第1頁(yè)（共1頁(yè)）2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專(zhuān)題之因式分解一．選擇題（共13小題）1．（2025?曲靖模擬）已知a+b＝6，a﹣b＝2，則3a2﹣3b2＝（）A．36 B．24 C．18 D．122．（2025?路北區(qū)二模）把多項(xiàng)式a2﹣4a分解因式，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a(chǎn)（a+2）（a﹣2）3．（2025?仁壽縣一模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，則（）A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac4．（2025?路北區(qū)二模）下列結(jié)果不正確的是（）A．（﹣33）2＝35 B．32+32+32＝33 C．34÷3﹣2＝36 D．32025﹣32024能被2整除5．（2025?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)x+ay﹣a＝a（x+y） B．a(chǎn)2+b＝a（a+b） C．a(chǎn)2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）6．（2025?江寧區(qū)校級(jí)一模）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，則稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1～100這100個(gè)數(shù)中，“神秘?cái)?shù)”的個(gè)數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．137．（2025?牧野區(qū)校級(jí)一模）若k為自然數(shù)，則（3k+2）2﹣9k2的值總能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除8．（2024?河北模擬）小林是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分別對(duì)應(yīng)六個(gè)字：國(guó)，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，祖，現(xiàn)將3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛(ài)數(shù)學(xué) B．愛(ài)祖國(guó) C．祖國(guó)數(shù)學(xué) D．我愛(ài)祖國(guó)9．（2024?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）對(duì)4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答為：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答為：（2x+2）（2x﹣2），下列判斷正確的是（）A．只有嘉嘉的結(jié)果對(duì) B．只有琪琪的結(jié)果對(duì) C．兩人的結(jié)果都對(duì) D．兩人的結(jié)果都不對(duì)10．（2024?羅江區(qū)模擬）若m3+2m﹣1＝0，則2m4+m3+4m2﹣2024的值是（）A．﹣2024 B．﹣2025 C．﹣2022 D．﹣202311．（2024?費(fèi)縣校級(jí)模擬）已知a+b＝3，ab＝2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．18 B．28 C．50 D．6012．（2024?運(yùn)城模擬）在學(xué)習(xí)對(duì)復(fù)雜多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，蘇老師示范了如下例題：因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，原式＝（y﹣3）（y+5）+16＝y(tǒng)2+2y﹣15+16＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝[（x+1）2]2＝（x+1）4．例題中體現(xiàn)的主要思想方法是（）A．函數(shù)思想 B．整體思想 C．分類(lèi)討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想13．（2023?阜城縣校級(jí)模擬）如圖，把圖1中的①部分剪下來(lái)，恰好能拼在②的位置處，構(gòu)成圖2中的圖形，形成一個(gè)從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2二．填空題（共7小題）14．（2025?越秀區(qū)校級(jí)二模）因式分解：3x2﹣6x+3＝．15．（2025?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．16．（2025?雷州市三模）把多項(xiàng)式4a2﹣16分解因式的結(jié)果是．17．（2025?墾利區(qū)三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝．18．（2025?廣陵區(qū)一模）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝．19．（2025?蓬萊區(qū)二模）因式分解：4x3﹣12x2+9x＝．20．（2025?江北區(qū)校級(jí)二模）對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等，若滿(mǎn)足千位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字多2，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字多3，那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“二三數(shù)”．若一個(gè)“二三數(shù)”m2nr能被5整除，則這個(gè)“二三數(shù)”最小是；若A=abcd是一個(gè)“二三數(shù)”，規(guī)定：F（A）=bd+2a-4c+4a-6，P(A)=a2-b2-3(b+d)+4c-147，且F（A三．解答題（共5小題）21．（2024?沿河縣模擬）（1）計(jì)算：(3.14-π)（2）給出三個(gè)多項(xiàng)式：12x2+2x﹣1，12x2+4x+1，12x2﹣22．（2024?龍江縣校級(jí)二模）（1）計(jì)算：(1-3（2）因式分解：4m5n2﹣m3．23．（2024?邯山區(qū)校級(jí)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此，4、12、20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．（1）驗(yàn)證28和44這兩個(gè)數(shù)是否為神秘?cái)?shù)；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．24．（2024?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式．（1）求整式M、P；（2）將整式P因式分解；（3）P的最小值為．25．（2023?懷集縣三模）裝飾公司為小明家設(shè)計(jì)電視背景墻時(shí)需要A、B型板材若干塊，A型板材規(guī)格是a×b，B型板材規(guī)格是b×b．現(xiàn)只能購(gòu)得規(guī)格是150×b的標(biāo)準(zhǔn)板材．（單位：cm）（1）若設(shè)a＝60cm，b＝30cm．一張標(biāo)準(zhǔn)板材盡可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三種裁法，如圖1是裁法一的裁剪示意圖．裁法一裁法二裁法三A型板材塊數(shù)120B型板材塊數(shù)3mn則表中，m＝，n＝；（2）為了裝修的需要，小明家又購(gòu)買(mǎi)了若干C型板材，其規(guī)格是a×a，并做成如圖2的背景墻．請(qǐng)寫(xiě)出圖中所表示的等式：；（3）若給定一個(gè)二次三項(xiàng)式2a2+5ab+3b2，試用拼圖的方式將其因式分解．（請(qǐng)仿照（2）在幾何圖形中標(biāo)上有關(guān)數(shù)量）

