【北京卷中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬預(yù)測(cè)】

專題2幾何綜合壓軸大題模擬預(yù)測(cè)題強(qiáng)化訓(xùn)練

（尖子生難題突破）

一、解答題

1.（2Q22?北京西城?一模）已知正方形A4C。，將線段朋繞點(diǎn)6旋轉(zhuǎn)。

（00<a<90°）,得到線段BE,連接E4,EC.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，若BE平分NABC,AB=4,則

/AEC=°,四邊形48CE的面積為；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡在正方形A8CZ）的外部時(shí)，

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求NAEC的度數(shù)；

②作NE3c的平分線/3F交EC于點(diǎn)G,交切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)片連接CR用等式表示

線段AE,FB,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

2.（2022?北京市第七中學(xué)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系X。），中的圖形M和點(diǎn)給出如

下定義：將圖形“繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的

“垂直圖形”.例如，圖1中點(diǎn)。為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)尸的“垂直圖形”.

⑴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形''為點(diǎn)B.

①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,1）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

⑵E（—3,3）,F（-2,3）,G（a0）.線段b關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為￡9,點(diǎn)七的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡,點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸.

①求點(diǎn)￡的坐標(biāo)（用含，的式子表示）；

②若。。的半徑為2,EU上任意一點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿足條件的

的長(zhǎng)度的最大值.

3.（2022?北京?二模）如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC

上一動(dòng)點(diǎn)，將線段4E繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段EG,連接AG,BG.

BB

D（E）°DEC

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí).

①依題意補(bǔ)全圖形；

②判斷A8與反;的位置關(guān)系；

（2）如圖2,取EG的中點(diǎn)尸，寫(xiě)出直線與人B夾角的度數(shù)以及尸。與瓦?的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

4.（2022?北京市第一六一中學(xué)分校一模）已知點(diǎn)P為線段A8上一點(diǎn)，將線段AP繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AC；再將線段8P繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段

BD；連接A。，取4。中點(diǎn)連接BM,CM.

圖1圖2

⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫(xiě)出線段BM與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并

證明.

5.（2022?北京海淀?二模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，對(duì)于線段直線/和圖形W

給出如下定義：線段MN關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為M7V，（M，，M分別是M,N的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)）.若歷N與MN均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段MN關(guān)于直線/

的“對(duì)稱封閉圖形

V1

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-1。i23456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

（1）如圖，點(diǎn)尸（-1,0）.

①已知圖形W”半徑為1的。O,%：以線段PO為邊的等邊三角形，卬3：以。為

中心且邊長(zhǎng)為2的正方形，在W/,W2,M中，線段P。關(guān)于），軸的“對(duì)稱封閉圖形”

是________

②以。為中心的正方形A/3c。的邊長(zhǎng)為4,各邊與坐標(biāo)軸平行.若正方形44co是線

段P0關(guān)于直線y=x+/?的“對(duì)稱封閉圖形”，求〃的取值范圍；

⑵線段MN在由第四象限、原點(diǎn)、x軸正半軸以及），粕負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的

長(zhǎng)度為2.若存在點(diǎn)。（〃-2近，a+20）,使得對(duì)于任意過(guò)點(diǎn)。的直線/,有線段

MN,滿足半徑為「的G0是該線段關(guān)于/的“對(duì)稱封閉圖形”，直接寫(xiě)出「的取值范

圍.

6.（2022?北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)8是射線4尸上一動(dòng)點(diǎn)，以A3為邊作

△ABC,Z^C4=90°,N4=60。，將射線AC繞點(diǎn)"順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到射線

（1）如圖I,若BE=BC,求CE的長(zhǎng)（用含小的式子表示）：

（2）如圖2,點(diǎn)尸在線段48上，連接EF.添加一個(gè)條件：AF.BC、BE滿足

的等量關(guān)系為，使得痔=。產(chǎn)成立，補(bǔ)全圖形并證明.

7.（2022?北京西城?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于線段A8與直線

l：y=l＜x+b,給出如下定義：若線段人8關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為40（4,8'分別

為點(diǎn)A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段八b為線段48的“伏、句關(guān)聯(lián)線段”.

已知點(diǎn)4（1,1）,80,-1）.

⑴線段A0為線段A8的邛,可關(guān)聯(lián)線段”，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,0）,則的長(zhǎng)為

，b的值為;

⑵線段A0為線段48的“伏⑼關(guān)聯(lián)線段“，直線《經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（0,2）,若點(diǎn)A，，？都在直

線4上，連接OA,求/COA的度數(shù)；

⑶點(diǎn)P（-3,0）,Q（-3,3）,線段A?為線段AB的“伏㈤關(guān)聯(lián)線段”，且當(dāng)人取某個(gè)值

時(shí)，一定存在k使得線段4"與線段PQ有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出〃的取值范圍.

8.（2022?北京大興?二模）已知：如圖，AC=AB,NCAB=NCDB=a,線段。。與A8

相交干點(diǎn)O.以點(diǎn)A為中心,將射線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0＜。＜180。）交線段C。

⑴若a=60。，求證：CD=AD+BD-

⑵請(qǐng)你直接用等式表示出線段CD,AD,8。之間的數(shù)量關(guān)系（用含。的式子表示）.

