專題12代數(shù)方程全章復(fù)習(xí)（5大考點(diǎn)）強(qiáng)化訓(xùn)練

回圈畫國(guó)

|一次方程R

?。?/p>

二次方程I

高次方程

二元一次方

程組

代IJ

數(shù)二元二次方

方程組

程

列方程解應(yīng)用題

@@@@

一.高次方程（共17小題）

I.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）寫出一個(gè)二元二次方程，使該方程有一個(gè)解是那么這個(gè)方程可

[y-2

以是_x+xy^+y=5_.

Y=1

【分析】根據(jù)題意，只要寫出的方程是二元二次方程，且.■是該方程的解即可.

[y=2

【解答】解：答案不唯一，例如：x+g，+y=5,f+）,=3,等等.

故答案為：x+Ay+y=5（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元二次方程定義及二元二次方程的解，此題屬于開(kāi)放型試題，答案不唯一,

只要符合二元二次方程的定義，且：是該方程的解即可.

b=2

2.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若方程組卜2+丁=1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是k?包

[x-3y+k=0—12—

【分析】消元法，消掉），，轉(zhuǎn)化成一元二次方程有解.

x2+y=1

【解答】解:

x-3y+k=0

/.j=I-x2,3y=x+k,

：.3(\-x2)=x+k,

.?.3f+%+&-3=0,A=l-4x3x(jt-3)=-12A:+37..O,

,37

故答案為：k,M~.

12

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了消元法，一元二次方程解的情況，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成一元二次方程解的問(wèn)題.

3.(2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末)把二次方程/-40，+4)，2=4化成兩個(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程分別

是_x-2v+2=0>x-2y-2=0_.

【分析】由于二次方程Y-4孫+4)，2=4分解因式可以變?yōu)椤?2)，+2)*-2)，-2)=0,由此即可求解.

【解答】解：?.?f—4刈+4)2=4,

/.(x-2.y)2-4=0,

:.(x-2y+2)(x-2y-2)=0,

A-2y+2=0,x-2y—2=0,

故答案為：x-2.y+2=0,x-2y-2=0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是利用因式分解把高次方程變?yōu)橐淮畏匠探鉀Q問(wèn)

題.

4.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)方程組卜:-1)"+3)=°的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

y=x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】把V=x代入原方程，再化簡(jiǎn)成()，+1)(5-1)(>+3)=0,解方程即可求解.

s"“版J(x-D(y+3)=°

【解答】解：<2，

y=x

.-.(y2-l)Cv+3)=0,

二(y+1)()，-1)()，+3)=0，

y+1=0或-1=0或y+3=0,

3=-1或y=1或y=-3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查高次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和解方程.

5.(2023春?虹口區(qū)期末)將二元二次方程/-5孫，+6)，2=0化為兩個(gè)一次方程為_(kāi)X_2)，=0小-3)，=0_.

【分析】二元二次方程丁-5肛+6)，2=0的中間項(xiàng)-5盯=-2歲-3沖，根據(jù)十字相乘法分解即可.

【解答】解：???■?-5到+6y2=0,

:.(x-2y)(x-3y)=0,

/.A-2>'=0?x-3y=0.

故答案為：x-2y=0tx-3y=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，熟練運(yùn)用十字相乘法，是解答本題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生熟練分解因式的能力.

6.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)關(guān)于x、y的方程組一8二°有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，則

且上工0_.

【分析】利用代入消元法可得出收+2尤-2=0,再根據(jù)題意可知該方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合一元

二次方程根的判別式和一元二次方程的定義即得出△=〃-4牝=22-40(-2)〉0且上工0,解出女的解集印

可.

【解答】解：產(chǎn)+2)r=°?,

y-x=3?

由②得：y=x+3③，

將③代入①得：E+2(x+3)-8=0,

整理，得：kx2+2x-2=0,

關(guān)于x、)，的方程組卜一*2)?8二°有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，

y-x=3

.?.收+212=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，

/.A=/?2-4ac=2z-4&x(-2)>0,且Aw(),

k>—且攵w0.

