高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

整體知識(shí)框架:

空

間L空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征一空間幾何體的表面積和體積

幾

何1-空間兒何體的三視圖和宜觀圖

體

空

間

空

點(diǎn)

間

向

、

宜

及

線

與

立

、

平

體

面

幾

位

何

置

關(guān)

系

一、空間幾何體

（一）空間幾何體的I類型

1多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體內(nèi)面,

相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

2旋轉(zhuǎn)體：把一種平面圖形繞它所在H勺平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中,

這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體II勺軸，

（二）幾種空間幾何體的構(gòu)造特性

1、棱柱的構(gòu)造特性

1.1棱柱H勺定義：有兩個(gè)面互相平行，其他各面都是四邊

形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2棱柱的分類由114sfc+4-

'斜樓柱

①棱柱校垂―,直登杜大向足—）正棱柱

［其他棱柱…棱柱

—h曰rm"itz?-h曰汨仁nn斗nz”

四棱柱平行六面體

ZIMlJtHKT.田K日FTIZ

-------------->士FL'K“曰h+電------------------------十皿

直平仃六面體-------------------k方體--------------a正四

....轉(zhuǎn)p*.W一、..

棱柱---------?正萬體

性質(zhì)：

I、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等;

11、兩底面是全等多邊形且互相平仃；

IIK平行于底面日勺截面和底面全等；

1.3棱柱的面積和體積公式

S在校柱曲j=c力（c是底周長，〃是高）

S亶梭柱表面=c?h+2s底

V校柱=S底

2、棱錐的構(gòu)造特性

2.1棱錐的定義

（1）棱錐：有一種面是多邊形，其他各面是有一種公共頂點(diǎn)口勺三角形，由這些面所圍成

口勺幾何體叫做棱錐。

（2）正棱錐：假如有一種棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，

這樣的棱錐叫做正棱錐。

2.2正楂錐口勺構(gòu)造特性

I、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面B勺距離與頂點(diǎn)究

竟面的距離之比；它們面枳口勺比等于截得的棱錐口勺高與原棱錐的高H勺平方比；截得口勺楂錐的

體積與原棱錐口勺體積日勺比等于截得口勺棱錐的高與原棱錐的高日勺立方比;

II、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等口勺等腰三角形;

正棱錐側(cè)面積：S正校椎二：c"（C?為底周長，〃'為斜高）

體積：匕殳椎=；S〃（S為底面積，〃為高）

正四面體：

對(duì)于棱長為。正四面體的問題可將它補(bǔ)成一種邊長為二QII勺正方體問題。

2

對(duì)棱間日勺距離為上〃（正方體的I邊長）

2

[72

正四面體的高行■a（=§/正方體體對(duì)角線）

正四面體的體積為夕昔/2（唳方體—4%、三枝錐二1鼻/方體）

IMD

正四面體的I中心究竟面與頂點(diǎn)的J距離之比為1:3（二工/正方體體對(duì)角踐:彳/正方體體對(duì)角踐）

正四面體的外接球半徑為乂9。，外接球半徑為農(nóng)。，外接球半徑避

4124

一個(gè)正四面體的內(nèi)切球，外接球，棱切球的半徑如何計(jì)算.

已知正四面體H-3CQ的棱長為々，求它的外接球半徑、內(nèi)切球半徑、棱切球半徑

解：由正四面體的對(duì)稱性與球的對(duì)稱性知球心在正四面體的高上..

設(shè)外接球半徑為火，如圖（。為外接球球心，G為ABCZ）的重心）?,

KMOCG中，0C2=0G：+CG;，即及：=（理一出＞+。，解得我二學(xué)“

內(nèi)切球半--Z0哼-孚嚕

?-Jia

棱切球半徑為0E=JEG'OG：V12+24=-T-

3、棱臺(tái)的構(gòu)造特性

3.1棱臺(tái)的定義：用一種平行「?底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間日勺部分稱為棱

臺(tái)。

3.2正棱臺(tái)的構(gòu)造特性

（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；

（2）正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面H勺截面都是正多邊形;

