第1頁（共1頁）2026年中考數(shù)學?？伎键c專題之軌跡一．選擇題（共12小題）1．（2025?江都區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝8，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為BC上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，M是△OPE的內(nèi)心，連接OM、PM，當點P在弧BC上從點B運動到點C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長（）A．2 B．22 C．π D．2π2．（2025?匯川區(qū)四模）如圖，擺鐘是一種技術(shù)與藝術(shù)相結(jié)合的機械時鐘，如圖是其鐘擺擺動示意圖，OA＝24cm，當鐘擺從OA擺動到OB時，若擺動角度∠AOB＝15°，則端點A移動的路徑長為（）A．3cm B．πcm C．2πcm D．3πcm3．（2025?荷塘區(qū)三模）一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，然后落入四個角落中的其中一個，如圖所示虛線是其中一種可能的路徑，則小球可能運動路徑的最大長度是（）A．25 B．210 C．9 D4．（2025?武進區(qū)校級模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，直角邊AB＝AC＝1，D為BC的中點，E為AB邊上的動點，DF⊥DE交AC于點F，M為EF的中點，當點E從點B運動到點A時，點M所經(jīng)過的路線長為（）A．22π B．22 C．π25．（2025?高碑店市三模）如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，點E在BC邊上從點C向點B運動（含端點），作四邊形AECD關(guān)于直線AE對稱的四邊形AEC'D'，點D，C的對應點分別為點D'，C'，連接DD′交AE于點甲：點E不可能落在DD′上；乙：點D'，C′運動路徑的長度比始終為32下列說法正確的是（）A．甲對，乙錯 B．甲錯，乙對 C．甲、乙都錯 D．甲、乙都對6．（2025?東?？h校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC邊上有一動點D，作點B關(guān)于直線AD的對稱點B'，在點D從點B運動到點C的過程中，點B′的運動路徑長為（）A．π3 B．2π3 C．4π3 7．（2025?玉林模擬）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M是邊AB上一個動點，在AB延長線上找一點N，使點M和點N關(guān)于點B對稱，連接CM，DN相交于點E．當動點M從點A運動到點B時，點E的運動路徑長為（）A．233 B．253 C．28．（2025?南明區(qū)二模）開窗通風是日常生活中保持室內(nèi)空氣流通的一種方法，圖①是平開窗的打開實物圖，圖②是平開窗打開的效果圖，此時，窗戶打開了84°，窗戶底邊OA長是60，則這扇窗戶底邊端點A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是（）A．845π B．293π C．28π 9．（2025?福田區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到EB的位置，點A的對應點E落在CD邊的中點，若CE＝2，則點A旋轉(zhuǎn)到點E的路徑長為（）A．23π B．43π C．810．（2025?鼓樓區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，D為AC上一動點，過A作直線OD的垂線，垂足為E．在D從A沿AC運動到C的過程中，點E經(jīng)過的路徑長為（）A．23π3 B．43π3 C11．（2025?博興縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，AC＝6．將Rt△ABC繞AC的中點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F(xiàn)．當點E與點C第一次重合時，點A運動路徑的長為（）A．43π B．83π C．2π 12．（2025?薩爾圖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點E、F同時從點D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動，當點E到達點C時，運動停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點E、F移動過程中，點G移動路線的長度為（）A．2 B．π C．2π D．22二．填空題（共8小題）13．（2025?深圳模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點，C是MN上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是．14．（2025?浙江模擬）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′的位置，如圖，A、B、C'三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的路徑長為．15．（2025?華龍區(qū)校級一模）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使得BC′⊥AB，延長AC交A′B于D，點A的運動路徑為AA'，則圖中陰影部分的面積為．16．（2025?二道區(qū)校級模擬）如圖，AB是半徑為2的⊙O的一條弦，∠AOB＝90°．將△OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點O的對應點O'第一次落在⊙O上時，點B運動的路徑長是．（結(jié)果保留π）17．（2025?淮安區(qū)校級二模）如圖，有一塊長AB＝4cm、寬BC＝3cm的矩形木板在桌面上按順時針方向無滑動地翻滾，木板上頂點A的位置變化為A→A1→A2．其中，第二次翻滾時被桌面上一個小木塊擋住，使木板邊沿A2E與桌面成30°角，則點A翻滾到點A2的位置經(jīng)過的路徑長為．18．（2025?揚州三模）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點M是線段CB上一動點，過點M作MN⊥AM交AB于點N，當點M從點C運動到點B的過程中，點N經(jīng)過的路徑長是．19．（2025?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，點D，E分別是AB，AC邊上的中點，點F在BC的延長線上，連接EF，∠F＝60°．點P從點D出發(fā)，沿D→B→F運動到點F，在邊EF上找一點Q，連結(jié)PQ，使得∠APQ＝∠B，則在點P的運動的過程中，點Q的運動路徑長為．20．（2025?