復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波動(dòng)力學(xué)的多維度探究一、引言1.1研究背景與意義螺旋波作為一種典型的時(shí)空斑圖，廣泛存在于遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)的系統(tǒng)中，涵蓋了可激媒質(zhì)、振蕩媒質(zhì)以及雙穩(wěn)系統(tǒng)。從學(xué)科領(lǐng)域來(lái)看，螺旋波涉及物理、力學(xué)、數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物、天文以及化學(xué)等眾多學(xué)科，是一個(gè)極具跨學(xué)科研究?jī)r(jià)值的對(duì)象。在物理領(lǐng)域，流體中的瑞利-貝納德對(duì)流、液晶中的伊辛-布洛赫相變，都有螺旋波現(xiàn)象的身影，對(duì)這些現(xiàn)象的研究有助于揭示流體和液晶等物質(zhì)在特定條件下的復(fù)雜行為和物理機(jī)制。在化學(xué)領(lǐng)域，著名的BZ反應(yīng)（Belousov-Zhabotinskyreaction）中呈現(xiàn)出的化學(xué)螺旋波，從1968年被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，經(jīng)過(guò)多年研究，人們對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為有了更深入的理解與認(rèn)識(shí)，這不僅豐富了化學(xué)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容，也為探索化學(xué)反應(yīng)中的自組織現(xiàn)象提供了重要范例。從生物醫(yī)學(xué)角度，心肌電信號(hào)中的螺旋波與心律不齊、心動(dòng)過(guò)速以及心顫等疾病密切相關(guān)。生理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，心肌電信號(hào)出現(xiàn)螺旋波可能引發(fā)心律不齊或者心動(dòng)過(guò)速，而心顫發(fā)生的重要原因之一便是螺旋波的破裂。所以，研究心臟中螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)于理解心臟電生理活動(dòng)、揭示心律失常等疾病的發(fā)病機(jī)制以及開(kāi)發(fā)相應(yīng)的治療手段，都具有極其重要的意義。在黏性霉菌系統(tǒng)的自組織斑圖、卵細(xì)胞中鈣離子波斑圖以及小雞的視網(wǎng)膜等生物系統(tǒng)中，螺旋波同樣普遍存在，對(duì)這些生物系統(tǒng)中螺旋波的研究，有助于深入理解生物系統(tǒng)的自組織和信息傳遞等過(guò)程。在天文學(xué)領(lǐng)域，某些天體物理過(guò)程中也可能存在類似螺旋波的現(xiàn)象，研究螺旋波動(dòng)力學(xué)有助于理解天體物理中的復(fù)雜過(guò)程和現(xiàn)象，如星系的結(jié)構(gòu)形成和演化等。外力作用下的螺旋波動(dòng)力學(xué)行為是螺旋波研究的重要方向之一。在現(xiàn)實(shí)世界中，各種復(fù)雜的外力作用無(wú)處不在，研究復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)，能夠?yàn)槔斫獗姸嘧匀滑F(xiàn)象提供關(guān)鍵的理論支持。例如，在心臟中，血液流動(dòng)、心肌細(xì)胞形變等因素都可視為作用于心臟電活動(dòng)（包含螺旋波）的外力，研究這些外力對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)的影響，能深入了解心臟在生理和病理狀態(tài)下的電活動(dòng)變化，為臨床預(yù)防和治療心律失常提供更為深入的理論依據(jù)。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，外部的溫度變化、濃度梯度等也可看作外力，研究它們對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)的影響，有助于優(yōu)化化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、提高反應(yīng)效率以及控制反應(yīng)的進(jìn)程和產(chǎn)物。在材料科學(xué)中，研究外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波在材料中的傳播和演化，能夠?yàn)椴牧系男阅軆?yōu)化和微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)研究，不僅能夠加深對(duì)自然現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)非線性科學(xué)的發(fā)展，還在生物醫(yī)學(xué)、化學(xué)工程、材料科學(xué)等眾多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題、促進(jìn)相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步具有關(guān)鍵作用。1.2螺旋波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)概述螺旋波是系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)自組織形成的一種空間均勻、隨時(shí)間作周期性振蕩的時(shí)空斑圖。從形態(tài)上看，螺旋波通常呈現(xiàn)出中心為一個(gè)點(diǎn)缺陷，周圍波陣面以螺旋狀向外擴(kuò)展的結(jié)構(gòu)。以常見(jiàn)的BZ反應(yīng)中的化學(xué)螺旋波為例，在反應(yīng)體系中，能清晰觀察到螺旋狀的顏色變化條紋，這些條紋就是螺旋波的波陣面，其圍繞著中心的點(diǎn)缺陷旋轉(zhuǎn)。在心臟電活動(dòng)中，心肌細(xì)胞的電信號(hào)傳播也會(huì)形成類似的螺旋波結(jié)構(gòu)，其中心的點(diǎn)缺陷位置，電信號(hào)傳播的相位等特征與周圍區(qū)域明顯不同。螺旋波的分類豐富多樣，在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算中，人們發(fā)現(xiàn)了多種形式的螺旋波。簡(jiǎn)單螺旋波包含周期螺旋波與漫游螺旋波，周期螺旋波的波頭隨時(shí)間演化做周期性圓周運(yùn)動(dòng)，漫游螺旋波的波頭則會(huì)出現(xiàn)無(wú)規(guī)則的漂移運(yùn)動(dòng)。反螺旋波較為特殊，其波隨時(shí)間的演化是向中心傳播，與常見(jiàn)的螺旋波向外傳播的方向相反。多臂螺旋波具有多個(gè)螺旋臂，如兩臂、三臂的螺旋波，不同臂之間的相互作用和協(xié)同演化使得其動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。分段螺旋波由多個(gè)不連續(xù)的波段組成，其形成和演化機(jī)制與系統(tǒng)的非均勻性等因素密切相關(guān)。超螺旋波的中心點(diǎn)作準(zhǔn)周期或非周期運(yùn)動(dòng)，展現(xiàn)出更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征。在可激媒質(zhì)中，螺旋波的形成源于系統(tǒng)的可激發(fā)性以及全局失穩(wěn)。當(dāng)系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)，局部區(qū)域被激發(fā)，激發(fā)態(tài)以波的形式傳播。由于可激媒質(zhì)存在不應(yīng)期，在波傳播后的區(qū)域，媒質(zhì)進(jìn)入不應(yīng)期而無(wú)法再次被激發(fā)，這就限制了波的傳播范圍。若在合適的條件下，如存在合適的初始擾動(dòng)和媒質(zhì)參數(shù)，激發(fā)波會(huì)圍繞一個(gè)中心旋轉(zhuǎn)，從而形成螺旋波。以心臟心肌組織為例，心肌細(xì)胞可看作可激媒質(zhì)，當(dāng)心肌細(xì)胞受到異常的電刺激或離子通道功能異常時(shí)，就可能引發(fā)局部的電信號(hào)激發(fā)，若這些激發(fā)信號(hào)在傳播過(guò)程中受到心肌組織的結(jié)構(gòu)、電生理特性等因素影響，就有可能形成螺旋波，進(jìn)而影響心臟的正常節(jié)律。振蕩媒質(zhì)中螺旋波的形成機(jī)制則起源于系統(tǒng)局部失穩(wěn)造成的周期振蕩的時(shí)空相位差。在振蕩媒質(zhì)中，各個(gè)局部區(qū)域都在進(jìn)行周期性的振蕩，但由于不同區(qū)域之間的相互作用和外界因素的影響，會(huì)導(dǎo)致不同區(qū)域振蕩的相位出現(xiàn)差異。當(dāng)這種相位差達(dá)到一定程度時(shí)，就會(huì)形成以某個(gè)點(diǎn)為中心，波陣面呈螺旋狀傳播的螺旋波。在化學(xué)振蕩反應(yīng)中，不同位置的化學(xué)反應(yīng)速率會(huì)因?yàn)閿U(kuò)散、濃度梯度等因素而存在差異，這些差異導(dǎo)致各點(diǎn)振蕩相位不同，最終可能形成螺旋波。螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為豐富且復(fù)雜。在穩(wěn)定狀態(tài)下，螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)軌跡和周期具有一定的規(guī)律性，如簡(jiǎn)單螺旋波的波頭做周期性圓周運(yùn)動(dòng)或呈現(xiàn)出特定規(guī)律的漫游運(yùn)動(dòng)。然而，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化或受到外界干擾時(shí)，螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)發(fā)生顯著改變。當(dāng)系統(tǒng)中的控制參量超過(guò)一定臨界值時(shí)，均勻穩(wěn)定的螺旋波會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生出新的缺陷，每個(gè)缺陷趨向于產(chǎn)生新的螺旋波，系統(tǒng)中缺陷點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間以指數(shù)形式遞增，系統(tǒng)進(jìn)入時(shí)空混沌態(tài)或湍流態(tài)，這種現(xiàn)象被稱為螺旋波失穩(wěn)。在流體中的瑞利-貝納德對(duì)流實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)溫度梯度等控制參量超過(guò)一定值時(shí)，原本穩(wěn)定的螺旋波就會(huì)失穩(wěn)，轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)空混沌的流動(dòng)狀態(tài)。研究螺旋波動(dòng)力學(xué)行為的方法眾多。數(shù)值模擬是常用的方法之一，通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型，如反應(yīng)擴(kuò)散方程、FitzHugh-Nagumo模型等，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解，能夠模擬螺旋波在不同條件下的產(chǎn)生、演化和相互作用過(guò)程。在研究BZ反應(yīng)中的螺旋波時(shí)，可以利用反應(yīng)擴(kuò)散方程建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)研究不同反應(yīng)物濃度、擴(kuò)散系數(shù)等因素對(duì)螺旋波的影響。實(shí)驗(yàn)研究也是不可或缺的手段，在化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，可以通過(guò)BZ反應(yīng)等實(shí)驗(yàn)體系，直接觀察螺旋波的形成和演化過(guò)程，測(cè)量相關(guān)的物理量，如波速、周期等。在生物實(shí)驗(yàn)中，可利用心臟組織切片或離體心臟實(shí)驗(yàn)，研究心肌電活動(dòng)中的螺旋波現(xiàn)象，為理論研究提供實(shí)驗(yàn)依據(jù)。理論分析方法則通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解析求解或漸近分析，如利用動(dòng)理學(xué)理論、漸近微擾理論和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方法等，揭示螺旋波動(dòng)力學(xué)行為的本質(zhì)和規(guī)律。1.3復(fù)雜外力對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)影響的研究現(xiàn)狀近年來(lái)，復(fù)雜外力對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)影響的研究取得了一系列重要進(jìn)展。在力的類型方面，研究涵蓋了周期力、噪聲、波外力等多種形式。在研究系統(tǒng)上，涉及可激媒質(zhì)、振蕩媒質(zhì)以及雙穩(wěn)系統(tǒng)等。在周期力驅(qū)動(dòng)方面，研究發(fā)現(xiàn)周期力的頻率、振幅等參數(shù)對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)行為有顯著影響。通過(guò)對(duì)噪聲和周期力共同驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)行為研究，給出了噪聲與周期力強(qiáng)度固定條件下螺旋波波頭運(yùn)動(dòng)隨外加周期力頻率(或周期)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了1共振帶、2：1共振帶、花瓣單元組成的直線行走軌道以及間歇直線行走等現(xiàn)象。在心臟電活動(dòng)的研究中，利用FitzHugh-Nagumo模型，研究人員發(fā)現(xiàn)合適頻率和強(qiáng)度的周期力可以改變心肌電信號(hào)中螺旋波的傳播方向和速度，進(jìn)而影響心臟的節(jié)律。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，如BZ反應(yīng)體系，施加周期力能夠改變螺旋波的波長(zhǎng)和周期，使得螺旋波的形態(tài)和動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生改變。噪聲對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)的影響也備受關(guān)注。不同類型的噪聲，如雙態(tài)噪聲、高斯白噪聲、Lévy噪聲等，對(duì)螺旋波的影響機(jī)制各不相同。