第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點1導(dǎo)數(shù)的概念考點2導(dǎo)數(shù)的運算0102考點3導(dǎo)數(shù)的幾何意義03課時作業(yè)第三部分04高考創(chuàng)新方向多想少算1．了解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識回顧第分部一1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作_______或__________．教材回扣f′(x0)y′|x＝x02．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的____，相應(yīng)的切線方程為________________________．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝_________f(x)＝cosxf′(x)＝___________f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝__αxα-1cosx－sinxaxlnaex4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝____________．(2)[f(x)g(x)]′＝___________________．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)5．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．yu′·ux′1．可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2．曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點．注意“在點P處的切線”，說明點P為切點，點P既在曲線上，又在切線上；“過點P的切線”，說明點P不一定是切點，點P一定在切線上，但不一定在曲線上．3．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)圖象變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．教材拓展1．判斷(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率．(

)(2)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝cosx．(

)(3)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

)(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(

)基礎(chǔ)檢測√×××3xe-3xln3－3x+1e-3x4．(人教A版選擇性必修第二冊P82T11改編)已知曲線y＝xex在點(1，e)處的切線與曲線y＝alnx＋2在點(1，2)處的切線平行，則a＝____．2e互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1導(dǎo)數(shù)的概念【例1】已知f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：規(guī)律總結(jié)D考點2導(dǎo)數(shù)的運算【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)f(x)＝x2ex；【解】f′(x)＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.(4)f(x)＝ln(1－2x).規(guī)律總結(jié)求導(dǎo)數(shù)的幾種情況(1)乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)．(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)．(3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)．(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)．(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式化簡，再求導(dǎo)．(6)復(fù)合函數(shù)形式：確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)或由內(nèi)向外逐層求導(dǎo)．【對點訓(xùn)練2】

(1)設(shè)f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知f(x)＝2f′(1)x－x2＋lnx＋1，則f(1)＝(

)D(2)(多選)下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是(

)ABC考點3導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度1求曲線的切線方程A(2)過坐標(biāo)原點作曲線y＝ex-2＋1的切線，則切線方程為(

)A．y＝x B．y＝2x【解析】由函數(shù)y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，設(shè)切點坐標(biāo)為(t，et-2＋1)，可得切線方程為y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切線方程為y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故選A.A命題角度2求參數(shù)【例4】

(2024·河北保定三模)已知二次函數(shù)y＝ax(x－b)(b≠0，且b≠1)的圖象與曲線y＝lnx交于點P，與x軸交于點A(異于原點O)，若曲線y＝lnx在點P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為(

)B命題角度3公切線問題【例5】

(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線y＝ex＋x在點(0，1)處的切線也是曲線y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝_______．ln2規(guī)律總結(jié)1．求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線．曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設(shè)出切點坐標(biāo)，再依據(jù)已知點在切線上求解．2．處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的關(guān)系列出有關(guān)參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．3．公切線問題應(yīng)根據(jù)兩條曲線在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩曲線的切線，利用兩切線重合列方程(組)求解．C(2)(2024·福建漳州一模)若曲線y＝aex-2＋x在點(2，2＋a)處的切線方程為y＝4x＋b，則a＋b＝(

)A．3 B．－3C．0 D．1C(3)若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx＋b的切線，則b＝(

)A．－1 B．1C．2 D．eC高考創(chuàng)新方向多想少算【例】

(2024·浙江溫州一模)已知0<x1<x2<x3<4π，函數(shù)f(x)＝sinx的圖象在點(xi，sinxi)(i＝1，2，3)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點，則(

)C創(chuàng)新解讀本題通過切線斜率考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，判斷選項C，D是否正確的關(guān)鍵是根據(jù)tanxi＝xi(i＝1，2，3)構(gòu)造tanx＝x，通過轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想分析，將計算問題轉(zhuǎn)化為圖象問題，減少計算量，體現(xiàn)新高考的變化趨勢．課時作業(yè)17第分部三BC解析：因為f′(x)＝3f′(1)－2x，令x＝1，得f′(1)＝3f′(1)－2?f′(1)＝1.故選A.A4．（5分）（2024·河北保定三模）曲線y＝f(x)＝ex－3x在點(0，f（0)）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(

)C5．（5分）已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x，過原點作曲線y＝f(x)的切線l，則切點P的坐標(biāo)為(

)B6．（5分）（2024·浙江紹興二模）曲線y＝f(x)＝x＋alnx在點(1，1)處的切線與直線y＝2x平行，則a＝(

)A．1 B．2C．－1 D．－2A7．（6分）（多選）下列求導(dǎo)運算正確的是(

)A．(ex)′＝exABD8．（6分）（多選）（2024·湖南長沙二模）下列函數(shù)的圖象與直線y＝x＋1相切的有(

)A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝sinx＋1 D．y＝x3＋1AC10．（5分）寫出與函數(shù)f(x)＝sinx在x＝0處有公共切線的一個函數(shù)g(x)＝____________________．解析：由題知f(0)＝0，f′(x)＝cosx，f′(0)＝1，若g(x)與f(x)在x＝0處有公共切線，需滿足g(0)＝0，g′(0)＝1即可，取g(x)＝x2＋x，則g′(x)＝2x＋1，顯然滿足g(0)＝0，g′(0)＝1.（答案不唯一）x2＋x（答案不唯一）11．（16分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(2x＋3)10；解：y′＝10(2x＋3)9·(2x＋3)′＝20(2x＋3)9.(2)y＝e2x+1；解：y′＝e2x+1·(2x＋1)′＝2e2x+1.(3)y＝ln(3x－2)；(4)y＝sin4x.解：y′＝cos4x·(4x)′＝4cos4x.12．（17分）已知函數(shù)f(x)＝x3－3x.(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f（1)）處的切線方程；解：因為f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，所以f′(1)＝0，所以切線斜率為0，又因為f(1)＝13－3×1＝－2，所以切點坐標(biāo)為(1，－2)，故曲線y＝f(x)在點(1，f（1)）處的切線方程為y