（3）正棱臺(tái)口勺對(duì)角面也是等腰梯形；

（4）各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)。

4、圓柱的I構(gòu)造特性

4.1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成日勺曲面所圍成的

幾何體叫圓柱。

4.2圓柱的性質(zhì)

（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；

（2）過軸的截面（軸截面）是全等H勺矩形。

4.3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。

4.4圓柱的面積和體積公式

S圓柱師=2兀?r,h（1"為底面半徑,h為圓柱的J高）

S網(wǎng)柱全=2兀rh+2兀i2

V園柱=S底卜=兀111

5、圓錐的構(gòu)造特性

5.1圓錐的定義：以直角三角形口勺一直角邊所在的直線為旋頂點(diǎn)

轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所用成的）幾何體叫做圓

錐。/軸莪面\\

..----------------------------

5.2圓錐的構(gòu)造特性

,底面

（1）平行于底面口勺截面都是圓，截面直徑與底面直徑之

比等于頂點(diǎn)到截面R勺距離與頂點(diǎn)究竟面H勺距離之比；

（2）軸截面是等腰三角形；

⑻tu以1:

（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：

l2=r2+h2

5.3圓錐的側(cè)面展開圖:圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心,以母線長為半徑的扇形。

6、圓臺(tái)的構(gòu)造特性

6.1圓臺(tái)的定義：用一種平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間日勺部分稱為

圓臺(tái)。

6.2圓臺(tái)的構(gòu)造特性

⑴圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓;

⑵圓臺(tái)的截面是等腰梯形；

⑶圓臺(tái)常常補(bǔ)成圓錐，然后運(yùn)用相似三角形進(jìn)行研究,

6.3圓臺(tái)的面積和體積公式

S(sifriw=7i,(R+r)?1(r、R為上下底面半徑)

S網(wǎng)臺(tái)金=71?r+n?R2+71,(R+r)?1

VmA=1/3(nr2+JrR2+HrR)h(h為圓臺(tái)日勺高)

7球的構(gòu)造特性

7.1球日勺定義：以半圓的直徑所在日勺直線為旋轉(zhuǎn)軸，

半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。空間中，與定

點(diǎn)距離等于定長H勺點(diǎn)H勺集合叫做球面，球面所圍成的

幾何體稱為球體。

7-2球的構(gòu)造特性

⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心U勺距離的平方差：F=R2—d?

★7-3球與其他多面體的組合體的問題

球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，處理此類問題日勺基本思緒是:

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形;

⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適日勺切割面，然后做出剖面圖；

⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；

⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直經(jīng)等于正方體對(duì)角線；球外場正方

體，球直徑等于正方體的邊長。

7-4球H勺面積和體積公式

S球血=4兀R?（R為球半徑）V球=4/3ITR3

練習(xí)：

1）將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，形成H勺幾何體一定是（）

A.圓錐B.圓柱C.圓臺(tái)D.上均不對(duì)伊、J

2）用一種平面去截一種匚何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體也許是（）

A.圓錐B.圓柱C.球體I）.以上都也許

3）下左一圖是一種物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸（單位：cm）,計(jì)算它的體積為

EB

正初圖

的福圖

二、經(jīng)典例題分析

例1:（幾何體的側(cè)面展開圖）

如上左二圖，長方體A3CO-44GQH勺長、寬、高分別是5cm、4cm、3cm,一只螞蟻從

A到G點(diǎn)，沿著表面爬行的最短距離是多少.

練習(xí)：1）如上右二圖，四面體P-ABC中，PA=PB=PC=2,NAPB=NBPC=NAPC=30°.一只螞蟻

從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的表面繞一周，再問到A點(diǎn)，問蛆蟻通過的最短旅程是________.

練習(xí).1）已知一種幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形,俯視圖是直徑為2內(nèi)圓，

則此幾何體內(nèi)外接球的表面積為（）

48c1632

A.一4B.-7tC.—71D.—K

3333

（三）空間幾何體H勺表面積與體積

空間幾何體的表面積

棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

圓柱的表面積：S=2%?+2萬產(chǎn)圓錐的表面積：S=7irl+7rr2

圓臺(tái)的表面積：S=7irl+7ir2+71RI+71球H勺表面積：S=4乃R?