2

故答案為：女>一,且攵。0.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查高次方程，根據(jù)一元二次方程的解得情況求參數(shù)，一元二次方程的定義.掌握一元二次方

程.2+8+C=03H0)的根的判別式為△=從一4億,，且當(dāng)△>()時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)^

=0時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題關(guān)鍵.

7.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)寫出一個(gè)由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，使它的解

是『二：；那么該方程組可以是?"y=1.

5=-35=2-3=6一

【分析】解答本題時(shí)，首先觀察給出的兩組解的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)兩組解中第一組中的x與第二組中的)，互為相反

數(shù)，第一組中的y與第二組中的x互為相反數(shù)，所以可以肯定的是無(wú)論哪組中的x與_)，的差都是1,兩組中

的、與)，的積都是6,所以得到符合題意的一組方程組.

【解答】解：由題可得:

x2-y2=\,x}y[=6,x2^2=6,

x-y=\

xy=6

x-y=\

故答案為:

xy=6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程和一個(gè)二元二次方程，熟練掌握其定義是解此題的關(guān)鍵.

8.（2023春?浦東新區(qū)期末）方程VT萬(wàn)=>/7=I的解是_x=l_.

【分析】利用方程兩邊平方的辦法把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為二次方程，求解并檢驗(yàn)即可.

【解答】解：方程的兩邊平方，得x-1=9—1,

整理，得Y-AO,

解這個(gè)方程，得為=0,毛=1.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是原方程的解.

故答案為：x=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理方程，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解決本題的關(guān)鍵.

9.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）方程4f=~!"的解是士，.

4?2一

【分析】先把系數(shù)化為I,再開(kāi)4次方，求出x的值.

【解答】解：4/=1,

故答案為：士工.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程，解題的關(guān)鍵掌握開(kāi)方運(yùn)算.

x2+9=4

10.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）解方程組

6x2+xy-y2=0

【分析】由②得：（3x-y）（2x+y）=0,得出3工-），=0或2x+y=0,解得：y=3x或y=-2x,分別代入①,

解一元二次方程即可求解.

x2+y2=4①

【解答】解:

6x2+xy-y2=0@

由②得：(3x—y)(2x+y)=0,

3x-y=0或2x+y=0,

解得：y=3x或y=—2x,

當(dāng)y=-2x時(shí)，代入①得：X2+(-2A)2=4,

解得：x=W275

5

2x/52x/5

5或，

4x/54&

),2=-

當(dāng)y=3x時(shí),代入①得：f+(3x)2=4,

解得：x.=—,x=-—,

545

綜上所述，方程組的解為:

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查高次方程，解高次方程的根本思想是化歸思想，解題的關(guān)鍵是：次數(shù)較高可通過(guò)因式

分解再代入等方法降尋求解即可.

11.（2023春?黃浦區(qū)期末）解方程：［:二2：=6

4x~+4.0+=4

【分析】首先把原來(lái)的方程粗化成二元一次方程組，然后應(yīng)用加減法，求出方程組的解是多少即可.

y-2x=6

【解答】解:

4x2+4.晝+y2=4

y-2%=6y-2.r=6

cC或《

2x+y=2lx+y=-2

x=-1?x=-2

解得或，

y=4y=2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了高次方程的求解方法，要熟練掌握，注意解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二

次方程或一次方程.

x2-3xy+2y2=0

12.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末〕解方程組：

x+2y-!2=O

【分析】由①得出"—），）*—2），）=0,求出x—），=0或x—2y=0,把這兩個(gè)方程與②組成方程組為

x+2)，=12x+2y=\2

,再求出方程組的解即可.

x-y=0x-2y=0

x2-3x),+2y*=00

【解答】解:

x+2y-\2=O?

由①，得(x-y)(x-2y)=0,

即工一y=0或x-2y=0,

把這兩個(gè)方程與②組成方程組得：IE）：%1+y=：2

x-y=0lx-2y=0

X=4x=6

解得：2

y=4)2=3

X=4毛=6

故方程組的解為：

y=49=3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程組和解二元一次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的

關(guān)鍵.

