附件2:教學(xué)設(shè)計(注：標(biāo)題采用四號宋體，正文采用五號宋體，1.5倍行距)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課型新授課數(shù)學(xué)年級高一學(xué)段高中人教A版5.2.21.能利用三角函數(shù)的定義及單位圓上點的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；2.會利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式理解三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系性；3.通過運用基本關(guān)系式進行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).教學(xué)重難點重點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及其應(yīng)用難點：三角函數(shù)內(nèi)在的聯(lián)系性同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念及圓的有關(guān)知識，由于三角函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系是“與x,y直接對應(yīng)”，其本質(zhì)是“幾何元素的對應(yīng)”，因此，這種對應(yīng)與學(xué)生已有經(jīng)驗距離較大，因此，本節(jié)應(yīng)從定義出發(fā)，用聯(lián)系的觀點提出問題，獲得研究思路。本節(jié)的學(xué)習(xí)難點是三角函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識。這個難點出現(xiàn)的原因在于三角函數(shù)聯(lián)系方式的特殊性，學(xué)生在已有的基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)中沒有這樣的經(jīng)驗，讓學(xué)生從聯(lián)系的觀點看問題的經(jīng)驗不足，對“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)”的認(rèn)識不充分從而導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)和提出的問題不強。為此應(yīng)用思想方法上加強引導(dǎo)。本節(jié)課運用多媒體教學(xué)，采取探究式教學(xué)方法，利用單位圓推導(dǎo)關(guān)系，設(shè)計分層任務(wù)，通過小組合作交流,在主動探究中汲取知識，提高能力，逐步解決問題.教學(xué)任務(wù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖創(chuàng)新設(shè)計(含AI應(yīng)用)（一）創(chuàng)設(shè)情境提出問題問題1：如何定義三角函數(shù)，在這個定義過程中哪個圖形起到關(guān)鍵作用？師生活動：教師提問學(xué)生回答三角函數(shù)定義；單位圓：設(shè)計意圖:三角函數(shù)定義為后面學(xué)習(xí)奠定認(rèn)知基礎(chǔ)通過單位圓的幾何直觀，為理解同角關(guān)系提供幾何模型利用信息技術(shù)動態(tài)生成單位圓，隨角度變化實時顯示坐標(biāo)點的運動軌跡，直觀揭示三角函數(shù)值與幾何位置的內(nèi)在聯(lián)系，深化數(shù)形結(jié)合理解。問題2：由定義我們知道，角的終邊周而復(fù)始的旋轉(zhuǎn)，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？如何用符號表示？師生活動：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧與本節(jié)課相關(guān)的知識點。這是“單位圓上的點繞圓周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周仍然回到原來位置”特征的反映.設(shè)計意圖:為推出兩個關(guān)系式做準(zhǔn)備（二）觀察圖形探究性質(zhì)問題3：公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，那么，終邊相同的角的不同三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？追問2：設(shè)是角的終邊與單位圓的交點，觀察圖形，結(jié)合定義，你能得到什么結(jié)論？追問3:角為任意角時，公式都成立嗎？師生活動:追問1：如何利用公式簡化這個問題的研究？板書：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教師引導(dǎo)學(xué)生討論，利用公式一，可以把問題轉(zhuǎn)化為“同一個角的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系”。師生活動：讓學(xué)生自主探究，得到關(guān)系式：師生活動：讓學(xué)生自主探究，得到兩個關(guān)系式中角的范圍。注意：同角的含義:①角相同②任一個角（函數(shù)有意義的前提下）都成立2.是的符號，不能寫成3.公式的等價變形設(shè)計意圖:“終邊相同的角的三個三角函數(shù)的值都由單位圓上同一點的坐標(biāo)所唯一確定，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系”是發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵思想；由“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”引出“終邊相同的角的不同三角函數(shù)之間有什么關(guān)系”的問題，再轉(zhuǎn)化為“同一個角的三個三角函數(shù)之間關(guān)系”的研究，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，借助單位圓上點的坐標(biāo)意義，由三角函數(shù)定義可以直接得出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”。利用信息技術(shù)動態(tài)展示單位圓上點P的坐標(biāo)，實時測量，值并驗證平方關(guān)系，通過拖動動點觀察商數(shù)關(guān)系的變化，使公式推導(dǎo)過程可視化、可探索。例題練習(xí)鞏固理解例1追問1：解決此類問題的思路式什么？師生活動：鼓勵學(xué)生獨立完成，并作課堂展示。