2026年中考數(shù)學(xué)?？伎键c(diǎn)專(zhuān)題之因式分解參考答案與試題解析一．選擇題（共13小題）題號(hào)1234567891011答案AADADDBDADA題號(hào)1213答案BD一．選擇題（共13小題）1．（2025?曲靖模擬）已知a+b＝6，a﹣b＝2，則3a2﹣3b2＝（）A．36 B．24 C．18 D．12【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先整理3a2﹣3b2＝3（a+b）（a﹣b），然后把a(bǔ)+b＝6，a﹣b＝2代入計(jì)算，即可作答．【解答】解：∵a+b＝6，a﹣b＝2，∴3a2﹣3b2＝3（a2﹣b2）＝3（a+b）（a﹣b）＝36，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式以及已知式子的值求代數(shù)式的值，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．（2025?路北區(qū)二模）把多項(xiàng)式a2﹣4a分解因式，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．（a﹣2）2 D．a(chǎn)（a+2）（a﹣2）【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專(zhuān)題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝a（a﹣4），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．3．（2025?仁壽縣一模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a﹣2b+c＝0，a2﹣c2＜0，則（）A．b＜0，a＜c B．b＞0，a＞c C．b2＜ac D．b2＞ac【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】先推出a+c＝2b，進(jìn)而得到a2+2ac+c2＝4b2，再由a2﹣c2＜0得到2b（a﹣c）＜0，由此即可判斷A，B，求出4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0即可判斷C，D．【解答】解：由條件可知a+c＝2b，∴a2+2ac+c2＝4b2，∵a2﹣c2＜0，∴（a+c）（a﹣c）＜0，∴2b（a﹣c）＜0，∴b＞0a-c＜0或b故A，B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵4b2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＞0，∴b2＞ac，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，D結(jié)論正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確推出2b（a﹣c）＜0，4b2﹣4ac＝（a﹣c）2＞0是解題的關(guān)鍵．4．（2025?路北區(qū)二模）下列結(jié)果不正確的是（）A．（﹣33）2＝35 B．32+32+32＝33 C．34÷3﹣2＝36 D．32025﹣32024能被2整除【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)這些知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷．【解答】解：A、根據(jù)冪的乘方可知（﹣33）2＝36，計(jì)算結(jié)果不正確，故符合題意；B、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知32+32+32＝3×32＝33，計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；C、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知34÷3﹣2＝34﹣（﹣2）＝36，計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；D、∵32025﹣32024＝3×32024﹣32024＝32024×（3﹣1）＝2×32024，而2×32024是2的倍數(shù)，∴32025﹣32024能被2整除；故計(jì)算結(jié)果正確，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法的正用與逆用等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．5．（2025?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)x+ay﹣a＝a（x+y） B．a(chǎn)2+b＝a（a+b） C．a(chǎn)2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的方法，提公因式法及公式法依次進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【解答】解：根據(jù)因式分解的方法，逐項(xiàng)分析判斷如下：A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、a2+b不能進(jìn)行因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查因式分解的判斷及應(yīng)用提公因式法與公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．6．（2025?江寧區(qū)校級(jí)一模）若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，則稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1～100這100個(gè)數(shù)中，“神秘?cái)?shù)”的個(gè)數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【答案】D【分析】結(jié)合神秘?cái)?shù)的定義，通過(guò)完全平方公式和平方差公式將其分解，找尋規(guī)律，即可得出答案．【解答】解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k，則（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），又∵2k+1是奇數(shù)，從而，神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)，∴1～100之間的神秘?cái)?shù)有4×1，4×3，…，4×25，共計(jì)13個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟練利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算．7．（2025?