扇形的面積公式S而形=嚼^=3。=；儂卜2（其中/表達(dá)弧長，廠表達(dá)半徑，a表達(dá)弧度）

空間幾何體的體積

柱體的體積：V=5/X/z錐體的體積：V=gs底X/?

[4

臺(tái)體的體積：V=-（Si+y/S~^+SlJxh球體的體積：7爐

33

（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖

正視圖：光線從幾何體日勺前面向背面正投影，得到的投影圖。

側(cè)視圖：光線從幾何體H勺左邊向右邊正投影，得到的投影圖。

俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。

★畫三視圖的原則：

主視圖反應(yīng)了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反應(yīng)了物體的前、后和左、右

位置關(guān)系；側(cè)視圖反應(yīng)了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。

三個(gè)視圖之間口勺投影關(guān)系為：正俯長相等、正側(cè)高相似、俯側(cè)寬同樣

注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形

直觀圖：斜二測畫法

斜二測畫水平放置的平面圖形的基本環(huán)節(jié)

(1)建立直角坐標(biāo)系，在已如水平放置H勺平面圖形中取互相垂直的Or,Oy,建立直角坐標(biāo)系；

(2)畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)的Ox\使NVOp=45。(或135°),

它們確定的平面表達(dá)水平平面；

(3)畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于V軸，且長度保持

不變；平行于y軸的線段.在直觀圖中畫成平行于了軸，且長度變?yōu)楸緛淼亩种唬?/p>

(4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加H勺輔助線(虛線).

原視圖與直觀圖口勺關(guān)系：=—9S原視圖二2、歷S直觀圖

S原視圖4

例1、將長方體截去一種四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體II勺側(cè)視圖為)

解析：如圖所示，點(diǎn)。的投影為點(diǎn)G，點(diǎn)。的投影為點(diǎn)。，點(diǎn)A的投影為點(diǎn)8

練習(xí)：

(1)如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形也許是()

(2)判斷；

①水平放置的正方形的直觀圖也許是等腰梯形

②兩條相交的線段的直觀圖也許是平行線段

③兩條互相垂直的直線日勺直觀圖仍然垂直

④平行四動(dòng)形的直觀圖仍為平彳J?四功形

⑤長度相等的兩線段直觀圖仍然相等

(3)三角形A3C是邊長為1正三角形，求其直觀圖三角形AZ'CWj面積

(4)如圖，正方形O'42cH、J邊長為1,它是水平放置的一種平面圖形的直觀圖，求原圖

形日勺周長和面積

(5)如上右圖,用斜二測畫法作/ABC水平放置的直觀圖形得4ABC,其中AB=BC,AD

是BC邊上H勺中線，由圖形可知在/ABC中，卜.列四個(gè)結(jié)論中對(duì)的的|是()

A.AB=BC=ACB.ADIBCC.AOAD>AB>BCD.AOAD>AB=BC

空間幾何體三視圖（重點(diǎn)）

例1如圖所不，某幾何體的止視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體

口勺體積為（）

側(cè)視圖

>142—I

H-4-2-4-1T

俯柳圖

B.973C.12小D.1873

解析：由三視圖可還原幾何體的直觀圖如圖所示.此幾何體可通過度割和補(bǔ)形口勺措施拼

湊成一種長和寬均為3,高為小的長方體，所求體積V=3x3x/=Wi

（2）一種空間幾何體日勺三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

側(cè)（左［視圖

A.48B.32+8行C.48+8折D.80

（3）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

99

A.泰+12B.］兀+18

C.9兀+42D.36兀+18

【答案】（1）C（2）B

【解析】（1）由三視圖可知本題所給的是一種底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱（如圖

所示），因此該直四棱柱的表面積為S=2x/（2+4）x4+4x4+2x4+2xq1+16x4=48+8師.

（2）由三視圖可得這個(gè)幾何體是由上面是一種直徑為3日勺球，下面是一種長、寬都為3、

3

高為2的長方體所構(gòu)成的幾何體，則其體積為：V=Vi4-V2=1xnx^+3x3x2=17c+18,故

選B.

