第六章數(shù)列6.2等差數(shù)列數(shù)學內(nèi)容索引必備知識回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點1等差數(shù)列基本量的計算考點2等差數(shù)列的證明0102考點3等差數(shù)列的性質(zhì)及應用03課時作業(yè)第三部分高考創(chuàng)新方向多想少算041．理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義，掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應的問題．3．理解等差數(shù)列的通項及前n項和分別與一元一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．自主學習·基礎回扣必備知識回顧第分部一1．等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的__都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的____，公差通常用字母d表示，即__________＝d（n∈N*，且n≥2）或____________＝d(n∈N*).(2)等差中項：若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝______．教材回扣差公差an－an－1an＋1－ana＋b2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：an＝________________．該式又可以寫成an＝_______________，這表明d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，且d>0時是增函數(shù)，d<0時是減函數(shù)．(2)前n項和公式：Sn＝___________＝_________________．該式又可以寫成Sn＝___________________，這表明d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且d>0時圖象開口向上，d<0時圖象開口向下．a(chǎn)1＋(n－1)ddn＋(a1－d)3．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)與項有關(guān)的性質(zhì)①在等差數(shù)列{an}中，若公差為d，則an＝am＋(n－m)d，當n≠m時，d＝____________．②在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.③若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}（λ，b為常數(shù)）是公差為λd的等差數(shù)列．④若數(shù)列{an}，{bn}是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}（λ1，λ2為常數(shù)）也是等差數(shù)列，且公差為λ1d1＋λ2d2.⑤若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則從數(shù)列中抽出項ak，ak＋m，ak＋2m，…，組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，公差為____．(2)與和有關(guān)的性質(zhì)①等差數(shù)列中依次k項之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．mdnd1．若an＝pn＋q（p，q為常數(shù)），則{an}一定是公差為p的等差數(shù)列．2．等差數(shù)列前n項和的最值與{an}的單調(diào)性有關(guān)．(1)若a1>0，d<0，則Sn存在最大值．(2)若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．(3)若a1>0，d>0，則{Sn}是遞增數(shù)列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則{Sn}是遞減數(shù)列，S1是{Sn}的最大值．3．{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn（A，B是常數(shù)）.若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，則{an}從第2項起成等差數(shù)列．教材拓展1．判斷（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋

an＋2.(

)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(

)(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0且關(guān)于n的二次函數(shù)．(

)基礎檢測√√××2．（人教A版選擇性必修第二冊P15T4改編）等差數(shù)列{an}中，a1＝3，a4＝24，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得3d＝a4－a1＝21?d＝7，則an＝a1＋(n－1)d＝7n－4.7n－43．（人教A版選擇性必修第二冊P17例5改編）在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，則a2＋a14的值為____．解析：依題意，等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，5a8＝60，解得a8＝12，所以a2＋a14＝2a8＝24.244．（人教A版選擇性必修第二冊P21例6改編）若等差數(shù)列{an}的前5項和S5＝25，且a2＝3，則a7＝____．13互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1等差數(shù)列基本量的計算【例1】

(1)（2024·廣東汕頭三模）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝3，a2n＝2an＋1，若Sn＋an＋1＝100，則n＝(

)A．8 B．9C．10 D．11BC(3)（2024·新課標Ⅱ卷）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝____．95規(guī)律總結(jié)1．等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個量就能求另外兩個量，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．2．數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．【對點訓練1】

(1)（2024·黑龍江大慶三模）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝－2，S5＝－5，則S12＝(

)A．30 B．32C．36 D．40A(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＋a4＋a6＝－3，S8＝－12，則數(shù)列{an}的首項a1＝(

)A．3 B．2C．1 D．－1解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2＋a4＋a6＝－3，可得3a4＝－3，即a4＝－1，所以a1＋3d＝－1①，又因為S8＝－12，可得8a1＋28d＝－12，即2a1＋7d＝－3②，聯(lián)立①②解得a1＝2，d＝－1.故選B.B(3)（2024·北京延慶區(qū)一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板（不含天心石）3402塊，則上層有扇面形石板______塊．405考點2等差數(shù)列的證明規(guī)律總結(jié)1．等差數(shù)列的判定與證明的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)?{an}為等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列．(3)通項公式法：an＝an＋b（a，b是常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列．(4)前n項和公式法：Sn＝an2＋bn（a，b為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列．2．若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項an，an＋1，an＋2，使得這三項不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可．考點3等差數(shù)列的性質(zhì)及應用命題角度1項的性質(zhì)【例3】