雙態(tài)噪聲具有兩種不同的噪聲強(qiáng)度，研究不同噪聲強(qiáng)度下螺旋波的演化情況發(fā)現(xiàn)，噪聲強(qiáng)度變化會(huì)導(dǎo)致脈沖波的傳播速度、方向和振幅等特征發(fā)生改變，同時(shí)也會(huì)影響脈沖波的周期和各向異性的演化。Lévy噪聲與高斯白噪聲相比，其幾率密度具有明顯的“翹尾”現(xiàn)象，小尺度事件出現(xiàn)的幾率更高，且會(huì)跳躍式地出現(xiàn)大尺度事件。在強(qiáng)度較小時(shí)，Lévy噪聲對(duì)螺旋波波頭運(yùn)動(dòng)范圍的影響比高斯白噪聲小，但隨著強(qiáng)度增加，螺旋波破碎發(fā)生時(shí)對(duì)應(yīng)Lévy噪聲的最小強(qiáng)度小于高斯白噪聲，說(shuō)明大尺度隨機(jī)變量在Lévy噪聲影響螺旋波破碎時(shí)起到關(guān)鍵作用。在可激反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中，適當(dāng)?shù)脑肼晱?qiáng)度還能使共振帶加寬，產(chǎn)生隨機(jī)共振行為，這表明噪聲在某些情況下對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有建設(shè)性作用。波外力作為環(huán)境中與螺旋波相互作用的外界力，也受到了廣泛研究。血液流動(dòng)、心肌細(xì)胞形變等波外力因素，會(huì)對(duì)心臟電活動(dòng)中螺旋波的演化產(chǎn)生影響。在流體力學(xué)環(huán)境中研究螺旋波，發(fā)現(xiàn)其形態(tài)和周期會(huì)隨著流體的流速、粘性等參數(shù)變化而演化。不同細(xì)胞形變情況下，螺旋波的演化特征也有所不同，波外力還會(huì)對(duì)螺旋波的魯棒性和耗散特性產(chǎn)生影響。盡管目前在復(fù)雜外力對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)影響的研究上已取得一定成果，但仍存在諸多不足與空白。大部分研究集中在單一類型外力對(duì)螺旋波的影響，對(duì)于多種不同類型外力共同作用下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為研究較少。在實(shí)際的生物、化學(xué)等系統(tǒng)中，往往是多種外力同時(shí)存在且相互耦合，例如在心臟中，心肌細(xì)胞既受到血液流動(dòng)產(chǎn)生的波外力作用，又受到神經(jīng)電信號(hào)傳遞帶來(lái)的周期力影響，還會(huì)受到細(xì)胞內(nèi)離子濃度波動(dòng)等因素產(chǎn)生的噪聲干擾，研究多種外力耦合作用下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為，能更真實(shí)地反映實(shí)際系統(tǒng)的情況，但目前這方面的研究還處于起步階段。在研究方法上，雖然數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究取得了不少成果，但理論分析相對(duì)薄弱。對(duì)于一些復(fù)雜外力作用下螺旋波動(dòng)力學(xué)行為的理論解釋還不夠完善，缺乏統(tǒng)一的理論框架來(lái)描述和預(yù)測(cè)不同外力作用下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為。在實(shí)驗(yàn)研究中，精確控制和測(cè)量復(fù)雜外力以及螺旋波的相關(guān)參數(shù)存在一定難度，這也限制了對(duì)復(fù)雜外力與螺旋波相互作用機(jī)制的深入理解。從應(yīng)用角度來(lái)看，雖然復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波動(dòng)力學(xué)的研究在生物醫(yī)學(xué)、化學(xué)工程等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用價(jià)值，但目前將研究成果轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用的案例還較少。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，如何利用對(duì)螺旋波動(dòng)力學(xué)的研究成果開(kāi)發(fā)出更有效的心律失常治療方法，以及在化學(xué)工程中如何通過(guò)調(diào)控復(fù)雜外力來(lái)優(yōu)化化學(xué)反應(yīng)過(guò)程，都還需要進(jìn)一步的探索和研究。二、復(fù)雜外力直接驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)2.1數(shù)學(xué)模型構(gòu)建在復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波動(dòng)力學(xué)的研究中，選擇合適的數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵。FitzHugh-Nagumo模型作為描述可激發(fā)系統(tǒng)的經(jīng)典模型，在螺旋波研究領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。該模型最初是作為Hodgkin-Huxley動(dòng)作電位模型的簡(jiǎn)化提出的，可看作是相互關(guān)聯(lián)的正負(fù)反饋回路的簡(jiǎn)單通用模型，能夠產(chǎn)生各種類型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，包括開(kāi)關(guān)、脈沖和振蕩。通過(guò)在模型中添加擴(kuò)散項(xiàng)，還能產(chǎn)生觸發(fā)波，這些觸發(fā)波可將開(kāi)關(guān)、脈沖和振蕩快速傳播到較遠(yuǎn)的距離。在心肌細(xì)胞電活動(dòng)的研究中，F(xiàn)itzHugh-Nagumo模型能較好地描述心肌細(xì)胞膜電位的變化以及動(dòng)作電位的產(chǎn)生和傳播過(guò)程。本研究以FitzHugh-Nagumo模型為基礎(chǔ)進(jìn)行拓展，以研究復(fù)雜外力直接驅(qū)動(dòng)下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為。FitzHugh-Nagumo模型的基本形式由兩個(gè)耦合的非線性偏微分方程構(gòu)成：\frac{\partialv}{\partialt}=D\nabla^{2}v+v-\frac{v^{3}}{3}-w+I\frac{\partialw}{\partialt}=\epsilon(v+a-bw)其中，v表示膜電位，反映了系統(tǒng)的主要?jiǎng)恿W(xué)變量，在可激媒質(zhì)中，膜電位的變化決定了媒質(zhì)是否被激發(fā)以及激發(fā)的程度。例如在心臟心肌細(xì)胞中，膜電位的變化觸發(fā)心肌細(xì)胞的收縮和舒張，進(jìn)而影響心臟的節(jié)律。w是與v相關(guān)的恢復(fù)變量，它對(duì)膜電位的變化起到調(diào)節(jié)和恢復(fù)的作用。在心肌細(xì)胞中，恢復(fù)變量w與離子通道的狀態(tài)等因素相關(guān)，影響著膜電位恢復(fù)到靜息狀態(tài)的過(guò)程。D是擴(kuò)散系數(shù)，它決定了膜電位在空間中的傳播速度和范圍。在心臟組織中，擴(kuò)散系數(shù)影響著電信號(hào)在心肌細(xì)胞之間的傳播速度，對(duì)心臟整體的電活動(dòng)協(xié)調(diào)起著重要作用。\epsilon控制著恢復(fù)變量w對(duì)系統(tǒng)的延遲，其值的大小影響著系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)速度。當(dāng)\epsilon較小時(shí)，恢復(fù)變量w的變化相對(duì)較慢，系統(tǒng)的響應(yīng)速度也會(huì)變慢；反之，當(dāng)\epsilon較大時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度會(huì)加快。a和b是趨勢(shì)參數(shù)，它們共同影響著極限環(huán)的大小和形狀，進(jìn)而影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。在不同的a和b取值下，F(xiàn)itzHugh-Nagumo模型可以表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)、興奮性和振蕩等不同類型的行為。I是一個(gè)恒定的外部輸入，在本研究中，為了研究復(fù)雜外力的作用，我們將對(duì)其進(jìn)行拓展。為了考慮復(fù)雜外力的作用，在模型中加入復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)F(x,t)，得到擴(kuò)展后的模型方程：\frac{\partialv}{\partialt}=D\nabla^{2}v+v-\frac{v^{3}}{3}-w+I+F(x,t)\frac{\partialw}{\partialt}=\epsilon(v+a-bw)復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)F(x,t)可以根據(jù)具體研究的外力形式進(jìn)行設(shè)定。當(dāng)研究周期力驅(qū)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)(x,t)可以表示為A\sin(\omegat)，其中A是周期力的振幅，反映了外力的強(qiáng)度，\omega是周期力的角頻率，決定了外力作用的頻率。在心臟電活動(dòng)研究中，假設(shè)心臟受到周期性的神經(jīng)電刺激，就可以用這樣的形式來(lái)表示外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。當(dāng)考慮噪聲外力時(shí)，F(xiàn)(x,t)可以用隨機(jī)噪聲函數(shù)來(lái)描述，如高斯白噪聲\xi(x,t)，其滿足\langle\xi(x,t)\xi(x',t')\rangle=2D_n\delta(x-x')\delta(t-t')，其中D_n是噪聲強(qiáng)度，\delta是狄拉克函數(shù)。在研究化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中由于分子熱運(yùn)動(dòng)等因素產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲對(duì)螺旋波的影響時(shí)，就可以采用這樣的噪聲外力形式。若研究波外力，如血液流動(dòng)對(duì)心臟電活動(dòng)中螺旋波的影響，F(xiàn)(x,t)可以根據(jù)血液流動(dòng)的速度、方向等因素構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)形式。假設(shè)血液流動(dòng)速度為u(x,t)，可以構(gòu)建F(x,t)=ku(x,t)，其中k是一個(gè)與血液流動(dòng)對(duì)電活動(dòng)影響程度相關(guān)的系數(shù)。在該模型中，各參數(shù)的取值范圍對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為有著重要影響。擴(kuò)散系數(shù)D通常取值在10^{-4}-10^{-2}，具體取值會(huì)根據(jù)所研究的系統(tǒng)不同而有所差異。在心臟組織中，由于心肌細(xì)胞之間的電信號(hào)傳播相對(duì)較快，擴(kuò)散系數(shù)可能取值較大；而在一些化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，擴(kuò)散系數(shù)可能相對(duì)較小。\epsilon一般取值在0.01-0.1，它決定了恢復(fù)變量w對(duì)系統(tǒng)的延遲程度。當(dāng)\epsilon取值較小時(shí)，恢復(fù)變量w的變化相對(duì)緩慢，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)表現(xiàn)出較為明顯的延遲效應(yīng)；當(dāng)\epsilon取值較大時(shí)，恢復(fù)變量w能較快地響應(yīng)膜電位v的變化，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加迅速。a和b的取值范圍分別為0.1-0.5和0.5-2，它們共同決定了系統(tǒng)的可激性和動(dòng)力學(xué)行為。不同的a和b取值組合會(huì)使系統(tǒng)呈現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)，如雙穩(wěn)態(tài)、振蕩或可激發(fā)態(tài)。例如，當(dāng)a取值較小且b取值較大時(shí)，系統(tǒng)可能更容易處于雙穩(wěn)態(tài)；而當(dāng)a和b取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)可能表現(xiàn)出振蕩行為。對(duì)于復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)中的參數(shù)，如周期力的振幅A和角頻率\omega，噪聲強(qiáng)度D_n等，它們的取值范圍也需要根據(jù)具體的研究問(wèn)題和實(shí)際情況進(jìn)行合理設(shè)定。在研究心臟電活動(dòng)受周期力影響時(shí)，振幅A和角頻率\omega的取值可以參考心臟神經(jīng)電信號(hào)的實(shí)際強(qiáng)度和頻率范圍；在研究噪聲影響時(shí)，噪聲強(qiáng)度D_n的取值可以根據(jù)所研究系統(tǒng)中噪聲的實(shí)際水平進(jìn)行調(diào)整。2.2驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)動(dòng)力學(xué)行為的影響2.2.1驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變通過(guò)數(shù)值模擬方法，對(duì)擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型進(jìn)行求解，深入分析驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。在模擬過(guò)程中，保持模型中其他參數(shù)固定，如擴(kuò)散系數(shù)D=10^{-3}，\epsilon=0.05，a=0.2，b=1，I=0，逐步增大復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)F(x,t)的強(qiáng)度。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)處于“不激發(fā)”狀態(tài)。以心臟電生理系統(tǒng)為例，若將心臟心肌細(xì)胞看作可激媒質(zhì)，當(dāng)外界施加的外力（如神經(jīng)電刺激、藥物作用等模擬的外力）強(qiáng)度較弱時(shí)，心肌細(xì)胞的膜電位變化較小，無(wú)法達(dá)到激發(fā)閾值，心肌細(xì)胞不會(huì)產(chǎn)生動(dòng)作電位，心臟電信號(hào)也不會(huì)傳播，整個(gè)心臟電生理系統(tǒng)處于相對(duì)穩(wěn)定的靜息狀態(tài)。