第1章隨機事件及其概率

P：；=加從m個人中挑出n個人進行排列的也許數(shù)。

(1)排歹U(m-〃)！

組合公式

C；；f=---從m個人中挑出n個人進行組合的也許數(shù)。

加法原理(兩種方法均能完畢此事)：m+n

某件事由兩種方法來完畢，第一種方法可由m種方法完畢，第二種方法可由

(2)加法

n種方法來完畢，則這件事可由m+n種方法來完畢。

和乘法原

乘法原理(兩個環(huán)節(jié)分別不能完畢這件事)：mXn

理

某件事由兩個環(huán)節(jié)來完畢，第一個環(huán)節(jié)可由m種方法完畢，第二個環(huán)節(jié)可由

n種方法來完畢，則這件事可由mXn種方法來完畢。

反復排列和非反復排列(有序)

(3)一些

對立事件(至少有一個)

常見排列

順序問題

假如一個實驗在相同條件下可以反復進行，而每次實驗的也許結果不止一

(4)隨機

個，但在進行一次實驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則稱這種實驗為隨

實驗和隨

機實驗。

機事件

實驗的也許結果稱為隨機事件c

在一個實驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具

有如下性質：

①每進行一次實驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；

②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。

(5)基本

這樣一組事件中的每一個事件稱為基本領件，用①來表達。

領件、樣

基本領件的全體，稱為實驗的樣本空間，用。表達。

本空間和

一個事件就是由Q中的部分點(基本領件①)組成的集合。通常用大寫字母

事件

力，B,C,…表達事件，它們是。的子集。

。為必然事件，0為不也許事件。

不也許事件(0)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不也許事件：同

理，必然事件(。)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。

①關系：

假如事件A的組成部分也是事件B的組成部分，3發(fā)生必有事件B發(fā)

生)：AuB

假如同時有4u3,則稱事件4與事件8等價，或稱為等于A

A二Be

A.5中至少有一個發(fā)生的事件：A\jBf或者出?瓦

屬于力而不屬于方色部分所構成的事件，稱為4與8的差，記為A-B,也可

表達為4-制或者A5，它表達4發(fā)生而力不發(fā)生的事件。

(6)事件

45同時發(fā)生：A^B或者"。則表達A與B不也許同時發(fā)生，

的關系與fAHB=0,

運算稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；绢I件是互不相容的。

C-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為可。它表達A不發(fā)

生的事件?；コ馕幢貙α?。

②運算：

結合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分派率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)

800

QA=[JAi______________

德摩根率：I-i=Afi8=AU3

設。為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)p(A),若

滿足下列三個條件：

1。OSP(A)W1,

2°P(Q)=1

(7)概率

的公理化3°對于兩兩互不相容的事件A,Az,…有

定義仙J這P(4)

3=17M

常稱為可列(完全)可加性。

則稱P(A)為事件4的概率c

1°C=｛外,g,

2。2(外)=尸(0)=…p(%)=L。

n

(8)古典設任一事件A,它是由外，。2…9”組成的，則有

概型

尸〃六｛屹)U(。2)U…U3.)｝=P⑷)+p3)+???+p?)

_6_A所包含的基本事件數(shù)

■〃■基本事件總數(shù)

若隨機實驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的也許性均勻，同時樣本

空間中的每一個基本領件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機實驗為

(9)幾何幾何概型。對任一事件A,

概型

24)二叢"。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。

L(Q)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)力口

當AB不相容P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)

法公式

當AB獨立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)減當BuA時，P(A-B)=P(A)-P(B)

法公式

當A=Q時，P(B)=1P(B)

定義設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱名4"為事件A發(fā)生條件下，

P(A)

(12)條事件B發(fā)生的條件概率，記為尸(8/4)=生也。

件概率P(A)

條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。

例如P(Q/B)=1=>P(豆/A)=1-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

(13)乘更一般地，對事件Al,A2,…An,若P(AA…AQ>0,則有

法公式P(AIA2...A”)=P(A})P(A214)尸(A314A2)....P(An\A\Az...