（2024·全國甲卷理）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S5＝S10，a5＝1，則a1＝(

)B命題角度2和的性質(zhì)【例4】

(1)（2024·陜西咸陽二模）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S20＝(

)A．30 B．58C．60 D．90【解析】數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16為等差數(shù)列，由S4＝2，S8＝12，得S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90.故選D.DA命題角度3和的最值【例5】（多選）（2024·山西呂梁三模）已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，若S10<S8<S9，則下列說法正確的是(

)A．當n＝8，Sn最大B．使得Sn<0成立的最小自然數(shù)n＝18C．|a8＋a9|>|a10＋a11|BD規(guī)律總結(jié)1．項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列．3．求等差數(shù)列前n項和的最值的常用方法(1)鄰項變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值．(2)函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【對點訓練3】

(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＝70，a2(a3＋a5)＝80，則公差d＝(

)A．12 B．2C．3 D．4解析：等差數(shù)列{an}中，S7＝7a4＝70，得a4＝10，又a2(a3＋a5)＝2a2a4＝80，得a2＝4，所以d＝3.故選C.CB(3)（多選）已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若(S15－S11)(S15－S12)<0，則(

)A．a(chǎn)13＋a14>0B．S11<S15<S12C．當n＝14時，Sn取最大值D．當Sn<0時，n的最小值為27ABD高考創(chuàng)新方向多想少算【例】

（2024·安徽合肥一六八中學期末）已知等差數(shù)列{an}（公差不為0）和等差數(shù)列{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，如果關(guān)于x的實系數(shù)方程1003x2－S1003x＋T1003＝0有實數(shù)解，那么以下1003個方程x2－aix＋bi＝0(i＝1，2，…，1003)中，有實數(shù)解的方程至少有(

)A．499個 B．500個C．501個 D．502個D創(chuàng)新解讀本題利用一元二次方程有實數(shù)解建立不等式，利用等差數(shù)列角標和的性質(zhì)將問題簡化，看似計算量非常大的一道題目，其本質(zhì)考查利用不等式及等差數(shù)列的性質(zhì)分析問題、解決問題的能力，新高考強調(diào)的多想少算，在本題中體現(xiàn)明顯．課時作業(yè)39第分部三1．（5分）（2024·北京豐臺區(qū)一模）已知公差為d的等差數(shù)列{an}滿足a5－2a3＝1，且a2＝0，則d＝(

)A．－1 B．0C．1 D．2解析：∵a5－2a3＝a1＋4d－2(a1＋2d)＝－a1＝1，∴a1＝－1，∴d＝a2－a1＝0－(－1)＝1.故選C.CD3．（5分）（2024·全國甲卷文）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S9＝1，則a3＋a7＝(

)B4．（5分）據(jù)有關(guān)文獻記載，我國古代一座九層塔共掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈的盞數(shù)比上一層燈的盞數(shù)都多n（n為常數(shù)），底層燈的盞數(shù)是頂層的13倍，則該塔的底層共有燈(

)A．39盞 B．42盞

C．26盞 D．13盞C5．（5分）（2024·廣東汕頭一模）在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個數(shù)之和為(

)A．21 B．24C．27 D．30解析：令插入的3個數(shù)依次為a1，a2，a3，即3，a1，a2，a3，15成等差數(shù)列，因此2a2＝3＋15，解得a2＝9，所以插入的3個數(shù)之和為a1＋a2＋a3＝3a2＝27.故選C.CA7．（6分）（多選）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＝31，S3＝21，則(

)BD8．（6分）（多選）（2024·福建泉州模擬）等差數(shù)列{an}中，a2＝－7，a5＝－1，若Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1a2…an，則(

)A．Sn有最小值，Tn無最小值B．Sn有最小值，Tn無最大值C．Sn無最小值，Tn有最小值D．Sn無最大值，Tn有最大值AD9．（5分）（2024·山東濟南三模）數(shù)列{an}滿足an＋2－an＝2，若a1＝1，a4＝4，則數(shù)列{an}的前20項的和為______．21010．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sk＝1，S2k＝3(k∈N*)，則S4k＝____．解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可知Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k成等差數(shù)列，則其公差為S2k－Sk－Sk＝1，∴S3k－S2k＝(S2k－Sk)＋1＝3，則S3k＝6