安徽省皖北七校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則的斜率為（

）A． B．2 C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)l的方程為（

）A． B． C． D．4．設(shè)a，b是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中能得出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．如圖，在三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．設(shè)點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，M為PB的中點(diǎn)，若PC上存在一點(diǎn)N使得平面平面AMN，則（

）A． B． C． D．1二、多選題9．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且與間的距離為，則的方程可以是（

）A． B． C． D．10．已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且?jiàn)A角都是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不是空間的一組基底B．不是空間的一組基底C．向量的模是2D．向量和的夾角為11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱上一點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面 B．與不垂直C．四面體的體積為 D．平面三、填空題12．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.13．已知平面的一個(gè)法向量，是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是.14．已知點(diǎn)，，C為直線(xiàn)上一點(diǎn)，則的最小值是.四、解答題15．已知空間向量.(1)求；(2)判斷與以及與的位置關(guān)系.16．如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，是線(xiàn)段的兩個(gè)三等分點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面平面．17．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，M是的中點(diǎn)(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.18．已知直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，且與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(3)當(dāng)取得最小值時(shí)，求的面積.19．如圖，三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．(1)證明：平面；(2)若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且球的表面積為．（?。┣笕忮F的體積；（ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值．

參考答案1．C【詳解】解：直線(xiàn)的斜率．故選：C2．C【詳解】由題意知點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：.3．C【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為1，由題意，所求直線(xiàn)l的斜率為-1，又直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，所以由點(diǎn)斜式方程可知直線(xiàn)l的方程為：，即，故選：C4．A【詳解】A.若，，，則，那么，故A正確；B.若，，，則，故B錯(cuò)誤；C.若，，則，或，又，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C錯(cuò)誤；D.若，，，則與有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D錯(cuò)誤.故選：A5．C【詳解】.故選：C.6．C【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)為軸，顯然與線(xiàn)段相交；

又，當(dāng)時(shí)，只需或，所以或.綜上，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．A【詳解】因?yàn)橛深}意知兩兩垂直，故分別以直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，則，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為.故選：A.8．B【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由，所以，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，如圖所示，由平面，平面，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，由，為的中點(diǎn)，且，所以，又由，所以，所以.故選：B.9．AD【詳解】直線(xiàn)，即，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為，由題意可得，解得或．故所求直線(xiàn)的方程為或．故選：AD．10．BD【詳解】假設(shè)共面，則，所以，方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，所以空間向量不共面，所以是空間的一組基底，A錯(cuò)誤；假設(shè)共面，則，即，解得，所以三個(gè)向量共面，不是空間的一組基底，B正確；由題意，得，所以，C錯(cuò)誤；，設(shè)向量和的夾角為，則，又，所以，D正確.故選：BD.11．AB【詳解】選項(xiàng)A，如圖，取的中點(diǎn)，連，易證，故四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，A正確；選項(xiàng)B，，在中，，，，，，與不垂直，，與顯然不垂直，B正確；選項(xiàng)C，只有當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，，，平面，平面，平面，平面，，同理可得，，平面，若平面，則，顯然與不平行，故D錯(cuò)誤．故選：AB．12．【詳解】點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.13．【詳解】由題，點(diǎn)到平面的距離.故答案為：14．5【詳解】作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，故，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取最小值，即，設(shè)，是的垂直平分線(xiàn)，，，，，，，的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，，聯(lián)立，解得，，，的最小值為5.故答案為：5.15．(1)(2)；.【詳解】（1）由題知，，所以.（2）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?16．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?，，是線(xiàn)段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，，連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，同理．又平面，所以平面．（2）由（1）知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫娌辉谄矫鎯?nèi)，所以平面．由已知，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫娌辉谄矫鎯?nèi)，所以平面．又，平面，所以平面平面．17．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在四棱錐中，由，是的中點(diǎn)，得，而，，平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）在直角梯形中，，，又，，平面，則平面，又平面，于是，由，得，則，即，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，令，得.由（1）知平面，即平面的一個(gè)法向量為，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)(3)或【詳解】（1）解：直線(xiàn)的方程可化為，令，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，此時(shí)直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足，因?yàn)?，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，即.（3）解：令，可得，所以；令，可得，所以，且，可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，可得的面積為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)，可得的面積為，綜上可得，的面積為或19．(1)證明見(jiàn)解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1）證明：因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）（?。┤鐖D，連接．因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，為中點(diǎn)，所以點(diǎn)是外接圓的圓心．因?yàn)槭堑冗吶切?，是中點(diǎn)，所以外接圓的圓心在上．又平面平面，所以球的球心即為外接