An-1)o

①兩個事件的獨立性

設事件A、8滿足P(A8)=P(4)P(8),則稱事件A、8是互相獨立

的。

(14)獨若事件A、8互相獨立，且P(A)>0,則有

立性

P⑻川=3=3^=尸⑶

P(A)P⑷

若事件A、3互相獨立，則可得到1與3、A與豆、入與否也都互相

獨立。

必然事件。和不也許事件0與任何事件都互相獨立。

0與任何事件都互斥。

②多個事件的獨立性

設ABC是三個事件，假如滿足兩兩獨立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C互相獨立。

對于n個事件類似。

設事件友，…,以滿足

10…,兩兩互不相容，尸(B)>°(i=1,2，

(15)全2°?=>,

概公式則有

P(A)=P(B)P(A|Bi)+P(Bi)P(A|&)+…+P(B”)P(A|B”)

0

全概率公式解決的是多個因素導致的結果問題，全概率公式的題型：將實

驗可當作分為兩步做，假如規(guī)定第二步某事件的概率，就用全概率公式；

設事件員，…，&及A滿足

1°Bi,Bit…，&兩兩互不相容，P?)〉。，i=i,2,…，，?，

n

2。V,P(A)>0,

則

P(BJA)=a)P(A/B1日,…

(16)貝

葉斯公式之P(Bj)P(A/Bj)

7=1

此公式即為貝葉斯公式。

Pg),(i=l,2,…，〃),通常叫先驗概率。P(B,/A),(i=l,

2,…，〃)，通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)

律，并作出了“由果朔因”的推斷。將實驗可當作分為兩步做，假如求在第

二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。

我們作了幾次實驗，且滿足

?每次實驗只有兩種也許結果，A發(fā)生或A不發(fā)生：

?〃次實驗是反復進行的，即A發(fā)生的概率每次均同樣；

?每次實驗是獨立的，即每次實驗A發(fā)生與否與其他次實驗A發(fā)生與

(17)伯否是互不影響的。

努利概型這種實驗稱為伯努利概型，或稱為〃重但努利實驗。

用〃表達每次實驗A發(fā)生的概率，則可發(fā)生的概率為1-〃=。，用戶〃(口

表達〃重伯努利實驗中A出現(xiàn)n)次的概率，

，，k=0,1,2,???,/?

第二章隨機變量及其分布

(1)離地離散型隨機變量X的也許取值為Xh(k=l,2,…)且取各個值的概率，即事

散型隨機件(X=XJ的概率為

變量的分P(X=Xk)=p4,k=l,2,???,

布律則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形

式給出：

X|X1,X2,…,乂,…

P(X=Xi)pi,pz,…，pk,…°

顯然分布律應滿足下列條件：

8

Zpk~1

(1)PA-0,4=1,2，…，(2)A=I。

(2)連設尸“)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)/(幻，對任意實數(shù)”，

續(xù)型隨機

有

變量的分

布密度F(x)=[j(x)dx

則稱X為連續(xù)型隨機變量。/(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概

率密度O

密度函數(shù)具有下面4個性質：

1、小)5

rf(x)dx=\

2、Jr0

3、P(x<X4￡)=F(X2)-/(再)=pf(x)dx

4、P(x=a)=O,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0

(3)離P(X=x)aP(x<X<x+dx)工f(x)dx

散與連續(xù)積分元f{x}dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(X=X。=Pk在離散

蟄隨機變

量的關系型隨機變量理論中所起的作用相類似。

(4)分設X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)

布函數(shù)F(x)=P(X<x)

稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質上是一個累積函數(shù)。

P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(。,句的概率。分布

函數(shù)/(A：)表達隨機變量落入?yún)^(qū)間(-8,X]內的概率。

分布函數(shù)具有如下性質：

1°0<F(x)<1,—oo<x<+oo；

2°尸(工)是單調不減的函數(shù)，即MCX2時，有F(x.)<F(X2);

3°F(-co)=liinF(x)=0,F(+x>)=limF(x)=1；

4°F(X4-0)=FU),即歹(x)是右連續(xù)的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。

對于離散型隨機變量，尸(x)=Z&；

xk<x

X

對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)=jf{x}dxo

一8

(5)A0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

大分布二項分布在〃重貝努里實驗中，設事件A發(fā)生的概率為事件A發(fā)生的

次數(shù)是隨機變量，設為X,則X也許取值為

P(X=k)=P〃(k)=cMqi,其中

(7=1-〃,0<p<\,k=0,1,2,???,?,

則稱隨機變量X服從參數(shù)為〃，〃的二項分布。記為

X~p)o

當〃=1時，P(X=k)=p￡qi,k=OA,這就是(0-1)分

布，所以(0T)分布是二項分布的特例。

泊松分布設隨機變量X的分布律為

升

P(x=k)=-e",2>0,&=0,1,2…，

k\

則稱隨機變量X服從參數(shù)為；1的泊松分布，記為X?乃(㈤或者

P(2)o

泊松分布為二項分布的極限分布(np=X,n-8)。

幾何分布P(X=k)=qk1p,k=1,2,3,?其中p20,q=l-po

隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。

均勻分布設隨機變量X的值只落在［小b］內，其密度函數(shù)"X)在1,b］±

1

為常數(shù)-即

ba

1,aWxWb

/(x)=?b-a'.u...