9.（2022?北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xO.v中，對(duì)于圖形Q和NP,

給出如下定義：若圖形。上的所有的點(diǎn)都在NP的內(nèi)部或NP的邊上，則/。的最小值

稱為點(diǎn)P對(duì)圖形Q的廣度.如下圖，NAOB的度數(shù)為點(diǎn)O對(duì)線段的廣度.

⑴已知點(diǎn)N（2,0）,在點(diǎn)根（。［百），%（2,3）中，對(duì)線段ON的廣度為

60。的點(diǎn)是______；

（2）已知：點(diǎn)A（-2,2）,5（-2,-2）,C（2,-2）,。（2,2）,￡（0,4）.

①直接寫(xiě)出點(diǎn)E對(duì)四邊形ABCD的廣度為。；

②已知直線y=x上存在點(diǎn)F,使得點(diǎn)尸對(duì)四邊形ABC。的廣度為45。，求匕的取值

范圍.

10.（2022?北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）己知：如圖所示△48C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得

到△4）石（其中點(diǎn)〃與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)）.

⑴如圖1,點(diǎn)3關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為方,求線段8E與C。的數(shù)量關(guān)系;

（2）當(dāng)。=32。時(shí)，射線C3與射線￡7）交于點(diǎn)尸，補(bǔ)全圖2并求

11.（2022?北京市第五亡學(xué)分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

40°,作射線CM,NACM=80。.。在射線CM上，連接A。，石是A。的中點(diǎn)，。關(guān)于

點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接DF.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

⑵判斷人8與?！ǖ臄?shù)量關(guān)系并證明；

⑶平面內(nèi)一點(diǎn)G,使得。G=OC,FG=FB,求NCQG的值.

12.（2022?北京朝陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，心△ABC和即△BOE重疊放置在一起，

NABC=NO8E=90。，且A8=28C,BD=2BE.

（1）觀察猜想：圖①中線段A。與CE的數(shù)量關(guān)系是一，位置關(guān)系是_；

（2）探究證明：把石繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接AO,CE,判斷線段

與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如I何，并說(shuō)明理由；

⑶拓展延伸：若BC=后,BE=\,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=/4。8時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段4。的長(zhǎng)

度.

13.（2022?北京?北理工附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形A6c。中，E、尸、G分別為邊

AB.AD.8c的中點(diǎn)，連接EF、FG、EG

⑴求證：△歐才為直角三角形

(2)連接ED,當(dāng)AQ=?,tanN￡^G=g時(shí)，求EO的長(zhǎng).

14.（2022?北京昌平?模擬預(yù)測(cè)）兩張寬度均為4的矩形紙片按如圖所示方式放置

(I)如圖①，求證：四邊形ABCD是菱形.

(2)如圖②，點(diǎn)尸在BC上，PFA.ADTF,若S儂?修48co=16后，PB=2,

①求/孫。的度數(shù)；

②求。月的長(zhǎng).

15.(2022?北京H-一學(xué)校一分校一模)在AABC中，Z4BC=90°,BA=BC,點(diǎn)。為

線段AC上一點(diǎn)，將線段8。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段8E,連接?！?

⑴①請(qǐng)補(bǔ)全圖形；

②寫(xiě)出CO,AD,后。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)取八。中點(diǎn)F,連接B/、CE,猜想CE與8戶的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明.

16.(2022?北京朝陽(yáng)?二模)在正方形A8C。中，E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N

在。C匕且MNJL0E,垂足為點(diǎn)F.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，求證：MN=DE；

(2)將圖1中的MN向上平移，使得?為。E的中點(diǎn)，此時(shí)MN與AC相交于點(diǎn)”，

①依題意補(bǔ)全圖2；

②川等式表示線段M方、HF,硒之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.(2022?北京北京?二模)在△A8C中，ZACB=90°,C4=CB,。是/1B的中點(diǎn)，E為

邊AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,。重合)，連接。石，將線段繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到線段過(guò)點(diǎn)尸作FH_LOE于點(diǎn)從交射線8c于點(diǎn)G.

（1）如圖I,當(dāng)A￡<￡C時(shí)，比較NAZ陀與NBR7的大??；用等式表示線段8G與AE的

數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵如圖2,當(dāng)反7時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段OE,CG,AC之間的數(shù)量

關(guān)系.

18.（2022?北京順義?二模）如圖，在△4BC中，NAC8=90。，AC=BC,P,。為射

線A8上兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)P的左側(cè)），且PD=BC,連接CP.以P為中心，將線段

P。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相（0<〃<180）得線段PE.

⑴如圖I,當(dāng)四邊形ACPE是平行四邊形時(shí)，畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出〃的值；

⑵當(dāng)〃=135。時(shí)，M為線段4E的中點(diǎn)，連接

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)最關(guān)系，并證明.

