演講人：日期:實變函數(shù)核心知識點CATALOGUE目錄01集合論基礎(chǔ)02測度理論03可測函數(shù)04Lebesgue積分05函數(shù)空間06微分與積分關(guān)系01集合論基礎(chǔ)集合運算與性質(zhì)集合的并集運算定義為所有屬于至少一個集合的元素構(gòu)成的集合，記作(AcupB)；交集則是同時屬于兩個集合的元素構(gòu)成的集合，記作(AcapB)。這些運算滿足交換律、結(jié)合律和分配律，是構(gòu)建更復(fù)雜集合關(guān)系的基礎(chǔ)。并集與交集補集是相對于全集而言的，記作(A^c)，包含全集中不屬于(A)的所有元素；差集(AsetminusB)表示屬于(A)但不屬于(B)的元素。補集運算滿足德摩根定律，即((AcupB)^c=A^ccapB^c)和((AcapB)^c=A^ccupB^c)。補集與差集冪集(mathcal{P}(A))是(A)的所有子集構(gòu)成的集合，其基數(shù)隨原集基數(shù)指數(shù)增長；笛卡爾積(AtimesB)是由所有有序?qū)?(a,b))構(gòu)成的集合，是定義關(guān)系和函數(shù)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。冪集與笛卡爾積若存在雙射(f:AtoB)，則稱集合(A)與(B)等勢。自然數(shù)集(mathbb{N})是最小的無限集，其基數(shù)記為(aleph_0)；與(mathbb{N})等勢的集合稱為可數(shù)集，如整數(shù)集(mathbb{Z})和有理數(shù)集(mathbb{Q})。集合的勢與基數(shù)等勢與可數(shù)集實數(shù)集(mathbb{R})的基數(shù)(mathfrak{c})嚴(yán)格大于(aleph_0)，但是否存在基數(shù)介于兩者之間是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的核心問題。該假設(shè)在ZFC公理系統(tǒng)中既不能被證明也不能被否定。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對于無限基數(shù)(kappa)和(lambda)，有(kappa+lambda=kappatimeslambda=max(kappa,lambda))。特別地，(2^{aleph_0}=mathfrak{c})，這是康托爾定理的直接推論。基數(shù)運算Cantor集是自相似分形的典型例子，具有無處稠密（非空且不含內(nèi)點）和完全（無孤立點）的特性。其拓?fù)渚S數(shù)為0，但豪斯多夫維數(shù)為(frac{ln2}{ln3}approx0.6309)。自相似性與拓?fù)湫再|(zhì)Cantor集在實分析中用于構(gòu)造反例（如連續(xù)但不可微的函數(shù)），其變體（如Smith-Volterra-Cantor集）還可生成測度為正的疏朗集。應(yīng)用與推廣Cantor集構(gòu)造與特性02測度理論對于度量空間$(X,d)$，外測度$mu^*$需滿足非負(fù)性（$mu^*(A)geq0$）、單調(diào)性（若$AsubseteqB$則$mu^*(A)leqmu^*(B)$）及次可列可加性（$mu^*(bigcup_{i=1}^inftyA_i)leqsum_{i=1}^inftymu^*(A_i)$）。若對任意$A,BsubseteqX$滿足$d(A,B)>0$時$mu^*(AcupB)=mu^*(A)+mu^*(B)$，則稱$mu^*$為度量外測度。卡拉西奧多里外測度定義通過覆蓋集族定義外測度，例如Lebesgue外測度$mu^*(E)=infleft{sum_{i=1}^infty|I_i|:Esubseteqbigcup_{i=1}^inftyI_iright}$，其中$I_i$為開區(qū)間。此構(gòu)造滿足平移不變性（$mu^*(E+x)=mu^*(E)$）和齊次性（$mu^*(kE)=|k|mu^*(E)$）。構(gòu)造方法外測度限制在可測集上成為測度。Carathéodory可測性條件要求對任意$TsubseteqX$，$mu^*(T)=mu^*(TcapE)+mu^*(TcapE^c)$，此時$E$稱為$mu^*$-可測集。與測度的關(guān)系外測度定義與性質(zhì)123Lebesgue可測集判定Carathéodory準(zhǔn)則集合$Esubseteqmathbb{R}^n$為Lebesgue可測的充要條件是對任意$epsilon>0$，存在開集$GsupseteqE$使得$mu^*(GsetminusE)<epsilon$。等價地，存在閉集$FsubseteqE$滿足$mu^*(EsetminusF)<epsilon$。Borel集與可測集關(guān)系所有Borel集（由開集生成的$sigma$-代數(shù)）均為Lebesgue可測集，但Lebesgue可測集比Borel集更廣泛，例如Vitali集是不可測的Borel集。