牧野區(qū)校級(jí)一模）若k為自然數(shù)，則（3k+2）2﹣9k2的值總能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】將（3k+2）2﹣9k2利用平方差公式法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而得出結(jié)論即可．【解答】解：（3k+2）2﹣9k2＝（3k+2+3k）（3k+2﹣3k）＝2（6k+2）＝4（3k+1），∴（3k+2）2﹣9k2的值總能被4整除．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．8．（2024?河北模擬）小林是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分別對(duì)應(yīng)六個(gè)字：國(guó)，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，祖，現(xiàn)將3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．我愛(ài)數(shù)學(xué) B．愛(ài)祖國(guó) C．祖國(guó)數(shù)學(xué) D．我愛(ài)祖國(guó)【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】將所給的多項(xiàng)式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，從而結(jié)合密碼手冊(cè)即可得出答案．【解答】解：∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）＝3（x2﹣1）（a﹣b）＝3（x+1）（x﹣1）（a﹣b），而3對(duì)應(yīng)的是我，x﹣1對(duì)應(yīng)的是國(guó)，x+1對(duì)應(yīng)的是祖，a﹣b對(duì)應(yīng)的是愛(ài)，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛(ài)祖國(guó)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解—綜合運(yùn)用提公因式與公式法，先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．9．（2024?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）對(duì)4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答為：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答為：（2x+2）（2x﹣2），下列判斷正確的是（）A．只有嘉嘉的結(jié)果對(duì) B．只有琪琪的結(jié)果對(duì) C．兩人的結(jié)果都對(duì) D．兩人的結(jié)果都不對(duì)【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：4x2﹣16＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意分解因式必須分解到不能再分解為止．10．（2024?羅江區(qū)模擬）若m3+2m﹣1＝0，則2m4+m3+4m2﹣2024的值是（）A．﹣2024 B．﹣2025 C．﹣2022 D．﹣2023【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)m3+2m﹣1＝0，可得m3+2m＝1，再將其整體代入原式計(jì)算即可．【解答】解：∵m3+2m﹣1＝0，∴m3+2m＝1，∴原式＝2m4+m3+4m2﹣2024＝2m（m3+2m）+m3﹣2024＝m3+2m﹣2024＝1﹣2024＝﹣2023，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．11．（2024?費(fèi)縣校級(jí)模擬）已知a+b＝3，ab＝2，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．18 B．28 C．50 D．60【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先把代數(shù)式分解因式，在整體代入求解．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝2×9＝18，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，整體代入法是解題的關(guān)鍵．12．（2024?運(yùn)城模擬）在學(xué)習(xí)對(duì)復(fù)雜多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，蘇老師示范了如下例題：因式分解：（x2+2x﹣3）（x2+2x+5）+16．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，原式＝（y﹣3）（y+5）+16＝y(tǒng)2+2y﹣15+16＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝[（x+1）2]2＝（x+1）4．例題中體現(xiàn)的主要思想方法是（）A．函數(shù)思想 B．整體思想 C．分類(lèi)討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)例題的解題思路，即可解答．【解答】解：例題中體現(xiàn)的主要思想方法是整體思想，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，理解例題的解題思路是解題的關(guān)鍵．13．（2023?阜城縣校級(jí)模擬）如圖，把圖1中的①部分剪下來(lái)，恰好能拼在②的位置處，構(gòu)成圖2中的圖形，形成一個(gè)從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；平方差公式的幾何背景．【專(zhuān)題】因式分解；幾何直觀(guān)．【答案】D【分析】根據(jù)面積相等，列出關(guān)系式即可．【解答】解：由題意這兩個(gè)圖形的面積相等，則（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)因式分解的應(yīng)用、平方差公式的知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪剪一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形列出等式是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）14．（2025?越秀區(qū)校級(jí)二模）因式分解：3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】3（x﹣1）2．【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可．【解答】解：3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2，故答案為：3（x﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．15．（2025?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用提公因式法分解即可．【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解﹣提公因式法是解題的關(guān)鍵．16．（2025?雷州市三模）把多項(xiàng)式4a2﹣16分解因式的結(jié)果是4（a+2）（a﹣2）．．