹矩陣的運算及其基本性質。

1、矩陣的運算

矩陣的加法、數乘、乘法和轉置單位矩陣

2、逆矩陣

可逆矩陣及逆矩陣的概念可逆矩陣的性質求逆矩陣的公式

3、初等矩陣

初等矩陣與初等變換的關系可逆矩陣的判定用初等變換求逆矩陣

4、矩陣乘積的行列式與秩

5、矩陣的分塊

矩陣的分塊分塊矩陣的加法、數乘及乘法對角線分塊矩陣

重點及難點：逆矩陣的求法，初等矩陣與初等變換的關系。

（六）向量空間

向量空間的理論是線性代數的主要內容，它在自然科學和工程技術的許多

領域中有著廣泛的應用。本章主要介紹向量空間的概念與性質。

1、向量空間的定義、例子及簡單性質。

2、子空間

子空間的定義及充要條件子空間的交與和

3、向量組的線性相關性

線性相關線性無關替換定理及其推論等價的向量組及其性質，極大無關組

及其性質。

4、基和維數

生成子空間基和維數的定義基的性質維數公式

5、子空間的直和

直和的定義及充要條件。

6、坐標

坐標的定義過渡矩陣基變換公式坐標變換公式

7、向量空間的同溝

同構映射的定義與性質向量空間同構的定義與充要條件

8、齊次線性方程組的解空間

矩陣的行（列）空間齊次線性方程組的基礎解系

9、非齊次線性方程組解的結構。

重點及難點：向量的線性相關性，基與維數的求法，過渡矩陣，直和的充要

條件，齊次線性方程組的基礎解系，線性方程組解的結構。

（七）線性變換

線性變換是向量空間中最簡單而又最基本的變換。它是線性代數的主要研究

對象之一，對于研討向量空間中向量之間的內在聯系及向量空間的結構起著重要

的作用。本章主要介紹線性變換的運算、性質、線性變換與矩陣的關系及矩陣的相

似與化簡。

1、線性變換的定義及其簡單性質

2、線性變換的象與核

線性變換的象與核的定義及其基與維數的求法

3、線性變換的運算

線性變換的加法、數乘與乘法，可逆線性變換及其逆變換

4、線性變換和矩陣

線性變換的矩陣向量的象的坐標公式線性變換與矩陣的同構對應

5、矩陣的相似

定義同一線性變換關于不同基的矩陣之間的關系

6、不變子空間

7、特征根、特征向量、特征多項式

特征根、特征向量及特征子空間的定義、求法矩陣的跡和行列式同特征根

的關系相似矩陣的特征多項式

8、可對角化的矩陣

屬于不同特征根的特征向量的線性無關性特征子空間的維數與所屬特征根

的重數關系線性變換和矩陣可對角化的條件

重點及難點：線性變換與矩陣的同構對應，特征根，特征向量，矩陣的相似，

線性變換的象與核。

（八）歐氏空間

歐氏空間是實數域上帶有一個內積的向量空間，是通常幾何空間的推廣。本章

主要介紹歐氏空間的概念，標準正交基和正交變換。

1、歐氏空間的定義及基本性質

2、Cauchy—Schwarz不等式向量的長度及兩個向量的夾角

3、正交基標準正交基和正交化方法

4、向量與子空間的正交正交補向量到子空間的距離

5、同構的定義和同構的充要條件

6、正交變換與正交矩陣

正交變換與正交矩陣的關系一個線性變換是正交變換的充要條件

7、對稱變換與實對稱矩陣

對稱變換的定義對稱變換與實對稱矩陣的關系對稱矩陣的標準形

8、酉空間

9、酉變換和對稱變換

重點及難點：Cauahy-Schwarz不等式，正交基與正交化方法，正交補，正

交變換，對稱矩陣的標準形。

（九）二次型

二次型的理論起源于解析幾何中二次曲線和二次曲面的分類，是中學有關

內容的深入和提高，也是線性代數的一個主要研究對象。本章主要介紹化二次

型為標準形和正定二次型的判別。

1、二次型的矩陣表示

二次型的定義變量的非退化線性變換二次型的秩二次型的化簡與對稱矩陣

的合同

2、標準形

3、復數域和實數域上二次型的標準形的唯一性慣性定理

4、正定二次型的定義及充要條件

正定二次型的定義正定矩陣正定二次型的充要條件

重點及難點：矩陣的合同，求二次型的標準形和典范形，正定二次型的判

別。

五、學時分配表

各教學環(huán)節(jié)學時分配表

章節(jié)主要內容備注

講授實驗討論習題課外其它小計

—基本概念8210

二多項式28634

三行列式14317

四線性方程組12214

五矩陣17320

六向量空間2643()

七線性變換23326

八歐氏空間和酉空間17320

九二次型13316

合