(3).[2023高考真題北京理7]某三棱錐的三視四如圖所示，該三梭錐的表面積是

()

A.28+675B.30+675C.56+1275D.60+1275

【答案】B【解析】從所給H勺三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字

所示口勺為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理口勺計(jì)算得到

rJi力長。本題所求表面積應(yīng)為三楂錐四個(gè)面的而積戶和，運(yùn)用垂直關(guān)系和三角形面積公

式，可得：S底=10,S后=10,s右=10,S左=6后,因此該幾何體表面積

S=S底+S后+S右+S左=30+6M，

例題:

1.一空間幾何體的三視圖如下右圖所示，則該幾何體的體積為().

A.2不+26B-肌+2GC.氈D.4萬+邁

33

2、上中圖是一種幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的I表面積是

A.9nB.IOnC.llnD.I2n

3、若一種正三棱柱H勺體積為12右，其三視圖如上左圖所示，則這個(gè)正三棱柱日勺側(cè)視圖的

面積為_______

4.【2023高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（C）

A.12KB.457TC.57nD.81TT

二、經(jīng)典例題

考點(diǎn)一：三視圖

第1題

2.若某空間幾何體U勺三視四如圖2所示，則該幾何體II勺體積是.

招視圖

第2題第3題

3.一種幾何體的三視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體I內(nèi)體積為.

4.若某幾何體的三視圖1單位：cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是

第4題第5題

5.如圖5是一種幾何體的三視圖，若它的體積是36，則〃=.

6.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖6,根據(jù)圖中標(biāo)出口勺尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體

日勺體枳是.

第6題第7題

7.若某幾何體日勺三視圖（單位:cm）如圖所示,則此幾何體的體積是cnr

8.設(shè)某幾何體的三視圖如圖8（尺寸的長度單位為m）,則該幾何體的體積為

第7題第8題

9.一種空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一種圓，那么這個(gè)

幾何體的側(cè)面積為.

主視圖左視圖

傭視圖

10.一種三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖1（）所示（單

位cm）,則該三棱柱的表面積為一

開

力孤困V

圖10

11.如圖11所示，一種空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一

種直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體日勺全面積為

□□

彳

主視圖左視圖O俯視圖0---------

圖

圖11圖12

圖13

12.如圖12,一種空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，的視圖是一種

圓，那么幾何體的側(cè)面積為.

13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示II勺邊長為2H勺正方形，主:視圖與左視圖是邊長為2

H勺正三角形，則其表面積是

14.假如一種幾何體口勺三視圖如圖14所示（單位長度：（、m）,則此幾何體日勺表面積是

圖14

15.一種棱錐的三視圖如圖圖9-3-7,則該棱錐口勺全面積（單位：

正視圖左視圖俯視圖

圖1

二、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系

（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖:

1.平面的基本性質(zhì)

公理1若一條直線上日勺兩點(diǎn)在一種平面內(nèi)，則這條直線上所有H勺點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

公理2假如兩個(gè)平面有一種公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.

公理3通過不在同一直線上口勺三個(gè)點(diǎn)，有且只有一種平面.

根據(jù)上面的公理，可得如下推論.

推論1通過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一種平面.

推論2通過兩條相交直線，有且只有一種平面.

推論3通過兩條平行直線，有且只有一種平面.

2.等角定理及其推論

定理若?種角日勺兩邊和另?種角的兩邊分別平行，并且方向相似，則這兩個(gè)角相等.

推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行、則這兩組直線所成日勺角相等.