3（2期春?楊浦區(qū)期中）解方程組：｛：Xr-，=0

【分析】由②得出x=5-2），④，由①得出：（x—），尸=1③，把④代入③得出關(guān)于），的方程，求出y的值，把

），的值代入④即可求出

【解答】解：產(chǎn)+戶2沖-1=。①

x+2y=5②

由①得：(x—y)~=l③,

由②得：x=5-2y④,

把④代入③得：(5-2y-y)2=1,

A

解得：）1=2,y2=—?

把K=2代入④得：.I：=1;

把內(nèi)=±代入④得：±=[；

33

7

X]=12=~

即方程組的解為：\[.3

b『24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程組和解一元一次方程，關(guān)鍵是能把力程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程.

14.(2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末)解方程組：:一盯一6：=0.

廠+2xy+y=4

【分析】由①得出(x-3y)(x+2y)=O,求出x-3y=0或x+2y=0③,由②得出(x+?=4,求出x+y=±2

④，由③和④組成四個(gè)二元一次方程組，再求出方程組的解即

【解答】解：卜二孫一6)：=。?

x*+2xy+y'=4②

由①,得(x-3y)(x+2y)=O,

x-3y=0或x+2y=0③，

由②，得(x+y)2=4,

開(kāi)方得：x+y=±2④，

由③和④組成四個(gè)二元一次方程組：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解島?次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵.

15.(2023春?楊浦區(qū)期末)解方程組：卜：7?+6y

x~+y~=40

【分析】利用I大I式分解的辦法把方程組中的第一個(gè)方程化為兩個(gè)一次方程,與方程組中的第二個(gè)方程組成新

的方程組，求解即可.

【解答】解：卜「干+63=00,

|/+),2=40②

由①，得(x-2y)(x-3y)=0.

「.x-2y=0或x-3y=0.

所以原方程組可變形為(V2T，或者\(yùn)x~W°仙..

解這兩個(gè)方程組,得卜二，巴"T’,

[y=2加卜=-2a區(qū)=2[”=-2

原方程組的解為：卜=4,,卜=”，尸：，

兇=2V2(y2=-2V21>3=2⑶=-2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元二次方程組，把原方程轉(zhuǎn)化為由一個(gè)一次方程和一個(gè)二次方程組成的方程組是

解決本題的關(guān)鍵.

16.（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）解方程組：卜+6y2=°

X-+y~+x-lly-2=0

【分析】利用因式分解的辦法把方程組中的①化為兩個(gè)一次方程，再與方程組中的第二個(gè)方程組成新的方程

組，利用代入法和一元二次方程的解法求解即可.

x2-5xy+6y2=0?

【解答】解：

x2+y2+x-\\y-2=0?，

由①，得(x-2y)(x-3y)=0,

=。或x-3y=0.

x-3y=()

??.原方程組可化為或者,

x2+y2+x-lIj-2=0"

2

解方程組］：「：；、-（產(chǎn)辦=一5x,=4

y=一

5

3

X=3

解方程組或者產(chǎn)54

>4=1

%二一5

93

%,=4x=3

???原方程組的解為：54

1%=2>4=1

）‘3=一5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元二次方程組，掌握方程組的解法及一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵.

17.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）實(shí)數(shù)。使關(guān)于X、的方程組':…有實(shí)數(shù)解（中

(1)求證|y\..2；

（2）求"+//的最小值.

【分析】（1）由町，一V=1變形得|）“=|'+刈=,利用完全平方式的非負(fù)性質(zhì)即可得

X

到答案;

（2）當(dāng)|a|,,4時(shí)，有土年三,，一2,或一"+'?一劭2,利用不等式的性質(zhì)分類討論得出/+〃的

最信即可得到答案.