0,具他,

則稱隨機變量X在［a,b］上服從均勻分布，記為X~U(a,b)0

分布函數(shù)為

0,x<a?

x-a

b-a'aWxWb

1<

尸(x)=If{x)dx=

J-00

X.1,x>bc

當a<x<X3<b時,X落在區(qū)間(山，工2)內的概率為

X,一再

P區(qū)<X<X2)-b-a0

指數(shù)分布

rUx>0

/(X)=Y

x<0

J0,

其中X>0,則稱隨機變量X服從參數(shù)為4的指數(shù)分布。

X的分布函數(shù)為

尸

1-「，X>0

F(x)，

°，x<o?

記住積分公式：

+X

"-5二〃！

D

正態(tài)分布

設隨機變量X的密度函數(shù)為

f(x)=,__e2°2,-8VXV+8,

而G

其中〃、為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為“、。

的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為X'NQ/.b1)。

/(幻具有如下性質：

1°”冷的圖形是關丁'=〃對稱的；

2°當'一〃時，/(〃)=]——為最大值;

,J27rb

若X?N(〃,b),則x的分布函數(shù)為

1

F(x)=/Ce2/dt

722J-oo

參數(shù)4=°、。=1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為

X~N(0,l)p其蚓變函數(shù)記為

(p(x)=-r=e2

727r,—covxv+co,

分布函數(shù)為

G(x)=—==fe2dto

小/、而-oo

①(九)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。

①(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

Y2

假如X“N(",b2),則一^?N(0,l)。

p(2<x氣)=三｝

(6)分

下分位表：

位數(shù)P[X<jua)=a；

上分位表：P(X>〃a)=a。

(7)函離散型

數(shù)的分布已知X的分布列為

函數(shù)X片，北,…,X”,…

P(X=Xi)pi,〃2,…,p?,???

y=g(x)的分布列(%=g(x)互不相等)如下:

Yg(H)，g(X2),…,g(x“)，…

P(Y=y.)

若有某些13端等,“的應寤機縊1p；?相加作為g(r)的概率，

連續(xù)型，；G)=〃{>=}=，心(*)4f}■!八(￥出

利用>'■x(V加分的由數(shù)叼密度謁陵之間的

x系求v密度函數(shù)

先運用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)W

y),再運用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。

(2)定理法：

當Y=g(X)嚴格單調并且可導時：

,1、，3a3V

(1)川外一］<>,四它.

其中h，(y)是g(x)的反函數(shù)

第三章二維隨機變量及其分布

(1)聯(lián)合離散型假如二維隨機向量J(X,Y)的所有也許取值為至多可列

分布個有序對(X,y),則稱4為離散型隨機量。

設看二(X,Y)的所有也許取值為

(天，刀)a./=12…)，且事件{g=(七，刀)}的概率為p：,,稱

p{(x,y)=(知力)}=p,(i,j=i,2,…)

為小二(X,Y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分

布有時也用下面的概率分布表來表達：

??????

Xyiyiyj

??????

XipnPnPu

??????

X2P?IP22P2J

**

??*

?**?

??????

XiPn%

*?*??

*

這里處/具有下面兩個性質：

(1)加卻(i,j=l,2，…)；

(2)ZZPq=L

ij

連續(xù)型對于二維隨機向量4=(x,y),假如存在非負函數(shù)

/(X，y)(-8VXV+8,-8<y<+8),使對任意一個其鄰邊

分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有

P{(X,y)^D)=jj/(r,jWy,

則稱J為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為4=(X,Y)的分布

密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面兩個性質：

(1)f(x,y)20;

(2)J：/(x,y)dxdy=1.

(2)二維g(x=x,y=y)=4(x=xny=y)

隨機變量

的本質

(3)聯(lián)合設(X,Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)

分布函數(shù)F(x9y)=P{X<x,Y<y]

稱為二維隨機向量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布

函數(shù)。

分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件

{(幼)1YOvX(G])w<y(32)<y]的概率為函數(shù)值的一個實值函

數(shù)。分加函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質：

(1)0<F(x,y)<l；

(2)F(x,y)分別對x和y是非減的，即

當X2*時，有F(x2,y)》F(x”y);當y2>yi時，有F(x,y?)3F(x,yj;

(3)F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x9y+0);

(4)F(-oo,-oo)=F(-oo,y)=F(x,-oo)=0,產(chǎn)(+co,+oo)=1.

(5)對于斗<x2,y<y2,

P(xi<x^x2,yi<j<y2)=F(X2,y2)-F(x2,川)一尸(如y2)+F(x,,)>0

(4)離散P(X=x,Y=y)^P(x<X<x+dx,y<Y<y+dy)?/(%,y)clxdy

型與連續(xù)

型的關系

(5)邊沿離散型X的邊沿分布為

分布P"P(X=Xj)=￡p/i,/=l,2,…)；

Y的邊沿分布為

%=p(y=x)=ZPW=I,2,…)。

i

連續(xù)型X的邊沿分布密度為

工(1)=匚/(占)')")'；

Y的邊沿分布密度為

fY(y)=y)d*

(6)條件離散型在已知的條件下，丫取值的條件分布為

分布P(y=y/X=Xj)="

億.