平橋區(qū)三模）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC＝120°，把菱形ABCD繞著頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，點C的運動軌跡為弧CC'，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π三．解答題（共5小題）21．（2025?南山區(qū)校級三模）如圖1，是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此時它與出入口OM等寬，與地面的距離AO＝0.2m；當它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅蜛B′C′D，如圖3所示，此時，AB′與水平方向的夾角為60°．（1）在電動門抬起的過程中，求點C所經(jīng)過的路徑長；（2）圖4中，一輛寬1.7m，高1.6m的汽車從該入口進入時，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，π≈3.14，所有結(jié)果精確到0.122．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長．23．（2025?雙臺子區(qū)校級二模）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當書架與桌面的夾角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為11cm，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當張角∠A′OB＝108°時（點A′是A的對應點），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣A點到A′走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處．當她看書上距離桌面高度為20cm的點F時，她向下看的俯角為18°，眼睛到桌面高度EB＝25cm，求此時眼睛到F點的距離，即EF的長度．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）24．（2024?魯山縣三模）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1，是我國古代農(nóng)用工具，桔槔始見于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．當點A位于最高點時，∠AOM＝127°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點A1．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；（2）求此時水桶B上升的高度．25．（2024?遂平縣一模）電動切割機以其高效、準確和便捷的特點，成為現(xiàn)代工作中不可或缺的工具，圖1是從電動切割機抽象出來的幾何模型，ON為固定臺，切割片⊙A與擺臂OM相切于點P，圖2是切割機完成工作時候的模型圖，此時切割片⊙B與ON相切．已知切割片的半徑為30cm，轉(zhuǎn)軸OA長是60cm，∠MON＝90°（此次切割片在工作時候的磨損忽略不計）．（1）求圖2中點B到OM的距離；（2）求砂輪工作前后，圓心A運動軌跡長度．

2026年中考數(shù)學?？伎键c專題之軌跡參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案DCDBDCBCBBA題號12答案D一．選擇題（共12小題）1．（2025?江都區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝8，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為BC上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，M是△OPE的內(nèi)心，連接OM、PM，當點P在弧BC上從點B運動到點C時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長（）A．2 B．22 C．π D．2π【考點】軌跡；圓周角定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】D【分析】首先證明∠CMO＝∠PMO＝135°，推出當點P在弧BC上從點B運動到點C時，點M在以OC為弦，并且所對的圓周角為135°的劣弧上（OMC），利用弧長公式計算即可解決問題；【解答】解：∵△OPE的內(nèi)心為M，∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°-12（∠EOP+∠∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，∴∠PMO＝180°-12（∠EOP+∠OPE）＝180°-12（180°﹣∵OP＝OC，OM＝OM，而∠MOP＝∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，所以當點P在弧BC上從點B運動到點C時，點M在以OC為弦，并且所對的圓周角為135°的劣弧上（OMC），點M在扇形BOC內(nèi)時，過C、M、O三點作⊙O′，連O′C，O′O，在優(yōu)弧CO取點D，連DA，DO，∵∠CMO＝135°，∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，∴O′O=22OC=22×∴弧OMC的長=90π?22180=故選：D．【點評】本題考查了弧長的計算公式：l=nπR180，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點2．（2025?匯川區(qū)四模）如圖，擺鐘是一種技術(shù)與藝術(shù)相結(jié)合的機械時鐘，如圖是其鐘擺擺動示意圖，OA＝24cm，當鐘擺從OA擺動到OB時，若擺動角度∠AOB＝15°，則端點A移動的路徑長為（）A．3cm B．πcm C．2πcm D．3πcm【考點】軌跡；解直角三角形的應用．【專題】幾何圖形；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)弧長計算公式，計算即可．【解答】解：根據(jù)弧長計算公式，端點A移動的路徑長=15π×24故選：C．【點評】本題考查弧長的計算，熟練掌握弧長計算公式是解題的關(guān)鍵．3．（2025?荷塘區(qū)三模）一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，然后落入四個角落中的其中一個，如圖所示虛線是其中一種可能的路徑，則小球可能運動路徑的最大長度是（）A．25 B．210 C．