第=page11頁，共=sectionpages33頁2025-2026學(xué)年上海市楊浦區(qū)同濟(jì)二中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項(xiàng)，若a=9cm，b=4cm，則線段c長(zhǎng)（）A.6cm B.5cm C.18cm D.±6cm2.下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（）A.y=-4x+5 B.y=x（2x-3） C.y=（x+4）2-x2 D.y=3.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），OP與x軸正半軸的夾角為α，下列結(jié)論正確的是（）A.tanα= B.cotα= C.sinα= D.cosα=4.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判定DE∥BC的是（）A.= B.= C.= D.=5.下列錯(cuò)誤的有（）

①；

②如果，那么或；

③如果，那么；

④平面內(nèi)向量、，總存在實(shí)數(shù)m,使得向量.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.△AOD∽△BOC B.△AOB∽△DOC C.CD=BC D.BC?CD=AC?OA二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。7.如果，那么=______．8.計(jì)算：=

.9.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面積為2m2，△DEF的面積為8m2，那么△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比為

.10.如果從某一高處甲看低處乙的俯角為36度，那么從低處乙看高處甲的仰角是______度.11.已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2=BC?AB，那么=

.（結(jié)果保留根號(hào)）12.已知點(diǎn)A（-5，m）、B（-3，n）都在二次函數(shù)y=ax2+5（a＞0）的圖象上，那么m、n的大小關(guān)系是：m

n.（填“＞”、“=”或“＜”）13.如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是腰AB、CD上的點(diǎn)，AD∥EF∥BC，如果AD：EF：BC=5：6：9，那么=______．

14.在消防救援錦標(biāo)賽攀登沖鋒梯項(xiàng)目中，消防員需沿沖鋒梯攀爬訓(xùn)練塔.已知沖鋒梯所在斜坡的坡度為，消防員沿此沖鋒梯攀爬的路程為10米，那么消防員攀爬的垂直上升的高度為

米.15.如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE=4，S△BCE=24，則S△BDE=

.

16.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于點(diǎn)H，CP⊥BC交AH于點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)是

.17.布洛卡點(diǎn)定義：已知△ABC中，P是內(nèi)部一點(diǎn)，當(dāng)∠PAB=∠PBC=∠PCA時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn).如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，AP=1，那么CP=

.18.在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形.如圖，已知△ABC是4×6的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與△ABC相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是______.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題11分)

計(jì)算：.20.(本小題11分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．

（1）若=，=，用向量表示向量；

（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=2，BC=9，求EG的長(zhǎng)．21.(本小題11分)

如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，延長(zhǎng)邊BA至點(diǎn)D，使AD=AC，聯(lián)結(jié)CD．

（1）求∠D的正切值；

（2）取邊AC的中點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)F，求的值．22.(本小題11分)

根據(jù)以下項(xiàng)目化材料，完成任務(wù)項(xiàng)目名稱海濱度假區(qū)“安全沙灘椅”項(xiàng)目化研究——靠背頂端高度安全驗(yàn)證項(xiàng)目意義七寶二中九年級(jí)某個(gè)小組針對(duì)海濱度假區(qū)沙灘椅進(jìn)行研究，通過測(cè)算驗(yàn)證靠背高度安全性，可以排查側(cè)翻風(fēng)險(xiǎn)，保障游客們安全，同時(shí)也助力提升度假區(qū)服務(wù)品質(zhì)與游客滿意度.素材一根據(jù)《戶外休閑設(shè)施安全規(guī)范》及沙灘場(chǎng)景特性，沙灘椅靠背頂端距地面的安全高度范圍為大于等于60cm,小于等于80cm（該范圍能避免因重心過高遇海風(fēng)側(cè)翻，同時(shí)保障成人、老年人起身時(shí)手部可穩(wěn)定借力）.素材二這個(gè)小組選取某款沙灘椅（如圖1），結(jié)合其結(jié)構(gòu)畫出示意圖（如圖2）.素材三如圖2，已知四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm,支架AN=43cm,扶手的一部分BE=16.4cm.素材四參考數(shù)據(jù)：sin65.8°=0.91；cos65.8°=0.41；tan65.8°=2.23.任務(wù)一請(qǐng)根據(jù)素材內(nèi)容判斷這款沙灘安全椅是否安全，并說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）；任務(wù)二在實(shí)際測(cè)量的過程中，有哪些措施可以減少測(cè)量數(shù)據(jù)產(chǎn)生的誤差？（寫出一條即可）.23.(本小題11分)

已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，且∠ADB=∠BDM.

