頁眉內(nèi)容

設(shè)與為互不相容的兩個事件，，則0

事件與相互獨立，則0.5。

1、設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為

〃0x<-l

產(chǎn)(x)=a-1<X<1

2

<—a1<x<2

3

a+bxN2

，則。

且

某人投籃命中率為，直到投中為止，所用投球數(shù)為4的概率為

設(shè)隨機變最與相互獨立，服從“0-1”分布，；服從的泊松分布，則

2、已知口（*）=16,。（丫）=99％￥=3，則D（X-2Y）=—36一,

3、設(shè)總體X服從正態(tài)分布b2）,從總沐中抽取樣本X[,X2，X3，X4,則統(tǒng)

計量左：+號服從戶（2,2）分布。

設(shè)總體服從正態(tài)分布其中為未知參數(shù)，從總體中抽取容量為16的樣本，樣本均值

則總體均值的的置信區(qū)間為一（4.51,5.49）—o（）

若，且與相互獨立，則服從分布。

計算題（每小題10分，共60分）

（10分）已知8只晶體管中有2只次品，從其中取兩次，每次任取一只，做不放回抽樣。

求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第

二次取出的是次品。

解：（I）一只是正品一只是次品的概率為：..............

（2）第二次才取得次品的概率為：..................

（3）令表示“第一次取出的是正品“，表示“第一次取出的是次品”

B表示“第二次取出的是次品”

第二次取出的是次品的概率為：

P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）=^X^+1X^=1

7o7o4

頁版內(nèi)容

貞眉內(nèi)容

1、(10分)設(shè)隨機變量X的概率密度

/(x)=Ax+1OWxV2

V

-0其它

求：(1)的值；(2)的分布函數(shù)；(3)

解：(1)由可得,

所以，

f(x)=X4-1OMxV2

其它

(2)

x>2

(3)P{1.5<x<2.5)=+l)dx=

(10分)甲、乙兩人獨立地進行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0?5,以

和分別表示甲和乙的命中次數(shù),試求：(D和的聯(lián)合分布律；(2)和的邊緣

分布律。

解：(1)和的聯(lián)合分布律為：

P(X=m,Y=n)=C?(0.2)m(0.8)2-mC；(0.5)n(0.5)2-"=x4(1-n,)

m,n分別為0,1.2。

(2)x和y的邊緣分布律。

由于與相互獨立，所以和的邊緣分布律分別為：

P(X=m)=C；(0.2)m(0.8)2-m,m=0,1,2。

P(Y=n)=C；(0.5)n(05)2f,n=0,1,2。........

(10分)二維隨機變量(，)的概率密度為

「：(x+y),0<x<290<y<2

0,其它｛

求：(1)(2)(3)(4)

蟲腳內(nèi)容

解：（1）

E(X2)=ffx2xQ(x+y)dxdy=

(2)

D(x)=E(X2)-(E(X))2=^-(J)2=

3636

(3)E(XY)=f：xyx：(x+y)dxdy=：........................

o，

(4)E(Y)=「fyx：(x+y)dxdy=：

4771

COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=------x-=一一-

36636

2、（io分）設(shè)總體x的概率密度為rGx0-\0<x<l

（i）1o,其它

（2）求8的最大似然估計量；（2）*6的矩估計量。

解.：（1）似然函數(shù)為：

取對數(shù)為：..................

由得，

則的最大似然估計量為：。.....

（2）EX=［，xexe_1dx=-5-..........................................

J。9+1

由得，的矩估計量為：.........

三.證明題（本大題共1小題，總計10分）

證：因為

E氏）=力。3=七擊空擊空擊3-（8分）

i=li=l乙r=l4i=l1

由辛欽大數(shù)定律可知｛｝服從大數(shù)定律..

一、單項選擇題

下述命題正確的是（B

如

與

?A\昊

(J

X/互不相容，則與相互對立

姐

zB\r與

(—r

\/y相互對立，貝I」與互不相容

姐

與

/c\

(n

X/pK.相互獨立，則與互不相容

如

與

zD

(裂

x互不相容，則與相互獨立

2.一個寢室住有4個同學(xué)，那么他們中至少有兩人的生日在一個星期內(nèi)的同一

頁眉內(nèi)容

天的概率是(D)

(A)0.25(B)0.35(C)0.55(D)0.65

3.若P(B|A)=0,則下列命題中正確的是(B)

(A)BA(B)AB=(C)AB(D)A-B=

4.相互獨立且都服從正態(tài)分布，則(C)

(A)-8(B)9(C)45(D)60

5.若函數(shù)為隨機變量的概率密度，則的可能取值區(qū)間(D)

(A)(B)(C)(D)

3人獨立編寫同一計算機程序，他們各自能成功的概率分別是0.3,0.6,0.5,

則能將此程序編寫成功的概率是(B)