9 D【考點】軌跡；生活中的軸對稱現(xiàn)象；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】先解讀題意，再進行分類討論，并且作圖，結(jié)合矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理列式計算，再比較大小，即可作答．【解答】解：第一種情況：分別過R，U，Y作RW⊥AB，UT⊥AB，YG⊥AB，如圖1：∵臺球桌是矩形，∴∠D＝∠DAW＝90°，∵RW⊥AB，YG⊥AB，∴四邊形AWRD，AGYD都是矩形，同理得四邊形WRYG都是矩形，∵一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，故AW＝TW＝TG＝GB＝2×14=12，RW＝Y(jié)G＝AD在Rt△ARW中，AR=A則4×5∴小球運動路徑為25第二種情況：分別過R，T，Y作RW⊥AD，UT⊥AD，YG⊥AD，如圖2：∵臺球桌是矩形，∴∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，∵RW⊥AD，YG⊥AD，∴四邊形AWRB，AGYB都是矩形，同理得四邊形WRYG是矩形，∴WR＝GY＝2，∵一顆小球從長為2，寬為1的矩形臺球桌的角落被擊出，小球撞擊桌壁并反彈三次，故DW＝WT＝GT＝GA＝1×14=14，DC＝RW＝GY＝BA＝則4×65∵25∴小球可能運動路徑的最大長度是65，故選：D．【點評】本題考查了軌跡，生活中的軸對稱現(xiàn)象，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2025?武進區(qū)校級模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，直角邊AB＝AC＝1，D為BC的中點，E為AB邊上的動點，DF⊥DE交AC于點F，M為EF的中點，當點E從點B運動到點A時，點M所經(jīng)過的路線長為（）A．22π B．22 C．π2【考點】軌跡；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力；應用意識．【答案】B【分析】過點D作DG⊥AC，DH⊥BC，如圖，證明四邊形DGCH為正方形，再證明△EDG≌△FDH（SAS）．推出DE＝DF．△EDF為等腰直角三角形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點D作DG⊥AB，DH⊥AC，∵DG⊥AB，AC⊥BA，∴DG∥AC．∵D是邊CB中點，∴DG=12同理：DH=12∵AC＝BA，∴DG＝DH．∴四邊形DGCH為正方形，∴∠GDH＝90°．∴∠GDF+∠FDH＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠GDF+∠EDG＝90°．∴∠EDG＝∠FDH．在△EDG和△FDH中，∠EGD=∠FHDGD=HD∴△EDG≌△FDH（SAS）．∴DE＝DF．∴△EDF為等腰直角三角形，當點E從點B運動到點A時，EF的中點M所經(jīng)過的路徑為AB，AC中點的連線，即M所經(jīng)過的路徑為12CB∵AB＝AC＝1，∠C＝90°，∴CB=2∴EF的中點M所經(jīng)過的路徑長為22故選：B．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2025?高碑店市三模）如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，點E在BC邊上從點C向點B運動（含端點），作四邊形AECD關(guān)于直線AE對稱的四邊形AEC'D'，點D，C的對應點分別為點D'，C'，連接DD′交AE于點甲：點E不可能落在DD′上；乙：點D'，C′運動路徑的長度比始終為32下列說法正確的是（）A．甲對，乙錯 B．甲錯，乙對 C．甲、乙都錯 D．甲、乙都對【考點】軌跡；軸對稱的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形；運算能力．【答案】D【分析】由∠AOD＝90°，那么點O在以AD為直徑的半圓上，該半圓與BC沒有交點，而點E在BC上，點O與點E不會重合，即點E不可能落在DD′上；從點E在點C位置開始，點D′，C′運動路徑的長度為以點A為圓心，分別以AD′，AC′為半徑的弧長，且AC′與AD′轉(zhuǎn)過的角度相等，那么點D′，C′運動路徑的長度比始終保持與AD'AC'【解答】解：如圖，連接AC，AC′，由題意可得：DD′⊥AE，AC＝AC′，AD＝AD′，∴∠AOD＝90°，∴點O在以AD為直徑的半圓上，該半圓與BC沒有交點，而點E在BC上，∴點O與點E不會重合，即點E不可能落在DD′上，故甲對；由題意可得：AB＝CD，∠ADC＝90°，∵AD=3∴AD=3∴AC=A∴ADAC從點E在點C位置開始，點D′，C′運動路徑的長度為以點A為圓心，分別以AD′，AC′為半徑的弧長，且AC′與AD′轉(zhuǎn)過的角度相等，∵AD'AC'∴點D′，C′運動路徑的長度比始終為32故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、90°的圓周角所對的弦是直徑、弧長計算，核心素養(yǎng)表現(xiàn)為幾何直觀和推理能力．6．（2025?東?？h校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，BC邊上有一動點D，作點B關(guān)于直線AD的對稱點B'，在點D從點B運動到點C的過程中，點B′的運動路徑長為（）A．π3 B．2π3 C．4π3 【考點】軌跡；軸對稱的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】延長BC到點E，使EC＝BC，連接AE、AB′，由AC垂直平分BE，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，得AE＝AB＝2BC＝4，則∠EAC＝∠BAC＝30°，所以∠BAE＝60°，由點B′與點B關(guān)于直線AD對稱，得AB′＝AB＝4，當點D與點C重合時，則點B′與點E重合，所以點B′的運動路徑為以點A為圓心，半徑為4的圓上的一段弧，即BE，根據(jù)弧長公式求得lBE【解答】解：延長BC到點E，使EC＝BC，連接AE、AB′，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC垂直平分BE，∴AE＝AB＝2BC＝4，∴∠EAC＝∠BAC＝30°，∴∠BAE＝2∠BAC＝60°，∵點B′與點B關(guān)于直線AD對稱，∴直線AD垂直平分BB′，∴AB′＝AB＝4，∴點B′在以點A為圓心，半徑為4的圓上運動，∵當點D與點C重合時，則點B′與點E重合，∴點B′的運動路徑為以點A為圓心，半徑為4的圓上的一段弧，即BE，∵lBE∴點B′的運動路徑長為4π3故選：C．【點評】此題重點考查直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)、弧長公式、軌跡問題的求解等知識與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2025?玉林模擬）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M是邊AB上一個動點，在AB延長線上找一點N，使點M和點N關(guān)于點B對稱，連接CM，DN相交于點E．