（1）求證：BD2=AD?BC；

（2）以BD為一邊作∠DBF=∠ABD，BF交DM于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.求證：2AD?DM=DF?DC.24.(本小題11分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）線的圖象與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,連接PC、PB.當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求m的值；

（3）如圖2，在（2）的條件下，連接OP，將拋物線先向右平移2n個(gè)單位，再向下平移n個(gè)單位，得到新拋物線y′，使得新拋物線y′經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線BC相交于另一點(diǎn)H，點(diǎn)Q為拋物線y′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠HBQ=∠POB時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).25.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，AB=6，BC=4，AC=8，把線段AB沿射線BC方向平移（點(diǎn)B始終在射線BC上）至PQ位置，直線PQ與直線AC交于點(diǎn)D，又連結(jié)BQ與直線AC交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)BP=3時(shí)，求證：△PBD∽△PQB；

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC上時(shí)（不含端點(diǎn)B，C），設(shè)BP=x，DE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

（3）當(dāng)以Q，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求PB的長(zhǎng)．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】

8.【答案】--

9.【答案】1：2

10.【答案】36

11.【答案】

12.【答案】＞

13.【答案】

14.【答案】5

15.【答案】8

16.【答案】3

17.【答案】2

18.【答案】4.5

19.【答案】．

20.【答案】解：（1）∵點(diǎn)G是△ABC的重心，

∴=，

∵=，=，

∴=-=-,

∵D點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

∴=（-）

∴=+=+（-）=+，

∴=+．

（2）∵∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAC，

∴△ACE∽△ABC，

∴=，

即,

∴AE=4，

此時(shí)==，

∵∠EAG=∠BAD，

∴△AEG∽△ABD，

∴=，

∴EG=BD=BC=3．

21.【答案】解：（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACG=∠B，

在△ABC中，sinB=，設(shè)AC=3x，則AB=5x，BC=4x，

∴sin∠ACG===sinB，

∴AG=x，CG=x，

∴DG=DA+AG=3x+x=x，

在Rt△DCG中，tan∠D==；

（2）過點(diǎn)C作CF∥DB，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則有△CHF∽△DBF，

又有E是AC的中點(diǎn)，可證△CHE≌△ABE，

∴HC=AB=5x，

由△CHF∽△DBF得：===．

22.【答案】任務(wù)一：這款沙灘安全椅是安全的，因?yàn)樯碁┮慰勘稠敹司嗟孛娴母叨葹?2.7cm；

任務(wù)二：在實(shí)際測(cè)量的過程中，為了減少測(cè)量數(shù)據(jù)產(chǎn)生的誤差可以采取的措施有多次測(cè)量取平均值．

23.【答案】（1）∵AD∥BC，

∴∠DBM=∠ADB，

又∵∠BDM=∠ADB，

∴∠DBC=∠MDB=∠ADB，

∴BM=DM，

∵點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，

∴BM=DM=CM，

∴∠CDM=∠DCM，

∵∠DCM+∠DBM+∠CDM+∠BDM=180°，

∴2（∠CDM+∠BDM）=180°，即∠CDB=90°，

∴∠BDC=∠A=90°，

∴△DBC∽△ADB，

∴，

∴BD2=AD?BC

（2）如圖，

∵△ADB∽△DBC，

∴∠ABD=∠C，

∵∠DBF=∠ABD，

∴∠DBF=∠C，

又∵∠BDF=∠CDB=90°，

∴Rt△DFB∽R(shí)t△DBC，

∴，

∴BD2=DF?DC，

由（1）得BC=2DM，BD2=AD?BC，

∴DF?DC=AD?BC=2AD?DM，

即：2AD?DM=DF?DC

24.【答案】（1）

（2）2

（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或（23，-152）

25.【答案】（1）如圖1，

證明：PQ∥AB，

∴△CDP∽△CAB，

∴=，

∴=，

∴PD=，

∴PD?PQ=×6=9，

∴PB2=PD?PQ，

∴=，

∵∠BPQ是公共角，

∴△PBD∽△PQB；

（2）如圖2，

解：連接AQ，

∴AQ∥BC，AQ=BP=x，

∴△AQE∽△CEB，

∴=，

∴=，

∴=，

∵PD∥AB，

∴=，

∴=，

∴CD=2（4-x），

∴y=DE=CE-CD

=-2（4-x）

=，

∴y=（0＜x＜4）；

（3）如