【解答】解：（1）VAy-x2=l,

/.xy=\+x2,

?..q

.*.)'=-+X，

X

.?.當(dāng)x>0時(shí)，(Vx-J-)2..O,

當(dāng)且僅當(dāng)x=L,即x=I時(shí)等式成立；

X

二當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,

:.y=-+x=-[(-x)+(--)1,-2(-X)x(--)=-2

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-L，即工=-1時(shí)等式成立；

X

(2)將V=.一]代入方程②，得M)，+0+6)=0,所以>，+町,+/,=(),

因?yàn)轭}中方程組有實(shí)數(shù)解，所以方程V+ay+〃=。在%-2,或)，..2的范圍內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根,

⑴當(dāng)匕|,,4時(shí)，有土耳三一2,或士字三色.2,

/.7?2-4Z?..4-67,或-4b..4+a,

即2a.。十4,或2“，一(》+4),

若6+4..0,即8...一4時(shí)，12al./+4,由此得/...幺+%+4,

4

:.兩邊同時(shí)加上b~得：ci"+b'..+2b+4+3，

4

.??當(dāng)/+從原從+2〃+4=3(〃+±)2+33,

44555

當(dāng)人=-9時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)4=土日，

55

若方+4<0,即。<T時(shí)，對(duì)于滿足2a.Z?+4,或2氏一(〃+4)的任意實(shí)數(shù)“，均有

(//)當(dāng)|a|>4時(shí)，a2+b2,

綜上可知，從的最小值為史.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法，完全平方式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解決此題的關(guān)

鍵.

二.無(wú)理方程（共15小題）

18.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的方程是（）

A.2/+1=0B.丁+1=0C.VT7l+3=0D.—=—

x-\x-\

【分析】利用高次方程、無(wú)理方程及分式方程的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、整理得：/=-1,故次方程無(wú)解；

2

B、整理得f=7,解得：x=-l,符合題意；

。、整理得VT萬(wàn)=-3,無(wú)解，不符合題意；

。、去分母后得］=1,代入最簡(jiǎn)公分母x-1=0,故次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了高次方程、無(wú)理方程及分式方程的定義的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義，難

度不大.

19.（2023春?楊浦區(qū)期末）如果關(guān)于x的方程五用=a-l無(wú)實(shí)數(shù)解，那么〃的取值范圍是_avl_.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)可知方程無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)4-1V0,求解即可得出〃的值.

【解答】解：?.?關(guān)于％的方程=1無(wú)實(shí)數(shù)解，

/-G—1V0,

：.G<\.

故答案為：a<\.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了無(wú)理方程的解法，及算術(shù)平方根的性質(zhì)，能夠根據(jù)方程無(wú)解得到關(guān)于a的不等式

是解答此題的關(guān)鍵.

20.（2023春?楊浦區(qū)期中）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）

1

(1)關(guān)于x的方程-1=0既是分式方程，又是無(wú)理方程:

忑

（2）關(guān)于x的方程/=0是二項(xiàng)方程；

（3）關(guān)于x、y的方程/一3孫-）3=0是二元二次方程:

（4）關(guān)于x的方程V—3沖+1=0是無(wú)理方程.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】根據(jù)分式方程的定義和無(wú)理方程的定義對(duì)（I）進(jìn)行判斷；根據(jù)一元二次方程、二元二次方程的定

義對(duì)（2）（3）（4）進(jìn)行判斷.

【解答】解:關(guān)于x的方程-1=0不是分式方程，是無(wú)理方程，所以（I）錯(cuò)誤;

蘇

關(guān)干K的方程是二次方程，所以（2）錯(cuò)誤;

關(guān)于X、y的方程.12-3冷，-），2=0是二元二次方程，所以（3）正確：

關(guān)于x的方程V-3何+1=0是二元二次方程，所以（4）錯(cuò)誤.

故選：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理方程：方程中含有根式，且開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方

程.也考查了高次方程和分式方程的定義.

21.（2023春?靜安區(qū)期末）下列方程中，x=l是它的根的方程為（）

211

A.^-^=0B.2?-6=0C.4+1=（）D.-=——

x-1x+1x+1

【分析】選項(xiàng)A和選項(xiàng)。把分式方程化成整式方程，求出方程能解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；選項(xiàng)8求出父=3,

再求出方程的解即可；選項(xiàng)。求巴4=7,再求出方程無(wú)解即可.