當動點M從點A運動到點B時，點E的運動路徑長為（）A．233 B．253 C．2【考點】軌跡；中心對稱；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形；運算能力．【答案】B【分析】作點A關(guān)于點B的對稱點N，連接DN和AC交于點E，過點E作PQ⊥AB于點Q，交CD于點P，連接BE，則EB為點E的運動軌跡，先根據(jù)正方形性質(zhì)可知PQ＝AD＝2，設BQ＝x，則AQ＝2﹣x，進而得到PE＝x，AN＝4，通過平行可知△CED∽△AEN，再通過相似三角形性質(zhì)解出x，再通過勾股定理即可求解．【解答】解：作點A關(guān)于點B的對稱點N，連接DN和AC交于點E，過點E作PQ⊥AB于點Q，交CD于點P，連接BE，則EB為點E的運動軌跡，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∠CAB＝45°，AD＝AB＝CD＝2．∵PQ⊥AB，∴PQ⊥CD，∴PQ＝AD＝2，設BQ＝x，則AQ＝2﹣x，∵∠CAB＝45°，PQ⊥AB，∴EQ＝AQ＝2﹣x，∴PE＝PQ﹣EQ＝2﹣（2﹣x）＝x，又∵點M，N關(guān)于點B對稱，∴BM＝BN，當點M在起點A處時，BM＝BN＝2，∴AN＝4，又∵CD∥AB，∴△CED∽△AEN，∴CDAN∴24=x∴EQ=2-x=4EB=E故選：B．【點評】本題考查勾股定理，相似三角形等知識點，能夠正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2025?南明區(qū)二模）開窗通風是日常生活中保持室內(nèi)空氣流通的一種方法，圖①是平開窗的打開實物圖，圖②是平開窗打開的效果圖，此時，窗戶打開了84°，窗戶底邊OA長是60，則這扇窗戶底邊端點A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是（）A．845π B．293π C．28π 【考點】軌跡；解直角三角形的應用；弧長的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】C【分析】利用弧長公式解答即可．【解答】解：這扇窗戶底邊端點A掃過區(qū)域的軌跡長（弧長）是：84360×2π×60＝28故選：C．【點評】本題主要考查了弧長的計算，解決本題的關(guān)鍵是掌弧長的計算公式．9．（2025?福田區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到EB的位置，點A的對應點E落在CD邊的中點，若CE＝2，則點A旋轉(zhuǎn)到點E的路徑長為（）A．23π B．43π C．8【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】B【分析】由題意很容易得出CE=12CD=12AB=12BE，繼而可得∠CBE【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝BE，∴BE＝CD，∵點E是CD中點，且CE＝2，∴CD＝AB＝BE＝4，CE=1在Rt△BCE中，sin∠CBE=CE∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，∴l(xiāng)AE=故選：B．【點評】本題主要考查了軌跡、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、弧長公式等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．10．（2025?鼓樓區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，D為AC上一動點，過A作直線OD的垂線，垂足為E．在D從A沿AC運動到C的過程中，點E經(jīng)過的路徑長為（）A．23π3 B．43π3 C【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；弧長的計算．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】如圖：連接OA，OC，由圓周角定理可得∠AOC＝2∠B＝120°，則從A到C其旋轉(zhuǎn)角為120°；取AC的中點F，連接OF，由垂徑定理可得OF⊥AC，AF=12AC=3，∠AOF=12∠AOC=60°，再解直角三角形可得AO=23【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圓，如圖，連接OA，OC，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴點D從A沿AC運動到C的過程中，從A到C其旋轉(zhuǎn)角為120°，取AC的中點F，連接OF，∴OF⊥AC，AF=1在Rt△AOF中，AFAO=sin60°∴AO=3取AO的中點G，連接EG，∵AE⊥DO，∴∠AEO＝90°，∴點E的軌跡為以G為圓心，3為半徑畫圓弧，由于點D旋轉(zhuǎn)120°，則點E也旋轉(zhuǎn)240°，∴點E經(jīng)過的路徑長為=240°360°?π?3?2故選：B．【點評】本題主要考查了軌跡，垂徑定理，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，弧長的計算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．11．（2025?博興縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，AC＝6．將Rt△ABC繞AC的中點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F(xiàn)．當點E與點C第一次重合時，點A運動路徑的長為（）A．43π B．83π C．2π 【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】A【分析】連接BO，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得到AO＝BO，進而得到∠ABO＝∠BAC＝40°，則∠BOC＝80°，易知點E與點C第一次重合時，旋轉(zhuǎn)角為80°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO=DO=12AC=3，點A【解答】解：如圖，連接BO，∵在Rt△ABC中，點O是AC的中點，AC＝6，∴AO＝BO，∵∠BAC＝40°，∴∠ABO＝∠BAC＝40°，∴∠BOC＝∠ABO+∠BAC＝80°，∴點E與點C第一次重合時，旋轉(zhuǎn)角為80°，∴∠AOD＝80°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO=DO=1∴點A運動路徑的長為AD?∴點A運動路徑的長為：80×3π180故選：A．【點評】本題考查了弧長公式，直角三角形的特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．