19.（2022?北京昌平?二模）如圖，已知N例ON=a（0?！炊?0。），OP是NMQV的平

分線，點(diǎn)A是射線OM上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于OP對(duì)稱點(diǎn)3在射線QN上，連接AB交OP于

點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)4作ON的垂線，分別交OP,ON于點(diǎn)D,E,作NO4E的平分線AQ,

射線AQ與OP,QN分別交于點(diǎn)/，G.

⑴①依題意補(bǔ)全圖形；

②求NE4￡度數(shù)：（用含。的式子表示）

（2）寫(xiě)出一個(gè)。的值，使得對(duì)于射線OM上任意的點(diǎn)A總有及A/（點(diǎn)A不與點(diǎn)。

重合），并證明.

20.（2022?北京海淀?二模）已知=ZABC=90°,直線/是過(guò)點(diǎn)B的一條動(dòng)直

線（不與直線A3,8c重合），分別過(guò)點(diǎn)A,C作直線/的垂線，垂足為Q,E.

⑴如圖1,當(dāng)45?！匆毅@力<90。時(shí)，

①求證：CE+DE=AD；

②連接A￡,過(guò)點(diǎn)。作。H_LAE于”，過(guò)點(diǎn)A作A尸〃BC交?！钡难娱L(zhǎng)線于點(diǎn)尸.依題

意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段。入BE,DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）在直線/運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若。石的最大值為3,直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

21.（2022?北京?中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)分校一模）如圖，正方形ABC。中，P為BD

上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交。。邊于點(diǎn)Q.

⑴求證：PA=PQ；

⑵用等式表示尸8、PD、A。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，沿8。方向移動(dòng)，若移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4,則AQ的中點(diǎn)M移動(dòng)的

路徑長(zhǎng)為—（直接寫(xiě)出答案）.

22.（2022?北京?東宜門中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，Z4BC=90°,NB4C=30°.D

為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，CE=C￡>.點(diǎn)Z）關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接

AD,尸為AD的中點(diǎn)，連接尸E,PF,EF.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，寫(xiě)出線段PE與戶尸之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系;

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)&C不重合時(shí)，判斷（1）中所得的關(guān)系是否仍然成立？若成

立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)舉出反例.

23.（2022?北京?二模）在心中，ZAC5=90°,C。是AB邊的中線，DELBC于

E,連接CD,點(diǎn)P在射線CB上（與8,C不重合）

⑴如果4=30。

①如圖I,OE與8E之間的數(shù)量關(guān)系是

②如圖2,點(diǎn)P在線段CB上，連接OP,將線段。尸繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線

段連接〃八補(bǔ)全圖2猜想CP、，〃之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖3,若點(diǎn)P在線段C4的延長(zhǎng)線上，且NA=a（0°<a<90。），連接。P,將線段

。尸繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)"得到線段。F,連接8F,請(qǐng)直接寫(xiě)出。￡、BF、8P三者的數(shù)量

關(guān)系（不需證明）.

24.（2022?北京門頭溝?二模）我們規(guī)定：如圖,點(diǎn)，在直線MN上，點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)產(chǎn)均在

直線MN的上方，如果HP=HP,=N產(chǎn)，N,點(diǎn)P，就是點(diǎn)尸關(guān)于直線MN的

“反射點(diǎn)”，其中點(diǎn)〃為“丫點(diǎn)”，射線狼與射線”產(chǎn)組成的圖形為'，形

在平面直角坐標(biāo)系立力中，

⑴如果點(diǎn)PQ3）,，（150）,那么點(diǎn)尸關(guān)于x軸的反射點(diǎn)P，的坐標(biāo)為；

⑵已知點(diǎn)40，"）,過(guò)點(diǎn)A作平行于x軸的直線/.

①如果點(diǎn)8（5,3）關(guān)于直線/的反射點(diǎn)？和“V點(diǎn)”都在直線N=T+4上，求點(diǎn)）的坐標(biāo)和

”的值；

②0W是以（3,2）為圓心，1為半徑的圓，如果某點(diǎn)關(guān)于直線/的反射點(diǎn)和“V點(diǎn)”都在直

線），=T+4上，且形成的“V形”恰好與。卬有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

25.（2022?北京房山?二模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形”和圖形%.給出如下

定義：在圖形叫上存在兩點(diǎn)A,B（點(diǎn)A,8可以重合），在圖形I匕上存在兩點(diǎn)“，

M（點(diǎn)M、N可以重合）使得AM=28N,則稱圖形叱和圖形區(qū)滿足限距關(guān)系

（1）如圖1,點(diǎn)。（6,0）,。（0,-1）,石（0,1），點(diǎn)/＞在線段磔上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)/?可以與點(diǎn)。，E

重合），連接O2OP.

①線段OP的最小值為,最大值為;線段。尸的取值范圍是

__________**

②在點(diǎn)。，點(diǎn)。中，點(diǎn)與線段EC滿足限距關(guān)系；

⑵在（1）的條件下，如圖2,的半徑為1,線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于

點(diǎn)匕G,且/G〃EC,若線段AG與。。滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍；

⑶。。的半徑為「（「＞（））,點(diǎn)”，K是上的兩個(gè)點(diǎn)：分別以從K為圓心，2為半

徑作圓得到。〃和。K,若對(duì)于任意點(diǎn)“，K,和OK都滿足限距關(guān)系，直接寫(xiě)出

，?的取值范圍.