2.空間線面的位置平

［共面?平行一沒有公共點(diǎn)

(1)直線與直線相交一有且只有一種公共點(diǎn)

異面(既不平行，又不相交)

,直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線和平面直線不在平面時(shí)平行一沒有公共點(diǎn)

(直線在平面外)相交一有且只有一公共點(diǎn)

(3)平面與平面｛相交一有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))

平行一沒有公共點(diǎn)

唯一性定理:(1)過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。

(2)過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。

1、線線平行的判斷措施：

I.中位線、證明平行四邊形、相似邊互相平行（初中H勺措施）、內(nèi)錯(cuò)角同位角相等、平行公

理等

2.線面平行的性質(zhì)、面面平行日勺性質(zhì)

3.線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩直線平行。

4.向量法，證明

2、線線垂直的I判斷：

1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點(diǎn)3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的

轉(zhuǎn)化

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的I一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。

3、線面平行歐J判斷：假如平面外日勺一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這

個(gè)平面平行。

符號(hào)表達(dá)：aHb

a（zaOcilla（線線平行=＞線面平行）

bua

4.線面平行的性質(zhì)：假如一條直線和一種平面平行，通過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行，

5、面面平行的判斷：一種平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一種平面,這兩個(gè)平面平行。

注：垂直于同一條直線的J兩個(gè)平面平行

5、面面平行的性質(zhì):

性質(zhì)定理：1.假如兩個(gè)平行平面同步和第三個(gè)平面相交，那么它們?nèi)丈捉痪€平行。

2.兩個(gè)平面平行，其中一種平面內(nèi)口勺直線必平行于另一種平面。

alla

au0=>"〃〃（線面平行n線線平行）

aC0=b

★判斷或證明線面平行的措施

⑴運(yùn)用定義（反證法）：“2=0,則/〃a（用于判斷）；

⑵運(yùn)用鑒定定理：線線平行=線面平行（用于證明）;

⑶運(yùn)用平面口勺平行：面面平行=線面平行（用于證明）;

（4）運(yùn)用垂直于同一條直線的直線和平面平行（用于判斷）。

2線面斜交和線面角：/Aa=A

2.1直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面

內(nèi)射影的夾角0。

2.2線面角口勺范圍：0￡付。，90。］注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面

直線垂直于平面時(shí)，0=90。

4、線面垂直的判斷：

鑒定定理假如一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。

a,bua

aC\b=()

l<za=>/_!_a（線線垂有n線而垂直）

ILa

ILb

5.線面垂直性質(zhì)：（1）若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。

（線面垂直=＞線線垂宜.）

即:

（2）垂直于同一平面的J兩直線平行。

即：a,b]a=b推論：a工a,a//b=b【a

6、面面垂直的判斷：一種平面通過另一種平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。

鑒定定理：1G（線面垂直=面面垂直）

aLp

6、面面垂直的性質(zhì)：假如兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)

垂直于交線歐I直線必垂直于另一個(gè)平面。

al.fi

”'》=＞〃_|_夕（面面垂直=＞線面垂直）

aua

aLAB

I"歹ICICffrir/n-rlr2/C

定義法：若兩面垂直，則這兩個(gè)平面口勺二面角的平面角為9（）。；

★判斷或證明線面垂直的措施

⑴運(yùn)用定義，用反證法證明。

⑵運(yùn)用鑒定定理證明。

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂更與平面。

⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一種，則也垂直于另一種。

⑸假如兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。

★1.5三垂線定理及其逆定理

⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引口勺所有線段中,斜

I-VIcrMnu

線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短,

如圖：PB二PCoOB=OC；PA〉PB0OA〉OB

⑵三垂線定理及其逆定理

已知PO_La,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面

a內(nèi)田J?條直線。

①三垂線定理：若a_LOA,則a±PAo即垂直射影則垂直斜

線。

②三垂線定理逆定理；若a_LPA,貝iJa_LOA。即垂克斜線則

垂直射影。

⑶三垂線定理及其逆定理的重要應(yīng)用

RHcO―1-HrC±2011

①證明異面直線垂直；

②作出和證明二面角酎平面角:

③作點(diǎn)到線的垂線段，

(二)、其他定理：

(1)確定平面的條件：①不共線的三點(diǎn);②直線和直線外?點(diǎn);③相交直線或平行直線;

(5)最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的I角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成內(nèi)角。

(6)異面直線的鑒定：①反證法；

②過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)日勺直線是異面直線。

(7)過已知點(diǎn)與一條直線垂直H勺直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。

(8)假如一直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面H勺交線。

考點(diǎn)六線面、面面關(guān)系判斷題

1.已知直線1、m、平面a、B,且l_La,m<=0,給出下列四個(gè)命題：

(1)a〃B,則l_Lm(2)若l_Lm,則a〃B

(3)若。_LB,則l〃m(4)若l〃m,則a_LB

其中對(duì)時(shí)時(shí)是.

