第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.5事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1相互獨(dú)立事件的概率考點(diǎn)2條件概率0102考點(diǎn)3全概率公式及應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分高考創(chuàng)新方向知識(shí)交匯05考點(diǎn)4貝葉斯公式041．了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義，會(huì)利用獨(dú)立性計(jì)算概率．2．理解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．事件的相互獨(dú)立性(1)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果__________________成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為____．必然事件Ω、不可能事件?都與任意事件相互獨(dú)立．教材回扣P(AB)＝P(A)P(B)2．條件概率與全概率公式(1)條件概率①定義：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝___為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．②概率的乘法公式：由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則_____________________．(2)條件概率的性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝___________________；P(AB)＝P(A)·P(B|A)P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)1．兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3．計(jì)算條件概率P(B|A)時(shí)，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB).教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率．(

)(3)拋2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立．(

)(4)若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).(

)基礎(chǔ)檢測(cè)×√√√CCA互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1相互獨(dú)立事件的概率命題角度1相互獨(dú)立事件的判斷【例1】

（2024·山東泰安三模）盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回．設(shè)事件A＝“兩次均未摸出紅球”，事件B＝“兩次均未摸出白球”，事件C＝“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件D＝“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則(

)A．A與B相互獨(dú)立 B．A與C相互獨(dú)立C．B與C相互獨(dú)立 D．C與D相互獨(dú)立D規(guī)律總結(jié)兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷方法(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判斷兩個(gè)事件的發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，那么事件A，B為相互獨(dú)立事件．命題角度2相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算【例2】（多選）（2024·湖北武漢二模）甲袋中有20個(gè)紅球，10個(gè)白球，乙袋中紅球、白球各有10個(gè)，兩袋中的球除了顏色有差別外，再?zèng)]有其他差別．現(xiàn)在從兩袋中各取出1個(gè)球，下列結(jié)論正確的是(

)ABC規(guī)律總結(jié)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．C(2)（2024·廣東佛山一模）若古典概型的樣本空間Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，甲：事件B＝Ω，乙：事件A，B相互獨(dú)立，則甲是乙的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A考點(diǎn)2條件概率C(2)（2024·天津卷）A，B，C，D，E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加．甲選到A的概率為__；已知乙選了A活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為__．規(guī)律總結(jié)求條件概率的常用方法CD考點(diǎn)3全概率公式及應(yīng)用【例4】

（2025·安徽合肥一模）有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個(gè)零件，則它是次品的概率為(

)A．0.054 B．0.0535C．0.0515 D．0.0525D【解析】根據(jù)題意，設(shè)任取一個(gè)零件，由第1，2，3臺(tái)車床加工分別為事件A，B，C，該零件為次品為事件D，則P(A)＝0.25，P(B)＝0.3，P(C)＝0.45，P(D|A)＝0.06，P(D|B)＝P(D|C)＝0.05，任取一個(gè)零件是次品的概率P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故選D.規(guī)律總結(jié)利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1，2，…，n).(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai).(3)代入全概率公式計(jì)算．B考點(diǎn)4貝葉斯公式【例5】某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì)．選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)獲勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為(

)D規(guī)律總結(jié)C高考創(chuàng)新方向知識(shí)交匯【例】

（2024·福建福州質(zhì)量檢測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有x%，y%，z%的人患了流感，且x，y，z構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5∶3∶2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則x的可能取值為(

)A．1.21 B．1.34C．1.49 D．1.51D創(chuàng)新解讀本題將條件概率與等差數(shù)列結(jié)合，在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與綜合，考查了學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，強(qiáng)調(diào)思維過程和思維方式，體現(xiàn)了新高考命題改革的變化和趨勢(shì)．課時(shí)作業(yè)72第分部三1．（5分）（2024·山東煙臺(tái)三模）一袋子中裝有5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，從中不放回地每次取出1個(gè)小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個(gè)小球顏色不同的概率為(

)D2．（5分）（2024·遼寧丹東二模）一個(gè)口袋中裝有大小、形狀相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地抽取3個(gè)球，已知口袋中剩下的2個(gè)球顏色相同的條件下，抽取的3個(gè)球顏色不同的概率為(

)ACB5．（5分）（2024·山東濱州二模）已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則下列說法正確的是(

)A．若P(AB)＝0.9，則A，B相互獨(dú)立B．若A，B相互獨(dú)立，則P(A|B)＝0.6C．若P(A|B)＝0.5，則P(AB)＝0.25D．若B?A，則P(B|A)＝0.8D6．（5分）（2024·湖南邵陽三模）甲、乙兩個(gè)工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為5%，乙加工的次品率為8%，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%，任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為(

)D7．（6分）（多選）（2024·江蘇鎮(zhèn)江三模）同時(shí)拋甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A，“乙正面向上”為事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C，則下列判斷正確的是(

)A．A與B相互對(duì)立 B．A與B相互獨(dú)立BDABD9．（5分）（2024·山東濟(jì)寧三模）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有6個(gè)球，其中甲箱子中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱子中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，然后從該箱子中隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的球是白球的概率為_______．(1)求甲考生通過強(qiáng)基招生面試的概率；(2)求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生通過強(qiáng)基招生面試的概率；(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通過強(qiáng)基招生面試的概率．12．（16分）某校學(xué)生會(huì)文藝部有男生4人，女生2人．(1)若安排這6名同學(xué)站成一排照相，要求2名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？(2)若從中挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動(dòng)．①求男生甲被選中的概率；②在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．13．（6分）（多選）（2024·山西呂梁二模）甲、乙兩名同學(xué)分別從a，b，c，d四門不同的選修課中隨機(jī)選修兩門．設(shè)事件X＝“a，b兩門選修課中，甲同學(xué)至少選修一門”，事件Y＝“乙同學(xué)一定不選修c”，事件Z＝“甲、乙兩人所選選修課至多有一門相同”，事件