26.（2022?北京市燕山教研中心一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系直為中的線段PQ,給出如

下定義：若存在AQQA使得S"QR=PQ，，則稱APQR為線段PQ的“等粒三角形”，點(diǎn)R

稱為線段42的“等塞點(diǎn)”.

⑴已知A(2,0).

①在點(diǎn)6(2,4),￡(1,2),1(Tl)七(1,-4)中，線段OA的“等哥點(diǎn)”是____________；

②若存在等腰△048是線段Q4的“等塞三角形”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為C(2,T),點(diǎn)。在直線)，=人」3上，記圖形M為以點(diǎn)7(1,0)為圓

心，2為半徑的e7位于x軸上方的部分.若圖形M上存在點(diǎn)E使得線段CD的“等基

三角形"ACDE為銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)與的取值范圍.

27.(2022?北京朝陽(yáng)?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線/：)，三人+〃，給出如

下定義：若直線/與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線/關(guān)于該圓的“圓截

距

(1)如圖1,。。的半徑為1,當(dāng)左=1力=1時(shí),直接寫(xiě)巴直線/關(guān)于。。的“圓截距”；

⑵點(diǎn)用的坐標(biāo)為(1.0),

4L

①如圖2,若0M的半徑為1,當(dāng)。=1時(shí)，直線/關(guān)于0M的“圓截距”小于g逐，求2

的取值范圍;

②如圖3,若OM的半徑為2,當(dāng)A的取值在實(shí)數(shù)范度內(nèi)變化時(shí)，直線/關(guān)于OM的“圓

截距”的最小值為2,直接寫(xiě)出b的值.

28.(2022?北京市第一六一中學(xué)分校一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)P和圖

形W,如果線段。尸與圖形W無(wú)公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形w的“陽(yáng)光點(diǎn)如果線

段。尸與圖形W有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陰影點(diǎn)”.

①在P/(I,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)這四個(gè)點(diǎn)中，關(guān)于線段AB的“陽(yáng)

光點(diǎn)”是;

②線段A/B/〃AB,A/B/上的所有點(diǎn)都是關(guān)于線段AB的“陰影點(diǎn)”，且當(dāng)線段A/次向上

或向下平移時(shí)，都會(huì)有A/8/上的點(diǎn)成為關(guān)于線段A8的“陽(yáng)光點(diǎn)”，若，48/的長(zhǎng)為4,

且點(diǎn)4在8/的上方，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

3

⑵如圖2,已知點(diǎn)C(l,G),0c與y軸相切于點(diǎn)D,若(DE的半徑為彳，圓心E

在直線/：)，=-瓜+4右上，且。E的所有點(diǎn)都是關(guān)于。C的“陰影點(diǎn)”，求點(diǎn)E的橫

坐標(biāo)的取值范圍；

⑶如圖3,(DM的半徑為3,點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5,點(diǎn)N是。M上到原點(diǎn)距離最近

的點(diǎn)，點(diǎn)。和7是坐標(biāo)平面的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且。M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于△NQT的“陰影

點(diǎn)”直接寫(xiě)出AVOr的周長(zhǎng)的最小值.

29.(2022?北京房山?一模)如圖1,。/與直線〃相離，過(guò)圓心"乍直線。的垂線，逗

足為H,且交。/于P,。兩點(diǎn)(Q在P,"之間).我們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線〃的

“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為。/關(guān)于直線。的“特征數(shù)”.

（1）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）,半徑為1的。。與兩坐

標(biāo)軸交于點(diǎn)A，3,C,D.

①過(guò)點(diǎn)石作垂直于y軸的直線機(jī)，則。。關(guān)于直線機(jī)的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)

（填“A”—"C域“D”），。0關(guān)于直線〃?的“特征數(shù)”為

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為＞'=V3A+4,求。。關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

⑵在平面直角坐標(biāo)系工。六中，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,4）,點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以

尸為圓心，百為半徑作。足若。尸與直線/相離，點(diǎn)N（-1,0）是關(guān)于直線/的

“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且。尸關(guān)于直線/的“特征數(shù)''是6?，直接寫(xiě)出直線/的函數(shù)解析式.

30.（2022?北京順義?一模）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，的半徑為2.對(duì)于直線

/：），=X+1和線段4C,給出如下定義：若將線段3C沿直線/翻折可以得到。。的弦

BC（夕，C分別是從C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段8C是以直線/為軸的。。的“關(guān)聯(lián)線

段”.例如：在圖1中，線段4c的是以直線/為軸的。。的“關(guān)聯(lián)線段”.

⑴如圖2,點(diǎn)用，C,,B2,G，B\,G的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段8C，

BC，&G中，以直線/為軸的0。的“關(guān)聯(lián)線段”是；

（2）aA4C是邊長(zhǎng)為。的等邊三角形，點(diǎn)40,1）,若BC是以直線/為軸的0。的“關(guān)聯(lián)

線段”，求。的值；

（3）如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（7,5）的直線上存在以直線/為軸的0O的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出這條

直線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)m的取值范圍.