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】因式分解；整式；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解．【解答】解：原式＝4（a2﹣4）＝4（a+2）（a﹣2），故答案為：4（a+2）（a﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提取公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解，掌握提取公因式的技巧以及平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．17．（2025?墾利區(qū)三模）因式分解：3ax2+6axy+3ay2＝3a（x+y）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】3a（x+y）2．【分析】根據(jù)提取公因式法和完全平方公式進(jìn)行因式分解解答即可．【解答】解：3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．故答案為：3a（x+y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握提取公因式法和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．18．（2025?廣陵區(qū)一模）分解因式：a2b﹣4ab+4b＝b（a﹣2）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】考查了對(duì)一個(gè)多項(xiàng)式因式分解的能力．本題屬于基礎(chǔ)題，當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式有公因式，將其分解因式時(shí)應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式繼續(xù)分解．此題應(yīng)先提公因式，再用完全平方公式．【解答】解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2故答案為：b（a﹣2）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的概念，注意必須將式子分解到不能分解為止．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．19．（2025?蓬萊區(qū)二模）因式分解：4x3﹣12x2+9x＝x（2x﹣3）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力．【答案】x（2x﹣3）2．【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】解：原式＝x（4x2﹣12x+9）＝x（2x﹣3）2．故答案為：x（2x﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．20．（2025?江北區(qū)校級(jí)二模）對(duì)于一個(gè)四位正整數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相等，若滿(mǎn)足千位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字多2，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字多3，那么就稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“二三數(shù)”．若一個(gè)“二三數(shù)”m2nr能被5整除，則這個(gè)“二三數(shù)”最小是4230；若A=abcd是一個(gè)“二三數(shù)”，規(guī)定：F（A）=bd+2a-4c+4a-6，P(A)=a2-b2-3(b+d)+4c-147，且F（A），【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】探究型；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】4230，8696．【分析】因?yàn)榍簧系臄?shù)字比百位上的數(shù)字多2，百位上是2，所以千位是4，因?yàn)槟鼙?整除，末尾是0或5，當(dāng)是0時(shí)，十位是3，這個(gè)“二三數(shù)”最小，故這個(gè)“二三數(shù)”最小是4230；由題意得出b＝a﹣2，d＝c﹣3，從而得出P（A）=a2-(a-2)2-3(a-2+c-3)+4c-147=a+c+117-2，當(dāng)a＝9時(shí)，c＝8時(shí)，P（A）為整數(shù)，把a(bǔ)＝9，b＝7，c＝8，d＝5代入F（A）=7×5+2×9-4×8+49-6=253，不符合題意，當(dāng)a＝8，b＝6，c＝9，d＝4，【解答】解：因?yàn)榍簧系臄?shù)字比百位上的數(shù)字多2，百位上是2，所以千位是4，因?yàn)槟鼙?整除，末尾是0或5，當(dāng)是0時(shí)，十位是3，這個(gè)“二三數(shù)”最小，故這個(gè)“二三數(shù)”最小是4230；由題意得出b＝a﹣2，d＝c﹣3，∴P（A）=a當(dāng)a＝9時(shí)，c＝8時(shí)，P（A）為整數(shù)，把a(bǔ)＝9，b＝7，c＝8，d＝5代入F（A）=7×5+2×9-4×8+4當(dāng)a＝8，b＝6，c＝9，d＝4，P（A）8+9+117F（A）=6×4+2×8-4×9+4∴A的最大值是8696，故答案為：4230，8696．【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查了列舉法等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是枚舉．三．解答題（共5小題）21．（2024?沿河縣模擬）（1）計(jì)算：(3.14-π)（2）給出三個(gè)多項(xiàng)式：12x2+2x﹣1，12x2+4x+1，12x2﹣【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用；零指數(shù)冪；實(shí)數(shù)的運(yùn)算；整式的加減．【專(zhuān)題】數(shù)與式；運(yùn)算能力．【答案】（1）2+2；（2）（x+1）（x﹣1【分析】（1）按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先選擇兩個(gè)多項(xiàng)式再進(jìn)行計(jì)算，最后進(jìn)行因式分解即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝1+2＝2+2（2）12x2+2x﹣1+12x2＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提取公因式與公式法的綜合運(yùn)用、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、整式的加減及零指數(shù)冪，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22．（2024?龍江縣校級(jí)二模）（1）計(jì)算：(1-3（2）因式分解：4m5n2﹣m3．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）5（2）m3（2mn+1）（2mn﹣1）．