(A)0.09(B)0.86(C)0.14(D)0.91

87設(shè)是兩個事件，則以下關(guān)系中正確的是(B)

(A)(B)

(C)(D)

910個產(chǎn)品中有8個正品2個次品，從中無放回地任取3個，則恰有1個次品的

概率是(A)

7817

(C)—(D)——

6045

10若P(B|A)=1,則下列命題中正確的是(C)

(A)BA(B；P(A-B)=0(C)AB(D)A-B=

11相互獨立且都服從正態(tài)分布，則(B)

(A)8(B)20(C)-16(D)12

設(shè)，，是來自(0,)上的均勻分布的樣本，>未知，則下列樣本數(shù)

中(C)不是統(tǒng)計量。

(A)2+X2(B)min(XtX2X3)(C)X3—0(D)^(X)+X2+X3)

(統(tǒng)計量無未知數(shù))

II兩個隨機變量的協(xié)方差COV?,〃)=o,則3〃—C______.

(A)相互獨立(B)互不相容(C)不相關(guān)(D)相等

二、判斷題

蟲腳內(nèi)容

1.若隨機事件A.B相互獨立，則事件A.B互斥。（F）

2.事件A的概率P（A）等于0,事件A也有可能發(fā)生。（T）

3.事件的獨立性具有傳遞性。（F）

4.函數(shù)的期望值等于期望的函數(shù)。（F）

5若隨機事件A、B相互獨立，則事件與B也相互獨立。（T）

6事件的概率與試驗的先后次序無關(guān)。（條件分布）（F）

7若事件的相關(guān)系數(shù)=0,則相互獨立。（F）

（二0,可以推出不相關(guān)）

8估計量/二%J是總體方差的無偏估計量。（F）

三、填空題

1.設(shè)，，，，那么{123,4,6},（1,6）,①空

集。

2.設(shè)隨機變量與相互獨立，服從二項分布，服從二項分布，且，則

6-5=1；=根號0.76。

3.設(shè)隨機變量X的分布列為

X-2-1012

P0.20.10.25a0.15

則=（1-0.2-0.1-0.25-0.15）0.3,X的期望（XP）0.1

4.離散型隨機變量&的分布律為P（l=k尸，則c=36/49

c（1+1/4+1/9）=1,解得c;

5.從總體中抽取樣本，得到5個樣本值為5.2.3.4.1。則該總體平均數(shù)的矩估

計值是5—，總體方差的矩估計是15/2—。

6設(shè)兩個事件A.B相互獨立，，，則0.18,0.12o

7設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則

①⑴-①（0.5）,

①⑴,

P（|x-2|>2）=________L4）（1.5）（0.5）v

8設(shè)總體&服從參數(shù)為的泊松分布，為來自g的樣本，為

樣本均值，則，

9設(shè)隨機變量X的分布列為

X-2-1012

P0.20.1a0.250.15

12則0.05,1.75o

離散型隨機變量&的分布律為P（g二k尸，則c=12/11

一.選擇題（將答案填寫在答題紙上，每題3分，共30分）

頁眉內(nèi)容

1.設(shè)為兩個隨機事件，且，則下列正確的是[B]

(A)P(A8)=P(A)(B)P(AuB)=P(A)

(C)P(B\A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

2.已知為隨機事件，?則全不發(fā)生的概率為…

3.如果事件滿足，則下述結(jié)論正確的是[C]

(A)必然同時發(fā)生(B)發(fā)生，必發(fā)生

(C)不發(fā)生，必不發(fā)生(D)不發(fā)生，必不發(fā)生

4.甲乙兩班學(xué)生同次考試的數(shù)學(xué)成績分別為，則甲班學(xué)生的數(shù)學(xué)水平不如乙

班高，但比乙班整齊可表示為[B]

(A)E(X)>E(y),D(X)>D(y)

(B)

總分

E(X)<E(Y)9D(X)<D(Y)

(C)E(X)>E(Y),D(X)<D(Y)

(D)E(X)<E(Y\D(X)>D(Y)

5.設(shè)兩個隨機變量相互獨立且方差分別為和，則[D]

(A)8(B)16(C)28(D)44

6.設(shè)為一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為分布函數(shù)為，則對

于任意的值有[A]

(A)P{X=x}=0(B)Fr(x)=f(x)

(C)P{X=x}=f(x)(D)P{X=x}=F(x)

7.設(shè)，則服從?.]

(A)Y?N(l,4)(B)Y~N(O,1)

(C)Y?N(2,4)(D)Y?N(l,2)

8.設(shè)，,其中a,b為常數(shù)，且，則?.?】

(A)a2o2

蟲腳內(nèi)容

⑻N(〃|i+b,a2a2-Z>2)；

(C)N(ap.+b,aH)；

(O)N(叩-瓦a2a2).