【北京卷中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬預(yù)測(cè)】

專題2幾何綜合壓軸大題模擬預(yù)測(cè)題強(qiáng)化訓(xùn)練

(尖子生難題突破)

一、解答題

1.(2022?北京西城?一模)已知正方形將線段用繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)。(0°<?<90°),

得到線段BE,連接E4,EC.

(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在正方形的內(nèi)部時(shí)，若BE平分乙ABC,AB=4,則

/AEC=°,四邊形ABCE的面積為；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在正方形A3。的外部時(shí)，

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求NAEC的度數(shù)；

②作NE8C的平分線8尸交EC于點(diǎn)G,交胡的延長(zhǎng)線于點(diǎn)片連接C四用等式表示線段

A￡,FB,廣。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)135,8近

⑵①作圖見(jiàn)解析，45°；②BF=OCF-包AE

2

【解析】

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)E作EKJ.BC于點(diǎn)K,由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及角平分線的定義可得

么BE=/CBE=45°,AB=BE=BC=4,再利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形可求出

NBAE=NBEA=67.5。,EK=20繼而可證明A46E三△CBE(SAS),便可求解；

(2)①根據(jù)題意作圖即可；由正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8E=8A=8C,再根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出NAEB,NBEC=45。，即可求解；

②過(guò)點(diǎn)4作8H_LAE垂足為〃，由等腰三角形的性質(zhì)得到=,再證明

MBE"FBC(SAS)即可得到比=b,再推出為等腰直角三角形，即可得到三

者之間的關(guān)系.

(1)

過(guò)點(diǎn)￡作EK_L“C于點(diǎn)太

:"BKE=90°

???四邊形ABC。是正方形

:.NABC=900,AB=BC

="平分NA4C,AB=4,將線段ZM繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)a(0°<?<90°),得到線段/過(guò)

二.ZABE=NCBE=45°,AB=BE=BC=4

AZB4E=ZBE4=67.5°,iZEBK=—=—=—

snBE24

:.EK=2&

Sg=gBC.EK=*2近=

BE=BE

ZL43E=△CBE(SAS)

NAE8=Z.CEB.S^EB=SACEB

/.ZAEC=ZAEB+ZCEB=135°,四邊形48。七的面積為=5,刃+5“9=8>/5

故答案為：135,872

⑵

???四邊形ABC。是正方形

:./ABC=9()o,AB=BC

由旋轉(zhuǎn)可得，BE=BA=BC

?.?AABE+N8AE+4BEA=180°,ZABE=a

:./BEA=ZBAE=⑼—=90°--

22

?.?Z.CBE+NBCE+/BEC=180°,NCBE=/ABE+NABC=90°+a

NBEC=NBCE=18?！?(90°+a)=45o_2

22

/.ZAEC=ZAEB-NBEC=45。

@BF=y/2CF-—AE,理由如下：

2

如圖，過(guò)點(diǎn)8作垂足為〃

Z/?HF=90°

BA=BE

：.AH=EH=-AE

2

-：BE=BC,/E8C的平分線8尸交EC于點(diǎn)G

BG1CE,ZFBE=/FBC

Z￡GF=90°

?;BF=BF

MBE"FBC(SAS)

:.EF=CF

QZ4EC=45°

/.Z4EC=ZEFG=45°

/.NEFG=45。=/HBF

.3BF為等腰直角三角形

BF=0HF=向EF-EH)=yf2(EF--AE)=向CF、AE)

22

UPBF=y[2CF-—AE

2

【點(diǎn)睛】

本題屬于四邊形和三角形的綜合題目，涉及正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角平分線的定

義、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角

和定理等，靈活運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?北京市第七中學(xué)一模)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系x?！?，中的圖形M和點(diǎn)P,給出如下

定義：將圖形M繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到圖形N,圖形N稱為圖形/關(guān)于點(diǎn)尸的“垂直

圖形”.例如，圖1中點(diǎn)。為點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)夕的“垂直圖形。

(1)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的“垂直圖形”為點(diǎn)B.

①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,則點(diǎn)"的坐標(biāo)為；

②若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3』），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

（2）E（-3,3）,F（-2,3）,G（?0）.線段所關(guān)于點(diǎn)G的唾直圖形”記為EF,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為石'，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為廣.

①求點(diǎn)￡的坐標(biāo)（用含。的式子表示）；

②若。。的半徑為2,上任意一點(diǎn)都在。。內(nèi)部或圓上，直接寫(xiě)出滿足條件的EE的

長(zhǎng)度的最大值.

【答案】（1）①（3,0）；②（-1,3）

（2）?（3+fl,3+〃）；②后

【解析】

【分析】

（1）①②根據(jù)“垂直圖形”的定義解決問(wèn)題即可.

（2）①構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

②如圖3中，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)E在第一象限的。。上.求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可

解決問(wèn)題.