在數(shù)值模擬中，表現(xiàn)為膜電位v和恢復(fù)變量w都保持在相對(duì)穩(wěn)定的低水平，沒(méi)有明顯的波動(dòng)和傳播現(xiàn)象。隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度逐漸增加，系統(tǒng)進(jìn)入“時(shí)空湍流態(tài)”。在心臟電生理系統(tǒng)中，當(dāng)外力強(qiáng)度增大到一定程度時(shí)，心肌細(xì)胞的膜電位會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的波動(dòng)和變化，電信號(hào)的傳播也變得紊亂。這是因?yàn)檩^強(qiáng)的外力干擾破壞了心肌細(xì)胞電活動(dòng)的正常節(jié)律和協(xié)調(diào)性，導(dǎo)致心肌細(xì)胞的興奮和恢復(fù)過(guò)程失去同步，出現(xiàn)了多個(gè)局部的興奮源和傳播路徑，從而使系統(tǒng)呈現(xiàn)出時(shí)空混沌的狀態(tài)。在數(shù)值模擬中，此時(shí)膜電位v和恢復(fù)變量w在空間和時(shí)間上都出現(xiàn)了復(fù)雜的波動(dòng)，系統(tǒng)中出現(xiàn)了大量的不規(guī)則的振蕩和波動(dòng)區(qū)域，這些區(qū)域相互作用、相互干擾，形成了時(shí)空湍流的現(xiàn)象。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度進(jìn)一步增大，系統(tǒng)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)椤巴暾杉げā睜顟B(tài)。在心臟電生理系統(tǒng)中，當(dāng)外力強(qiáng)度足夠大時(shí)，心肌細(xì)胞能夠被穩(wěn)定地激發(fā)，產(chǎn)生有序的動(dòng)作電位傳播，形成完整的可激波。這種可激波能夠在心肌組織中穩(wěn)定傳播，維持心臟的正常節(jié)律。在數(shù)值模擬中，膜電位v和恢復(fù)變量w呈現(xiàn)出周期性的、有序的波動(dòng)，形成了清晰的螺旋波結(jié)構(gòu)，波頭運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)穩(wěn)定，波的傳播速度和周期也具有一定的規(guī)律性。為了更直觀地展示驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的影響，繪制系統(tǒng)狀態(tài)隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的相圖（圖1）。相圖中，橫坐標(biāo)表示驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，縱坐標(biāo)可以選取系統(tǒng)的某個(gè)特征量，如膜電位v的最大值或者系統(tǒng)的平均能量等。通過(guò)相圖可以清晰地看到，隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)從“不激發(fā)”區(qū)域逐漸過(guò)渡到“時(shí)空湍流態(tài)”區(qū)域，最后進(jìn)入“完整可激波”區(qū)域。在不同區(qū)域之間，存在著明顯的邊界，這些邊界對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變的臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度值。例如，當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度達(dá)到某個(gè)臨界值F_{c1}時(shí)，系統(tǒng)從“不激發(fā)”狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椤皶r(shí)空湍流態(tài)”；當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度繼續(xù)增大到另一個(gè)臨界值F_{c2}時(shí)，系統(tǒng)從“時(shí)空湍流態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤巴暾杉げā睜顟B(tài)。對(duì)這些臨界值的準(zhǔn)確確定和分析，有助于深入理解系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的機(jī)制和條件?！敬颂幮璨迦雸D1：系統(tǒng)狀態(tài)隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的相圖】2.2.2驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與可激波形式在支持完整驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度范圍內(nèi)，進(jìn)一步探討受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)完整可激波形式的影響。以BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)為案例進(jìn)行分析，BZ反應(yīng)體系是研究螺旋波的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)體系，其中的化學(xué)螺旋波動(dòng)力學(xué)行為豐富多樣。在BZ反應(yīng)中，通過(guò)改變反應(yīng)物濃度、催化劑濃度等條件，可以調(diào)節(jié)受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)。當(dāng)可激性參數(shù)處于不同范圍時(shí)，在相同的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下，完整可激波會(huì)呈現(xiàn)出不同的形式。當(dāng)受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)滿足一定條件時(shí)，完整可激波可能表現(xiàn)為多臂螺旋波形式。多臂螺旋波具有多個(gè)螺旋臂，不同臂之間的相互作用和協(xié)同演化使得其動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，若反應(yīng)物濃度、催化劑濃度等參數(shù)使得系統(tǒng)的非線性相互作用較強(qiáng)，且存在合適的空間非均勻性或初始擾動(dòng)，就有可能激發(fā)多臂螺旋波。例如，當(dāng)溴酸鉀、丙二酸等反應(yīng)物濃度在一定比例范圍內(nèi)，且金屬鈰離子等催化劑濃度適中時(shí)，反應(yīng)體系中可能會(huì)出現(xiàn)兩臂或三臂的螺旋波。多臂螺旋波的形成與系統(tǒng)中不同區(qū)域之間的反應(yīng)速率差異、擴(kuò)散過(guò)程以及波的相互作用密切相關(guān)。不同臂的波頭運(yùn)動(dòng)軌跡和周期可能存在差異，它們之間的相互作用會(huì)導(dǎo)致波的傳播方向、速度以及形態(tài)發(fā)生變化。在某些可激性參數(shù)條件下，完整可激波可能是激發(fā)態(tài)區(qū)域比驅(qū)動(dòng)波寬許多的單臂螺旋波形式。在這種情況下，單臂螺旋波的激發(fā)態(tài)區(qū)域相對(duì)較寬，表明系統(tǒng)在該區(qū)域內(nèi)的反應(yīng)活性較高，波的傳播范圍較大。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，若通過(guò)調(diào)整反應(yīng)物濃度等參數(shù)，使得反應(yīng)體系中某個(gè)區(qū)域的反應(yīng)速率較快，擴(kuò)散過(guò)程相對(duì)較慢，就可能形成這種激發(fā)態(tài)區(qū)域較寬的單臂螺旋波。這種形式的螺旋波，其波頭運(yùn)動(dòng)相對(duì)較為穩(wěn)定，波的傳播具有一定的方向性，但由于激發(fā)態(tài)區(qū)域較寬，其與周圍環(huán)境的相互作用也更為復(fù)雜，可能會(huì)對(duì)整個(gè)反應(yīng)體系的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生重要影響。當(dāng)受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)處于另一些范圍時(shí)，完整可激波會(huì)呈現(xiàn)出激發(fā)態(tài)區(qū)域與驅(qū)動(dòng)波具有相當(dāng)寬度的單臂螺旋波形式。在BZ反應(yīng)中，若反應(yīng)物濃度、催化劑濃度等參數(shù)使得系統(tǒng)的反應(yīng)活性和擴(kuò)散過(guò)程相對(duì)平衡，就可能形成這種激發(fā)態(tài)區(qū)域與驅(qū)動(dòng)波寬度相當(dāng)?shù)膯伪勐菪?。這種單臂螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)和波的傳播特性相對(duì)較為規(guī)則，其動(dòng)力學(xué)行為相對(duì)較為簡(jiǎn)單，易于進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。與其他形式的可激波相比，這種形式的螺旋波在BZ反應(yīng)體系中的穩(wěn)定性和持續(xù)性可能具有不同的特點(diǎn)，其對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感性也可能有所差異。為了研究可激波形式與驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、可激性參數(shù)之間的定量關(guān)系，進(jìn)行了一系列的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)量。在數(shù)值模擬中，通過(guò)改變模型中的可激性參數(shù)，如a、b等，以及驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，觀察完整可激波形式的變化，并記錄相關(guān)的特征量，如螺旋波的臂數(shù)、波頭運(yùn)動(dòng)軌跡、波的傳播速度和周期等。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，精確控制反應(yīng)物濃度、催化劑濃度等可激性參數(shù)，以及施加不同強(qiáng)度的外部擾動(dòng)（模擬驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度），利用高速攝像、電化學(xué)測(cè)量等技術(shù)手段，觀察和測(cè)量化學(xué)螺旋波的形式和相關(guān)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。通過(guò)對(duì)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，建立可激波形式與驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、可激性參數(shù)之間的關(guān)系模型，為進(jìn)一步理解復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為提供理論支持。2.3多臂螺旋波的產(chǎn)生與穩(wěn)定性分析2.3.1多臂螺旋波產(chǎn)生機(jī)制多臂螺旋波的產(chǎn)生與可激媒質(zhì)的特性以及復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的作用密切相關(guān)。在可激媒質(zhì)中，存在著激發(fā)態(tài)、不應(yīng)期和靜止態(tài)三個(gè)不同的狀態(tài)。當(dāng)媒質(zhì)處于靜止態(tài)時(shí)，若受到外界擾動(dòng)，且擾動(dòng)強(qiáng)度超過(guò)一定閾值，媒質(zhì)就會(huì)被激發(fā)進(jìn)入激發(fā)態(tài)。在激發(fā)態(tài)下，媒質(zhì)會(huì)產(chǎn)生一系列的化學(xué)反應(yīng)或物理過(guò)程，同時(shí)向周圍區(qū)域傳播激發(fā)信號(hào)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，媒質(zhì)進(jìn)入不應(yīng)期，在不應(yīng)期內(nèi)，媒質(zhì)對(duì)外部擾動(dòng)不敏感，無(wú)法再次被激發(fā)。隨著時(shí)間推移，媒質(zhì)又會(huì)恢復(fù)到靜止態(tài)。在復(fù)雜外力直接驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)中，外力的作用會(huì)打破可激媒質(zhì)原有的平衡狀態(tài)，影響媒質(zhì)的激發(fā)、傳播和恢復(fù)過(guò)程。以化學(xué)反應(yīng)中的螺旋波現(xiàn)象為例，在BZ反應(yīng)體系中，當(dāng)體系受到復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)時(shí)，如周期性的溫度變化、濃度梯度的周期性改變等（可看作復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)），體系中的反應(yīng)物濃度、反應(yīng)速率等會(huì)發(fā)生周期性變化。這種周期性變化會(huì)導(dǎo)致媒質(zhì)在不同區(qū)域的激發(fā)和傳播過(guò)程出現(xiàn)差異。假設(shè)在某一時(shí)刻，體系中存在一個(gè)初始擾動(dòng)，這個(gè)擾動(dòng)在可激媒質(zhì)中引發(fā)了一個(gè)激發(fā)波。由于復(fù)雜外力的作用，激發(fā)波在傳播過(guò)程中，不同方向上的傳播速度和范圍受到不同程度的影響。在某些方向上，由于外力的促進(jìn)作用，激發(fā)波傳播速度較快，傳播范圍較大；而在另一些方向上，外力的抑制作用使得激發(fā)波傳播速度較慢，傳播范圍較小。這種傳播的各向異性導(dǎo)致激發(fā)波在傳播過(guò)程中逐漸彎曲，形成螺旋狀。當(dāng)體系中存在多個(gè)這樣的初始擾動(dòng)時(shí)，不同擾動(dòng)引發(fā)的激發(fā)波在傳播過(guò)程中相互作用。如果這些激發(fā)波的相位、頻率等參數(shù)滿足一定條件，它們就會(huì)相互耦合，形成多臂螺旋波。具體來(lái)說(shuō)，不同激發(fā)波的波頭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)相互吸引或排斥，當(dāng)吸引和排斥作用達(dá)到平衡時(shí)，就會(huì)形成穩(wěn)定的多臂螺旋波結(jié)構(gòu)。