正則性條件Lebesgue測度是正則的，即對任意可測集$E$，存在$G_delta$集$HsupseteqE$和$F_sigma$集$KsubseteqE$，使得$mu(HsetminusE)=mu(EsetminusK)=0$，這體現(xiàn)了測度的“內(nèi)外逼近”性質(zhì)。若${E_i}_{i=1}^infty$為兩兩不交的可測集，則$mu(bigcup_{i=1}^inftyE_i)=sum_{i=1}^inftymu(E_i)$。這是測度區(qū)別于外測度的核心性質(zhì)，確保極限運算與測度交換（如單調(diào)收斂定理）。$sigma$-可加性定義測度具有有限可加性（$mu(E_1cupE_2)=mu(E_1)+mu(E_2)$當(dāng)$E_1capE_2=emptyset$）及下連續(xù)性（若$E_nuparrowE$則$mu(E)=lim_{ntoinfty}mu(E_n)$）。上連續(xù)性需額外條件（如$mu(E_1)<infty$時$E_ndownarrowE$推出$mu(E)=lim_{ntoinfty}mu(E_n)$）。有限可加性與連續(xù)性在計數(shù)測度或Dirac測度下，不可數(shù)集族的可列可加性可能失效。例如，$mathbb{R}$上Lebesgue測度對單點集${x}$滿足$mu({x})=0$，但$mu(bigcup_{xinmathbb{R}}{x})=inftyneqsum_{xinmathbb{R}}0$。非可列可加的反例測度的可列可加性03可測函數(shù)可測函數(shù)的基本定義函數(shù)$f$可測當(dāng)且僅當(dāng)對任意開集$Gsubseteqmathbb{R}$，原像$f^{-1}(G)inmathcal{F}$。這一判定將可測性與拓?fù)涓拍盥?lián)系起來，為研究函數(shù)性質(zhì)提供了新的視角。等價判定條件復(fù)合函數(shù)的可測性若$f$是可測函數(shù)，$phi:mathbb{R}tomathbb{R}$是連續(xù)函數(shù)，則$phicircf$也是可測函數(shù)。這一性質(zhì)在構(gòu)造新的可測函數(shù)時非常實用，例如絕對值函數(shù)、多項式函數(shù)等復(fù)合運算。設(shè)$(X,mathcal{F})$為可測空間，$f:Xtomathbb{R}$稱為$mathcal{F}$-可測函數(shù)，若對任意實數(shù)$a$，集合${xinX:f(x)>a}$屬于$mathcal{F}$。這是判斷函數(shù)可測性的最基礎(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)，適用于一般測度空間。可測函數(shù)定義與判定幾乎處處收斂設(shè)${f_n}$是可測函數(shù)列，若存在零測集$E$使得在$XsetminusE$上$f_n$逐點收斂于$f$，則稱$f_n$幾乎處處收斂于$f$。這是實變函數(shù)中最重要的收斂概念之一，與測度理論緊密相關(guān)。依測度收斂對任意$epsilon>0$，有$lim_{ntoinfty}mu({x:|f_n(x)-f(x)|geqepsilon})=0$。這種收斂方式不要求點態(tài)收斂，在概率論和統(tǒng)計學(xué)中有重要應(yīng)用。一致收斂與幾乎一致收斂一致收斂要求收斂速度在整個定義域上一致；幾乎一致收斂允許在任意小的測度集外一致收斂。這兩種收斂方式在證明積分與極限交換時非常有用?？蓽y函數(shù)列的收斂性簡單函數(shù)逼近定理非負(fù)可測函數(shù)的逼近對任意非負(fù)可測函數(shù)$f$，存在單調(diào)遞增的非負(fù)簡單函數(shù)列${phi_n}$，使得$phi_nuparrowf$點態(tài)收斂。這一結(jié)果為積分定義奠定了基礎(chǔ)，也是證明許多重要定理的工具。030201一般可測函數(shù)的逼近對任意可測函數(shù)$f$，存在簡單函數(shù)列${phi_n}$滿足$|phi_n|leq|f|$且$phi_ntof$點態(tài)收斂。這種逼近保持了函數(shù)的可積性，為研究一般可測函數(shù)的積分性質(zhì)提供了便利。可測函數(shù)的多項式逼近在適當(dāng)條件下，可測函數(shù)可以用多項式函數(shù)逼近。這一結(jié)果將可測函數(shù)理論與經(jīng)典分析聯(lián)系起來，在數(shù)值計算和函數(shù)逼近論中有重要應(yīng)用。04Lebesgue積分簡單函數(shù)的積分利用簡單函數(shù)逼近，將積分定義為$supleft{intphi,dmumidphileqftext{且為簡單函數(shù)}right}$，體現(xiàn)“從下至上”的逼近思想。