【解答】解：A.二^=0,

x-1

^-1=0,

解得：x=±l?

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，x=T是方程的解，即x=l不是方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.2_?—6=0,

2A-3=6,

x3=3,

解得：x=盯，即x=l不是方程的解，故本選項(xiàng)不符合題意；

c.4+1=0,

y/x=—1,

不論X為何值，X的算術(shù)平方根不能為負(fù)數(shù)，

所以此方程無(wú)解，即*=1不是方程的解，故木選項(xiàng)不符合題意；

D1—1

u?-------------，

X+1X+1

方程兩邊都乘X+1,得V=1,

解得；A=±l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l不是方程的解，大=1是方程的解，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的解，解無(wú)理方程和解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，能求出方程的解是解此題的關(guān)鍵.

22.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程/〃+病與=4有實(shí)數(shù)解，那么〃?的取值范圍是_俏,4

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性，即可求解.

【解答】解：:m+\Jx-2=4,

4X-2=4—77?，

:.%4,

故答案為：〃4,4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式值的特點(diǎn).

27/0

23.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）（1）方程且-=1的解是x=-；

8-3―

（2）方程（X-1）4—16=0的解是；

（3）方程=0的解是；

（4）方程組的解是

?=2

【分析】（1）先求出V,然后再開(kāi)立方計(jì)算即可；

（2）先整體求出（x-l）2,再整體求出彳-1,進(jìn)而求得x即可：

（3）先根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性列式求解即可；

（4）先用代入法，然后解一元二次方程即可解答.

【解答】解：（1）-=1,

8

38

x=一，

27

2

x=—，

3

故答案為：x=2；

3

（2）（A-1）4-16=0,

d）2=4,

x-\=±2，

%=3,x,=-1?

故答案為：A）=3,A;=-1；

（3）vVT+X->/2X-I=O,

.,.l+x=O或2x-l=0且2x-l..O,l+x.O,

x=-1或x=，且x..L

22

1

「?X=一，

2

故答案為：x=-：

2

（4）「=3?

xy=2②

由①可得x=3-y③，

將③代入孫=2可得：y2-3y+2=0,

解得y=l或），=2,

當(dāng)y=l時(shí)，x=2；當(dāng)y=2時(shí)，工=1；

Y-1x=2

所以該方程組的解為一）或一，.

y=2[y=1

故答案為：或[弋.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根、解一元二次方程、二次根式有意義的條件，靈活運(yùn)

用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵.

24.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）已知方程J2r+x=，有一根為了=3,那么『=3.

【分析】將x=3代入＞/5萬(wàn)工=，求得工的值即可.

【解答】解：將x=3代入751二=，可得：而,

所以，-2-3=0,解得，=3或，=一1,

由j2/+x=/..O,則/=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理方程的根，使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的根.

25.（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如果關(guān)于x的無(wú)理方程有實(shí)數(shù)根x=l,那么/〃的值為_(kāi)T_.

【分析】把方程兩邊平方去根號(hào)得一元二次方程，然后將x=l代入方程即可求出左值.

【解答】解：兩邊同時(shí)平方可得：2x+m=x2

實(shí)數(shù)根1是方程的解，x=l代入方程，

可解得〃?=—1；

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理方程的解法，在解無(wú)理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了

平方法，屬于基礎(chǔ)題.

26.（2023春?楊浦區(qū)期中）解方程：X-VX^T-3=（）.

【分析】先移項(xiàng)得到X-3=Q,再把方程兩邊平方，整理得到丁-7工+10=0,解得％=2,9=5,然

后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解.

【解答】解：x-x/x-1-3=0,

X

-3)2=1,

整理得f-7x+10=0,

解得％=2,占=5，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，方程左邊=2-\/2-1-3=-2=0,

所以方程左邊工方程右邊，x=2不是原方程的解；

當(dāng)工=5時(shí)，方程左邊=5->/^?-3=-2=0,

所以方程左邊二方程右邊，x=5是原方程的解；

所以原方程的解為x=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理方程：解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解.解無(wú)理方程，往

往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根.

