2026年成人高考專升本《高等數(shù)學(一)》練習題及答案一、選擇題（每小題4分，共40分）1.設函數(shù)f(x)=x3?3x2+2x+1，則f′(x)在x=1處的值為A.?1??B.0??C.1??D.2答案：C2.若向量a=(2,?1,3)，b=(1,k,?2)，且a⊥b，則k=A.4??B.2??C.0??D.?4答案：A3.設z=ln(x2+y2)，則?2z/?x?y=A.0??B.2xy/(x2+y2)2??C.?2xy/(x2+y2)2??D.4xy/(x2+y2)2答案：C4.曲線y=e^{x}+e^{?x}在(0,2)處的曲率半徑為A.1??B.2??C.√2??D.2√2答案：D5.設A為3階方陣，|A|=2，則|2A?1|=A.1??B.2??C.4??D.8答案：C6.冪級數(shù)∑_{n=1}^{∞}(n+1)x?的收斂半徑為A.1??B.2??C.+∞??D.0答案：A7.設f(x)在[0,1]上連續(xù)，且∫?1f(x)dx=0，∫?1xf(x)dx=1，則∫?1x2f(x)dx的最小可能值為A.?1??B.0??C.1??D.2答案：A8.設隨機變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，則P(X≥1)=A.1?e^{?3}??B.e^{?3}??C.3e^{?3}??D.1?3e^{?3}答案：A9.設函數(shù)f(x)=|x?2|+|x+1|，則f(x)的最小值為A.0??B.1??C.2??D.3答案：D10.設L為x2+y2=1正向一周，則∮_L(ydx?xdy)=A.0??B.π??C.?2π??D.2π答案：C二、填空題（每小題4分，共32分）11.設y=ln(sinx)，則dy/dx=________。答案：cotx12.設A=[12;34]，則A2=________。答案：[710;1522]13.設f(x)=∫?^{x2}e^{?t2}dt，則f′(x)=________。答案：2xe^{?x?}14.曲線y=x3?3x在x=0處的切線方程為________。答案：y=?3x15.設z=x^y，則?z/?x=________。答案：yx^{y?1}16.設X~N(0,1)，則E(X2)=________。答案：117.設f(x)=x?[x]，則∫?2f(x)dx=________。答案：118.設a?=1/(nlnn)，則級數(shù)∑_{n=2}^{∞}a?的斂散性為________。答案：發(fā)散三、解答題（共78分）19.（10分）求極限lim_{x→0}(e^{x}?1?x)/x2。解：用泰勒展開e^{x}=1+x+x2/2+o(x2)，代入得原式=lim_{x→0}(1+x+x2/2?1?x)/x2=lim_{x→0}(x2/2)/x2=1/2。答案：1/220.（10分）設f(x)=x3?3x+1，求f(x)在[?2,2]上的最大值與最小值。解：f′(x)=3x2?3=3(x2?1)，駐點x=±1。f(?2)=?1，f(?1)=3，f(1)=?1，f(2)=3。比較得最大值為3，最小值為?1。答案：最大3，最小?121.（12分）計算二重積分?_D(x+y)dσ，其中D由y=x2，y=4圍成。解：交點x2=4?x=±2，?_D(x+y)dxdy=∫_{?2}^{2}∫_{x2}^{4}(x+y)dydx內層∫_{x2}^{4}(x+y)dy=[xy+y2/2]_{x2}^{4}=4x+8?x3?x?/2，外層∫_{?2}^{2}(4x+8?x3?x?/2)dx奇函數(shù)4x,x3在對稱區(qū)間積分為0，=2∫?2(8?x?/2)dx=2[8x?x?/10]?2=2(16?32/10)=2(128/10)=256/10=128/5。答案：128/522.（12分）求微分方程y″?4y′+4y=e^{2x}的通解。解：特征方程r2?4r+4=0?r=2（重根），齊次通解y_h=(C?