2.加、n是空間兩條不一樣直線，夕是空間兩條不一樣平面，下面有四個(gè)命題：

①mJLa,〃4,21|/?=>〃？JL〃；②mJL七a||分,0=〃||尸；

③m±621|/7,m||or=>/?±/?;④m_La,0||夕n〃_L夕；

其中真命題的編號(hào)是________(寫出所有真命題的編號(hào))。

5.有關(guān)直線m、n與平面儀與夕，有下列四個(gè)命題：

①若m/1a,nH。旦a"0,則〃?〃〃；②若機(jī)_La,〃J■/且a_L/，則〃z_L〃；

③若機(jī)_La,〃〃/且a〃/7,則m_L〃；④若〃_L/7且a_L/，則〃〃/〃；

其中真命題的序號(hào)是.

練習(xí)

I.判斷下面命題時(shí)對(duì)H勺H勺是

平行于同一直線的兩平面平行.垂直于同一平面的兩直線平行.

平行于同一平面的兩直線平行.垂直于同一直線的兩平面平行.

平行于同一平面的兩平面平行.垂直于同一平面的兩平面平行.

2空間不重疊的I三平面可以把空間提成一部分,正方體六個(gè)面所在平面把空間提成_部分.

3若是異面直線，b,c是異面直線，則a,c的位置關(guān)系是()

A.相交，平行或異面B.相交或平行C.異面I).平行或異面

4設(shè)Ac表達(dá)兩條直線口,健達(dá)兩個(gè)平面，下列命題中對(duì)的的是

A.若〃ua,c〃a,則人〃cB.若〃ua,〃〃c,則。〃a

C.若c〃a,c_Lp,則a_L/?D.若c〃a,aJ■以則cu/?

5設(shè)〃?,〃是兩條不一樣日勺直線，a，B是兩個(gè)不一樣的平面，下列命題對(duì)的用勺是（）

A,若m±〃,mLa,nil〃，則a///?B,若mHa,n///7,a//ft,則加〃〃

C,若inLa,nilP，allP廁m±nD.若mHn,mHa,n//0,則allP

6設(shè)。步是兩條直線,a,4是兩個(gè)平面，則能推出alb的一種條件是（）

A.tz±aybllp.a±pB.tz±a,b1p.allp

C.aua力_L⑸a〃戶aa,b!/p,a1.p

9已知根，〃為兩條不一樣的直線，a、B為兩個(gè)不一樣日勺平面，則卜.列命題中對(duì)時(shí)的是（）

A.冽ua,力u%優(yōu)//￡，力〃4=>a//￡B.aHB>mua>nuB=mHn

C.mla,mLn^>n//aD.m//n.n1am1a

10已知兩條直線〃，兩個(gè)平面。，夕，給出卜面四個(gè)命題：

Q）m//77,m_Lan〃JLa②a/l/3、mua,nu/3=mMn

③mHn,mHa=n"a④aH/3,mHn、mLannIP

其中對(duì)的命題H勺序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

11設(shè)有直線相，〃和平面a,下列四個(gè)命題中，對(duì)的的是（）

A.若m〃a,n//a，則m//nB.若mua,nua,m〃P,n〃P，則a//P

C.若aJL0,mua，則ml/?D.若a_L夕,m_L夕,m（Za,則m〃a

12設(shè)a,〃是兩個(gè)不一樣叫平面，/是一條直線，如下命題對(duì)的的是（）

A.若/_La,a民則/u夕B.若/〃則/u￡

C.若/I.a,a〃。,則110D.若/〃a,a_L〃,則/_L〃

13已知直線和平面a,下述推理中對(duì)的附有:

aLbaflballa

廣〕>=a_L8②8_La>=a*a③>=6_La④…，>=a*b

buaaLabHa

14如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中,

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60。角；④DM與BN垂直;

以上四個(gè)命題中，對(duì)的1命題的序號(hào)是()

A.???B.②④C.③④D.②③④

練習(xí)：下左二圖是一種正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：

(DAB與石尸所在直線平行；(2M8與C。所在直線異面；

⑶MN與8尸所在直線成60°；⑷MN與CD所在直線垂直;其中對(duì)H勺命題H勺序號(hào)是.