（1）

解：①觀察圖像可知：點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）：

②觀察圖像可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,3）；

AV

（2）

解：①如圖2中，過(guò)點(diǎn)石作E匕Lx軸于尸，過(guò)點(diǎn)E作EW_Lx軸于，.

???Z￡+ZPGE=90°,ZPGE+ZE,GH=90°,

，NE=/EGH,

;EG=GE,

???△￡尸G絲ZXGHE(AAS),

:,EP;GH=3,PG=EH=a+3,

：,OH=3+at

(3+a,3+a).

???￡(3+〃?，3+/n),O￡=2,

/.3+m=>/2，

:?m=叵-3，

：?￡(◎，夜)，

***EE=J(a+31+(&-3]=>/22.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考

壓軸題.

3.（2022?北京?二模）如圖，在等邊A48C中，點(diǎn)。是選8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線8C上一

動(dòng)點(diǎn)，將線段4E繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段EG,連接AG,BG.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②判斷與EG的位置關(guān)系：

（2）如圖2,取EG的中點(diǎn)/，寫(xiě)山直線￡＞廠9A6夾角的度數(shù)以及尸。ijKC的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

【答案】（1）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②A3_LEG

⑵直線?！迸c/W夾角的度數(shù)為90。，二這,證明見(jiàn)解析

EC2

【解析】

【分析】

（1）①依照題意畫(huà)出圖形即可；②由旋傳的性質(zhì)可得AE=EG,NAEG=6O。，可證△

AGBgAAEC,可得RG=EC=BE,即可得結(jié)論；

（2）通過(guò)證明△D4尸s^CAE,可得/。=幺力/=60。，變=處=叵，即可求解.

ECAC2

（I）

②AB工EG,理由如下：

.?.將線段AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6（尸,

AAE=EG,ZAEG=60°,

???△AGE是等邊三角形，

AAG=AE,ZG4E=60°,

〈ABC是等邊三角形，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

AB=AC,Z^C=60°,BD=DC=BE=EC,

ZE4C=ZG4E,

J/BAG=/CAE,

???△AGB?△人EC,

/.BG=EC=BE,

又：AG=AE,

JA4垂直平分GE,

JABA.EG；

(2)

直線。尸與A8夾角的度數(shù)為9()。，警=坐，埋由如卜：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段8c上時(shí)，連接A。，AF,延長(zhǎng)D產(chǎn)交4B于〃,

圖2

;將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

/.AE=EG,ZAEG=60°,

?'△AGE是等邊三角形，

又「點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn)，

AAFLGE,NE4F=3(T,

?AF6

??cosZ.EAr==——,

AE2

:△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn),

AADLCD,ZZMC=30°,

AZ2MC=ZME,cosZDXC=—=—,

AC2

AZDAF=ZG4E,—=—,

AEAC

???△ZM尸s/XCAE,

DFADs/3

/.ZC=Z4DF=60°,

~EC~^C~~2

???/BDF=30。,

ZAHD=ZABC+ZBDF=90°,

???直線。尸與AB夾角的度數(shù)為90。，工建,

EC2

當(dāng)點(diǎn)石在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,連接人F，AD,

DF

問(wèn)理可求直線。尸勺A6夾角的度數(shù)為90。,75

當(dāng)點(diǎn)石在BC的延長(zhǎng)線I：時(shí)，如圖4,連接人/）,AF,廷長(zhǎng)。尸交于”,

同理可求直線。b與A/3夾角的度數(shù)為90。，竺=立.

EC2

綜上所述：直線。尸與夾角的度數(shù)為90。，黑=《

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，

相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

4.（2022?北京市第一六一中學(xué)分校一模）已知點(diǎn)尸為線段人B上一點(diǎn)，將線段人P繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到線段AC；再將線段8尸繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,得到線段5D；連

接AO,取AO中點(diǎn)M,連接8M,CM.

cc

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，求證：PMIiBD；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不在線段CM上，寫(xiě)出線段3M與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證

明.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)CMIBM,CM=NB,理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)由旋轉(zhuǎn)可得，AAPC是等邊三角形，NP8O=120。，則4/W+NP%>=180°,所以

PM//BD.

(2)延長(zhǎng)8M至點(diǎn)G,使得MG=M“，連接AG,BC,GC,PC,可證AC8G是等近三

角形且點(diǎn)M是8G的中點(diǎn)，則有CW_L8W,CM=?B.

(1)

解：由題意可得，ZC4P=60°,且AP=AC,

二.A4PC是等邊三角形，

/.ZAPC=60°,

/.NBPM=60。,

又丁ZPBD=120°,

NBPM+NPBD=180°,

(2)

解：猜想，CM1MB,CM=GMR、理由如下：

如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使得MG=M8,連接AG,BC,GO,PC,GD,

AM=MD，GM=BM，

???四邊形AGDB是平行四邊形，

/.AG=BDfAG//4O,

，ZBAG=18()°-ZABD=6()°,

ZCAG=\2(r,

???AAPC是等邊三角形，

：.AC=CP,zcra=i20°,

?;PB=DB=AG,

：.ACAG^^CPB(SAS),

:.CG=CB,ZACG=dCB,

:.NGCB=&)。,

?，.ACfiG是等邊三角形，

?.?GM=BM,

:.CMA.BM,CM=.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形，解題的

關(guān)鍵是構(gòu)造合適輔助線.