12．（2025?薩爾圖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點E、F同時從點D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動，當點E到達點C時，運動停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點E、F移動過程中，點G移動路線的長度為（）A．2 B．π C．2π D．22【考點】軌跡；勾股定理．【答案】D【分析】由△ADE≌△CDF，推出∠DAE＝∠DCF，因為∠AED＝∠CEG，推出∠ADE＝∠CGE＝90°，推出A、C、G、D四點共圓，推出點G的運動軌跡為弧CD，利用弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四點共圓，∴點G的運動軌跡為弧CD，∵AB＝4，AB=2AC∴AC＝22，∴OA＝OC=2∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴點G的運動軌跡的長為90π×2180故選：D．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、軌跡、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是正確探究點G的軌跡，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共8小題）13．（2025?深圳模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是AB（異于A、B）上兩點，C是MN上一動點，∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．當點C從點M運動到點N時，則C、E兩點的運動路徑長的比是2．【考點】軌跡；圓周角定理．【專題】推理填空題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】連接EB，設OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是GF，點C的運動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EB，設OA＝r，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分線交⊙O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E．∴E是△ACB的內(nèi)心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是GF，點C的運動軌跡是MN，由題意∠MON＝2∠GDF，設∠GDF＝α，則∠MON＝2α，∴弧MN的長度：弧GF的長度=2α×π×r故答案為：2．【點評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)．14．（2025?浙江模擬）△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′的位置，如圖，A、B、C'三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的路徑長為8π3cm【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】8π3cm【分析】由∠C＝90°，∠A＝30°，求得∠ABC＝60°，由旋轉(zhuǎn)得A′B＝AB＝4cm，∠A′BC′＝∠ABC＝60°，則∠ABA′＝120°，由弧長公式求得點A所經(jīng)過的路徑=8π3【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，由旋轉(zhuǎn)得A′B＝AB＝4cm，∠A′BC′＝∠ABC＝60°，∵A、B、C'三點在同一條直線上，∴∠ABA′＝180°﹣∠A′BC′＝120°，∴點A所經(jīng)過的路徑為半徑為4cm且圓心角等于120°的一段弧，∴點A所經(jīng)過的路徑=120π×4180=故答案為：8π3cm【點評】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識，推導出A′B＝AB＝4cm及∠ABA′＝120°是解題的關(guān)鍵．15．（2025?華龍區(qū)校級一模）如圖，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至△A′BC′，使得BC′⊥AB，延長AC交A′B于D，點A的運動路徑為AA'，則圖中陰影部分的面積為8π-63【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】8π-63【分析】利用扇形ABA′的面積減去Rt△ABD的面積計算即可．【解答】解：∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，∴∠BAC＝∠ABC＝30°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠ABC'＝∠ABC＝30°，∵BC′⊥AB，即∠ABC′＝90°，∴∠ABA′＝∠ABC′﹣∠ABC′＝60°∴∠ADB＝180°﹣∠ABA′﹣∠BAC＝90°，∠CBD＝∠ABA′﹣∠ABC＝30°，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝4．∴CD＝2，BD=23．AD＝AC+CD＝6∴AB=A∴S陰影故答案為：8π-63【點評】本題考查不規(guī)則圖形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形，勾股定理等知識，掌握割補法求面積是解題的關(guān)鍵．16．（2025?二道區(qū)校級模擬）如圖，AB是半徑為2的⊙O的一條弦，∠AOB＝90°．將△OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點O的對應點O'第一次落在⊙O上時，點B運動的路徑長是22π3【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】22【分析】當點O′第一次落在⊙O上時，△OAO'為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角θ＝60°（即π3弧度）．點B繞點A旋轉(zhuǎn)的路徑是圓弧，其半徑為AB的長度，弧長公式為r?θ【解答】解：旋轉(zhuǎn)后點O′在⊙O上，故O′O＝2．旋轉(zhuǎn)前OA＝2，旋轉(zhuǎn)后O'A＝OA＝2，∴△OAO′為等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角θ=60°=π在△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，由勾股定理得：AB=O點B繞點A旋轉(zhuǎn)π3弧度，路徑為圓弧，半徑AB＝22，弧長為：弧長＝AB?