D

考點(diǎn)四平行與垂直的證明

1.正方體ABCD-A|B|GD，AA=2,E為棱CQ的中點(diǎn).

(I)求證：B,D1±AE；

(II)求證：AC〃平面四。石；

(III)求三棱錐A-BDE內(nèi)體積.

2.已知正方體A8CO—A,B|G。，。是底ABC。對(duì)角線的J交點(diǎn).

求證：(1)G?！鍭qA；(2)ACJL面ASQ.

3.如圖，B4_L矩形A5CO所在平面，M、N分別是AB和尸C的中點(diǎn).

(I)求證：〃平面PA。；

(11)求證：MN上CD；

(III)若NPD4=45,求證：削_1_平面28.

4.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A_L平面ABCD,

AD//BC//FE,AB1AD,M為EC的中點(diǎn)，

N為AE於J中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=-AD

2

(I)證明平面AMD_L平面CDE：

(II)證明8N〃平面CDE；

5.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面4BCQ垂

直，已知菱形A8CO中/ADC=60°,M是附的中點(diǎn)，。是。C中點(diǎn).

(1)求證：0M〃平面PC8；(2)求證:%_LC￡＞；

(3)求證:平面以B_L平面COM.

7.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)

棱尸。_1_底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EFA.PB

交PB于點(diǎn)F.

(1)證明公〃平面EDB；(2)證明尸8_L平面EFD

異面直線所成的角，線面角，二面角的求法★★★

1.求異面直線所成的角〃w（O。,90。］：

1.定義法：解題環(huán)節(jié)：一找（作）：運(yùn)用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條

直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同步平移至某一特殊位置。常用中位線

平移法二證：證明所找：作）的角就是異面直線所成的角（或其補(bǔ)角）。常需要證明線線

平行；三計(jì)算：通過解三角形，求出異面直線所成的）角；

2.向量法求異面直線所成的角：若異面直線小成J方向向量分別為小b,異面直線所成

"勺角為仇則cos0=|cos如，力尸惴

2求直線與平面所成的角。e［0。,90。］：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足

1.定義法：解題環(huán)節(jié)：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理

H勺應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補(bǔ)角）（常需證明線

面垂直）；三計(jì)算：常通過解直角三角形，求出線面角。

2,向量法：求出平面的法向量”,直線U勺方向向量設(shè)線面所成的角為仇則sin夕=|cos〈〃,

辦一間14

3求二面角的平面角0e［0,乃］

解題環(huán)節(jié)：一找：根據(jù)二面角的平面角的I定義，找（作）出二面角的平面角；二證：

證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；三計(jì)

算：通過解三角形，求出二面角的平面角。

2.向量法求二面角：求出二面角a—/一/的兩個(gè)半平面〃與夕的法向量小，，?2,若二面角

一/一1所成冊(cè)J角夕為銳角,則cos0=|cos<711，M2）|=「扃;

若二面角1一/一4所成口勺角夕為鈍角，則cos8=一|cos0?|,〃2〉1=一|；；舄

五、距離的求法：

（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段日勺長、點(diǎn)與線、面間的

距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段日勺長。求它們首先要找到表達(dá)距離的線段，然后再計(jì)算。

注意：求點(diǎn)到面的距離的措施：

①直接法：直接確定點(diǎn)到平面口勺垂線段長（垂線段一般在二面角所在口勺平面上）；

②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面啊距離（運(yùn)用線面平行口勺性質(zhì)）；

③體積法：運(yùn)用三棱錐體積公式。

（2）線線距離：有關(guān)異面直線的距離，常用措施有：

①定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；

②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為a與過〃而平行于?？谏灼矫嬷g的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出

這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面強(qiáng)離；

（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常?；ハ噢D(zhuǎn)化；

例題：如圖所示,已知正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長為JI,底面邊長為石，后是S4H勺中點(diǎn)廁異

面直線3七與SC所成角的大小為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

C

AB

2正方體A3co-A力。D中，異面直線CQ和8C'所成的角的度數(shù)是.