5.(2022?北京海淀?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段MM直線/和圖形W給出

如下定義：線段MN關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為MRYAT,M分別是M,N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)).若

MN與均在圖形W內(nèi)部(包括邊界)，則稱圖形W為線段MN關(guān)于宜線/的“對(duì)稱封閉

圖形

y

6

5

4

3

2

1

P

-6-5-4-3-2-1O123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(1)如圖，點(diǎn)尸(-1,0).

①已知圖形IV/：半徑為1的。O,M：以線段。。為邊的等邊三角形，卬3：以。為中心

且邊長(zhǎng)為2的正方形，在卬人卬2,卬3中，線段PO關(guān)于)，軸的“對(duì)稱封閉圖形”

是：

②以O(shè)為中心的正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,各邊與坐標(biāo)軸平行.若正方形A8CO是線段

PO關(guān)于直線)，=%+/，的“對(duì)稱封閉圖形“，求人的取值范圍；

(2)線段MN在由第四象限、原點(diǎn)、x軸正半軸以及)，軸負(fù)半軸組成的區(qū)域內(nèi)，且MN的長(zhǎng)

度為2.若存在點(diǎn)Q(〃-2&,〃+2應(yīng))，使得對(duì)于任意過(guò)點(diǎn)Q的直線/，有線段MN,滿

足半徑為〃的GC是該線段關(guān)于/的“對(duì)稱封閉圖形”,直接寫(xiě)出〃的取值范圍.

【答案】(1)①叱，%；②b的取值范圍是-1W0W2

(2)r>^2

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)”對(duì)稱封閉圖形”的定義判斷即可；

②記點(diǎn)R。關(guān)于直線y=的對(duì)稱點(diǎn)分別為"，?！?先求出直線PP、直線的的

解析式，再根據(jù)圖象找到當(dāng)直線y=隨著力的變化上卜平移時(shí)的臨界情況，解答即

可；

(2)根據(jù)題意，確定出當(dāng)三角形MON為等腰直角三角形且NMO290。時(shí)r最小，作MN

關(guān)于直線尸“+4上的對(duì)稱圖形用勾股定理求出ON'的長(zhǎng)度即可.

(1)

解:①線段尸。關(guān)于)，軸對(duì)稱圖形為線段OP',即線段PP在圖形w內(nèi)(包括邊界),

其中，P(-1,0),產(chǎn)(0,1),

故圖形的及W3,符合題意,

故答案為：修，嗎.

②記點(diǎn)P,。關(guān)于直線產(chǎn)X+〃的對(duì)■稱點(diǎn)分別為P\則宜線y=垂直平分線饅

PP'和OO',因此直線尸P'的解析式為丁=直線僅7的解析式為)H-X,由于線段

戶。在x軸上，故關(guān)「直線y=x+力的對(duì)稱后，釉.

如圖，當(dāng)直線y=x+b隨著。的變化上.下平移時(shí)，臨界情況是：

當(dāng)點(diǎn)。對(duì)稱后得到P在y=-2上，即P(L-2)時(shí)，PP中共為(-1,0),此時(shí)

Z?=—1；

當(dāng)點(diǎn)O對(duì)稱后恰好為(2,2)時(shí)，0。中點(diǎn)為(1,1),此時(shí)。=2.

依題意，〃的取值范圍是-14842.

(2)

解：由題意知，當(dāng)三角形MON為等腰直角三角形且NMON=90。時(shí)尸最小，

由Q點(diǎn)坐標(biāo)知，。點(diǎn)在直線y=x+4>/2上運(yùn)動(dòng)，

作線段MN關(guān)于直線y=x+4夜的對(duì)稱圖形ATM,則r>ON\

取MN中點(diǎn)E,MW'中點(diǎn)為G,連接EG交直線產(chǎn)x+4夜于凡連接ONL如圖所示,

：.OE=\,

設(shè)直線y=x+4夜交坐標(biāo)軸于尸、5,則＞5=8,

，。2=4,

由對(duì)稱知，EF=GF=5,GN'=1,

由勾股定理得：ON'Za+f=癡，

故答案為：r^\^2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義的問(wèn)題，需要借助軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、一次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)

點(diǎn)解題.解題關(guān)鍵是正確理解題意，作出符合題意的圖形.

6.（2022?北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）己知，點(diǎn)8是射線AP上一動(dòng)點(diǎn)，以A8為邊作

△Aa?,N4C4=90。，Z4=60°,將射線灰?繞點(diǎn)“順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到射線80,點(diǎn)

E在射線上，BE+BC=tn.

（1）如圖1,若BE=BC,求CE的長(zhǎng)（用含機(jī)的式子表示）；

⑵如圖2,點(diǎn)/在線段AB上，連接CT7、EF.添加一個(gè)條件："'、BC、踮滿足的等

量關(guān)系為_(kāi)_____，使得所=。/成立，補(bǔ)全圖形并證明.

