第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)2.6冪函數(shù)及幾類常見的特殊函數(shù)數(shù)學內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點2幾類特殊函數(shù)0102課時作業(yè)第三部分自主學習·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)__________叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象教材回扣y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．2．一次分式函數(shù)(2)圖象(2)圖象(1)性質(zhì)①奇偶性：奇函數(shù)；②單調(diào)性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③漸近線：x＝0.(2)圖象5．高斯函數(shù)y＝[x](1)定義：不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，這一規(guī)定最早為數(shù)學家高斯所使用，故函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)．(2)性質(zhì)①定義域：R；值域：Z.②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性．(3)圖象(1)定義域：R；值域：{0，1}．(2)奇偶性：偶函數(shù)．(3)周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期．(4)無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在．7．最值函數(shù)的概念直觀上來說min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我們將其稱為最小值函數(shù)，同樣，max{a，b}用來表示a，b的最大值，稱作最大值函數(shù)．教材拓展1．(1)冪函數(shù)y＝xα中，α的取值影響冪函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)．(2)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限．1．判斷(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(2)當α＞0時，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(

)基礎(chǔ)檢測×√√×解析：由冪函數(shù)的性質(zhì)知，f(x)＝xα，在第一象限內(nèi)，當α<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，當α為奇數(shù)或分子和分母均為奇數(shù)的既約分數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)，所以當α＝－1或α＝－3時，冪函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．－1或－3解析：因為函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，當m＝4時，f(x)＝x10，圖象與y軸有交點(0，0)，當m＝－1時，f(x)＝x0，圖象與y軸無交點，所以實數(shù)m的值為－1.－1互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】

(1)(2024·四川南充二模)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是(

)DB規(guī)律總結(jié)1．對冪函數(shù)圖象的掌握應(yīng)抓住在第一象限內(nèi)三條直線分第一象限所成的六個區(qū)域，即直線x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域，根據(jù)冪指數(shù)α滿足的條件，即α＜0，0＜α＜1，α＝1或α＞1確定圖象在第一象限的位置，其余象限部分由奇偶性決定．2．在比較冪的大小時，必須結(jié)合冪的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較．B(2)(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(4，2)，則(

)B．f(x)的圖象經(jīng)過點(1，1)C．f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增D．不等式f(x)≥x的解集為{x|x≤1}ABC考點2幾類特殊函數(shù)命題角度1一次分式函數(shù)(1)當函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P(－1，3)成中心對稱時，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．命題角度2對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)命題角度3高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)與最值函數(shù)【例4】

(1)(多選)對于任意的x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．十八世紀，y＝[x]被“數(shù)學王子”高斯最早使用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是(

)A．函數(shù)y＝[x]，x∈R的圖象關(guān)于原點對稱B．函數(shù)y＝x－[x]，x∈R的值域為[0，1)C．對于任意的x，y∈R，不等式[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立D．不等式2[x]2＋[x]－1<0的解集為{x|0≤x<1}BCDABD(3)(多選)函數(shù)f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的較大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}，則下列說法正確的是(