例如，兩個(gè)激發(fā)波的波頭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若它們之間的距離和相對(duì)相位合適，就會(huì)相互吸引，逐漸靠近并最終形成一個(gè)雙臂螺旋波。在形成多臂螺旋波的過(guò)程中，可激媒質(zhì)的不應(yīng)期也起到了重要作用。不應(yīng)期限制了激發(fā)波的傳播范圍，使得激發(fā)波只能在特定區(qū)域內(nèi)傳播和相互作用，從而促進(jìn)了多臂螺旋波的形成和穩(wěn)定。2.3.2多臂螺旋波穩(wěn)定性條件為了推導(dǎo)多臂螺旋波的穩(wěn)定性條件，對(duì)擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析。假設(shè)系統(tǒng)處于一個(gè)穩(wěn)定的多臂螺旋波狀態(tài)，對(duì)膜電位v和恢復(fù)變量w在該穩(wěn)定狀態(tài)附近進(jìn)行微擾，設(shè)v=v_0+\deltav，w=w_0+\deltaw，其中v_0和w_0是穩(wěn)定狀態(tài)下的膜電位和恢復(fù)變量，\deltav和\deltaw是微小擾動(dòng)。將其代入擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型方程中，忽略高階小量，得到關(guān)于\deltav和\deltaw的線性化方程組：\frac{\partial\deltav}{\partialt}=D\nabla^{2}\deltav+(1-v_0^{2})\deltav-\deltaw+F_1(x,t)\frac{\partial\deltaw}{\partialt}=\epsilon(\deltav-b\deltaw)+F_2(x,t)其中F_1(x,t)和F_2(x,t)是由復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)F(x,t)產(chǎn)生的微擾項(xiàng)。對(duì)上述線性化方程組進(jìn)行傅里葉變換，將其轉(zhuǎn)化到波數(shù)空間，得到特征方程：\begin{vmatrix}\lambda-Dk^{2}-(1-v_0^{2})&1\\-\epsilon&\lambda+\epsilonb\end{vmatrix}=0其中\(zhòng)lambda是特征值，k是波數(shù)。求解特征方程，得到特征值\lambda的表達(dá)式：\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\left[Dk^{2}+(1-v_0^{2})-\epsilonb\pm\sqrt{(Dk^{2}+(1-v_0^{2})-\epsilonb)^{2}+4\epsilon}\right]多臂螺旋波穩(wěn)定的條件是所有特征值的實(shí)部均小于零。即Re(\lambda_{1,2})\lt0。通過(guò)分析特征值的實(shí)部與系統(tǒng)參數(shù)（如擴(kuò)散系數(shù)D、\epsilon、a、b以及復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的相關(guān)參數(shù)）之間的關(guān)系，可以得到多臂螺旋波的穩(wěn)定性條件。為了驗(yàn)證上述穩(wěn)定性條件，進(jìn)行數(shù)值模擬。在數(shù)值模擬中，設(shè)定一系列不同的系統(tǒng)參數(shù)值，包括擴(kuò)散系數(shù)D、\epsilon、a、b以及復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的強(qiáng)度、頻率等參數(shù)。對(duì)于每一組參數(shù)值，通過(guò)數(shù)值求解擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型方程，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。觀察多臂螺旋波在不同參數(shù)條件下的穩(wěn)定性，判斷其是否滿足理論推導(dǎo)得到的穩(wěn)定性條件。以物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為支撐進(jìn)一步說(shuō)明多臂螺旋波的穩(wěn)定性。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)精確控制反應(yīng)條件，如反應(yīng)物濃度、溫度、催化劑濃度等，觀察多臂螺旋波的形成和演化過(guò)程。測(cè)量多臂螺旋波在不同條件下的相關(guān)物理量，如波速、周期、臂長(zhǎng)等。當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件滿足理論推導(dǎo)得到的穩(wěn)定性條件時(shí)，多臂螺旋波能夠穩(wěn)定存在，其波速、周期等物理量保持相對(duì)穩(wěn)定；而當(dāng)實(shí)驗(yàn)條件偏離穩(wěn)定性條件時(shí)，多臂螺旋波會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，如波頭運(yùn)動(dòng)變得不規(guī)則、臂長(zhǎng)發(fā)生變化甚至多臂螺旋波解體等。通過(guò)對(duì)比數(shù)值模擬結(jié)果和物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了多臂螺旋波穩(wěn)定性條件的正確性和可靠性。2.4受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的同步行為2.4.1同步行為量化描述為了準(zhǔn)確描述受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似程度，定義相關(guān)系數(shù)r作為量化物理量。相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算基于受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波在相同時(shí)間和空間點(diǎn)上的信號(hào)值。假設(shè)在某一時(shí)刻t，在空間點(diǎn)x處，受驅(qū)波的信號(hào)值為y_{driven}(x,t)，驅(qū)動(dòng)波的信號(hào)值為y_{driving}(x,t)，對(duì)一定時(shí)間間隔\Deltat和空間區(qū)域\Omega內(nèi)的信號(hào)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。r=\frac{\sum_{x\in\Omega}\sum_{t=t_0}^{t_0+\Deltat}(y_{driven}(x,t)-\overline{y_{driven}})(y_{driving}(x,t)-\overline{y_{driving}})}{\sqrt{\sum_{x\in\Omega}\sum_{t=t_0}^{t_0+\Deltat}(y_{driven}(x,t)-\overline{y_{driven}})^2\sum_{x\in\Omega}\sum_{t=t_0}^{t_0+\Deltat}(y_{driving}(x,t)-\overline{y_{driving}})^2}}其中\(zhòng)overline{y_{driven}}和\overline{y_{driving}}分別是受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波在時(shí)間間隔\Deltat和空間區(qū)域\Omega內(nèi)的平均值。相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是[-1,1]。當(dāng)r=1時(shí)，表示受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波完全正相關(guān)，即兩者的變化趨勢(shì)完全一致，在相同的時(shí)間和空間點(diǎn)上，信號(hào)值的變化方向和幅度都相同。當(dāng)r=-1時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波完全負(fù)相關(guān)，兩者的變化趨勢(shì)完全相反，在相同的時(shí)間和空間點(diǎn)上，一個(gè)波的信號(hào)值增加時(shí)，另一個(gè)波的信號(hào)值則減少。當(dāng)r=0時(shí)，說(shuō)明受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，它們的變化趨勢(shì)沒(méi)有明顯的關(guān)聯(lián)。在心臟電活動(dòng)的研究中，如果把心臟的正常電信號(hào)看作驅(qū)動(dòng)波，而在某種藥物作用下心臟產(chǎn)生的電信號(hào)看作受驅(qū)波，通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，就可以了解藥物對(duì)心臟電信號(hào)的影響程度，判斷藥物作用下的心臟電信號(hào)與正常電信號(hào)的相似性。除了相關(guān)系數(shù)，相位差\Delta\varphi也是描述受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波同步行為的重要物理量。對(duì)于周期性的受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波，假設(shè)受驅(qū)波的相位為\varphi_{driven}(x,t)，驅(qū)動(dòng)波的相位為\varphi_{driving}(x,t)，相位差\Delta\varphi(x,t)=\varphi_{driven}(x,t)-\varphi_{driving}(x,t)。相位差反映了受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波在時(shí)間上的相對(duì)延遲或提前。在一個(gè)周期內(nèi)，相位差的變化情況可以反映受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的同步程度。如果相位差\Delta\varphi在一段時(shí)間內(nèi)保持恒定，說(shuō)明受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的周期相同，且在時(shí)間上存在固定的延遲或提前，它們處于同步狀態(tài)。若相位差\Delta\varphi隨時(shí)間變化較大，說(shuō)明受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的周期存在差異，或者它們的起始相位不穩(wěn)定，兩者的同步性較差。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，若驅(qū)動(dòng)波是周期性的溫度變化信號(hào)，受驅(qū)波是化學(xué)反應(yīng)速率的變化信號(hào)，通過(guò)測(cè)量?jī)烧叩南辔徊睿涂梢粤私鉁囟茸兓c化學(xué)反應(yīng)速率變化之間的時(shí)間關(guān)系，判斷它們是否同步變化。2.4.2驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)同步性的影響在支持完整驅(qū)動(dòng)波的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度范圍內(nèi)，深入研究驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波相似性之間的關(guān)系。通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究，獲得了大量的數(shù)據(jù)。在數(shù)值模擬中，保持?jǐn)U展后的FitzHugh-Nagumo模型中其他參數(shù)固定，如擴(kuò)散系數(shù)D=10^{-3}，\epsilon=0.05，a=0.2，b=1，I=0，逐步改變復(fù)雜外力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)F(x,t)的強(qiáng)度，計(jì)算不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相關(guān)系數(shù)r。實(shí)驗(yàn)研究則選取BZ反應(yīng)體系，通過(guò)精確控制外部擾動(dòng)（模擬驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度），利用高速攝像、電化學(xué)測(cè)量等技術(shù)手段，獲取受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波的信號(hào)值，進(jìn)而計(jì)算相關(guān)系數(shù)r。研究結(jié)果表明，在支持完整驅(qū)動(dòng)波的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度范圍內(nèi)，驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度越小，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性越高，即相關(guān)系數(shù)r越接近1。以心臟電活動(dòng)的數(shù)值模擬為例，當(dāng)施加的外部周期力（模擬驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度）較小時(shí)，心臟電信號(hào)（受驅(qū)波）與正常心臟電信號(hào)（驅(qū)動(dòng)波）的相關(guān)系數(shù)較高，說(shuō)明此時(shí)外部干擾對(duì)心臟電信號(hào)的影響較小，心臟電活動(dòng)能夠較好地保持正常節(jié)律。而當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度逐漸增大時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相關(guān)系數(shù)r逐漸減小，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性降低。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)外部擾動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，反應(yīng)體系中的化學(xué)螺旋波（受驅(qū)波）與理想的驅(qū)動(dòng)波（如理論計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)螺旋波形式）的相關(guān)系數(shù)較高，化學(xué)螺旋波的形態(tài)和動(dòng)力學(xué)行為與理想驅(qū)動(dòng)波較為相似。隨著外部擾動(dòng)強(qiáng)度增大，化學(xué)螺旋波受到的干擾增強(qiáng)，其形態(tài)和動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生改變，與理想驅(qū)動(dòng)波的相關(guān)系數(shù)降低，相似性變差。