《近世代數(shù)》模擬試題

1及答案

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闔近世代數(shù)模擬試題

一.單項選擇題（每題5分，共25分）

1、在整數(shù)加群（Z,+）中，下列那個是單位元（）.

A.0B.1C.-1D.1/n,n是整數(shù)

2、下列說法不正確的是（）.

A.G只包含一個元g,乘法是gg=g。G對這個乘法來說作成一

個群；

B.G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群；

C.G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群；

D.G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群.

3.如果集合M的一個關系是等價關系，則不一定具備的是（）.

A.反身性B.對稱性C.傳遞性D.封閉性

4.對整數(shù)加群Z來說，下列不正確的是（）.

A.Z沒有生成元.

B.1是其生成元.

C.-1是其生成元.

D.Z是無限循環(huán)群.

5.下列敘述正確的是（）。

A.群G是指一個集合.

B.環(huán)R是指一個集合.

C.群G是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結(jié)合律，并且

單位元，逆元存在.

D.環(huán)R是指一個非空集合和一個代數(shù)運算，滿足結(jié)合律，并且

單位元，逆元存在.

二.計算題（每題10分，共30分）

1.設G是由有理數(shù)域上全體2階滿秩方陣對方陣普通乘法作成

的群，試求中G中下列各個元素

2、

1°,cd,的階.

2.試求出三次對稱群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

的所有子群.

3.若e是環(huán)R的惟一左單位元，那么e是R的單位元嗎若是，請

給予證明.

三.證明題（第1小題10分，第2小題15分，第3小題20分,

共45分）.

1.證明：在群中只有單位元滿足方程

x2=X.

2.設G是正有理數(shù)乘群，G是整數(shù)加群.證明:

cp:2”?——n

是群G到G的一個滿同態(tài)，其中〃涉是整數(shù)，而（岫,2）=1.

3.設S是環(huán)R的一個子環(huán).證明：如果E與S都有單位元，但不

相等，則S的單位元必為R的一個零因子.

近世代數(shù)模擬試題答案

2008年11月

一、單項選擇題（每題5分，共25分）

1.A2.D3.D4.A5.C

二.計算題（每題10分，共30分）

1.解：

易知c的階無限，（3分）

d的階為2.（3分）

但是

（2分）

的階有限，是2.（2分）

2.解：5,的以下六個子集

乜=｛⑴｝,也=｛（1），（12）｝,“3=｛（1）,（13）｝,

W4=｛（1）,（23）｝,&=｛⑴，（123）,（132）｝,H6=S3（7分）

對置換乘法都是封閉的，因此都是S3的子集.（3

分）

3.解：e是R的單位元。

事實上，任取。/￡凡則因e是R的左單位元，故

(ae—a+e)b=a(eb)—ab+eb=ab—ub+b=b,

即ae-a+e也是R的左單位元。故有題設得

ae-a+e=e,ae=a.

即e是R的單位元.

三、證明題（每小題15分共45分）

1.證明：

設e是G的單位元，則。顯然滿足所說的方程（3分）

另外，設QEG且則有

a~la2=a~{a,即a=e,（5分）

即只有e滿足方程x2=x.（2分）

2.證明：°顯然是G到3的一個滿射（3分）

又由于當（〃-2）=1,（cd,2）=1時有

（abed,2）=1（4分）

9（2〃?2.2〃,?@）=*7.bd_）="十m

且0c訛（6分）

=?（2〃馬火2叫3.

ac

故°是群G到6的一個同態(tài)滿射c（2分）

3證明：

分別用e和，表示R與S的單位元，且ewd,

于是d不是R的單位元。（3分）

因此，存在OWQGR,使

ae'wa或dawa（5分）

如果ae'wa,則ae'-