師生活動：學(xué)生思考后得到，先判斷角是第幾象限，進而確定三角函數(shù)值的符號，然后求角師生活動：要按角所在的象限討論，分別寫出答案，有兩組結(jié)果，并規(guī)范寫，切記不能用設(shè)計意圖:本題屬于用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值的基本問題類型，通過靈活運用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。設(shè)計意圖:讓學(xué)生進一步熟悉三角函數(shù)的基本關(guān)系式及不同三角函數(shù)的聯(lián)系。例2證明：師生活動:由學(xué)生獨立完成，并作課堂展示.教師可以鼓勵學(xué)生采用不同變形方法得出案.證法一:從左邊往右邊證。注意：由cosx≠0，知sinx≠-1，所以1+sinx≠0。證法二:從右邊往左邊證證法三:從左右兩邊往中間證證法四:作差法證法五:分析法設(shè)計意圖:例2實際上是平方關(guān)系的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進行推導(dǎo)，可以要求學(xué)生至少給出兩種證明方法。本題可以提高學(xué)生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解水平，通過靈活運用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。師生活動：基本脈絡(luò)：現(xiàn)實背景→獲得研究對象→分析對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)→下定義→研究性質(zhì)①從定義出發(fā)②發(fā)揮單位圓的作用，體會三角函數(shù)的性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的解析表示③三角函數(shù)與其他函數(shù)不同點在于它的周期性，是一個背景定義三個函數(shù)，由此它們有內(nèi)在聯(lián)系，而且可以相互轉(zhuǎn)化。這是發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的指路明燈。設(shè)計意圖：對本節(jié)課作小結(jié)提煉，理解公式，規(guī)范步驟，把握數(shù)學(xué)思想方法．師生活動：學(xué)生獨立完成目標(biāo)檢測題，完成后，教師選取典型解法進行投影展示，引導(dǎo)學(xué)生辨析正誤、闡述思路，共同梳理典型錯誤，深化對公式的理解與應(yīng)用。設(shè)計意圖：第1題考查學(xué)生運用同角平方關(guān)系求值時，能否依據(jù)角所在象限（第四象限正弦為負(fù)）正確選取符號，而非簡單代入公式，從而強化象限對函數(shù)值符號的決定性作用這一核心概念。第2題考查代數(shù)恒等變形與三角公式的綜合運用。通過因式分解將高次冪降次，再結(jié)合同角平方關(guān)系求解，旨在訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)變換與公式整合能力。第3題檢驗學(xué)生對商數(shù)關(guān)系的掌握，以及通過簡單方程求解三角函數(shù)值的能力。第4題設(shè)計意圖在于訓(xùn)練學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系。通過已知正切值求正弦、余弦，考查平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系的綜合運用，并引入齊次式處理方法，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)變形與整體代換的數(shù)學(xué)思維。第5題考查學(xué)生利用同角三角函數(shù)關(guān)系進行代數(shù)變形的能力。通過將分子分母同除以cosα，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的表達(dá)式，體現(xiàn)了“齊次式”的經(jīng)典處理方法，訓(xùn)練學(xué)生整體代換與化歸的數(shù)學(xué)思想。利用信息技術(shù)出題，根據(jù)學(xué)生的水平生成個性化目標(biāo)檢測題，精準(zhǔn)診斷學(xué)情，并提供精準(zhǔn)的教學(xué)反饋數(shù)據(jù)支持。第184頁練習(xí)1-52.課本第185頁習(xí)題5.2中6，11，12，17設(shè)計意圖：加深學(xué)生對同角三角函數(shù)關(guān)系式的理解，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運算，邏輯推理等素養(yǎng)。板書設(shè)計5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系注意：例1：1.同角的含義:①角相同變式：②任一個角（函數(shù)有意義的前提下）都成立2.是的符號，不能寫成例2：3.公式的等價變形課堂小結(jié)：1.突出概念及性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，加強教學(xué)的整體性。一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，可以從不同層次體現(xiàn)出來。首先是概念所界定的對象中要素關(guān)系，再是概念間的聯(lián)系，最后與其它知識的聯(lián)系。三角函數(shù)性質(zhì)非常明顯體現(xiàn)出這種層次性。本設(shè)計注重利用這種層次性創(chuàng)設(shè)情境，遵循從概念到性質(zhì)到聯(lián)系的路徑，提出層層遞進問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角函數(shù)性質(zhì)。2.注重發(fā)揮單位圓的作用，以單位圓為核心工具，將sinα、cosα直觀定義為點的坐標(biāo)，使平方關(guān)系回歸圓方程本質(zhì)，商數(shù)關(guān)系自然呈現(xiàn)，這一設(shè)計將代數(shù)關(guān)系與幾何圖形完美結(jié)合，讓公式的理解變得深刻而直觀。3.深刻體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等核心數(shù)學(xué)思想。通過單位圓將抽象的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何表示，展現(xiàn)了數(shù)形統(tǒng)一的魅力；運用方程思想實現(xiàn)函數(shù)值的知一求二；在公式應(yīng)用中滲透分類討論思想，根據(jù)象限確