為了更直觀地展示驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)同步性的影響，繪制相關(guān)系數(shù)r隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的曲線（圖2）。從曲線中可以清晰地看到，隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增加，相關(guān)系數(shù)r逐漸減小，呈現(xiàn)出明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。這一結(jié)果與直覺(jué)相反，通常認(rèn)為驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度越大，受驅(qū)波應(yīng)該越接近驅(qū)動(dòng)波，但實(shí)際研究結(jié)果表明，較小的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度更有利于保持受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性?！敬颂幮璨迦雸D2：相關(guān)系數(shù)r隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的曲線】2.4.3波頭動(dòng)力學(xué)行為分析在不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度和可激性參數(shù)下，對(duì)受驅(qū)螺旋波波頭的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行深入研究。以實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果為依據(jù)，分析受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度等動(dòng)力學(xué)行為。在實(shí)驗(yàn)中，利用高速攝像技術(shù)對(duì)受驅(qū)螺旋波進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè)，通過(guò)圖像處理算法，精確追蹤波頭的位置隨時(shí)間的變化。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，在反應(yīng)體系中加入熒光指示劑，使螺旋波的波陣面能夠在熒光顯微鏡下清晰可見(jiàn)，利用高速熒光攝像系統(tǒng)記錄螺旋波的演化過(guò)程，通過(guò)圖像分析軟件提取波頭的坐標(biāo)信息。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)穩(wěn)定，呈現(xiàn)出近似圓周運(yùn)動(dòng)的形式。這是因?yàn)檩^小的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)螺旋波的干擾較小，螺旋波能夠保持相對(duì)穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)外部擾動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，化學(xué)螺旋波的波頭圍繞中心缺陷點(diǎn)做近似圓周運(yùn)動(dòng)，波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡較為規(guī)則，其運(yùn)動(dòng)周期也相對(duì)穩(wěn)定。波頭的速度大小和方向變化較小，加速度也較小，表明波頭的運(yùn)動(dòng)較為平穩(wěn)。通過(guò)對(duì)波頭位置隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，可以得到波頭的速度和加速度。在這種情況下，波頭的速度在一定范圍內(nèi)波動(dòng)較小，加速度的絕對(duì)值也較小，說(shuō)明波頭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的外力相對(duì)穩(wěn)定，沒(méi)有發(fā)生劇烈的變化。隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度逐漸增大，受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡變得不規(guī)則，出現(xiàn)了漂移、扭曲等現(xiàn)象。這是因?yàn)檩^大的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)螺旋波產(chǎn)生了較強(qiáng)的干擾，破壞了螺旋波原有的穩(wěn)定性。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)外部擾動(dòng)強(qiáng)度增大時(shí)，化學(xué)螺旋波的波頭不再做規(guī)則的圓周運(yùn)動(dòng)，而是出現(xiàn)了明顯的漂移，波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡變得扭曲，不再具有明顯的規(guī)律性。波頭的速度和加速度也出現(xiàn)了較大的變化，速度大小和方向隨時(shí)間快速改變，加速度的大小和方向也呈現(xiàn)出復(fù)雜的變化。通過(guò)對(duì)波頭位置隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)波頭的速度在不同時(shí)刻有較大的差異，加速度的變化也較為劇烈，說(shuō)明波頭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到了復(fù)雜的外力作用，導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)行為變得不穩(wěn)定。受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為也有顯著影響。當(dāng)可激性參數(shù)使得系統(tǒng)的可激性增強(qiáng)時(shí)，受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)增加，波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡也可能會(huì)發(fā)生變化。在心臟電活動(dòng)中，如果心肌細(xì)胞的可激性增強(qiáng)，心肌電信號(hào)中螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)加快，這可能會(huì)導(dǎo)致心臟節(jié)律的改變。相反，當(dāng)可激性參數(shù)使得系統(tǒng)的可激性減弱時(shí)，受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)降低，波頭的穩(wěn)定性可能會(huì)增強(qiáng)。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，如果通過(guò)調(diào)整反應(yīng)物濃度等可激性參數(shù)，使系統(tǒng)的可激性減弱，化學(xué)螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)變慢，波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡可能會(huì)更加穩(wěn)定。通過(guò)對(duì)不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度和可激性參數(shù)下受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為的研究，進(jìn)一步驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波相似性之間的關(guān)系。當(dāng)波頭動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)出不穩(wěn)定、不規(guī)則時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性往往較低；而當(dāng)波頭動(dòng)力學(xué)行為相對(duì)穩(wěn)定、規(guī)則時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性較高。三、復(fù)雜外力差值驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)3.1差值驅(qū)動(dòng)模型建立為了研究復(fù)雜外力差值驅(qū)動(dòng)下的螺旋波動(dòng)力學(xué)行為，構(gòu)建一個(gè)基于FitzHugh-Nagumo模型的差值驅(qū)動(dòng)模型。該模型可以看作是單向耦合的雙層系統(tǒng)，上層為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，下層為受驅(qū)系統(tǒng)。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的FitzHugh-Nagumo模型方程為：\frac{\partialv_{1}}{\partialt}=D_1\nabla^{2}v_{1}+v_{1}-\frac{v_{1}^{3}}{3}-w_{1}+I_1\frac{\partialw_{1}}{\partialt}=\epsilon_1(v_{1}+a_1-b_1w_{1})其中v_{1}和w_{1}分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的膜電位和恢復(fù)變量，D_1是擴(kuò)散系數(shù)，\epsilon_1控制恢復(fù)變量的延遲，a_1和b_1是趨勢(shì)參數(shù)，I_1是外部輸入。受驅(qū)系統(tǒng)的方程在FitzHugh-Nagumo模型基礎(chǔ)上，引入與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的差值驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，形式如下：\frac{\partialv_{2}}{\partialt}=D_2\nabla^{2}v_{2}+v_{2}-\frac{v_{2}^{3}}{3}-w_{2}+I_2+c(v_{1}-v_{2})\frac{\partialw_{2}}{\partialt}=\epsilon_2(v_{2}+a_2-b_2w_{2})這里v_{2}和w_{2}是受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位和恢復(fù)變量，D_2、\epsilon_2、a_2、b_2和I_2分別是相應(yīng)的參數(shù)。c是耦合強(qiáng)度，代表差值驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)度，c(v_{1}-v_{2})就是差值驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，它體現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)之間的相互作用，通過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與受驅(qū)系統(tǒng)膜電位的差值來(lái)影響受驅(qū)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。與直接驅(qū)動(dòng)模型相比，差值驅(qū)動(dòng)模型的特點(diǎn)在于其驅(qū)動(dòng)作用是通過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與受驅(qū)系統(tǒng)狀態(tài)變量（這里是膜電位）的差值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而不是直接在受驅(qū)系統(tǒng)方程中添加外力項(xiàng)。這種驅(qū)動(dòng)方式使得受驅(qū)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不僅取決于外力的強(qiáng)度，還與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)自身的狀態(tài)密切相關(guān)。在心臟電活動(dòng)研究中，如果將心臟不同區(qū)域的心肌細(xì)胞分別看作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)，差值驅(qū)動(dòng)模型就能更好地描述不同區(qū)域心肌細(xì)胞之間通過(guò)電信號(hào)差值相互影響的情況。差值驅(qū)動(dòng)模型適用于研究?jī)蓚€(gè)相互關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)之間，通過(guò)狀態(tài)差異進(jìn)行能量或信息傳遞和相互作用的場(chǎng)景。在生物系統(tǒng)中，不同組織或器官之間的信號(hào)傳遞和相互調(diào)節(jié)，往往是通過(guò)它們自身狀態(tài)的差異來(lái)實(shí)現(xiàn)的，差值驅(qū)動(dòng)模型可以用于這類情況的研究。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，當(dāng)存在兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的反應(yīng)區(qū)域，一個(gè)區(qū)域的反應(yīng)狀態(tài)會(huì)影響另一個(gè)區(qū)域，且這種影響是基于兩個(gè)區(qū)域反應(yīng)狀態(tài)的差異時(shí)，差值驅(qū)動(dòng)模型也能發(fā)揮作用。在材料科學(xué)中，研究不同材料界面處的物理性質(zhì)變化和相互作用，差值驅(qū)動(dòng)模型也具有一定的適用性。3.2驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與可激性參數(shù)的影響3.2.1驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)激發(fā)的影響通過(guò)數(shù)值模擬，深入分析差值驅(qū)動(dòng)下驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度與受驅(qū)系統(tǒng)激發(fā)狀態(tài)的關(guān)系。在模擬過(guò)程中，保持差值驅(qū)動(dòng)模型中其他參數(shù)固定，如D_1=D_2=10^{-3}，\epsilon_1=\epsilon_2=0.05，a_1=a_2=0.2，b_1=b_2=1，I_1=I_2=0，逐步增大耦合強(qiáng)度c（即差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度）。