θ＝22.π故答案為：22【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長計算以及幾何圖形的變換，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．17．（2025?淮安區(qū)校級二模）如圖，有一塊長AB＝4cm、寬BC＝3cm的矩形木板在桌面上按順時針方向無滑動地翻滾，木板上頂點A的位置變化為A→A1→A2．其中，第二次翻滾時被桌面上一個小木塊擋住，使木板邊沿A2E與桌面成30°角，則點A翻滾到點A2的位置經(jīng)過的路徑長為3.5πcm．【考點】軌跡；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計算；運算能力；推理能力．【答案】3.5πcm．【分析】第一次是點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，長方形的對角線AB長為32+42=5cm，此次A點走過的路徑為AA1弧，第二次是點A1以E為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2，此次A點走過的路徑為【解答】解：第一次是點A以B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，長方形的對角線AB長為32此次A點走過的路徑為AA1弧，AA1=2π×5×第二次是點A1以E為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2，∵EA1的長為3cm，A2與E桌面成30°角，∴∠A1EA2＝60°，∴此次A點走過的路徑為A1A2弧，A1A2＝2π×3×60°∴A點走過的路徑為5π2故答案為：3.5πcm．【點評】本題考查的是軌跡，弧長的計算及矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找準所旋轉(zhuǎn)的弧的圓心和半徑及圓心角的度數(shù)．18．（2025?揚州三模）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點M是線段CB上一動點，過點M作MN⊥AM交AB于點N，當點M從點C運動到點B的過程中，點N經(jīng)過的路徑長是209【考點】軌跡；勾股定理．【專題】計算題．【答案】209【分析】過點N作NJ⊥BC于J，設BN＝y(tǒng)，CM＝x，構(gòu)建一元二次方程利用判別式求出y的最大值，可得結(jié)論．【解答】解：過點N作NJ⊥BC于J，如圖所示：設BN＝y(tǒng)，CM＝x，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A∵NJ∥AC，∴△BNJ∽△BAC，∴BNAB∴y10∴BJ=3∴MJ＝BC﹣CM﹣BJ＝6﹣x-35∵∠C＝∠AMN＝∠NJM＝90°，∴∠AMC+∠NMJ＝90°，∠NMJ+∠MNJ＝90°，∴∠AMC＝∠MNJ，∴△ACM∽△MJN，∴ACMJ∴86-x-∴x2∵△≥0，∴(3∴9y2﹣820y+900≥0，∴（9y﹣10）（y﹣90）≥0，∴y≤109或y≥90（90＞10＝∴y≤10∴BN的最大值為109當點M從點C運動到點B的過程中，點N經(jīng)過的路徑長是2倍的BN的最大值，∴點N經(jīng)過的路徑長是209故答案為：209【點評】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的判別式等知識．19．（2025?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，點D，E分別是AB，AC邊上的中點，點F在BC的延長線上，連接EF，∠F＝60°．點P從點D出發(fā)，沿D→B→F運動到點F，在邊EF上找一點Q，連結(jié)PQ，使得∠APQ＝∠B，則在點P的運動的過程中，點Q的運動路徑長為254【考點】軌跡；含30度角的直角三角形；三角形中位線定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】254【分析】解Rt△ABC求出BC，AC的長，連接DE，中點結(jié)合中位線定理得到CE=12AC=23，∠ADE＝∠B＝60°，解Rt△ECF求出CF，EF的長，分點P在線段BD上運動和點P在BF上移動兩種情況，進行討論，當點P在線段BD上運動得到點Q從點E移動到點F，路徑長為EF＝4，當點P在BF上移動，設BP＝x，證明△ABP∽△PFQ，得到FQ=BP?PFAB=x(6-x)8=-1【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，∴BC＝AB?cos60°＝4，AC=AB?sin60°=43連接DE，∵點D，E分別是AB，AC邊上的中點，∴DE∥BC，DE=12BC=2∴∠ADE＝∠B＝60°，在Rt△ECF中，CE=23，∠F＝60°∴CF＝CE÷tan60°＝2，EF＝CE÷sin60°＝4；①當點P在線段BD上運動時，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴當點P從點D移動到點B時，點Q從點E移動到點F，路徑長為EF＝4；②當點P在BF上移動時，如圖，∵BC＝4，CF＝2，∴BF＝6，設BP＝x，則PF＝6﹣x，∵∠APQ＝∠B＝60°，∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠QPF，∴∠QPF＝∠PAB，又∵∠B＝∠F，∴△ABP∽△PFQ，∴FQBP∴FQ=BP?PF∴當x=-342×(-18∴當點P從點B移動到點F時，點Q先從點F移動到FQ=98的位置，再返回到點∴點Q的總的路徑長為：4+2×9故答案為：254【點評】本題考查解直角三角形，二次函數(shù)求最值，中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點Q的運動軌跡．20．（2025?平橋區(qū)三模）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC＝120°，把菱形ABCD繞著頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB′C′D′，點C的運動軌跡為弧CC'，則圖中陰影部分的面積為3π-33．（結(jié)果保留【考點】軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計算．【專題】矩形菱形正方形；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接BD，交AC于點O，由菱形的性質(zhì)求出BO，AC，以及S△ABC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出S△ABC=S△ABC'=33，再根據(jù)S陰影＝S扇形CAC′﹣S【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝23，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，連接BD，交AC于點O，則BD⊥AC，∴BO=1由勾股定理得，AO=A∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S△由旋轉(zhuǎn)得，△AB′C′?