27.(2023春?楊浦區(qū)期末)解方程：V2x-4-Vx+5=l

【分析】無(wú)理方程左右兩邊平方，整理后再平方求出解，檢驗(yàn)即可.

【解答】解：兩邊平方得：2x-4+x+5-2，(2%-4)*+5)=1,即3x=2j(2x—4)(x+5),

再兩邊平方得：9x2=4(2x2+6x-20),即d—24x+80=0,

解得：=4>x2=20?

經(jīng)檢驗(yàn)x=4和x=20都是無(wú)理方程的解.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了無(wú)理方程，無(wú)理方程求出解注意要檢驗(yàn).

28.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)解方程=

【分析】先對(duì)式子兩邊進(jìn)行平方，然后把含有根號(hào)的式子移到方程的一邊，再進(jìn)行平方即可化成一元二次方

程，解方程求得x的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解：方程兩邊平方，得：x+5+2x+3-2?r+5)(2x+3)=l,

即3.v+7=2j(x+5)(2x+3),

兩邊平方，得：+42x+49=8/+52x+60,

化簡(jiǎn)得：x2-IOx-ll=O,

即(x+ll)(x-l)=0,

解得：x=ll或一1.

經(jīng)檢驗(yàn)：”=-1是方程的根，-11是增根.

則原方程的根是：x=-l.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理方程的解法，在解無(wú)理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法.

29.(2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末)解方程：4TT-l=x.

【分析】先把方程變形為V7TT=xr,方程的兩邊平方得到整式方程，解整式方程并驗(yàn)根即可.

【解答】解：

:.vx+1=x+1.

方程的兩邊平方，得X+1=(X+1)2,

(x+1)2-(x+l)=O.

.\(x+l)(x+l-l)=O.

x(x+1)=0.

解得：x1=0?=—1.

經(jīng)檢驗(yàn)，0、-1都是原方程的解.

.??原方程的解為：&=()，9=一1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，掌握解無(wú)理方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵.

30.(2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末)下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是()

A.x/x-1=-XB.Jx-l+Jx+2=0

C.D.X/7+2=X

x2-lx2-1

【分析】先把方程兩邊平方得出x-l=x\整理后根據(jù)根的判別式即可判斷選項(xiàng)A;移項(xiàng)后兩邊平方，即可

判斷選項(xiàng)4；方程兩邊都乘V—1求出x=i,再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可判斷選項(xiàng)C,方程兩邊平方得出x+2=f,

求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可判斷選項(xiàng)O.

［解答］解：A.x/x-1=-x,

兩邊平方得：x-\=(-x)2,

整理得：x2-x+l=0,

△=(-l)2-4xlxl=-3<0,

所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.+&+2=0,

Jx-l=-x/x+2,

兩邊平方得：x-l=x+2,

即-1=2,

即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故木選項(xiàng)不符合題意；

方程兩邊都乘丁-1,得x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，

即分式方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意;

D.\［x+2=x,

兩邊平方得：x+2=f,

即工2-x-2=0,

解得：x=2或T,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l不是原方程的解，x=2是原方程的解，

即方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本撅考杳了解無(wú)理方程和解分式方程，能杷分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程和能杷無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方

程是解此題的關(guān)鍵.

31.（2023春?靜安區(qū)期末）下列方程中，屬于無(wú)理方程的是（）

A./一拒=。B.x/2x=lC.—=1D.>/2x=0

x

【分析】根據(jù)方程的相關(guān)知識(shí)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：4屬于一元二次方程，所以不是無(wú)理方程，不符合題意；

〃屬于無(wú)理方程，符合題意；

C屬于分式方程，所以不是無(wú)理方程，不符合題意；

。屬于一元一次方程，所以不是無(wú)理方程，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義、無(wú)理方程的知識(shí)、分式方程的定義、一元一次方程的定義.