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)處于穩(wěn)定的“不激發(fā)”狀態(tài)。以心臟組織模擬實(shí)驗(yàn)為例，將心臟不同區(qū)域的心肌細(xì)胞分別看作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)的心肌細(xì)胞膜電位穩(wěn)定在靜息電位水平，不會(huì)產(chǎn)生動(dòng)作電位，心肌細(xì)胞不發(fā)生收縮，心臟電信號(hào)無(wú)法傳播，整個(gè)心臟處于相對(duì)穩(wěn)定的靜息狀態(tài)。在數(shù)值模擬中，受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位v_2和恢復(fù)變量w_2都保持在相對(duì)穩(wěn)定的低水平，沒(méi)有明顯的波動(dòng)和傳播現(xiàn)象。隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度逐漸增加，受驅(qū)系統(tǒng)進(jìn)入“時(shí)空湍流態(tài)”。在心臟組織模擬實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增大到一定程度時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)的心肌細(xì)胞膜電位會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的波動(dòng)和變化，電信號(hào)的傳播也變得紊亂。這是因?yàn)檩^強(qiáng)的差值驅(qū)動(dòng)破壞了受驅(qū)系統(tǒng)心肌細(xì)胞電活動(dòng)的正常節(jié)律和協(xié)調(diào)性，導(dǎo)致心肌細(xì)胞的興奮和恢復(fù)過(guò)程失去同步，出現(xiàn)了多個(gè)局部的興奮源和傳播路徑，從而使受驅(qū)系統(tǒng)呈現(xiàn)出時(shí)空混沌的狀態(tài)。在數(shù)值模擬中，此時(shí)受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位v_2和恢復(fù)變量w_2在空間和時(shí)間上都出現(xiàn)了復(fù)雜的波動(dòng)，系統(tǒng)中出現(xiàn)了大量的不規(guī)則的振蕩和波動(dòng)區(qū)域，這些區(qū)域相互作用、相互干擾，形成了時(shí)空湍流的現(xiàn)象。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度進(jìn)一步增大，受驅(qū)系統(tǒng)會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)椤巴暾杉げā睜顟B(tài)。在心臟組織模擬實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度足夠大時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)的心肌細(xì)胞能夠被穩(wěn)定地激發(fā)，產(chǎn)生有序的動(dòng)作電位傳播，形成完整的可激波。這種可激波能夠在心肌組織中穩(wěn)定傳播，維持心臟的正常節(jié)律。在數(shù)值模擬中，受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位v_2和恢復(fù)變量w_2呈現(xiàn)出周期性的、有序的波動(dòng)，形成了清晰的單臂螺旋波結(jié)構(gòu)，波頭運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)穩(wěn)定，波的傳播速度和周期也具有一定的規(guī)律性。對(duì)比直接驅(qū)動(dòng)方案，差值驅(qū)動(dòng)方案下受驅(qū)系統(tǒng)不激發(fā)對(duì)應(yīng)的上限驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度值要遠(yuǎn)高于直接驅(qū)動(dòng)方案。在直接驅(qū)動(dòng)方案中，當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度達(dá)到某個(gè)相對(duì)較小的值時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)就可能從“不激發(fā)”狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌麪顟B(tài)；而在差值驅(qū)動(dòng)方案中，需要更大的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度才會(huì)使受驅(qū)系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)變。這是因?yàn)椴钪凋?qū)動(dòng)是通過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與受驅(qū)系統(tǒng)狀態(tài)變量的差值來(lái)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)作用，其對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響相對(duì)較為間接，需要更強(qiáng)的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度才能打破受驅(qū)系統(tǒng)原有的穩(wěn)定狀態(tài)。在心臟組織模擬實(shí)驗(yàn)中，直接施加外力（如電刺激）時(shí)，較小的刺激強(qiáng)度就可能引發(fā)心肌細(xì)胞的興奮和電信號(hào)傳播；而通過(guò)差值驅(qū)動(dòng)，即利用不同區(qū)域心肌細(xì)胞電信號(hào)的差值來(lái)驅(qū)動(dòng)時(shí)，需要更大的差值強(qiáng)度才能達(dá)到相同的效果。3.2.2可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)波的影響探討受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)中完整波（單臂螺旋波）激發(fā)態(tài)寬度的影響。以生物電信號(hào)傳播為例，在神經(jīng)細(xì)胞的電信號(hào)傳播過(guò)程中，神經(jīng)細(xì)胞膜電位的變化可看作是一種可激波的傳播，而神經(jīng)細(xì)胞的可激性參數(shù)（如離子通道的特性、細(xì)胞膜的電容和電阻等）會(huì)影響電信號(hào)的傳播特性。當(dāng)受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)中完整波的激發(fā)態(tài)寬度會(huì)相應(yīng)改變。在差值驅(qū)動(dòng)模型中，若增大受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)，如增大a_2的值，會(huì)使受驅(qū)系統(tǒng)更容易被激發(fā)。在生物電信號(hào)傳播中，這類似于神經(jīng)細(xì)胞的興奮性增強(qiáng)，電信號(hào)更容易在神經(jīng)細(xì)胞中傳播。此時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)中完整波的激發(fā)態(tài)寬度可能會(huì)增大，即電信號(hào)傳播的范圍更廣。因?yàn)榭杉ば栽鰪?qiáng)使得更多的區(qū)域能夠被激發(fā)，從而擴(kuò)大了激發(fā)態(tài)的范圍。相反，若減小受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)，如減小a_2的值，受驅(qū)系統(tǒng)的可激性降低，完整波的激發(fā)態(tài)寬度可能會(huì)減小。在這種情況下，神經(jīng)細(xì)胞的興奮性降低，電信號(hào)傳播的范圍受到限制。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)中完整波激發(fā)態(tài)寬度也有影響。若增大驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)，如增大a_1的值，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度和范圍可能會(huì)發(fā)生變化。在生物電信號(hào)傳播中，這類似于驅(qū)動(dòng)神經(jīng)細(xì)胞的興奮性增強(qiáng)，其產(chǎn)生的電信號(hào)更強(qiáng)或傳播范圍更廣。這種變化會(huì)通過(guò)差值驅(qū)動(dòng)項(xiàng)影響受驅(qū)系統(tǒng)，可能導(dǎo)致受驅(qū)系統(tǒng)中完整波的激發(fā)態(tài)寬度發(fā)生改變。具體來(lái)說(shuō)，如果驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度增大，通過(guò)差值驅(qū)動(dòng)，可能會(huì)使受驅(qū)系統(tǒng)中更多的區(qū)域被激發(fā)，從而增大完整波的激發(fā)態(tài)寬度；反之，如果驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度減小，受驅(qū)系統(tǒng)中完整波的激發(fā)態(tài)寬度可能會(huì)減小。為了研究可激性參數(shù)與激發(fā)態(tài)寬度之間的定量關(guān)系，進(jìn)行了一系列的數(shù)值模擬。在數(shù)值模擬中，系統(tǒng)地改變受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)，如a_1、a_2、b_1、b_2等，測(cè)量受驅(qū)系統(tǒng)中完整波的激發(fā)態(tài)寬度。通過(guò)對(duì)模擬數(shù)據(jù)的分析，建立可激性參數(shù)與激發(fā)態(tài)寬度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系模型。結(jié)果表明，受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)激發(fā)態(tài)寬度的影響更為直接和顯著，當(dāng)受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)增大時(shí)，激發(fā)態(tài)寬度近似呈線性增大；而驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)激發(fā)態(tài)寬度的影響相對(duì)較為復(fù)雜，不僅與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可激性參數(shù)的變化方向有關(guān)，還與受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)以及差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度等因素有關(guān)。3.3受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的同步行為3.3.1同步行為特征分析在差值驅(qū)動(dòng)模型中，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的同步行為表現(xiàn)出獨(dú)特的特征。以耦合振子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)為案例進(jìn)行分析，耦合振子系統(tǒng)可以看作是一種簡(jiǎn)單的可激媒質(zhì)系統(tǒng)，其中振子之間的相互作用類似于差值驅(qū)動(dòng)模型中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與受驅(qū)系統(tǒng)之間的相互作用。在耦合振子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，將多個(gè)振子按照一定的方式耦合在一起，其中一部分振子作為驅(qū)動(dòng)振子，另一部分作為受驅(qū)振子。通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)頻率、振幅等參數(shù)，觀察受驅(qū)振子的振動(dòng)行為。當(dāng)驅(qū)動(dòng)振子和受驅(qū)振子之間的耦合強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)振子的振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)存在一定的相位差和頻率差異，它們之間的同步性較差。這是因?yàn)檩^小的耦合強(qiáng)度使得驅(qū)動(dòng)振子對(duì)受驅(qū)振子的影響相對(duì)較弱，受驅(qū)振子還受到自身內(nèi)部因素以及外界環(huán)境噪聲等的影響，導(dǎo)致其振動(dòng)行為與驅(qū)動(dòng)振子不完全一致。隨著耦合強(qiáng)度逐漸增加，受驅(qū)振子與驅(qū)動(dòng)振子的振動(dòng)逐漸趨于同步。在相位同步方面，受驅(qū)振子的振動(dòng)相位逐漸與驅(qū)動(dòng)振子的相位接近，相位差逐漸減小。當(dāng)耦合強(qiáng)度達(dá)到一定程度時(shí)，受驅(qū)振子與驅(qū)動(dòng)振子的相位差可以保持在一個(gè)較小的范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)相位同步。在頻率同步方面，受驅(qū)振子的振動(dòng)頻率也逐漸向驅(qū)動(dòng)振子的頻率靠攏，最終達(dá)到頻率同步。在差值驅(qū)動(dòng)模型中，當(dāng)耦合強(qiáng)度（差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度）增大時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位v_2和恢復(fù)變量w_2的變化逐漸受到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的主導(dǎo)，受驅(qū)波的相位和頻率也逐漸與驅(qū)動(dòng)波趨于一致。這是因?yàn)檩^強(qiáng)的差值驅(qū)動(dòng)使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響增強(qiáng)，受驅(qū)系統(tǒng)逐漸跟隨驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的變化而變化。當(dāng)耦合強(qiáng)度繼續(xù)增大到一定程度后，受驅(qū)振子與驅(qū)動(dòng)振子會(huì)進(jìn)入完全同步狀態(tài)。