△ABC，∴AC'=AC=6∴S陰影＝S扇形CAC′﹣S△AB′C′=30π×故答案為：3π-33【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，扇形的面積公式，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）21．（2025?南山區(qū)校級三模）如圖1，是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形ABCD，其中AB＝3m，AD＝1m，此時它與出入口OM等寬，與地面的距離AO＝0.2m；當它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅蜛B′C′D，如圖3所示，此時，AB′與水平方向的夾角為60°．（1）在電動門抬起的過程中，求點C所經(jīng)過的路徑長；（2）圖4中，一輛寬1.7m，高1.6m的汽車從該入口進入時，汽車需要與BC保持0.4m的安全距離，此時，汽車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，π≈3.14，所有結(jié)果精確到0.1【考點】軌跡；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；平行四邊形的判定；矩形的判定．【專題】多邊形與平行四邊形；解直角三角形及其應用．【答案】（1）3.1m；（2）能通過，證明見解析．【分析】（1）連接CD，得出點C是點C繞點D旋轉(zhuǎn)60°得到，根據(jù)弧長公式解答即可；（2）在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.7m，作FG⊥OM于點F，交AB于點H，交AB于點G，證明四邊形AHFO是矩形，得出AH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90°，HF＝OA＝0.2m，解直角三角形得出GH，再根據(jù)GH+HF＝1.559+0.2＝1.759m＞1.6m，解答即可．【解答】解：（1）如圖，連接CD，交AB'于E，根據(jù)題意可得四邊形ADCB是矩形，四邊形AB'C'D是平行四邊形，∴CD＝AB＝AB'＝DC'＝3，CD∥AB，C'D∥AB'，∴∠B'EC＝∠B'AB＝∠C'DC＝60°，∴點C'是點C繞點D旋轉(zhuǎn)60°得到，∴點C經(jīng)過的路徑長為60×π×3180（2）在OM上取MK＝0.4m，KF＝1.7m，作FG⊥OM于點F，交AB于點H，交AB'于點G，當汽車與BC保持安全距離0.4m時，∵汽車寬度為1.7m，∴OF＝3﹣1.7﹣0.4＝0.9m，∵ABMOM，AO⊥OM，∴四邊形AHFO是矩形，∴AH＝OF＝0.9m，∠AHG＝90°，HF＝OA＝0.2m，∴GH=0.9×tan60°=0.9×3∵GH+HF＝1.559+0.2≈1.759m＞1.6m，汽車高度為1.6m，∴汽車能安全通過．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應用，銳角三角函數(shù)，弧長的計算等知識，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2025?石家莊模擬）如圖1筒車是我國古代利用水利驅(qū)動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．如圖2，筒車⊙O按逆時針方向轉(zhuǎn)動，與水面分別交于A、B，且AB=43m，筒車的軸心O距離水面的高度OC長為2（1）求筒車⊙O的半徑；（2）盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長．【考點】軌跡；垂徑定理的應用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OA，根據(jù)勾股定理即可解決問題；（2）利用銳角三角函數(shù)求出∠COA＝60°，再根據(jù)弧長公式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，連接OA，∵AB=43∴AC=23在Rt△ACO中，OC＝2，AO2＝OC2+AC2，∴AO=2答：筒車⊙O的半徑為4m；（2）由（1）可得tan∠COA=AC∴∠COA＝60°，∴盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，它走過的路徑長為180-60180【點評】本題考查軌跡，垂徑定理的應用，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．23．（2025?雙臺子區(qū)校級二模）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示．嘉嘉發(fā)現(xiàn)，當書架與桌面的夾角∠AOB＝150°時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為11cm，此時舒適度不太理想．嘉嘉調(diào)整書架與桌面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當張角∠A′OB＝108°時（點A′是A的對應點），舒適度較為理想．（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣A點到A′走過的路徑長．（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處．當她看書上距離桌面高度為20cm的點F時，她向下看的俯角為18°，眼睛到桌面高度EB＝25cm，求此時眼睛到F點的距離，即EF的長度．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【考點】軌跡；解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；應用意識．【答案】（1）77π15（2）EF的長度約為16cm．．【分析】（1）利用平角定義先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AO的長，從而求出A′O的長，進而利用弧長公式求解即可；（2）過點F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥BE于點M、N，則四邊形MBNF是矩形，∠FNE＝90°，在Rt△FEN中，解直角三角形即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，在Rt△ACO中，AC＝11cm，∴AO＝2AC＝22cm，由題意得：AO＝A′O＝22cm，∵∠A′OB＝108°，∴∠AOA′＝150°﹣∠A′OB＝42°，∴邊緣A點到A′走過的路徑長42×π×22180（2）過點F作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥BE于點M、N，則四邊形MBNF是矩形，∠FNE＝90°，∴BN＝FM＝20cm，∴EN＝BE﹣BN＝5cm，∵向下看的俯角為18°，∴∠EFN＝18°，∴EF=ENsin18°=5答：EF的長度約為16cm．．