+C?x)e^{2x}。設特解y_p=Ax2e^{2x}，代入得y_p′=A(2x2+2x)e^{2x},y_p″=A(4x2+8x+2)e^{2x}，代入方程得A(4x2+8x+2?8x2?8x+4x2)e^{2x}=e^{2x}?2A=1?A=1/2，通解y=(C?+C?x+x2/2)e^{2x}。答案：y=(C?+C?x+x2/2)e^{2x}23.（12分）設X,Y獨立同分布于U(0,1)，求Z=X+Y的概率密度f_Z(z)。解：卷積公式f_Z(z)=∫_{?∞}^{∞}f_X(x)f_Y(z?x)dx，當0≤z≤1時，積分限0→z，f_Z(z)=∫?^{z}1·1dx=z；當1<z≤2時，積分限z?1→1，f_Z(z)=∫_{z?1}^{1}1dx=2?z；其余區(qū)間0。答案：f_Z(z)={z,?0≤z≤1;2?z,?1<z≤2;0,?其他}24.（10分）設曲面Σ為z=√(4?x2?y2)的上側，計算?_ΣzdS。解：投影D:x2+y2≤4，dS=√(1+z_x2+z_y2)dσ=√(1+x2/(4?x2?y2)+y2/(4?x2?y2))dσ=2/√(4?x2?y2)dσ，?_ΣzdS=?_D√(4?x2?y2)·2/√(4?x2?y2)dσ=2?_Ddσ=2·π·22=8π。答案：8π25.（12分）設矩陣A=[31;02]，求A^{n}，并計算lim_{n→∞}A^{n}/2^{n}。解：A可對角化，特征值λ?=3,λ?=2，P=[11;01]，P?1AP=diag(3,2)，A^{n}=Pdiag(3^{n},2^{n})P?1=[3^{n}3^{n}?2^{n};02^{n}]，A^{n}/2^{n}=[(3/2)^{n}(3/2)^{n}?1;01]，當n→∞，(3/2)^{n}→∞，極限不存在，但第二列差值→∞，整體發(fā)散。答案：A^{n}=[3^{n}3^{n}?2^{n};02^{n}]，極限不存在四、綜合應用題（共30分）26.（15分）某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A,B，利潤函數(shù)分別為P_A=4x?0.1x2，P_B=6y?0.2y2，其中x,y為產(chǎn)量，受原料限制x+y≤60，x≥0,y≥0。（1）建立總利潤模型并求最大利潤；（2）若原料增至70，求利潤增量。解：（1）總利潤L=4x?0.1x2+6y?0.2y2，約束x+y≤60。拉格朗日函數(shù)F=4x?0.1x2+6y?0.2y2+λ(60?x?y)，?F/?x=4?0.2x?λ=0，?F/?y=6?0.4y?λ=0，?F/?λ=60?x?y=0，解得x=10,y=50,λ=2，L_max=4·10?0.1·100+6·50?0.2·2500=40?10+300?500=?170，但二階導數(shù)負定，確為最大值。（2）原料70，同理x=15,y=55，L_new=4·15?0.1·225+6·55?0.2·3025=60?22.5+330?605=?237.5，增量=?237.5?(?170)=?67.5，利潤下降，因邊際遞減。答案：（1）最大利潤?170，x=10,y=50；（2）增量?67.527.（15分）設某電路中電流I(t)滿足LdI/dt+RI=E(t)，L=2H,R=4Ω,E(t)=12sin3tV，I(0)=0。（1）求I(t)；（2）求穩(wěn)態(tài)電流振幅。解：（1）方程2I′+4I=12sin3t?I′+2I=6sin3t，積分因子e^{2t}，d/dt(Ie^{2t})=6e^{2t}sin3t，∫e^{2t}sin3tdt=e^{2t}(2sin3t?3cos3t)/(4+9)=e^{2t}(2sin3t?3cos3t)/13，Ie^{2t}=6·(2sin3t?3cos3t)/13+C，I(t)=6(2sin3t?3cos3t)/13+Ce^{?2t}，I(0)=0?C=18/13，