非負(fù)可測函數(shù)的積分一般可測函數(shù)的積分分解$f=f^+-f^-$（正部與負(fù)部），要求至少一側(cè)積分有限，定義$intf,dmu=intf^+,dmu-intf^-,dmu$，確保積分值有意義。首先定義非負(fù)簡單函數(shù)（有限值階梯函數(shù)）的Lebesgue積分，通過劃分值域并求和$sumy_imu(E_i)$，其中$E_i$是函數(shù)取值為$y_i$的可測集，$mu$為測度。積分的逐級構(gòu)造積分基本性質(zhì)線性性對任意可積函數(shù)$f,g$和實數(shù)$a,b$，有$int(af+bg),dmu=aintf,dmu+bintg,dmu$，這是Lebesgue積分區(qū)別于Riemann積分的重要特征之一。01單調(diào)性若$fleqg$幾乎處處成立，則$intf,dmuleqintg,dmu$，該性質(zhì)在不等式證明中廣泛應(yīng)用。02可加性對不相交可測集$A,B$，有$int_{AcupB}f,dmu=int_Af,dmu+int_Bf,dmu$，反映了測度的可數(shù)可加性。03絕對可積性$f$可積當(dāng)且僅當(dāng)$|f|$可積，且$left|intf,dmuright|leqint|f|,dmu$，這一性質(zhì)在泛函分析中尤為重要。04Lebesgue控制收斂定理定理內(nèi)容：設(shè)${f_n}$是可測函數(shù)列，若存在可積函數(shù)$g$使得$|f_n|\leqg$幾乎處處成立，且$fn\tof$幾乎處處收斂，則$f$可積且$\lim{n\to\infty}\intf_n\,d\mu=\intf\,d\mu$。應(yīng)用場景：在極限與積分交換、函數(shù)項級數(shù)求和、概率論期望計算中，該定理提供了強于Riemann積分的工具。對比Riemann積分：Riemann積分要求一致收斂才能保證極限與積分交換，而Lebesgue積分僅需依測度收斂或幾乎處處收斂加控制條件，顯著放寬了要求。反例與邊界：若無控制函數(shù)$g$，定理可能失效（如$fn=n\chi{(0,1/n)}$在$[0,1]$上積分極限不交換），凸顯控制條件的必要性。05函數(shù)空間對于可測函數(shù)$f$，其$L^p$范數(shù)定義為$|f|_p=left(int_X|f|^pdmuright)^{1/p}$，其中$1leqp<infty$，要求積分有限。該范數(shù)滿足非負(fù)性、齊次性和三角不等式，構(gòu)成賦范線性空間的核心條件。L^p空間范數(shù)定義范數(shù)結(jié)構(gòu)定義當(dāng)$p=infty$時，采用本質(zhì)上確界范數(shù)$|f|_infty=inf{Mgeq0:|f(x)|leqMtext{a.e.}}$，刻畫函數(shù)在測度意義下的有界性。需特別注意零測集上的例外值不影響范數(shù)計算。極限情形處理在非均勻測度背景下，可引入加權(quán)$L^p$空間范數(shù)$|f|_{p,w}=left(int_X|f|^pwdmuright)^{1/p}$，其中權(quán)重函數(shù)$w$需滿足可積性條件，該擴展在調(diào)和分析中具有重要應(yīng)用。加權(quán)空間擴展完備性證明Cauchy序列構(gòu)造選取$L^p$中的Cauchy序列${f_n}$，通過子序列選取法找到幾乎處處收斂的子序列$f_{n_k}$，其極限函數(shù)$f$的$L^p$可積性由Fatou引理保證，證明$lim|f_n-f|_p=0$。Riesz-Fischer定理應(yīng)用該定理嚴(yán)格表述了$L^p$空間的完備性，即每個Cauchy序列都收斂于空間內(nèi)某函數(shù)。證明過程中需綜合運用Egorov定理和絕對連續(xù)性，處理收斂性與可積性的耦合問題。反例分析通過構(gòu)造有理數(shù)集特征函數(shù)序列等反例，說明在$p<infty$時$L^p$完備性依賴于Lebesgue積分的完備化特性，對比Riemann積分空間的不完備性凸顯其理論優(yōu)勢。連續(xù)函數(shù)稠密性在$mathbb{R}^n$上，$C_c(mathbb{R}^n)$（緊支集連續(xù)函數(shù)）在$L^p(1leqp<infty)$中稠密。證明依賴于Urysohn引數(shù)構(gòu)造逼近函數(shù)，以及Lusin定理對可測函數(shù)的連續(xù)逼近。稠密子空間特性階梯函數(shù)逼近簡單函數(shù)空間在$L^p$中稠密，通過標(biāo)準(zhǔn)機器法（單調(diào)類定理）將可測函數(shù)分解為非負(fù)簡單函數(shù)極限，再截斷處理實現(xiàn)任意精度逼近。多項式函數(shù)密度在有限測度空間如區(qū)間$[a,b]$上，多項式函數(shù)集合在$L^p$中稠密，這是Weierstrass逼近定理在$L^p$范數(shù)下的推廣，需