7.2離散型隨機變量及其分布列

目標導(dǎo)航

課程標準課標解讀

1.通過具體案例，了解離散型隨機變量的

概念，理解隨機變量的分布列及其性質(zhì)；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求簡單應(yīng)用問題中的離散型

2.通過具體案例，了解兩點分布的概念及隨機變量的分隹列，能應(yīng)用分布列的相關(guān)性質(zhì)求問題中

特點.的相關(guān)量，會應(yīng)用兩點分布的特點解決與兩點分布有關(guān)

3.會求離散型隨機變量的分布列及兩點的問題.

分布列的相關(guān)量.

善'高頻考點

0二知識梳理

知識點1隨機變量的概念、表示及特征

I.概念：一般地，對于隨機試驗樣本空間。中的每個樣本點卬都有唯二的實數(shù)x(⑼與之對應(yīng)，我們稱x

為隨機變量.

2.表示：川大寫英文字母表示隨機變量,如X,匕Z：用小寫英文字母表示隨機變量的取值,如x,az.

3.特征：隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，隨機變量有如下特征：

(I)取值依賴于樣本點.

(2)所有可能取值是明碰的.

4.隨機變量與函數(shù)的關(guān)系

共同點：隨機變量和函數(shù)都是一種映射

區(qū)別：隨機變量把試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)

聯(lián)系：試驗結(jié)果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當與函數(shù)的值域;

注意：所有隨機變量的取值范圍的集合叫做隨機變量的值域.

【即學(xué)即練I】將一顆均勻骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（）

A.兩次擲得的點數(shù)

B.兩次擲得的點數(shù)之和

C.兩次擲得的最大點數(shù)

D.第一次擲得的點數(shù)減去第二次擲得的點數(shù)的差

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)隨機變量為一個變量判斷.

【詳解】因為隨機變量為一個變量，

而A中兩次擲得的點數(shù)的取值是一個數(shù)對，不是一個數(shù)，

所以不能作為隨機變量，故選A.

【即學(xué)即練2]10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件,可作為隨磯變量的是

A.取到產(chǎn)品的件數(shù)B.取到正品的概率

C.取到次品的件數(shù)D.取到次品的概率

【答案】C

【詳解】逐一考查所給的選項：

A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量而不是變量，

叢。中的量也是一個定值，

而C中取到次品的件數(shù)可能是042是隨機變量.

本題選擇C選項.

知識點2離散型隨機變量

1.概念：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量，通常用大寫英文字

母表示隨機變量，例如X,Y,Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x,y,z.

2.特征：

(1)可以用數(shù)值表示；

⑵試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值；

(3)試驗結(jié)果能一一列出.

【即學(xué)即練3】給出下列各量：

①某機場候機室中一天的游客數(shù)量；

②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)；

③某同學(xué)離開自己學(xué)校的距離；

④將要舉行的繪畫比賽中某同學(xué)獲得的名次；

⑤體積為8m3的正方體的棱長.

其中是離散型隨機變量的是()

A.①②④B.①②③C.??⑤D.?@?

【答案】A

【解析】

【分析】由離散型隨機變量的概念逐個判斷即可得解.

【詳解】由題意，①②④是離散型隨機變量，③是連續(xù)型隨機變量，

⑤中體積為8n?的正方體的棱長是一個常量，不是隨機變量.

故選：A.

【即學(xué)即練4】已知X,丫均為離散型隨機變量，且X=2K若X的所有可能取值為0,24,則丫的所有可能

取值為.

【解析】由題意y=Jx且X￡{024},得丫￡{0,1,2}.

【即學(xué)即練5】在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得-100分，

則選手甲回答這三個問題的總得分4的所有可能取值的個數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結(jié)果，即可得到得分的可能取值；

【詳解】可能回答全對.兩對一錯.兩錯一對.全錯四種結(jié)果.相應(yīng)得分為300分,100分,-100分，-3m

分，因此甲回答這三個問題的總得分。的所有可能取值有4個.

故選：B

知識點3離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)

1.定義：若離散型隨機變量X可能取的不同值為M，X2，X取每一個值&i=l,2,

=1,2........〃表示X的分布列.

2.分布列的性質(zhì)

(1/=1,2.…，n.