【答案】⑴亭〃；

⑵上AF=BC+BE，補(bǔ)全圖形及證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接CE,過(guò)點(diǎn)、B作BH_LCE于點(diǎn)H,由等腰三角形的三線合?的性質(zhì)可得到

CH=EH=-CE,/CBH=NEBH=工NCBE=60。,再根據(jù)條件可得到BE=8C='，然

222

后在陽(yáng)△2C”中，利用三角函數(shù)可求得C〃=立帆，最后可得到CE的長(zhǎng)；

4

（2）添加條件為6A尸=8C+8E.如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=BE,連接AG,過(guò)點(diǎn)

戶分別作「點(diǎn)M、FN工AC丁點(diǎn)、N、可證明四邊形CWFN是矩形，由矩形的性

質(zhì)得到CM=FN,然后在在肋AAEN中，利用三角函數(shù)求得CM=FN=@A〃，接著利

2

用SAS證明△mgAMK可得到G"二石產(chǎn)，從而推導(dǎo)出G"二W,再根據(jù)等腰三角形三

線合一性質(zhì)得到CM=g(BC+8E),從而得到結(jié)論.

(1)

解：如圖，連接CE,過(guò)點(diǎn)R作BHJ.CE于點(diǎn)H,

VBE=BC,NCBE=12O。,

：.CH=EH=-CE,ZCBH=ZEBH=-ZCBE=60°,

22

?/BE±BC-m,

???BE=BC=—,

2

，在RjBCH中,

CH=BC?sinZ.CBH=-mx—=—tn，

224

-\CE=2CH=—m.

2

點(diǎn)尸在線段A區(qū)上，連接。尸、EF.

添加一個(gè)條件：AF.BC、曬滿足的等量關(guān)系為=使得M=成立，

補(bǔ)全圖形如下，證明如下：

延長(zhǎng)C8到點(diǎn)G,使BG=BE,連接AG,過(guò)點(diǎn)尸分別作BW_L8C于點(diǎn)M、FN工AC于點(diǎn)、

N,

???ZFMC=ZFNC=ZFNA=90°,

???在AABC中，ZBC4=90°,ZA=60°,

???ZABC=90°-60°=30°,

/.NfBG=1800-ZABC=150。，ZFBE=ZCBE+ZABC=120°+30°=150°,

，四邊形CMFN是矩形，4FBG=/FBE,

:.CM=FN,

在HhAnV中，ZA=60°.

/.FN=AF^s\nA=—AF,

2

=FN=—AF,

2

在△ABG和△月龍中，

BG=BE

AIBG=ZFBE,

BF=BF

AFBG慫△FBE(SAS),

：?GF=EF,

VEF=CF,

:,GF=CF,

*/FM±BC

：.CM=GM=-CG=-(BC+BG)=-(BC+BE)

222t

，當(dāng)AF=g(BC+BE),

，gAF=BC+BE.

故答案為：&F=BC+BE.

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形性質(zhì)與判定、矩形的判

定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形

和矩形.

7.(2022?北京西城?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，布于線段A8與直線/：＞=近+/%給

出如下定義：若線段A8關(guān)于直線/的對(duì)稱線段為44(4,Q分別為點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)

點(diǎn))，則稱線段A'B'為線段AB的“化句關(guān)聯(lián)線段”.

已知點(diǎn)4(1,1),B(l-l).

⑴線段A0為線段48的小，可關(guān)聯(lián)線段”，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),則的長(zhǎng)為,b

的值為;

(2)線段49為線段A3的“[")]關(guān)聯(lián)線段”，直線《經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,2),若點(diǎn)A',8'都在直線4

上，連接OA',求NCO4的度數(shù)；

(3)點(diǎn)P(-3,0),2(-3,3),線段為線段A8的“卜回關(guān)聯(lián)線段”,且當(dāng)。取某個(gè)值時(shí)，

定存在&使得線段49與線段P。有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出力的取值范圍.

【答案】⑴2；-1

(2)15°

7

(3)--</?<2

【解析】

【分析】

(1)由對(duì)稱性質(zhì)AB、AE關(guān)于直線/對(duì)稱，所以48=48=2,由題意，得

y=x+b,把4V的中點(diǎn)I］，：)代入尸x+b,求出〃即可；

(2)作C關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)C,連接OC,OA,0C,因?yàn)锳8的對(duì)稱點(diǎn)在//上，所以點(diǎn)C

的對(duì)稱點(diǎn)。在直線A8上，則可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,G),繼而可求得NC0K=6()c,再

求出NAOK=45。，所以NC'OA=ZCOK-NAOK=60°-45°=15。，然后利用對(duì)稱的性質(zhì)得出

NCOV=NCOA,即可求解；

7

(3)當(dāng)夕與點(diǎn)。重合時(shí)，求出〃=2,再當(dāng)4與點(diǎn)〃重合時(shí)，求出4-,，再由線段4b

與線段PQ有公共點(diǎn)，即可得出力的取值范圍.

(1)

解：VA(I,1),B(1,-1),

."8:2,

???AB、AE關(guān)于直