在已知修0的條件下，X取值的條件分布為

p(X3|y=x)=互，

P?j

連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為

〃九1》)=今興；

fy(y)

在已知X=x的條件下，丫的條件分布密度為

fxM

(7)獨立一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)

性離散型Ptj=Pi.P.j

有零不獨立

連續(xù)型

f(x,y)=fx(x)fr(y)

直接判斷，充要條件：

①可分離變量

②正概率密度區(qū)間為矩形

二維正態(tài)分

?(*-〃1丫2。(*-*)()'-必)/y-ft2?

布、12(1-02)[5)W21%}

/(x,y)一1-----彳€

2的。2Ji一0?

p=0

隨機變審的若X1,X2，…汽…Xn互相獨立,h,g為連續(xù)函數(shù),則：

函數(shù)h(XuX2,-XJ和g(XM,…Xn)互相獨立。

特例：若X與Y獨立，則：h(X)和g(Y)獨立。

例如:若X與Y獨立,則：3X+1和5丫-2獨立。

(8)二維設隨機向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

均勻分布1

f(x,y)=，

o,其他

其中5D為區(qū)域D的面積，則稱(X,Y)服從D上的均勻分布，記為(X,

Y)?U(D)o

,y

d

A

77J7

圖3.3

(9)二維設隨機向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為

正態(tài)分布

/(］，)')=i------TL」，

2TZCFICT2Jl—/7一

其中〃”2,6>0,。2>0，1P1<1是5個參數(shù),則稱(X,Y)服從二維正態(tài)

分布，

記為(X,Y)?N(2).

由邊沿密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊沿分布仍為正態(tài)分

布，

即X?N(?Ng0；).

但是若X?N?N(42.b；)，(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。

(10)函Z=X+Y

根據(jù)定義計算：Fz(z)=P(Z<z)=P(X+r<z)

數(shù)分布+00

對于連續(xù)型，fz(z)=j/(x,z-x\Zx

兩個獨立的正靠分布的和仍為正態(tài)分布

(41+42，b：+b；)o

n個且相向立的止云分布的線性組合，仍服從止態(tài)分布。

〃=Z。=Z

ii

Z=max,niin(若X1,X2…X”互相獨立，其分布函數(shù)分別為

XX,-X)

h2n(),則的分布

F人1(x),人F2(%)???,F1?XZ=max,min(Xi,X2,…Xn)

函數(shù)為：

FmaxW=Q(%)*”(力…&,(%)

產(chǎn)min(M=1-U-&(切”1一尸心(切…[1—心(刈

第四章隨機變量的數(shù)字特性

a

1)離散型連續(xù)型

維

一

機盼望設X是離散型隨機變量，其設X是連續(xù)型隨機變量，其概

隨

量盼望就是平均值分布律為P(X=X,)=Pk,率密度為f(x),

變+<30

數(shù)

的k=l,2,…，n,

特E(X)=\xf{x}dx

字

E(X)=￡xm—

性

k=\(規(guī)定絕對收斂)

(規(guī)定絕對收斂)

函數(shù)的盼望Y=g(X)Y=g(X)

鳳y)=fg(&m

E(Y)=jg(x)f(x)dx

Jt=l

-00

方差-KO

D(X)=E[X-O(X)=ZK—E(X)]2p?D(X)=j[x-E(X)ff(x)dx

2-00

E(X)],人

標準差

(T(x)=jax)

1

2)(1)E(C)=C

望

盼

性(2)E(CX)=CE(X)

的

質(3)E(X+Y)W(X)+E(Y),E1(汽C,XJ=^C.E(Xf)

i=\i=\

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充足條件：X和丫獨立；

充要條件：X和丫穴相關。

(3)(1)D(C)=O；E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=a?D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

質(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充足條件：X和Y獨立;

充要條件：X和丫不相關。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],無條件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。

盼望方差

0-1分布

PI

僅1,P)P(-p)

二項分布

np叩Q-〃)

B(n,p)

>泊松分布

(422

常尸⑷

見

分

布幾何分布\_1一〃

的

盼G(p)P2

望P

和

方

莖超幾何分布nM

H(n,M,N)N

均勻分布a+b3-4)2

U(a,b)212

指數(shù)分布J_1

eW7

正態(tài)分布

<72

G

盼望E(X)=fxjPj.-KO

5)維

二