32.（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的方程4^7-a+1=0有實(shí)數(shù)根，則〃的取值范圍是

【分析】利用得到關(guān)于〃的不等式，然后解不等式即可.

【解答】解：:\/4-x-a+1=0,

V4-X=4-1,

,/方程J4-X-a+1=0有實(shí)數(shù)根，

/.?！?..0,

解得4..1,

即。的范圍為4..1.

故答案為：a.A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程：解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注

意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.用乘方法來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根.

三.分式方程的增根（共4小題）

33.（2023春?黃浦區(qū)期中）如果x=3是方程上=2-一絲的增根，那么1的值為3.

x-33-x

【分析】先把方程去分母得到工=2*-3）+&,由于x=3是方程」一=2-一J的增根，則把x=3代入

x—33—x

x=2(x-3)+2,然后解關(guān)于4的方程即可得到k的值.

【解答】解：方程兩邊同乘以l-3得，x=2(x-3)+A,

門=3是方程上=2-一絲的增根，

x-33—x

.?.3=2(3-3)+我,

.?.4=3.

故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根：把分式方程化為整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程

左右兩邊不成立(或分母為0),那么這個(gè)未知數(shù)的值叫分式方程的增根.

34.(2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)已知關(guān)于x的方程/—=一匕有增根，那么&=1.

X2-4x-2-4~

【分析】先去分母得1=女0+2),再把增根x=±2代入即可求得左值.

去分母得：1=代X+2),

由分式方程有增根，得到f-4=0,即工=±2,

把工=2代入整式方程1=小+2),

解得太=4.

4

把工=一2代入整式方程1=k(x+2),

無(wú)解.

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的解法及增根問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的解法.

35.(2023秋?普陀區(qū)期末)如果方程上+，_=4有增根，那么增根是-2.

x+22+x~~

【分析】將原方程等號(hào)左邊通分，若它有增根，其分母為零，求出此時(shí)x的值即可.

【解答】解：?.■原方程可整理為*=4,它有增根，

A+2

.*.A+2=0,

A=-2?

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的增根，理解并掌握增根的定義是本題的關(guān)鍵.

36.(2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中)當(dāng)帆=-3或5,方程」+工=士絲會(huì)產(chǎn)生增根.

-xx-\x(x-\)

【分析】用含，〃的代數(shù)式表示X的值，通過(guò)x=O或x=l時(shí)為增根求，〃的值.

【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以其X-1）得，

3（A-l）+6.v=x+/zz，

?.?方程有增根，

二.x=0或x=l,

把工=0代入3（x-1）+6x=X+777,

解得〃?=-3?

把工=1代入3（x1）46x=xvm>

解得in=5,

故答案為：-3或5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程增根問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將原式化簡(jiǎn)，分別代入x為增根的值.

四.由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程（共3小題）

37.（2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）某鐵路隧道嚴(yán)重破壞.為搶修其中一段120米的鐵路，施工隊(duì)每天比原計(jì)

劃多修5米，結(jié)果提前4天開(kāi)通列車.原計(jì)劃每天修多少米？設(shè)原計(jì)劃每天修x米，所列方程正確的是

（）

x+5xxx+5

c120120/n120120

C.---------=4D.---------=44

x-5xxx-5

【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根據(jù)時(shí)間來(lái)列等量關(guān)系的.關(guān)鍵描述語(yǔ)是：''提前

4天開(kāi)通了列車”；等量關(guān)系為：原來(lái)所用的時(shí)間-實(shí)際所用的時(shí)間=4.

