專(zhuān)題01空間向量及其運(yùn)算【知識(shí)梳理】1、空間向量的概念：（1）在空間，具有大小和方向的量稱(chēng)為空間向量．（2）向量可用一條有向線段來(lái)表示．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．（3）向量的大小稱(chēng)為向量的模（或長(zhǎng)度），記作．（4）模（或長(zhǎng)度）為的向量稱(chēng)為零向量；模為的向量稱(chēng)為單位向量．（5）與向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱(chēng)為的相反向量，記作．（6）方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．2、空間向量的加法和減法：（1）求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱(chēng)為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則．（2）求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱(chēng)為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作，，則．3、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．4、設(shè)，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律．分配律：；結(jié)合律：．5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱(chēng)為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．6、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．7、平行于同一個(gè)平面的向量稱(chēng)為共面向量．8、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，，，共面，則．9、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱(chēng)為向量，的夾角，記作．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：．10、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．11、已知兩個(gè)非零向量和，則稱(chēng)為，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任何向量的數(shù)量積為．12、等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．13、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．14、數(shù)量乘積的運(yùn)算律：；；．15、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得．16、三個(gè)向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個(gè)集合可看作是由向量，，生成的，稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，，，稱(chēng)為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．17、設(shè)，，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱(chēng)它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量．存在有序?qū)崝?shù)組，使得．把，，稱(chēng)作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，記作．此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．【專(zhuān)題過(guò)關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：空間向量及其線性運(yùn)算考點(diǎn)2：共線問(wèn)題考點(diǎn)3：共面問(wèn)題考點(diǎn)4：空間向量基本定理考點(diǎn)5：模長(zhǎng)、數(shù)量積、夾角問(wèn)題【典型例題】考點(diǎn)1：空間向量及其線性運(yùn)算1．給出下列命題①空間中所有的單位向量都相等；②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；③若滿(mǎn)足，且同向，則；④零向量的方向是任意的；⑤對(duì)于任意向量，必有．其中正確命題的序號(hào)為（

）A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤2．在正方體中，（

）A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足，記，，分別為，，，則（

）A． B． C． D．4．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．5．在平行六面體中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若，，則（

）A． B．C． D．6．空間四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．如圖所示空間四邊形ABCD，連接AC、BD，設(shè)M、G分別滿(mǎn)足，，則等于（

）A．B．C．D．考點(diǎn)2：共線問(wèn)題8．對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，以下條件可以判定點(diǎn)P?A?B共線的是___________（填序號(hào)）.①；②；③；④.9．在正方體中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，且，點(diǎn)F在棱上，若A、E、F三點(diǎn)共線，則________．10．（多選）下列命題中不正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個(gè)非零空間向量，，滿(mǎn)足，則∥D．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使=λ11．已知非零向量，，且、、不共面．若，則（

）．A．B．C．D．12．如圖，已知空間四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.13．已知、、共線，為空間任意一點(diǎn)（、、不共線），且存在實(shí)數(shù)、，使，求的值．14．邊長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)（包含表面和棱上）有一點(diǎn)，，分別為，中點(diǎn)，且．若，則______；若，則三棱錐體積為_(kāi)_____．15．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，若，則μ＝________；存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．考點(diǎn)3：共面問(wèn)題16．下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．17．已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．18．對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點(diǎn)位置有關(guān)19．若構(gòu)成空間的一組基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，20．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．21．已知平面ABCD外任意一點(diǎn)O滿(mǎn)足，．則取值是（

）A． B． C． D．22．在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁妫瑒t三個(gè)向量一定也共面；④已知三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以表示為.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．23．已知在正方體中，，為空間任意兩點(diǎn)，如果，那么點(diǎn)必（

）A．在平面內(nèi) B．在平面內(nèi)C．在平面內(nèi) D．在平面內(nèi)24．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿(mǎn)足，若，，共面，則（

）A． B． C． D．25．已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量，，，.(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)平面平面.26．已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有．考點(diǎn)4：空間向量基本定理27．在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．28．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．29．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．30．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．31．已知向量是空間的一基底，向量是空間的另一基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．32．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，若，則（

）A． B． C． D．33．在平行六面體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．34．在四棱柱中，，，則（

）A． B．C． D．35．如圖，在空間四邊形ABCD中，，，棱AC，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，若，則_____．36．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，請(qǐng)用??的線性組合表示___________.37．已知是所在平面外一點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________.考點(diǎn)5：模長(zhǎng)、數(shù)量積、夾角問(wèn)題38．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．39．正四面體棱長(zhǎng)為2，，，分別是，，的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．440．已知四面體，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．-1 D．-241．已知、都是空間向量，且，則（

）A． B． C． D．42．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．4 D．843．（多選）如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長(zhǎng)為 D．44．已知四棱柱的底面是正方形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為_(kāi)_______．45．已知直三棱柱中