(2)PI+P2+??,+P“二L

注：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用

⑴利用分布列中各概率之和為I可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù).

⑵求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時.，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依

據(jù)是互斥事件的概率加法公式.

【即學(xué)即練6】袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取一個球，每次取出的黑球不再放

回，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的分布列.

【解析】X的可能取值為1,2,345,

則第I次取到白球的概率為尸(X=l)=g,

第2次取到白球的概率為P(X=2)=<乂丁=不

4X3X1|

第3次取到白球的概率為P(X=3)=?"ax2=不

4X3X2X1I

第4次取到白球的概率為尸(X=4)=m7TV^=不

4X3X2X1X11

第5次取到白球的概率為P(X=5)=二乂一尸不

所以X的分布列為

X2345

11111

P55555

［即學(xué)即練7］設(shè)隨機變量X的分布列P(X=§=必伏=1,2,345).

⑴求常數(shù)。的值；

(2)求依丹

⑶求驗<x<70

【解析】由題意，所給分布列為

1234

X55551

Pa2a3a4a5a

⑴由分布列的性質(zhì)得a+2〃+3a+4a+5a=1,

解得。==.

(2)方法一修展)=總=1)+色卻+P(X=1)=得+招+得若.

方法二色苗)=1-由硝=1—￡+合=*

17193

.*.X=j,5,亍

工島64)=/=()+/=|)+4=0==+1+尋方

知識點4兩點分布

fl,A發(fā)生,

對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，A表示“失敗"，定義X=<如果P(A)

0,A發(fā)生.

=p,則P(A)=1—p,那么X的分布列如表所示.

X01

Pl—pp

我們稱X服從西點分布或0—1分布.

注：隨機變量X只取。和1,才是兩點分布，否則不是.

【即學(xué)即練8】籃球比賽中每次安球命中得I分，不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.85,求他

一次罰球得分的分布列.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】由兩點分布的特征求解.

【詳解】由題意，結(jié)合兩點分布的特征可知，所求分布列為:

X01

P0.150.85

【即學(xué)即練9】若隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=0.8,P(X=l)=0.2.令y=3X—2,

則P(Y=~2)=.

【解析】因為Y=3X—2,所以當丫=-2時，X=0,所以尸(y=-2)=P(X=0)=0.8.

P考點精析

考點一離散隨機變量的概念辨析

解題方略:

判斷離散型隨機變量的方法

(I)明確隨機試臉的所有可能結(jié)果;

⑵將隨機試臉的結(jié)果數(shù)量化;

(3)確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則

不是.

[ffl1-1]指出下列隨機變量是不是陽散型隨機變量，并說明理由.

⑴從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數(shù);

⑵一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù);

(3)某林場的樹木最高達30m,則此林場中樹木的高度;

(4)某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.

【解析】(I)只要取出一張，便有一個號碼，因此被取出的卡片號數(shù)可以一一列出，符合離散型隨機變量的

定義.

(2)從10個球中取3個球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球;

3個黑球，即其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義.

（3）林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以?。?,30］內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量.

（4）實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.

變式I：判斷下列變量是否是隨機變量，若是，是否為離散型隨機變量.

（1）某市醫(yī)院明天接到120急救電話的次數(shù)4；

（2）公交車司機下周一收取的費用

（3）某單位下個月的用水量0

（4）某家庭上個月的電話費加

【答案】（1）是隨機變量，是離散型隨機變量；

（2）是隨機變量，是離散型隨機變量；

（3）是隨機變量，不是離散型隨機變量；

（4）不是隨機變量.

【解析】

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義依次判斷即可.

【詳解】（1）4的取值，隨各種原因的變化而變化，可能為0,1,2,…，是隨機變量，也是離散型隨機變

量；

（2）。的取值隨乘客的數(shù)量變化而變化，是隨機變量，也是離散型隨機變量.

（3）。的取值，隨各種原因的變化而變化，可能?。?,+8）內(nèi)某一區(qū)間上的所有值，無法-一一列出，是隨

機變量，但不是離散型隨機變量.

（4）4的取值是一個定值，故不是隨機變量.

【例1-2】一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止,

則試驗次數(shù)X的最大可能取值為（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)逐次試驗可得正確的選項.

【詳解】由于是逐次試驗，可能前5次都打不開鎖，那么剩余的鑰匙一定能開鎖，

故選:B.

變式1：已知4支鋼筆的單價分別為10元、20元、30元、40元.從中任取2支，若以V表示取到的鋼筆的

較高單價（單位：元），則y的取直范圍為（）

A.{10,20,30,40,50,60,70.80}B.{10,20,30,40,50,60,70}

C.{10,20,30,40}D.{20,30,40}

【答案】D

【解析】

【分析】任取2支鋼筆的單價（單位:元）的所有可能情況為（10,20）,（10,30）,（10,40）,（20,30）,（20,40）,

（30,40）,即可得到答案；

【詳解】（10,20）表示取出的2支綱筆為10元和20元，余類推，則任取2支鋼筆的單價（單位：元）的所

有可能情況為（。20）,（10,30）,（10,40）,（20,30）,（20,40）,（30,40）,故取到的鋼筆的較高單價為20

元、30元、40元，即y的取值范圍為{20,30.40}.故選：D

【例1-3】某人進行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標或子彈打完就停止射擊，射擊次數(shù)為。則“。=5”表

示的試驗結(jié)果是（）

A.第5次擊中目標

B.第5次未擊中目標

C.前4次均未擊中目標

D.第4次擊中目標

【解析】4=5表示前4次均未擊中目標，故選C.

變式I：一木箱中裝有8個同樣大小的籃球，編號為123,456,7,8,現(xiàn)從中隨機取出3個籃球，以4表示取

出的籃球的最大號碼，則4=8表示的試驗結(jié)果數(shù)為（）

A.18B.21C.24D.10

【解析】4=8表示3個籃球中一個編號是8,另外兩個從剩余7個號中選2個，有C分中方法，即21種.故

選B

考點二求離散型隨機變量的分布列

解題方略：

1、求離散型隨機變量的分布列關(guān)鍵有三點

⑴隨機變量的取值.

(2)每一個取值所對應(yīng)的榻率.

(3)用所有概率之和是否為1來檢臉.

2、寫離散型隨機變量的分布列的步驟

(D找：理解并確定X=應(yīng)的意義，找出隨機變量X的所有可能的取值M(，=1,2,3，?〃)

(2)求：借助概率的有關(guān)知識求出隨機變量X取每一個值的概率尸(X=%)=p,(i=l,2,3〃)注意應(yīng)用計

數(shù)原理、古典概型等知識

(3)列：列出表格并檢驗所求的概率是否滿足分布列的兩條性質(zhì).

注意：寫出分布列時要注意將P,化為最簡分式形式，但是在利用￡P(guān)：=1檢驗分布列是否正確時可利用化

/=1

簡前的分式結(jié)果.

【例2-1】一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球.

(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率：

⑵用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，求X的分布列.

【解析】一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球，2個紅球，從中摸出2個球，有或=10(種)情況.

(1)沒摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的事件為A,

G?3

P(A)=~W=y

3

即摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率為之

(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，X的所有可能取值為0,12

p(x_m-Ci_±pfy_n_CiCl_3

P(A-0)-10-10,P(X-l)-1()-5，

p(x=2)=m=m-

故X的分布列為

X012

133

P

10510

變式1：從含有2名女生的10名大學(xué)畢業(yè)生中任選3人進行某項調(diào)研活動，記女生入選的人數(shù)為包求s

的分布列.

【解析】^的所有可能取值為0,1,2,“4=0”表示入選3人全是男生，則P《=0）=送CR==7,

丁=1”表示入選3人中恰有1名女生，

則%=1）=魯=春

丁=2”表示入選3人中有2名女生，

則「&=2）=魯=上

因此。的分布列為

012

771

P15-15

變式2：某校組織冬令營活動，有8名同學(xué)參加，其中有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這

8名同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).

（1）求X的分布列；

（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.

【脩析】（1）X可取04,2,3

X0123

515151

p

28285656

（2）設(shè)“去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女”為事件A,則P（A）=Pl：X=l）+P（X=2）=普+號=秒.

變式3：某校為了普及環(huán)保知識，博強學(xué)生的環(huán)保意識，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽，經(jīng)過初賽、

復(fù)賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽，規(guī)定每人回答一個問題，答對為本隊贏得10分，答錯得

3432

。分，假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為：，乙隊中3人答對的概率分別為且各人回答正確與否相互

4543

之間沒有影響，用J表示乙隊的總得分.

（1）求〈的分布列；

（2）求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率.

432

【解析】(1)由題意知,f的可能取值為例工州由于乙隊3人答對的概率分別為??；二,

5?43

=0)=(1-W).(W，

P(J=1O)=劌13(2331293

X1一—~+x—+X1—x—

43r?404。360~20

43f4、323]22613

P(^=2O)=yX-xl11—x—x—+—x—=——=—

IM5j434)36030

尸(：=30)=j2x]m￡,.一的分布列為:

5435

0102030

113

P

60?05

(2)由X表示“甲隊得分等于30乙隊得分等于0”,a表示“甲隊得分等于20乙隊得分等于10”，可知

互斥，又尸(/)=(2)-工=一匕；尸(B)=C：二廣-二=國一，則甲、乙兩隊總得分之和等于20分

46012S0-44201280

909

且甲隊獲勝的概率為尸+8)=尸(d)+尸(8)=--=—.

1280128

考點三分布列的性質(zhì)及應(yīng)用

解題方略：

分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用

(I)利用分布列中各概率之和為I可求參數(shù)的值，此時要注意檢駿，以保證每個概率值均為非負數(shù).

(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依

據(jù)是互斥事件的概率加法公式.

【例3-1】【多選】如果X是一個離散型隨機變量，那么下列命題中是真命題的為()

A.X取每一個可能值的概率是正數(shù)

B.X取所有可能值的概率和為1

C.X取某兩個可能值的概率等于取其中每個值的概率之和

D.X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的知識判斷出正確選項.

【詳解】對于A選項，X取每一人可能值的概率是非負數(shù)，故A選項錯誤.

對于B選項，X取所有可能值的概率和為1,故B選項正確.

對于C選項，X取某兩個可能值的概率等于取其中每個值的概率之和，故C選項正確.

對于D選項，X在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和，故D選項錯誤.

故選:BC

【點睛】本小題主要考杳離散型隨機變量的有關(guān)知識的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

【例3-2】設(shè)隨機變量'的分布列為。（丫=，）=?$123,4）,則夕（

A.-B.；C.—D.1

52510

【答案】c

【詳解】由題意：P（X=i）=：（i=l,2,3,4）

1734

所以尸（X=1）+尸（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=—+—+二+—=1,彳尋。二10

所以尸［g<X<g）=l—尸（X=4）=l—R=|

故選:C.

變式1：已知隨機變量X的概率分布為P（X-〃）-…，10），則實數(shù)“=______

【答案"

【分析】根據(jù)給定條件利用隨機變量分布列的性質(zhì)列式計算作答.

【解析】依題意，P（X=n）=a（--一二），

n〃+1

10I11111（1

由分布列的性質(zhì)得Z%x="）=4（1—力+勺一1）++（---）］=-（=1，解得4=共，

〃二］22510111

所以實數(shù)。=5.故答案為：K

【例3-3】設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下:

X1234

X\_￡

P636P

則p的值為（）

【解析】由分布列的性質(zhì)可知〃=1一：一；一：=2.故選C

UJUJ

變式1：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

若隨機變量y=x—2,則p（y=2）等于（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【解析】由0.2+0.1+0.1+0.3+陽=1,得〃?=0.3.所以P（y=2）=P（X=4）=0.3.故選A

變式2：若離散型隨機變量X的分布列為

X01

P9c2-c3-8c

試求出離散型隨機變量X的分布列.

【解析】由已知可得9c2—c+3—Bc=l,

i?

2

9c—9c+2=0,J或彳J.

檢驗：當c=g時，9C2-C=9X（J）2-|=1>0,

Q1

3-8c=3—T=T>0；

J

當c=1時，9c2—c=9X（|）2—1>1,

3—8c=3一與<0（不適合，舍去）.故c=；.

故所求分布列為

XI0II

21

P

33

變式3：離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以X,Mx，y￡N）代替，分布列如下:

X123456

P0.200.100,,v50.100.1），0.20

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，知隨機變量的所有取值的概率之和為1,可解得x=2,），=5,故電<X<9）=

尸（X=2）+P（X=3）=0.35.故選B

變式4：【多選】已知隨機變量X的分布列如下表所示，其中〃，兒c成等差數(shù)列，則（）

X-101

Pabc

A.a=qB.力=Q

C.D.P([X]=1)=中

【解析】??力,6c成等差數(shù)列，...2b=a+c

由分布列的性質(zhì)得a+/?+c=3方=1,?M=；.

???P(|X]=1)=P(X=1)+P(X=-1)

=1一P(X=0)=l—/=/故選BD

變式5：若隨機變量X的分布列如下表所示:

X0123

1

Pa4b

則/+護的最小值為

【解析】由分布列的性質(zhì)，知。+〃制，而，戶+序》叵/■=/當且僅當。=〃=;時等號成立）.

變式6：若隨機變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

則當P(X<〃)=0.8時，實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(一8,2]B.[1,2]

C.(1,2]D.(1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分布列可得P(XV0)=0.3,P(X<1)=0.5,尸(XV2)=0.8,即可確定出的取值范圍.

【詳解】由隨機變量X的分布列知：P(x<-1)=0.1,尸(XV0)=0.3,P(X<1)=0.5,尸(XV2)=0.8,

則當P(XVa)=0.8時，實數(shù)〃的取值范圍是(1,2].故選：C

【例3-2】已知隨機變量4的分布列如下:

其中“從。成等差數(shù)列，則函數(shù)/(x)=W+2x+J有且只有一個零點的概率為()

A.—B.-C.；D.—

6326

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意求得方=；，得到函數(shù)/l*)=V+2x+夕行且只仃一個零點，結(jié)合△=(),求得4=1,即可求解.

【詳解】

2b=a+c-1

由題意知。也ce[0,1],且，解得〃=鼠

又由函數(shù)/(x)=f+2x+J有且只有一個零點，

即對于方程產(chǎn)+21+4=0只有一個根，可得△=4-4J=0,解答4=1,

所以P(J=l)=g.故選：B

考點四兩個相關(guān)隨機變量的分布列

【例4-1】設(shè)隨機變量4等可能地取123.4,…,10,又設(shè)隨機變量〃=2。-1,則尸①<6)=()

A.0.3B,0.5C.0.1D.0.2

【答案】A

【詳解】因為隨機變量4等可能地取1234...J0,

所以P(4=i)=L(i=l,2,3,?T0),

所以？=211等可能的取1,3,5,7,…,19,則/〃=/)=3=1,3,5,…,19),

所以V6)=P(q=1)+P(1]=3)+P(z;=5)=—.

故選：A.

變式1：若隨機變量/的分布列如卜表:

71234

P0.1IH0.20.3

則P(H—3|=1)=()

A.0.4B,0.5C.0.6D.0.7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分布列中概率之和為1求出加的值，進而可求得「切-3|=1)的值.

【詳解】由題意可得0.1+0.2+0.3+帆=1,解得加=0.4,

因此，2(卜7-3|=1)=〃(〃=2)+2(77=4)=0.4+0.3=0.7.故選：D.

【點睛】本題考查利用隨機變量分布列求概率，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

k

變式2：已知離散型隨機變量X的分布列P(X=A)=w，左=123,4,5.令丫=2乂—2,則夕(丫>。)=

14

【答案】

1?

【詳解】由已知y取值0,2,4,6,8,且p(y=o)=x，p(y=2)=—,

P“=4)=V叩=6)$尸(y=8)q=:，

則p(y>o)=p(y=2)+p(y=4)=p(y=6)=p(y=8)」.

15

故答案為：已14

1j

變式3：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X01234

P().20.10.10.3tn

求：(1)2X+1的分布列；

(2)求尸(1<XK4)的值.

【答案】(1)見解析；(2)0.7

【解析】

【分析】

根據(jù)概率和為1列方程，求得利的值.

(1)根據(jù)分布列的知識，求得2X+1對應(yīng)的分布列.