9.是兩個任意的隨機變量，則[D]

(A)D(X)+O(y)(B)D(X)-D(Y)

（C）D（x）+D（y）+2Co*x,y）

(D)D(X)^D(Y)-2COV(X9Y)

10.設(shè)隨機變量，且相互獨立，則（B）

/、2x-y

(A)2X-y~N(0J)；(B)——7=-?N(0,l)；

2V3

2X-Y+1

(C)2X—y+l~N(l,9);(D)~N(0,l)

2A/3

二、填空題（將答案填寫在答題紙上，每題3分，共30分）

L已知4/事件滿足P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B\A)=0.8,則

P（A\JB）=（L7.

2.設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，則1

3.若相互獨立，貝110.85.

4.隨機變量X的概率密度函數(shù)為

，則3

5.設(shè)的分布為，若則2.

6.設(shè)X~則y=2X+2~N（2,4）.

7.重復(fù)擲一枚硬幣4次，恰有2次正面向上的概率為0.375o

8.設(shè)的分布函數(shù)為，則。

9.設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，用表示對的3次獨立重復(fù)觀察中事件

出現(xiàn)的次數(shù)，則9/64.

10,設(shè)服從參數(shù)為的泊松分布，且，則2o

三、綜合題（每題10分，共40分）

1.已知某地區(qū)中男子有35%是高血壓患者，女子有15%是高血壓患者。此地區(qū)

男女比例為，現(xiàn)今從此地區(qū)隨機的挑選一人，恰好是高血壓患者，問此人是男

性的概率是多少？

頁眉內(nèi)容

2.隨機變量（x,y）的聯(lián)合概率密度為

\kxy,0<x<l,0<J<x

/山）］。，其它

求（1）々的值；（2）X的邊緣概率密度；（3）P｛X<-｝.

2

3.兩臺機床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的

概率為0?02,已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，加工出來的零

件放在一起，求：任意取出的零件是合格品（A）的概率.

4.二維隨機變量（X,Y）的概率密度為

6-…，X>0,J>0

…H。，其他

求：（1）系數(shù)A；（2）X,Y的邊緣密度函數(shù)；（3）問X,Y是否獨立。

解答

三、計算題（每題10分，共40分）

1,解：設(shè)A=｛被觀察者是高血壓患者｝,Bl=｛被觀察者是女子｝,B2=｛被觀察者是男

子｝，則B1,B2互不相容，且，2分

P（Bl）=P（B）=1/2,P（A/B1）=15%,P（A/B2）=35%2分

故又貝葉斯公式可知所求概率為

P（叫）P（A|約）

P（川）=2分

35%x50%

2分

15%x50%+35%x50%

7

分

=102

2.解：（1）因為

，；

fofkxjdydx=^=l=k=8（2）因

為/⑶力寸。，其它

fx（x）=J：f（x,y）dy

（3）方法一:

蟲腳內(nèi)容

方法二:

0x<0

K(x)=，*40<x<1

1x>l

P(X<i)=Fx(i)=±

3.解：設(shè)Bi="取出的零件由第i臺加工”

4.解：(1)由

=e-vdx^e-2ydy=^A所以A=2

(2)X的邊緣密度函數(shù)：

Y的邊緣密度函數(shù)：

(3)因，所以X,Y是獨立的

一、判斷題(每小題2分，共20分)

...)1.是事件為不可能事件的必要但是不充分條件.....

...)2.若事件相互獨立，則事件也相互獨立......

...)3.若，對任意事作，都成立....

...)4.對于連續(xù)型和離散型隨機變量，，都有成立.

...)5.二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列和邊沿分布列可以相互確定...

...)6.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量在上服從均勻分布，

則其聯(lián)合密度函數(shù)為.....

...)7.若，貝IJ.............

...)8.若隨機變量滿足，則相互獨立...

..)9.從總體中抽取樣本，則和都是總體均值的無偏估計，但前者比后者更有

效............................

...)10.參數(shù)假設(shè)檢驗的原理是“小概率原理”..........

二、填空題(每小題2分，共20分)

1.從發(fā)芽率為0.9的一批種子里,隨機地取100粒,用表示100粒中不發(fā)芽

的種子粒數(shù)，則.

2.設(shè)，且事件相互獨立，則...............

3.設(shè)，則.

4.設(shè)，則......

5.設(shè)分別為的分布函數(shù)，若也是某隨機變量的分布函數(shù),

則

頁眉內(nèi)容

6.設(shè)為二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)，則......

7.設(shè)，，且獨立，則......

8.設(shè)，則對于區(qū)間恒有（結(jié)果用

標準正態(tài)函數(shù)中（工）的值來表示）.

9.設(shè)，且獨立，則有

10.設(shè)總體

，，，?

