第八章平面解析幾何8.7拋物線數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點1拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程考點2拋物線的幾何性質(zhì)0102考點3拋物線的綜合問題03課時作業(yè)第三部分1．掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）.3．掌握拋物線的簡單應(yīng)用．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．拋物線的定義我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離____的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的____，直線l叫做拋物線的____．教材回扣相等焦點準(zhǔn)線2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)向右向下x≤0y≥01．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(

)(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標(biāo)是(1，0).(

)(3)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．(

)(4)焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝±2py(p>0)，也可以寫成y＝ax2(a≠0)，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是一致的．(

)基礎(chǔ)檢測××√√2．（人教A版選擇性必修第一冊P133T2改編）已知拋物線C：y＝6x2，則C的準(zhǔn)線方程為(

)C3．（人教A版選擇性必修第一冊P133T3改編）已知拋物線y2＝2px上的點M(2，y0)到該拋物線焦點的距離為3，則拋物線的方程是(

)A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－2x D．y2＝－4xB4．（人教A版選擇性必修第一冊P138練習(xí)T3改編）P為拋物線y2＝2px(p>0)上一點，點P到拋物線準(zhǔn)線和對稱軸的距離分別為10和6，則p＝(

)A．2 B．4C．4或9 D．2或18D互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

(1)（2024·北京海淀區(qū)三模）已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若|MF|＝6，則△MNF的面積為(

)C(2)（2024·陜西西安一模）平面上動點M到定點F(3，0)的距離比M到y(tǒng)軸的距離大3，則動點M滿足的方程為___________________________．y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)規(guī)律總結(jié)1．“看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．2．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向．在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【對點訓(xùn)練1】

(1)（2024·四川雅安三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一條直徑與拋物線x2＝2py(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則p＝(

)C解析：因為圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一條直徑與拋物線x2＝2py(p>0)的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線x2＝2py(p>0)的通徑與y軸垂直，所以圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4的這條直徑與x軸垂直，且圓的直徑的上端點就是拋物線通徑的右端點，如圖，因為圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(2，－1)，半徑為2，所以該圓與x軸垂直的直徑的上端點為(2，1)，即拋物線x2＝2py(p>0)經(jīng)過點(2，1)，則4＝2p，解得p＝2.故選C.(2)（2024·山西晉城一模）吉林霧凇大橋，位于吉林市松花江上，連接霧凇高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧凇大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為p米）的一部分，左、右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為a米（將每根吊索視為線段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點A到橋面的距離）為b米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點B到橋面的距離）為(

)A考點2拋物線的幾何性質(zhì)命題角度1焦半徑和焦點弦C規(guī)律總結(jié)與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論如圖，傾斜角為θ的直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).則有命題角度2與拋物線有關(guān)的最值問題【例3】

（2024·湖南常德一模）已知拋物線方程為y2＝16x，焦點為F.圓的方程為(x－5)2＋(y－1)2＝1，設(shè)P為拋物線上的一點，Q為圓上的一點，則|PF|＋|PQ|的最小值為(

)A．6

B．7C．8

D．9C【解析】由拋物線方程為y2＝16x，得焦點F(4，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－4，如圖，過點P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，因為點P在拋物線上，所以|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，當(dāng)點Q固定不動時，P，Q，N三點共線，即QN垂直于準(zhǔn)線時和最小，又因為Q在圓上運動，由圓的方程為(x－5)2＋(y－1)2＝1，得圓心M(5，1)，半徑r＝1，所以|QN|min＝|MN|－r＝8.故選C.規(guī)律總結(jié)與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為該點到準(zhǔn)線的距離，利用“直線外一點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．【對點訓(xùn)練2】

(1)（2024·山東泰安二模）設(shè)拋物線x2＝4y的焦點為F，過拋物線上點P作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為Q，若∠PQF＝30°，則|PQ|＝(

)A(2)（2024·湖南益陽三模）已知M是拋物線y2＝4x上一點，圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x－1對稱的圓為圓C2，N是圓C2上的一點，則|MN|的最小值為(

)A考點3拋物線的綜合問題規(guī)律總結(jié)1．有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不過焦點，則可以選用一般弦長公式．2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系，采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解．【對點訓(xùn)練3】過拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當(dāng)點A的縱坐標(biāo)為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．課時作業(yè)59第分部三1．（5分）（2024·北京朝陽區(qū)二模）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，點P為C上一點．若|PF|＝8，則點P的橫坐標(biāo)為(

)A．5

B．6

C．7

D．8解析：由題意知，F(xiàn)(1，0)，由拋物線的定義知，|PF|＝xP＋1＝8，解得xP＝7，即點P的橫坐標(biāo)為7.故選C.CA2．（5分）（2024·江西新余二模）已知點Q(2，－2)在拋物線C：y2＝2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則△OQF（O為坐標(biāo)原點）的面積是(

)3．（5分）（2024·湖南衡陽三模）已知點F(2，0)，動圓P過點F，且與x＝－2相切，記動圓圓心點P的軌跡為曲線Γ，則曲線Γ的方程為(

)A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝12x解析：由題意知，點P到點F的距離和它到直線x＝－2的距離相等，所以點P的軌跡是以(2，0)為焦點，直線x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以Γ的方程為y2＝8x.故選C.CC5．（5分）已知直線y＝k(x－1)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，直線y＝2k(x－2)與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點，設(shè)λ＝|AB|－2|MN|，則(

)A．λ＝－12 B．－12<λ<0C．λ＝－16 D．λ<－16A6．（6分）（多選）（2025·八省聯(lián)考）已知F(2，0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，M是C上的點，O為坐標(biāo)原點，則(

)A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切

ABC7．（6分）（多選）（2024·湖北襄陽二模）拋物線C：x2＝2py的焦點為F，P為其上一動點，當(dāng)P運動到(t，1)時，|PF|＝2，直線l與拋物線相交于A，B兩點，下列結(jié)論正確的是(

)A．拋物線的方程為x2＝8yB．拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1C．當(dāng)直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與x軸相切D．|AF|＋|BF|≥4BCBD9．（5分）（2024·湖南長沙二模）已知圓N：x2＋y2－6y＋5＝0，直線y＝－1，圓M與圓N外切，且與直線y＝－1相切，則點M的軌跡方程為__________．解析：如圖，由題意，得直線l：y＝－1，且圓N：x2＋(y－3)2＝4，設(shè)圓M半徑為r，則點M到l′：y＝－3與點M到點N的距離相等，都是r＋2，故點M的軌跡是以N為焦點，以l′為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為x2＝12y.x2＝12y10．（5分）（2024·天津卷）圓(x－1)2＋y2＝25的圓心與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F重合，A為兩曲線的交點，則原點到直線AF的距離為_______．11．（15分）已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點F到頂點的距離為1.(1)求拋物線C的方程；12．（16分）已知曲線C在y軸右側(cè)，C上的任意點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；解：因為C上的任意點到點F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸的距離的差都是1，所以C上的任意點到點F(1，0)的距離等于它到直線x＝－1的距離，所以曲線C是以F(1，0)為焦點，直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線．因為曲線C在y軸右側(cè)，所以曲線C的方程是y2＝4x(x>0).(2)若曲線C上總存在不同兩點關(guān)于直線y＝x＋m對稱，求實數(shù)m的取值范圍．解：如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱，所以kMN＝－1.設(shè)直線MN的方程為y＝－x＋n，代入y2＝4x(x>0)，得y2＋4y－4n＝0(y≠0).因為直線MN與C有兩個不同交點，所以42－4×1×(－4n)＝16(n＋1)>0，且n≠0，解得n>－1