在這種狀態(tài)下，受驅(qū)振子的振動(dòng)相位和頻率與驅(qū)動(dòng)振子完全相同，它們的振動(dòng)行為完全一致。在差值驅(qū)動(dòng)模型中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度足夠大時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波在相位和頻率上完全同步，受驅(qū)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)幾乎相同。此時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)中的單臂螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、周期等參數(shù)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的螺旋波參數(shù)基本一致，受驅(qū)系統(tǒng)完全跟隨驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的變化而變化。3.3.2驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)同步相似性的影響為了量化分析驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化時(shí)受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波相似性的變化，通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲取相關(guān)數(shù)據(jù)。在數(shù)值模擬中，在差值驅(qū)動(dòng)模型中，保持其他參數(shù)固定，如D_1=D_2=10^{-3}，\epsilon_1=\epsilon_2=0.05，a_1=a_2=0.2，b_1=b_2=1，I_1=I_2=0，逐步改變耦合強(qiáng)度c（差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度），計(jì)算不同驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度下受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相關(guān)系數(shù)r。實(shí)驗(yàn)研究則選取BZ反應(yīng)體系，通過(guò)精確控制驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)的條件，利用高速攝像、電化學(xué)測(cè)量等技術(shù)手段，獲取受驅(qū)波和驅(qū)動(dòng)波的信號(hào)值，進(jìn)而計(jì)算相關(guān)系數(shù)r。研究結(jié)果表明，隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增大，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性逐漸提高。在差值驅(qū)動(dòng)模型中，當(dāng)耦合強(qiáng)度c較小時(shí)，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相關(guān)系數(shù)r較小，說(shuō)明它們之間的相似性較低。這是因?yàn)檩^小的耦合強(qiáng)度使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響較小，受驅(qū)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更多地受到自身內(nèi)部因素的支配，與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的差異較大。以BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)為例，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)中的化學(xué)螺旋波的形態(tài)和動(dòng)力學(xué)行為與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的螺旋波有明顯差異，它們的波頭運(yùn)動(dòng)軌跡、周期等參數(shù)都不同。隨著耦合強(qiáng)度c逐漸增大，相關(guān)系數(shù)r逐漸增大，受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性逐漸增強(qiáng)。這是因?yàn)殡S著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增加，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響逐漸增強(qiáng)，受驅(qū)系統(tǒng)逐漸跟隨驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的變化而變化，其動(dòng)力學(xué)行為與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)越來(lái)越相似。在BZ反應(yīng)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增大時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)中的化學(xué)螺旋波逐漸向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的螺旋波靠攏，它們的波頭運(yùn)動(dòng)軌跡逐漸變得相似，周期也逐漸趨于一致。為了更直觀地展示驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)同步相似性的影響，繪制相關(guān)系數(shù)r隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的曲線（圖3）。從曲線中可以清晰地看到，相關(guān)系數(shù)r隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增大而單調(diào)遞增，呈現(xiàn)出明顯的正相關(guān)關(guān)系。這一結(jié)果與雙向耦合雙層系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)行為是定性一致的。在雙向耦合雙層系統(tǒng)中，隨著耦合強(qiáng)度的增大，兩個(gè)系統(tǒng)之間的相互作用增強(qiáng)，它們的動(dòng)力學(xué)行為也逐漸趨于相似。在差值驅(qū)動(dòng)模型中，這種正相關(guān)關(guān)系表明，通過(guò)增大差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，可以有效地提高受驅(qū)波與驅(qū)動(dòng)波的相似性，使受驅(qū)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更接近驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。【此處需插入圖3：相關(guān)系數(shù)r隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的曲線】3.4受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為研究在差值驅(qū)動(dòng)模型中，深入研究驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為的影響。通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)，獲取了豐富的數(shù)據(jù)和現(xiàn)象，為分析提供了堅(jiān)實(shí)的依據(jù)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，受驅(qū)螺旋波波頭運(yùn)動(dòng)軌跡較為規(guī)則，近似為圓周運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檩^小的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的干擾較小，受驅(qū)系統(tǒng)能夠保持相對(duì)穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)特性。以心臟電活動(dòng)為例，在差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度較小時(shí)，心肌電信號(hào)中的螺旋波波頭圍繞中心區(qū)域做近似圓周運(yùn)動(dòng)，波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡較為穩(wěn)定，其運(yùn)動(dòng)周期也相對(duì)固定。這是由于此時(shí)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響較弱，受驅(qū)系統(tǒng)主要受自身內(nèi)部因素的支配，保持著相對(duì)穩(wěn)定的電活動(dòng)狀態(tài)。隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度逐漸增大，受驅(qū)螺旋波波頭運(yùn)動(dòng)軌跡變得不規(guī)則，出現(xiàn)漂移、扭曲等現(xiàn)象。在心臟電活動(dòng)中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增大時(shí)，心肌電信號(hào)中的螺旋波波頭不再做規(guī)則的圓周運(yùn)動(dòng)，而是出現(xiàn)明顯的漂移和扭曲。這是因?yàn)檩^大的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)受驅(qū)系統(tǒng)的影響增強(qiáng)，打破了受驅(qū)系統(tǒng)原有的穩(wěn)定性，導(dǎo)致波頭運(yùn)動(dòng)受到更多復(fù)雜因素的影響。在數(shù)值模擬中，當(dāng)差值驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增大時(shí)，受驅(qū)系統(tǒng)的膜電位和恢復(fù)變量的變化變得更加復(fù)雜，從而導(dǎo)致波頭運(yùn)動(dòng)軌跡的不規(guī)則性增加。受驅(qū)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)對(duì)受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為也有顯著影響。當(dāng)受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)增大時(shí)，受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)增加。在心臟電活動(dòng)中，如果心肌細(xì)胞的可激性增強(qiáng)，心肌電信號(hào)中螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)加快。這是因?yàn)榭杉ば詤?shù)的增大使得心肌細(xì)胞更容易被激發(fā)，電信號(hào)的傳播速度加快，從而導(dǎo)致波頭運(yùn)動(dòng)速度增加。相反，當(dāng)受驅(qū)系統(tǒng)的可激性參數(shù)減小時(shí)，波頭運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)降低。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，如果通過(guò)調(diào)整反應(yīng)物濃度等可激性參數(shù)，使系統(tǒng)的可激性減弱，化學(xué)螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)速度可能會(huì)變慢。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)也會(huì)對(duì)受驅(qū)螺旋波波頭動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生影響。若驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可激性參數(shù)增大，驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度和傳播范圍可能會(huì)發(fā)生變化。在心臟電活動(dòng)中，如果驅(qū)動(dòng)心肌細(xì)胞的可激性增強(qiáng)，其產(chǎn)生的電信號(hào)更強(qiáng)或傳播范圍更廣。這種變化會(huì)通過(guò)差值驅(qū)動(dòng)項(xiàng)影響受驅(qū)系統(tǒng)，可能導(dǎo)致受驅(qū)螺旋波波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度等發(fā)生改變。如果驅(qū)動(dòng)波的強(qiáng)度增大，通過(guò)差值驅(qū)動(dòng)，可能會(huì)使受驅(qū)系統(tǒng)中更多的區(qū)域被激發(fā)，從而改變波頭的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度。四、兩種驅(qū)動(dòng)方案下的線性穩(wěn)定分析4.1直接驅(qū)動(dòng)方案的線性穩(wěn)定分析4.1.1特征方程推導(dǎo)對(duì)于直接驅(qū)動(dòng)方案下的受驅(qū)系統(tǒng)，我們基于擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型進(jìn)行線性化處理。設(shè)系統(tǒng)處于某一穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)膜電位為v_0，恢復(fù)變量為w_0。在該穩(wěn)定狀態(tài)附近引入微小擾動(dòng)，令v=v_0+\deltav，w=w_0+\deltaw，其中\(zhòng)deltav和\deltaw分別表示膜電位和恢復(fù)變量的微小變化量。