第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一

空間向量的夾角由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個(gè)空間向量的夾角就可以像平面向量那樣來(lái)定義.ab.OAB

π2

0°90°平面向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積

知識(shí)點(diǎn)二

空間向量的數(shù)量積2.零向量與任意向量的數(shù)量積為0：1.向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)；“·”不可省略3.求模：4.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：如:夾角數(shù)量積范圍：角度：垂直：長(zhǎng)度：1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）兩向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)()√

×

×

√

B

例1已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b等于(

)A．1 B．2C．3 D．4A解析：∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.訓(xùn)練1若a，b，c為空間兩兩夾角都是60°的三個(gè)單位向量，

則|a－b＋2c|＝________.變式訓(xùn)練解析

|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2

＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c

＝5.∴|a－b＋2c|＝

.練一練1

C

練一練2

練一練－2

B歸納總結(jié)利用向量的數(shù)量積，求異面直線所成的角的方法：角轉(zhuǎn)化取向量求余弦值定結(jié)果異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求分弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大?。脭?shù)量積求向量夾角的余弦值或夾角的大小；異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量；當(dāng)堂檢測(cè)

B

D'C'B'DABCA'歸納總結(jié)利用空間向量求線段的長(zhǎng)度或兩點(diǎn)的距離：(2)用已知模和夾角的向量表示該向量；(1)結(jié)合圖形將所求線段用向量表示；(3)利用，通過(guò)計(jì)算求出，即得所求線段的長(zhǎng)度或兩點(diǎn)間的距離．例2：如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求證：PA⊥BD.PDCBA證明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2，所以DA⊥BD，則

.由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，則

.又

，所以

.即PA⊥BD.典例分析利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題：歸納總結(jié)(3)利用數(shù)量積運(yùn)算完成判定．(2)用已知向量表示未知向量．(1)將所證明垂直的線段設(shè)為向量．(法1)(法2)3.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°.(1)求CA1的長(zhǎng)；(2)求證:CA1⊥B1D1.3.如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°.(2)求證:CA1⊥B1D1.（1）向量a在向量b上的投影先將向量a與向量b平移到同一平面α內(nèi)，如圖①αbaac①知識(shí)點(diǎn)三

投影向量向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量．（2）向量a在直線l上的投影αaacl如圖,向量c稱(chēng)為向量a在直線l上的投影向量．如圖，分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，βaaABA′a′B′（3）向量