評卷人

得分三、計算題（每小題10分，共60分）

1.設(shè)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，每次隨機從中抽

取一件，直到取到正品為上.記抽取次數(shù)為隨機變量，在下

列兩種情形下：（1）有放回（2）無放回，分別求的概率分布列.

2.設(shè)的概率密度函數(shù)為，分別求

（1）常數(shù)A的值；（2）g的分布函數(shù)尸（幻；（3）P（l<^<2.5）.

3.盒子里有3個黑球,2個紅球,2個白球，從中一次隨機地抽取4個球.表示其中黑球的個數(shù),

而表示其中紅球的個數(shù)，求（1）的聯(lián)合分布列；（2）邊沿分布列.

4.設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)為

（1）分別求心喈與71的邊沿密度函數(shù)力（幻和￡（），）；（2）判斷J和〃是否獨立.

5.已知，

求（1）E（Z）和O（Z）；（2）X和Z的相關(guān)系數(shù)0xz.

6.設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自總體的一個簡單隨機樣本.分別用

矩估計法和極大似然估計法求的估計量.

一、判斷題（每題2分，共計20分）

題號12345678910

11/11

對錯77XXX7XX77

二、填空題（每題2分，共計2（）分）.

1.2、0.83、0.354、0.25

5.0.66、17、20

8、①（。）一①（4）9、F(n,ni)10、Z2(/z-l)

三、計算題（每題10分，共計60分）.

1、解：（1）-----------4分

蟲腳內(nèi)容

(2)

g1234

~P--73-^7~~327~~321

1010910981098

------------------8分

即

41234

~pTT__~T___~T_

To30T20120

------------------10分

2.解：(1)

.*.A=------------------2分

-------------10分

4.解:⑴--------4分

,,.廣〃,,Jf8知公=4y(l-)3),0<y<l

L(y)=f(x,y)dx=<Jy------------8分

J80其它

力c、J"—),0<x<1,0<y<x

(2)???*x)%(y)=r工/*,y)

其它

..........................................10.

5、解：⑴

Cov{X,Y)=PXY4DX4DY=-6

頁眉內(nèi)容

E(z)=-EX+-EY=~,

323一_6分

i1XY\I1I

D(z)=-DX+-DY+2Cov(—,-)=-9+-\6+2——Cov(X,Y)=3

94329432

VVI11

(2)Cov(X,Z)=C”(X,—+—)=-O(X)+—Cm<X,Y)=--9+--(-6)=0

323232

Co(X,Z)”

10分

P-~4DX4DY

6解⑴

令E(X)=x=—y.

得6=土1.............4分

1-X

（2）似然函數(shù)為咐=卜+『'0）。＜皿『2,…,〃）

0其它

------6分

對數(shù)似然函數(shù)為LnL=nln?9+1）+In%

1=1

dlnL(e)n叱=

+￡10——8分

de0+\r=l

所以解之得:10分

一、填空題（每題5分）

1.甲、乙兩人獨立的對同一目標射擊一次，其命中率分別為060.5。現(xiàn)已知目標被命中，則

它是甲射中的概率為（）。

2.設(shè)隨機事件及其和事件的概率分別為0.4,0.3和0.6。若表示的對立事件，那么積事

件的概率為（）o

一、3.已知連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（）,的方差

（）o

4、若隨機變量服從均值為2,方差為的正態(tài)分布，且，則（）。

5.設(shè)由來自止態(tài)總體容量為9的簡單隨機樣本得樣本得樣本均值，則未知參數(shù)的置信

度為0.95的置信區(qū)間是（）。

選擇題（單選，每題5分）

蟲腳內(nèi)容

1、對于任意二事件，同時出現(xiàn)的概率，則()

(A)不相容(相斥)(B)是不可能事件

(C)AB未必是不可能事件(D)。(4)=0,或尸(3)=0

2.設(shè)為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是()

(A)P(A+8)=P(A)(B)P(AB)=P(A)

(C)P(B|A)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)

3.已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)，的值為()

(A)//=4,p=0.6(B)/?=6,p=0.4

(C)H=8,/?=0.3(D)n-24,/;=0.1

4.對于任意兩個隨機變量，若，則)

(A)D(XY)=DXDY(B)o(x+y)=ox+"

(C)x,y獨立(D)x,y不獨立

5.設(shè)隨機變量的概率密度為，且，是的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)，有()

aI;

(A)F(-a)=\-^(p{x}dx(B)/(一4二耳-」夕(幻公

(C)F(-a)=F(a)(D)F(-a)=2F(a)-\

二、計算題(每題10分)

1.已知離散隨機變量的概率分布為：

(1)寫出X的分布函數(shù)尸(x)。(2)求X的數(shù)學(xué)期望和方差。

2.假設(shè)有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝50