5.1.2弧度制1．了解弧度制的概念；2．能進(jìn)行弧度與角度的互化；(難點(diǎn))3．會推導(dǎo)弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式.(重點(diǎn))

度量長度可以用米、英尺、碼等單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制．

不同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也能用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來度量角的大小呢？

我們知道，角可以用度為單位進(jìn)行度量，1度的角等于周角的．這種用度作單位來度量角的單位制叫做角度制．今天我們來學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度——弧度制.

如圖，射線

OA繞端點(diǎn)

O旋轉(zhuǎn)到

OB形成角

α，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上一點(diǎn)

P的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應(yīng)于圓心角

α.設(shè)

OQ=r，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P所形成的圓弧PP’的長為

l，l與

r的比值是多少？我們能得出什么結(jié)論？弧度制的定義設(shè)

，

，點(diǎn)

P所形成的圓弧

的長為

l，則︵所以結(jié)論：可以發(fā)現(xiàn)，圓心角α所對的弧長與半徑的比值，只與α的大小有關(guān)．也就是說，這個比值隨

α的確定而唯一確定．這就啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長與半徑的關(guān)系度量圓心角．弧度制的定義：我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度．

我們把半徑為1的圓叫做單位圓，如圖，在單位圓

O中，AB的長度等于1，∠AOB就是1弧度的角．(BAO1rad根據(jù)上述規(guī)定：在半徑為

r的圓中，弧長為

l的的弧所對的圓心角為αrad，那么有：

其中，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)．當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，就可以得到弧度數(shù)大于2π或者小于－2π的角．這樣就可以得到弧度為任意大小的角．

一般地，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．一般地，只需根據(jù)兩邊同除以180兩邊同除以π就可以進(jìn)行角度和弧度的換算了．

弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化例1

把67°30′化成弧度．注：今后用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角所對應(yīng)的弧度數(shù)，例如角α=2，就表示α是2rad的角；解：因?yàn)?/p>

，所以(1)關(guān)鍵：抓住互化公式πrad=180°是關(guān)鍵;(2)角度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度;(3)角度化為弧度時，其結(jié)果寫成π的形式，沒特殊要求，切不可進(jìn)行近似計算，也不必將π化為小數(shù);(4)注意角度制和弧度制不能混用.角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法:1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度．(1)(2)(3)(4)(5)(6)角度0°30°45°120°135°150°360°弧度π常見特殊角的角度與弧度對應(yīng)表：角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系：每個角都有唯一的實(shí)數(shù)(等于這個叫的弧度)；同樣地，每個實(shí)數(shù)也都有唯一一個對應(yīng)的角(弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)).其中

R是圓的半徑，α

(0

<

α

<

π)為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積．例2利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：(1)；(2)；(3).證明：(1)由公式

，可得:;(2)由于半徑為

R，圓心角為

n°的扇形的弧長公式和面積公式分別是：

，將

n°轉(zhuǎn)化為弧度，得，于是

；(3)將代入上式，即得.2.若一扇形的圓心角為72°，半徑為20，則扇形的周長為

；扇形的面積為

.

解：因?yàn)?/p>

，所以弧長

，所以周長為

，面積為.2.把下列弧度化為角度(1) __________°(2)______°____′(3)_________°3901.把下列角度化為弧度(1)__________(2)__________(3)________15-157303.在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對的弧長為()A. B. C. D.A4.將

化成

的形式為__________.5.一個扇形的面積為1，周長為4，求該扇形圓心角的弧度數(shù).解：設(shè)扇形的半徑為

R，弧長為

l，圓心角為α，則

①由扇形的面積公式

，得

②由①②得

，

，故扇形的圓心角