第十章計數(shù)原理、概率10.9概率統(tǒng)計與其他知識的綜合問題數(shù)學(xué)內(nèi)容索引關(guān)鍵能力提升第一部分考點1概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題考點2概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題0102課時作業(yè)第二部分會綜合利用概率統(tǒng)計知識解決概率統(tǒng)計與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識的綜合問題．互動探究·考點精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點1概率統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題【例1】一個不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的40個小球，其中10個紅球，10個黃球，20個綠球，依次隨機抽取小球，每次只取1個小球．解答下列問題：(1)若取出的小球不再放回．①求最后抽取的小球是黃球的概率；②求紅球比其余兩種顏色小球更早取完的概率；③設(shè)隨機變量X為最后一個紅球被取出時所需的取球次數(shù)，求E(X).規(guī)律總結(jié)高考中有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進行考查，此類問題常常以概率、統(tǒng)計為命題情境，同時考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其前n項和，解題時要準確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．【對點訓(xùn)練1】現(xiàn)有甲、乙兩個不透明的盒子，甲盒中裝有2個紅球和1個白球，乙盒中裝有1個紅球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)n(n∈N*)次這樣的操作后，記甲盒中紅球的個數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個紅球的概率為an，恰有2個紅球的概率為bn（注：所有小球大小、形狀、質(zhì)地均相同）.(1)求a1，b1的值；(3)求Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn).考點2概率統(tǒng)計與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題【例2】

（2024·河北衡水模擬）已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)個紅球和2個白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)個紅球和2個白球，小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球，然后再從乙口袋有放回地連續(xù)摸球2次，每次摸出一個球．(1)當m＝4，n＝2時．(ⅰ)求小明4次摸球中，至少摸出1個白球的概率；(ⅱ)設(shè)小明4次摸球中，摸出白球的個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．(2)當m＝n時，設(shè)小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P，則當m為何值時，P最大？規(guī)律總結(jié)在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大（最?。┗蚓底畲螅ㄗ钚。┑姆桨缸鳛樽罴逊桨?，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn)．【對點訓(xùn)練2】第十四屆全國冬季運動會（簡稱冬運會）于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)舉辦，這是歷屆全國冬運會中規(guī)模最大、項目最多、標準最高的一屆，也是內(nèi)蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合性運動會．為迎接這一盛會，內(nèi)蒙古某大學(xué)組織大學(xué)生舉辦了一次冬運會知識競賽，該大學(xué)的一學(xué)院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表該學(xué)院參加該大學(xué)的冬運會知識競賽．課時作業(yè)76第分部二1．（13分）（2024·山東菏澤模擬）已知A，B兩個盒子中各有一個黑球，一個白球．每次從兩個盒子中各隨機取出一個小球交換后放回．記n次交換后，B盒子中有一黑一白兩個小球的概率為Pn，A盒子中黑球的個數(shù)為Xn.(1)求Pn；解：依題意，第一次交換共有4種情況，其中有2種情況交換后，B盒子中仍為一黑一白兩個小球，另外2種情況交換后，B盒子中有兩個黑球或兩個白球，再次交換后，B盒子中必為一黑一白兩個小球，(2)求Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn).(2)設(shè)該同學(xué)在一周5天的競技活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為f(p)，試求當p取何值時，f(p)取得最大值．(1)若甲同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率．(2)甲同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機會，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．(3)為提高投籃命中率，甲同學(xué)決定參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計劃如下：先投n(n∈N*，n≤33)個球，若這n個球都投進，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投(100－3n)個．試問n為何值時，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大．因為g(x)＝103－3x－2x+2，x∈R顯然為單調(diào)遞減函數(shù)，則數(shù)列{103－3n－2n+2}是遞減的，當n≤4時，103－3n－2n+2>0，f(n＋1)>f(n)，當n≥5時，103－3n－2n+2<0，f(n＋1)<f(n)，即有f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)>f(6)>f(7)>…，因此f(5)最大，所以當n＝5時，甲同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大．(1)求再打2球該局比賽結(jié)