4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第1課時

等差數(shù)列前n項和公式學習目標1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程，并能熟練應用公式進行有關計算.(重點)2.能利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質解決其前n項和的最值問題.(難點)3.會計算含絕對值的前n項和.(難點)200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：1+2+3+…+100=？求等差數(shù)列“1,2,3,…,n,…”前100項的和高斯的算法：不同數(shù)的求和相同數(shù)的求和轉化問題1：你能說出其中的原理嗎？和化積情景引入問題2：你能類比這個過程求1+2+…+100+101？1+2+…+50+51+52+…+100+101=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151[解法一]

l

l

倒序相加法

知首項/末項Sn＝1＋2＋3＋…＋1Sn＝n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋

n

an=a1+(n-1)d代入知首項、末項、項數(shù)知首項、公差、項數(shù)ana1,n,d，Sn知三求二

na1a1an-a1=(n-1)dana1a1ann問題6：除了公式（2）是否還有其他推導方法嗎？

知首項/公差l典例分析一、等差數(shù)列的前n項和有關計算(課本21頁例6)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(1)若a1=7，a50=101，求S50；

反思感悟

跟蹤訓練學習筆記15頁例1

在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；

(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.

跟蹤訓練1

在等差數(shù)列{an}中：(1)a1=1，a4=7，求S9；

(2)a3+a15=40，求S17；

l

所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項和公差.一般地，對于等差數(shù)列，只要給定兩個互相獨立的條件，這個數(shù)列就完全確定.典例分析思考：例7如果只求公差d，你有簡便算法嗎？

③④④―③得

探究二、利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列新知探索（教材22頁）l

學習筆記15頁例2

若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列，若是，請證明；若不是，請說明理由.當n=1時，a1=S1=-1；當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，經(jīng)檢驗，當n=1時，a1=-1滿足上式，故an=4n-5.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：因為an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

反思感悟學習筆記16頁左側反思與感悟

若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-3n-1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列.延伸探究1

若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n2-3n+r-1，求r的值.延伸探究2方法一

∵Sn=2n2-3n+r-1，

①∴當n=1時，a1=S1=2-3+r-1=r-2；當n≥2時，Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)+r-1，

②①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n+r-1-[2(n-1)2-3(n-1)+r-1]=4n-5，∵{an}為等差數(shù)列，∴當n=1時，4×1-5=r-2，解得r=1.方法二∵等差數(shù)列的前n項和為沒有常數(shù)項的“二次函數(shù)”，∴常數(shù)項r-1=0，即r=1.探究：根據(jù)前面所學，等差數(shù)列的前n項和公式有什么樣的函數(shù)特點？OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)OnSn(n，Sn)①d=0：Sn=a1n，一條過原點的直線上均勻分布的點；②d<0：一條開口向下的過原點的拋物線上均勻分布的點；③d>0：一條開口向上的過原點的拋物線上均勻分布的點；

無最大值最小值等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當a1>0，d<0時，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組________確定；當a1<0，d>0時，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式組_________確定.大

小

知識梳理

小大注(1)當a1>0，d>0時Sn有最小值S1，當a1<0，d<0時Sn有最大值S1.(2)Sn取得最大值或最小值時的n不一定唯一.學習筆記16頁三、等差數(shù)列中前n項和的最值問題(課本23頁例9)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=10，公差d=-2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.典例分析

(課本23頁例9)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=10，公差d=-2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.

反思感悟

學習筆記16頁例3

在等差數(shù)列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n項和Sn的最大值.跟蹤訓練

(多選)設數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a1>0，且S6=S9，則下列結論正確的是A.d<0B.a8=0C.S5>S6D.S7和S8為Sn的最大值跟蹤訓練2√√√

方法二因為等差數(shù)列{an}的前n項和Sn是關于n的二次函數(shù)，所以由二次函數(shù)的對稱性及S6=S9，a1>0，可得S7=S8，S7和S8為Sn的最大值，進而可得a8=0，因為a1>0，所以d<0，當n≤7時，an>0，所以a6>0，所以S5<S6.故A，B，D正確，C錯誤.

新知探究

解

反思與感悟

學習筆記17頁跟蹤訓練3

已知數(shù)列{an}的通項公式是an=4n-25，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.

課堂小結回顧本節(jié)課的探究過程，你學到了什么？1、等差數(shù)列{an}的前n項和公式：2、求數(shù)列前n項和的一種方法：“倒序相加”法

①通項公式法

②前n項和法

隨堂演練

√2.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S12-S5=21，則S17等于A.17 B.34 C.51

D.68√3.已知數(shù)列{an}滿足an=26-2n，則使其前n項和Sn取最大值的n的值為A.11或12 B.12C.13 D.12或13√4.已知數(shù)列{an}的