【點評】本題主要考查了軌跡，解直角三角形的應用﹣仰角俯角，熟練掌握解直角三角形、30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2024?魯山縣三模）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1，是我國古代農(nóng)用工具，桔槔始見于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機械．如圖2所示的是桔槔示意圖，OM是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．當點A位于最高點時，∠AOM＝127°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點A1．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；（2）求此時水桶B上升的高度．【考點】軌跡；解直角三角形的應用．【專題】解直角三角形及其應用；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，代入計算即可；（2）過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF于D，在Rt△OBC中和在Rt△OB1D中，分別利用三角函數(shù)求出BC和B1D的長即可．【解答】解：（1）∵AB＝5.4米，OA：OB＝2：1，∴OB＝1.8米，∴水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，∴l(xiāng)=54.5×π×1.8180（2）過O作EF⊥OM，過B作BC⊥EF于C，過B1作B1D⊥EF于D，∵∠AOM＝127°，∠EOM＝90°，∴∠AOE＝37°，∴∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，∵OB1＝OB＝1.8（米），在Rt△OBC中，BC＝sin∠OCB×OB＝sin37°×OB≈0.6×1.8＝1.08（米），在Rt△OB1D中，B1D＝sin17.5°×OB1≈0.3×1.8＝0.54（米），∴BC+B1D＝1.08+0.54≈1.6（米），∴此時水桶B上升的高度為1.6米．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．（2024?遂平縣一模）電動切割機以其高效、準確和便捷的特點，成為現(xiàn)代工作中不可或缺的工具，圖1是從電動切割機抽象出來的幾何模型，ON為固定臺，切割片⊙A與擺臂OM相切于點P，圖2是切割機完成工作時候的模型圖，此時切割片⊙B與ON相切．已知切割片的半徑為30cm，轉(zhuǎn)軸OA長是60cm，∠MON＝90°（此次切割片在工作時候的磨損忽略不計）．（1）求圖2中點B到OM的距離；（2）求砂輪工作前后，圓心A運動軌跡長度．【考點】軌跡；勾股定理的應用；垂徑定理；切線的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）點B到OM的距離為303cm；（2）圓心A運動軌跡長度為10πcm．【分析】（1）過點B作BQ⊥ON，BC⊥OM．則AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．由勾股定理得OQ的長，根據(jù)∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90°，得出四邊形BCOQ為矩形．則BC＝OQ＝303cm；（2）在Rt△OQB中，sin∠BOQ=BQOB=12，則∠BOQ＝30°，同理可得∠AOP＝∠BOO＝30°．則∠AOB＝90°﹣60°＝30°．所以圓心A【解答】解：（1）過點B作BQ⊥ON，BC⊥OM，垂足分別為Q，C．∴AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．∴由勾股定理得OQ=OB2-BQ2∵∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90°，∴四邊形BCOQ為矩形．∴BC＝OQ＝303cm，∴點B到OM的距離為303cm；（2）在Rt△OQB中，sin∠BOQ=BQ∴∠BOQ＝30°，同理可得∠AOP＝∠BOO＝30°．∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°．∴圓心A運動軌跡AB的長為30π×60180答：圓心A運動軌跡長度為10πcm．【點評】本題考查軌跡、勾股定理的應用、垂徑定理、切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．

考點卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．3．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．4．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結(jié)合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．7．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：28．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=129．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．10．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、11．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．13．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．14．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?5．垂徑定理的應用垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握．16．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．17．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．18．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