(2)利用?(1<乂44)=2(*=2)+?(。=3)+?(*=4)求得尸(1〈乂44)的值.

【詳解】由分布列的性質(zhì)知:0.2+0.1+0.1+0.3+，〃=1,解得〃?=0.3

(1)由題意可知

P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+l=3)=P(X=l)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1

F(2X+1=7)=F(X=3)=0.3,P[2X+1=9)=P(X=4)=0.3

所以2X+1的分布列為：

2X+1\3579

P0.20.10.10.30.3

(2)P(1vX44)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+03+0.3=0.7

【點睛】本小題主要考查分布列的計算，屬于基礎(chǔ)題.

考點五兩點分布

【例5-1］下列選項中的隨機變量不服從兩點分布的是()

A.拋擲一枚骰子，所得點數(shù)X

B.某射擊手射擊一次，擊中目標的次數(shù)X

1,取出白球

C.從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球，3個門球的袋中任取I個球，設(shè)X=(

0,取出紅球

D.某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成立的次數(shù)X

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)兩點分布的概念結(jié)合題意即可求解.

【詳解】

對于選項A,拋擲一枚骰子，所得點數(shù)X的取值范圍為{1,2,3,4,5,6},所以A中的隨機變量不服從

兩點分布；

對于選項B,射擊手射擊一次，有擊中或者不擊中目標兩種可能的結(jié)果，B中的隨機變量服從兩點分布；

對于選項C,袋中只有紅球和白球，取出1個球，可能取到紅球或者白球，C中的隨機變量服從兩點分布;

對于選項D,醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)可能成功，也可能失敗，D中的隨機變量服從兩點分布.

故選A.

【例5-2】設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量。描述一次試驗的成功次數(shù)，則P4=0)等于()

A.0B.；C.yD.?

JJJ

21

【解析】設(shè)P(j=l)=p,則P(4=0)=1—依題意知，p=2(l—p),解得.故〃(4=0)=l—p=y.故選B

變式h小明通過某次考試的概率是未通過的5倍，令隨機變量*玉器黑過，則P—0)=<)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)通過某次考試的概率是未通過的5倍，由1-P(X=O)=5P(X=O)求解.

【詳解】因為通過某次考試的概率是未通過的5倍，所以1-P(X=O)=5P(X=O),

解得P(X=O)=:.故選：C

【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的概率，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

變式2：設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若P(X=1)—尸(X=0)=0.4,則P(X=1)=.

7

【答案】0.7##歷

【詳解】由于隨機變量X服從兩點分布，故P(X=l)+P(X=0)=l①，乂由于尸(X=l)—P(X=0)=0.4②,

則①+②得2尸(X=1)=1.4=尸(X=1)=0.7.

故答案為：0.7.

【例5-3】某運動員命中10環(huán)的概率為0.9,求一次射擊中命中10環(huán)的次數(shù)的分布列.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】

由題意可知射擊一次命中10環(huán)的次數(shù)X可能取?；?,然后由題意求出對應(yīng)的概率，從而可列出其分布列

【詳解】

解：設(shè)射擊一次命中10環(huán)的次數(shù)為X,則P(X=1)=O.9,P(X=0)=l-0.9=0.1,

故其分布列為

變式1：已知X服從參數(shù)為0.3的兩點分布.

⑴求P(x=o)；

(2)若y=2x+i,寫出丫的分布列.

【答案】(1)0.7

(2)答案見解析.

(1)

尸(X=0)=1-0.3=0.7.

⑵

x=o時，y=i,x=i時，r=3,

所以y的分布列為：

Y13

P0.70.3

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1、【多選】下面是離散型隨機變量的是()

A.某機場候機室中一天的游客數(shù)量X

B.某外賣員一天內(nèi)收到的點餐次數(shù)X

C.某水文站觀察到?天中長江的最高水位X

D.某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X

【解析】ABD中隨機變量X所有可能取的值我們都可以按一定次序一一列出，因此它們都是離散型隨機變

量，C中X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法一一列出，故不是離散型隨機變量.故選ABD

2、若隨機變量4只能取兩個值0,1,又知4取0的概率是取1的概率的3倍，寫出4的分布列.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】根據(jù)概率之和為I可求出.