【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值和特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算法則求解即可；（2）先提公因式m3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=1+=1+2＝5；（2）原式＝m3（4m2n2﹣1）＝m3（2mn+1）（2mn﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和因式分解，熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值及因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．23．（2024?邯山區(qū)校級(jí)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此，4、12、20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．（1）驗(yàn)證28和44這兩個(gè)數(shù)是否為神秘?cái)?shù)；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)新定義，進(jìn)行判斷即可求解；（2）根據(jù)定義，利用平方差公式因式分解即可求解．【解答】解：（1）∵28＝14×2＝82﹣62，44＝22×2＝122﹣102，∴28和44這兩個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)；（2）是，理由如下：∵這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)為：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝4（2k+1），∵k取非負(fù)整數(shù)，∴由2k+2和2k造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．24．（2024?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式．（1）求整式M、P；（2）將整式P因式分解；（3）P的最小值為﹣16．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法；整式的加減．【專(zhuān)題】因式分解；整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）5x﹣20；（2）P＝4（x+2）（x﹣2）；（3）﹣16．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出P的最小值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x＝5x﹣20；P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4＝4x2﹣16；（2）P＝4x2﹣16＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）；（3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0，∴當(dāng)x＝0時(shí)，P的最小值為﹣16．故答案為：﹣16．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，以及整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則及因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．25．（2023?懷集縣三模）裝飾公司為小明家設(shè)計(jì)電視背景墻時(shí)需要A、B型板材若干塊，A型板材規(guī)格是a×b，B型板材規(guī)格是b×b．現(xiàn)只能購(gòu)得規(guī)格是150×b的標(biāo)準(zhǔn)板材．（單位：cm）（1）若設(shè)a＝60cm，b＝30cm．一張標(biāo)準(zhǔn)板材盡可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三種裁法，如圖1是裁法一的裁剪示意圖．裁法一裁法二裁法三A型板材塊數(shù)120B型板材塊數(shù)3mn則表中，m＝1，n＝5；（2）為了裝修的需要，小明家又購(gòu)買(mǎi)了若干C型板材，其規(guī)格是a×a，并做成如圖2的背景墻．請(qǐng)寫(xiě)出圖中所表示的等式：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；（3）若給定一個(gè)二次三項(xiàng)式2a2+5ab+3b2，試用拼圖的方式將其因式分解．（請(qǐng)仿照（2）在幾何圖形中標(biāo)上有關(guān)數(shù)量）【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專(zhuān)題】因式分解；整式；模型思想．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)矩形的面積列出m或n的方程，再解答便可；（2）用正方形的面積公式表示出圖形的面積，用各部分面積和表示出圖形的面積，進(jìn)而用等式表示出相等關(guān)系便可；（3）仿樣例畫(huà)出長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)為2a+3b，寬為a+b，結(jié)合圖形便可得出結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30解得，m＝1，n＝5，故答案為：1；5；（2）∵正方形的邊長(zhǎng)為（a+2b），∴正方形的面積為（a+2b）2；∵正方形的面積等于各部分面積和＝a2+4ab+4b2；∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故答案為：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；（3）畫(huà)出矩形，其長(zhǎng)為2a+3b，寬為a+b，如圖，由圖形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用圖形驗(yàn)證乘法公式，關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫(huà)出圖形和列出方程．

考點(diǎn)卡片1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開(kāi)平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開(kāi)方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．2．整式的加減（1）幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．（2）整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng)．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題1．整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)．2．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．3．平方差公式的幾何背景（1）常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證平方差公式）．（2）運(yùn)用幾何直觀(guān)理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公式做出幾何解釋?zhuān)?．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這