將v和w代入擴(kuò)展后的FitzHugh-Nagumo模型方程：\frac{\partialv}{\partialt}=D\nabla^{2}v+v-\frac{v^{3}}{3}-w+I+F(x,t)\frac{\partialw}{\partialt}=\epsilon(v+a-bw)得到：\frac{\partial(v_0+\deltav)}{\partialt}=D\nabla^{2}(v_0+\deltav)+(v_0+\deltav)-\frac{(v_0+\deltav)^{3}}{3}-(w_0+\deltaw)+I+F(x,t)\frac{\partial(w_0+\deltaw)}{\partialt}=\epsilon((v_0+\deltav)+a-b(w_0+\deltaw))由于v_0和w_0滿足原方程，即：\frac{\partialv_0}{\partialt}=D\nabla^{2}v_0+v_0-\frac{v_0^{3}}{3}-w_0+I+F(x,t)\frac{\partialw_0}{\partialt}=\epsilon(v_0+a-bw_0)將上述兩式相減，忽略\deltav和\deltaw的高階項(xiàng)，得到線性化后的方程組：\frac{\partial\deltav}{\partialt}=D\nabla^{2}\deltav+(1-v_0^{2})\deltav-\deltaw\frac{\partial\deltaw}{\partialt}=\epsilon(\deltav-b\deltaw)對(duì)上述線性化方程組進(jìn)行傅里葉變換，將其從實(shí)空間轉(zhuǎn)換到波數(shù)空間。設(shè)\deltav(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltav}(k,t)e^{ikx}dk，\deltaw(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltaw}(k,t)e^{ikx}dk，其中\(zhòng)hat{\deltav}(k,t)和\hat{\deltaw}(k,t)分別是\deltav和\deltaw在波數(shù)空間的傅里葉變換。將傅里葉變換代入線性化方程組，得到：\frac{\partial\hat{\deltav}(k,t)}{\partialt}=-Dk^{2}\hat{\deltav}(k,t)+(1-v_0^{2})\hat{\deltav}(k,t)-\hat{\deltaw}(k,t)\frac{\partial\hat{\deltaw}(k,t)}{\partialt}=\epsilon(\hat{\deltav}(k,t)-b\hat{\deltaw}(k,t))寫成矩陣形式為：\frac{\partial}{\partialt}\begin{pmatrix}\hat{\deltav}(k,t)\\\hat{\deltaw}(k,t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-Dk^{2}+1-v_0^{2}&-1\\\epsilon&-\epsilonb\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat{\deltav}(k,t)\\\hat{\deltaw}(k,t)\end{pmatrix}令\lambda為特征值，假設(shè)解的形式為\begin{pmatrix}\hat{\deltav}(k,t)\\\hat{\deltaw}(k,t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}e^{\lambdat}，代入上述矩陣方程，得到：\lambda\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-Dk^{2}+1-v_0^{2}&-1\\\epsilon&-\epsilonb\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}為了使上述方程有非零解，系數(shù)矩陣的行列式必須為零，即：\begin{vmatrix}\lambda+Dk^{2}-(1-v_0^{2})&1\\-\epsilon&\lambda+\epsilonb\end{vmatrix}=0展開(kāi)行列式，得到特征方程：(\lambda+Dk^{2}-(1-v_0^{2}))(\lambda+\epsilonb)+\epsilon=0\lambda^{2}+(\epsilonb+Dk^{2}-(1-v_0^{2}))\lambda+\epsilonb(Dk^{2}-(1-v_0^{2}))+\epsilon=0推導(dǎo)過(guò)程的理論依據(jù)主要基于線性穩(wěn)定性分析的基本原理。在系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)附近引入微小擾動(dòng)，通過(guò)忽略高階項(xiàng)進(jìn)行線性化處理，將偏微分方程轉(zhuǎn)換為常微分方程，再利用傅里葉變換將方程從實(shí)空間轉(zhuǎn)換到波數(shù)空間，從而得到特征方程。這種方法在研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)廣泛應(yīng)用，能夠揭示系統(tǒng)在微小擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及穩(wěn)定性的條件。4.1.2特征根分析與結(jié)果討論對(duì)上述特征方程\lambda^{2}+(\epsilonb+Dk^{2}-(1-v_0^{2}))\lambda+\epsilonb(Dk^{2}-(1-v_0^{2}))+\epsilon=0，根據(jù)一元二次方程求根公式\lambda=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}（這里A=1，B=\epsilonb+Dk^{2}-(1-v_0^{2})，C=\epsilonb(Dk^{2}-(1-v_0^{2}))+\epsilon），可以得到特征根\lambda_{1,2}的表達(dá)式：\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\left[-(\epsilonb+Dk^{2}-(1-v_0^{2}))\pm\sqrt{(\epsilonb+Dk^{2}-(1-v_0^{2}))^{2}-4(\epsilonb(Dk^{2}-(1-v_0^{2}))+\epsilon)}\right]特征根的實(shí)部和虛部對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為有著至關(guān)重要的影響。若特征根的實(shí)部Re(\lambda_{1,2})\lt0，則意味著微小擾動(dòng)會(huì)隨著時(shí)間逐漸衰減，系統(tǒng)在該狀態(tài)下是穩(wěn)定的。在心臟電活動(dòng)的研究中，如果根據(jù)特征方程計(jì)算得到的特征根實(shí)部小于零，說(shuō)明心臟電信號(hào)中的螺旋波在當(dāng)前參數(shù)條件下能夠保持穩(wěn)定，不會(huì)發(fā)生破裂或出現(xiàn)異常的節(jié)律變化。反之，若存在特征根的實(shí)部Re(\lambda_{1,2})\geq0，微小擾動(dòng)會(huì)隨時(shí)間增長(zhǎng)，系統(tǒng)將失去穩(wěn)定性，可能會(huì)出現(xiàn)螺旋波破裂、時(shí)空混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)特征根的實(shí)部大于零時(shí)，心臟電信號(hào)中的螺旋波可能會(huì)發(fā)生破裂，導(dǎo)致心律失常等疾病。特征根的虛部Im(\lambda_{1,2})則與系統(tǒng)的振蕩特性相關(guān)。若虛部不為零，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出振蕩行為，虛部的大小決定了振蕩的頻率。在化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，特征根虛部不為零可能導(dǎo)致化學(xué)螺旋波的波頭運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)出周期性的振蕩，虛部越大，振蕩頻率越高。特征根的模|\lambda_{1,2}|=\sqrt{Re(\lambda_{1,2})^{2}+Im(\lambda_{1,2})^{2}}也能反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為。模越小，說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)微小擾動(dòng)的響應(yīng)越弱，穩(wěn)定性相對(duì)越高；模越大，系統(tǒng)對(duì)微小擾動(dòng)的響應(yīng)越強(qiáng)，穩(wěn)定性相對(duì)越低。在材料科學(xué)中，研究外力驅(qū)動(dòng)下螺旋波在材料中的傳播時(shí)，若特征根的模較小，說(shuō)明材料中的螺旋波在受到微小外力擾動(dòng)時(shí)，能夠保持相對(duì)穩(wěn)定的傳播狀態(tài)，材料的性能也相對(duì)穩(wěn)定。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，進(jìn)一步深入分析特征根的性質(zhì)。設(shè)定一系列不同的系統(tǒng)參數(shù)值，包括擴(kuò)散系數(shù)D、\epsilon、a、b以及穩(wěn)定狀態(tài)下的膜電位v_0等。對(duì)于每一組參數(shù)值，計(jì)算特征根\lambda_{1,2}的實(shí)部、虛部和模。以心臟電活動(dòng)的數(shù)值模擬為例，固定擴(kuò)散系數(shù)D=10^{-3}，\epsilon=0.05，a=0.2，b=1，改變穩(wěn)定狀態(tài)下的膜電位v_0，計(jì)算得到不同v_0值對(duì)應(yīng)的特征根。當(dāng)v_0較小時(shí)，特征根的實(shí)部均小于零，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，螺旋波能夠穩(wěn)定存在，波頭運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)規(guī)則。隨著v_0逐漸增大，特征根的實(shí)部逐漸增大，當(dāng)v_0達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)，出現(xiàn)特征根實(shí)部大于零的情況，系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，螺旋波開(kāi)始破裂，波頭運(yùn)動(dòng)變得不規(guī)則，出現(xiàn)時(shí)空混沌現(xiàn)象。在這個(gè)過(guò)程中，特征根的虛部也會(huì)發(fā)生變化，隨著系統(tǒng)接近失穩(wěn)狀態(tài)，虛部逐漸增大，表明系統(tǒng)的振蕩特性增強(qiáng)。通過(guò)對(duì)不同參數(shù)條件下特征根的數(shù)值計(jì)算和分析，驗(yàn)證了特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為之間的關(guān)系，為理解復(fù)雜外力直接驅(qū)動(dòng)下螺旋波的動(dòng)力學(xué)行為提供了重要的理論支持。4.2差值驅(qū)動(dòng)方案的線性穩(wěn)定分析4.2.1特征方程推導(dǎo)對(duì)于差值驅(qū)動(dòng)方案下的受驅(qū)系統(tǒng)，基于差值驅(qū)動(dòng)模型進(jìn)行線性化處理。設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，膜電位為v_{10}，恢復(fù)變量為w_{10}；受驅(qū)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，膜電位為v_{20}，恢復(fù)變量為w_{20}。在穩(wěn)定狀態(tài)附近引入微小擾動(dòng)，令v_1=v_{10}+\deltav_1，w_1=w_{10}+\deltaw_1，v_2=v_{20}+\deltav_2，w_2=w_{20}+\deltaw_2，其中\(zhòng)deltav_1、\deltaw_1、\deltav_2和\deltaw_2分別表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和受驅(qū)系統(tǒng)中膜電位和恢復(fù)變量的微小變化量。將其代入差值驅(qū)動(dòng)模型方程：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：\frac{\partialv_{1}}{\partialt}=D_1\nabla^{2}v_{1}+v_{1}-\frac{v_{1}^{3}}{3}-w_{1}+I_1\frac{\partialw_{1}}{\partialt}=\epsilon_1(v_{1}+a_1-b_1w_{1})受驅(qū)系統(tǒng)：\frac{\partialv_{2}}{\partialt}=D_2\nabla^{2}v_{2}+v_{2}-\frac{v_{2}^{3}}{3}-w_{2}+I_2+c(v_{1}-v_{2})\frac{\partialw_{2}}{\partialt}=\epsilon_2(v_{2}+a_2-b_2w_{2})由于v_{10}、w_{10}、v_{20}和w_{20}滿足原方程，將擾動(dòng)后的方程與原穩(wěn)定狀態(tài)方程相減，忽略高階項(xiàng)，得到線性化后的方程組：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：\frac{\partial\deltav_1}{\partialt}=D_1\nabla^{2}\deltav_1+(1-v_{10}^{2})\deltav_1-\deltaw_1\frac{\partial\deltaw_1}{\partialt}=\epsilon_1(\deltav_1-b_1\deltaw_1)受驅(qū)系統(tǒng)：\frac{\partial\deltav_2}{\partialt}=D_2\nabla^{2}\deltav_2+(1-v_{20}^{2})\deltav_2-\deltaw_2+c(\deltav_1-\deltav_2)\frac{\partial\deltaw_2}{\partialt}=\epsilon_2(\deltav_2-b_2\deltaw_2)對(duì)上述線性化方程組進(jìn)行傅里葉變換，設(shè)\deltav_1(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltav_1}(k,t)e^{ikx}dk，\deltaw_1(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltaw_1}(k,t)e^{ikx}dk，\deltav_2(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltav_2}(k,t)e^{ikx}dk，\deltaw_2(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{\deltaw_2}(k,t)e^{ikx}dk。代入線性化方程組，得到波數(shù)空間的方程組：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：\frac{\partial\hat{\deltav_1}(k,t)}{\partialt}=-D_1k^{2}\hat{\deltav_1}(k,t)+(1-v_{10}^{2})\hat{\deltav_1}(k,t)-\hat{\deltaw_1}(k,t)\frac{\partial\hat{\deltaw_1