【解答】解：原來(lái)所用的時(shí)間為：—,實(shí)際所用的時(shí)間為：—.所列方程為：--—=4.

xx+5xx+5

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程.題中一般有三個(gè)量，已知一個(gè)量，求一個(gè)量，一定是根據(jù)

另?個(gè)量來(lái)列等量關(guān)系的.找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

38.（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）甲乙兩隊(duì)要限期完成某工程，甲隊(duì)獨(dú)做提前2天完成，乙隊(duì)獨(dú)做要延期5

天，現(xiàn)在兩隊(duì)合作3天后余下的由乙隊(duì)獨(dú)做，正好如期完工，設(shè)工程期限為人?天，那么可列方程為（）

.3x.3x仆3x.3x

A.----+----=1Bn.----=----C.----+----=1D.-----+----=x

x+2x-5x-1x-5x-2x+5x-2x+5

【分析】設(shè)工作總量為1,工程期限為x天，可得甲、乙兩工程隊(duì)的工作效率，然后根據(jù)等量關(guān)系“兩隊(duì)合

作3天后余下的由乙隊(duì)獨(dú)做，正好如期完工”即可列出方程.

【解答】解：設(shè)工作總量為1，工程期限為x天，那么甲工程隊(duì)的工作效率為‘一，乙工程隊(duì)的工作效率為

x-2

1

x+5

根據(jù)題意，所歹I」方程為3（，一+，一）+，一*-3）=1,

x-2A+5x+5

化簡(jiǎn)得甘我”

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系是解答

本題的關(guān)鍵.

39.（2023春?寶山區(qū)期木）上海市16個(gè)區(qū)共約1326條健身步道和綠道，甲、乙兩人沿著總K度為9T米

的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分鐘走完全程.如果設(shè)乙的速度為尸千米/時(shí)，

那么下列方程中正確的是（）

9999

AA.-------=1I5CB.—---=0.25

x1.5x\.5xx

99

C.—---=15

\.5xxx1.5x

【分析】由甲、乙速度之間的關(guān)系可得出甲的速度為1.5x切"6,利用時(shí)間:路程+速度，結(jié)合甲比乙提前

15分鐘走完全程，即可得出關(guān)于.r的分式方程，此題得解.

【解答】解：:甲的速度是乙的L5倍，且乙的速度為xkm/h,

二甲的速度為\.5xkm/h.

依題意得：--一—=0.25.

x1.5x

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

五.分式方程的應(yīng)用（共12小題）

40.（2023秋?普陀區(qū)期末）金秋時(shí)節(jié)，七年級(jí)的同學(xué)組織去公園秋游，從景區(qū)A出發(fā)到相距15千米的景區(qū)

B,公園有腳踏車和電瓶車兩種交通工具可供租用，一部分學(xué)生騎腳踏車從A景區(qū)先出發(fā)，過(guò)了半小時(shí)后，

其余學(xué)生乘電瓶車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)4景區(qū).假設(shè)他們?nèi)潭急３謩蛩偾靶?，且已知乘電瓶車學(xué)生的

速度是騎腳踏車的2倍，請(qǐng)問(wèn)騎腳踏車學(xué)生的速度為每小時(shí)多少千米？

【分析】設(shè)騎腳踏車學(xué)生的速度為每小時(shí)千米，則乘電瓶車學(xué)生的速度為每小時(shí)2x千米，利用時(shí)間二路

程+速度，結(jié)合乘電瓶車學(xué)生比騎腳踏車學(xué)生少用半小時(shí)，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢瞼后，即可

得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)騎腳踏車學(xué)生的速度為每小時(shí)x千米，則乘電瓶車學(xué)生的速度為每小時(shí)2x千米，

根據(jù)題意得：

x2,v2

解答：x=15>

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是所列方程的解，且符合題意.

答：騎腳踏車學(xué)生的速度為每小時(shí)15千米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

41.(2023春?普陀區(qū)期末)A、8兩地相距360千米，一輛汽車準(zhǔn)備從A地開(kāi)往8地，但由于任務(wù)緊急,

現(xiàn)在實(shí)際行駛的速度每小時(shí)比原計(jì)劃快20千米，所以提前3小時(shí)到達(dá)3地.求汽車原計(jì)劃的速度.

【分析】設(shè)汽車原計(jì)劃的速度為X千米/時(shí)，則汽車實(shí)際行駛的速度為3+20)千米/時(shí)，利用時(shí)間=路程+

速度，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前3