)A．M(2)＝3

B．?x≥1，M(x)≥4C．M(x)有最大值 D．M(x)最小值為0BD所以M(2)＝(2＋1)2＝9，故A錯誤；當?x≥1時，M(x)＝(x＋1)2≥(1＋1)2＝4，故B正確；由M(x)＝(x＋1)2(x<－1或x>0)可知，函數(shù)無最大值，故C錯誤；當x<－1或x>0時，M(x)>0，當－1≤x≤0時，0≤M(x)≤1，所以M(x)最小值為0，故D正確．故選BD.規(guī)律總結(jié)這幾類特殊的函數(shù)問題都屬于新定義問題，其解題思想圍繞著知識遷移，就是利用新、舊知識之間的聯(lián)系，由舊知識的思考方式領(lǐng)會新知識的思考過程，而產(chǎn)生遷移的關(guān)鍵是正確概括兩種知識之間包含的共同因素，并與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合．DA．D(x)是偶函數(shù)B．D(x)是單調(diào)函數(shù)C．D(x)的值域為[0，1]D．D(π)>D(3.14)A解析：對于A，當x∈Q時，顯然－x∈Q，此時恒有D(x)＝D(－x)＝1，當x?Q時，x是無理數(shù)，顯然－x也是無理數(shù)，此時恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函數(shù)，因此A正確；對于B，因為D(0)＝D(1)＝1，所以函數(shù)D(x)不是實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，因此B不正確；對于C，由函數(shù)的解析式可知，D(x)的值域為{0，1}，因此C不正確；對于D，因為D(π)＝0，D(3.14)＝1，所以D(π)<D(3.14)，因此D不正確．故選A.課時作業(yè)11第分部三A2．(5分)(2024·山東日照二模)已知冪函數(shù)的圖象過點(2，4)，則函數(shù)的解析式為(

)A．y＝2x B．y＝x2C．y＝log2x D．y＝sinx解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，由于函數(shù)過點(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，該冪函數(shù)的解析式為y＝x2.故選B.B3．(5分)如圖，已知冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc在(0，＋∞)上的圖象分別是下降，急速上升，緩慢上升，則(

)A．c<b<aB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．a(chǎn)<b<c解析：由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.故選B.B4．(5分)已知函數(shù)f(x)＝xα(x>0)，α為實數(shù)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，在同一直角坐標系中，f(x)與f′(x)的大致圖象不可能是(

)C5．(5分)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，則(

)A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：由y＝0.31x單調(diào)遞減可知0.310.1>0.310.2，即a>b；由y＝x0.1單調(diào)遞增可知0.320.1>0.310.1，即c>a，所以c>a>b.故選D.D6．(5分)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，y＝[x]也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函數(shù)f(x)＝[x＋1]－x，下列說法中正確的是(

)A．f(x)是周期函數(shù)B．f(x)的值域是[0，1]C．f(x)在(0，1)上是增函數(shù)D．?x＝R，[f(x)]＝0ABC7．(6分)(多選)黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：(注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，稱為既約分數(shù))，則下列結(jié)論正確的是(

)A．f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減B．當n為偶數(shù)時，f(x)為偶函數(shù)C．f(x)有兩個零點D．當n為奇數(shù)時，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增BCD{－2，－1，0，1，2}11．(16分)已知冪函數(shù)f(x)＝

(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)滿足g(x－2)＝f(x).(1)求函數(shù)f(x)和g(x)的解析式；解：依題意冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由于m∈Z，故m＝0，1，－1，當m＝0時，3－m2＝3，此時f(x)＝x3為奇函數(shù)，不符合題意，當m＝1或－1時，3－m2＝2，此時f(x)＝x2為偶函數(shù)，符合題意，故f(x)＝x2；由g(x－2)＝f(x)，可得g(x－2)＝x2，令x－2＝t，則x＝t＋2，所以g(t)＝(t＋2)2＝t2＋4t＋4，故g(x)＝x2＋4x＋4.(2)對任意實數(shù)x∈[－3，0)，g(x)－f(x)≥ax2恒成立，求a的取值范圍．(2)對(1)中的h(x)，求y＝h(x)的值域．13．(5分)(2024·湖北荊州三模)任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)m＝6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1(簡稱為8步“雹程”).我們記一個正整數(shù)n(n≠1)經(jīng)過K(n)次上述運算法則后首次得到1(若n經(jīng)過有限次上述運算法則均無法得到1，則記K(n)＝＋∞)，以下說法正確的是(

)CA．K(n)可看作一個定義域和值域均為N*的函數(shù)B．K(n)在其定義域上不單調(diào)，有最小值，有最大值C．對任意正整數(shù)n(n≠1)，都有K(n)K(2)