【詳解】

由題意及分布列滿足的條件知Pg=0)+Pe=1)=3Pe=1)+尸?=1)=1,

所以p(4=l)=;,故P(4=I)=I

所以。的分布列為

3、某一隨機變量J的概率分布如下表，且m+2〃=1.2,則〃?的值為（）

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)和已知條件得出關(guān)于〃?、〃的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值,

由此可求得〃的值.

【詳解】山離散型隨機變量分布列的性質(zhì)以及已知條件得｛「I、，解得〃?=屋=0.4,

m+2n=1.2

因此，，〃-t=0.2.故選：B.

4、袋中裝有除顏色外其余均相同的10個紅球，5個黑球，每次任取一球，若取到黑球，則放入袋中，直到

取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為X,則表示“放回4個球”的事件為（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X<4

【解析】根據(jù)題意可知，若取到黑球，則將黑球放【可，然后繼續(xù)抽取，若取到紅球，則停止拙取，所以“放

【可4個球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了紅球，故X=5.

故選:B.

5、一個袋中有4個紅球，3個黑球，小明從袋中隨機取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分,

從袋中任取4個球，則小明得分大于6分的概率是（）

A13n14c1822

A.—B.—C.—D.

35353535

【解析】記得分為X,則X的可能取值為5,6,7,8,

因為P(x=7)=罟嗡inP(X=8)=罟嗑I

12I13

所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=3)=^+k=k.

故選：A.

6、已知隨機變量X的分布列如下:

X12345678910

22222222

Pm

3芋印

則P(X=10)等于()

2口2Jc_L

AB.^TOC予D.2To

29

【解析】P(X=10)=l—§--------孕=要.故選c

題組B能力提升練

7、一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)為二

⑴列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的^的值；

(2)若規(guī)定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管結(jié)果都加上6分.求最終

得分〃的可能取值，并判定"的隨機變量類型.

【解析】⑴

q0123

取得1個白取得2個白

結(jié)果取得3個黑球取得3個白球

球，2個黑球球，1個黑球

(2)由題意可得〃=54+6,

而S可能的取值為0,12,3,

所以//對應(yīng)的各值是

5X0|-6,5X14-6,5X2+6,5X3+6.

故)7的可能取值為6,11,16,21,顯然,7為離散型隨機變量.

8、已知拋物線N=，+〃x+c、(aHO)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a,b,cG{-3,-2,-1,0,1,2,3),在這些拋物

線中，記隨機變量機=|。-耳,則P(忸一1|=1)=()

5-3一2I

A.-B.-C.-D.-

9553

【詳解】由于拋物線y=渥+?+。(。+0)的對稱軸在y軸左側(cè)，

所以—(<0,即a，。同號且均不為零，?？扇-3,-2,-1,0,1,2,3}中的任意值，

所以共有3x3x7x2=126種不同的情況.

因為1=卜一.，

所以力勺取值范圍是{0/，2},

其中4=0的可能情況為〃=。且“此{—3,ce{-3,-2—1,0,123},所以2值=0)=驍=?,

1263

4=1的可能情況為(4/)7(—3,-2),(—2,—3),(—2,—1),(—1,-2),(30,(2,3),(2#,(1,2)}且

ce{-3-2,-l,0,l,2,3},所以尸(彳=1)=魯='

4=2的可能情況為.力)￡{(一3,-1),(-1,-3),(3,1),(1,3)}且?！陒-3,-2,-1,0,123},所以。便=2)=魯卷

所以p(忸一ii=i)WW.

故選：A.

9、某商店試銷某種商品20天，獲得如卜.數(shù)據(jù):

日銷售量(件)0I23

頻數(shù)1595

試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢

查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率.

(1)求當天商店不進貨的概率；

(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列.

3

【答案】⑴(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)由古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求解即可；

(2)求出X的可能取值，再用古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求出概率，即可求解

【詳解】

(1)記“當天商品銷售量為。件”為事件人,“當天商品銷售量為1件''為事件從“當天商店不進貨'為事件C,

153

則產(chǎn)(C)=P(4)+P(8)=疝+元=歷；

(2)由題意知，X的可能取值為2,3.

P(X=2)=P(當天商品銷售量為1件