7.如圖7,在正方體ABCD-ABC"中，后尸分別是A4,CQ中點(diǎn)，求異面直線/叫與所

所成角的角.

考點(diǎn)二體積、距離、角等問題

I.正棱錐口勺高和底面邊長都縮小本來的則它的J體積是本來的______________.

2

2.已知圓錐的母線長為8,底面周長為6-則它的體積是L

3.如圖8所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長為JL底面邊長為JLE是SA的中點(diǎn),

則異面直線BE與SC所成角的大小為.

第3題

4.如圖9-1-4,在空間四邊形43CO中，ACA.BDAC=皿）,E/分別是AB、CD的中點(diǎn),

則EF與AC所成角的大小為.

5.如上右三圖在正三棱柱48C-A4G中，=則直線C片與平面相由8所成角的正

弦值為.

6如圖9-36在正方體ABCD—AIBIC1D1中，對(duì)角線BD1與平面ABCD所成日勺角的正

切值為，

圖9-3-6圖9-3-1圖7

7.如圖9-37,已知AA3C為等腰直角三角形，P為空間一點(diǎn),且AC=8C=5\/5,PCJ_4C,

PC工BC,PC=5,4?附中點(diǎn)為"，貝iJ/股與平面所成的角為

8.如圖7,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,0是底面AiB￡iDi的中心,則。到平

面ABCiDi的距離為.

9.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面日勺距離是4cm,則該球的體積是

10.長方體ABC。-AqGA的8個(gè)頂點(diǎn)在同一種球面上，且AB=2,AD=JLAAl=\,

則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是.

11.已知點(diǎn)A,B,C,D在同一種球面上，A8J.平面8cO,BC1CD,若

A8=6,AC=2，m,AZ)=8,則B,C兩點(diǎn)間的球面距離是.

12.在正方體ABCD—AiBiCDi中，M為DDi的中點(diǎn)，0為底面ABCD的中心，P為棱

AiBi上任意一點(diǎn)，則直線0P與直線AM所成的角是.

13.AABC的頂點(diǎn)B在平面a內(nèi)，A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是

30°和45°,若AB=3,BC=4A/2,AC=5,則AC與a所成的角為.

14.矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一種直二面角B—AC-D,

則四面體ABCD的外接球的體積為.

15.已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為彳萬，則正方體的棱長為.

16.一種四面體的所有棱長都為正，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為.

考點(diǎn)五異面直線所成的角，線面角，二面角證明

1.如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PO_L底面

ABCD,PO=A。.求證：(I)平面以C_L平面P8。；

(2)求PC與平面P8O所成日勺角：

2.如圖所示，已知正四棱鉞S—ABCD側(cè)棱長為J5,底面邊長為百，E是SAU勺中點(diǎn)，則異

面直線BE與SC所成角的大小為

5.如圖，在底面為平行四邊形的四楂錐P—ABCD中，48■LAC,尸A_L平面ABCD,mPA

=AB,點(diǎn)E是PDlT、J中點(diǎn).(1)求證：AC1PB.(2)求證：PB〃平面AEC；

(3)若PA=AB=AC=4,求三棱錐E-ACD的體

積；(4)求二面角E—AC—DU勺大小.

立體幾何中的向量措施(理科)

例題：如圖，直四棱柱48CD—4BGD1的高為3,底面是邊長為4且N。48=60。的菱形,

ACQBD=O,4CiD8iDi=0i,E是。小日勺中點(diǎn).

(1)求二面角。1一8。一。的大小;

(2)求點(diǎn)E到平面。歸C的距離.

解(1)平面，C,

OOi±OA,OO\±OB,又。4J.08

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)

???底面A8C。是邊長為4,/048=60。的菱形,

/.OA=2y/3,OB=2,

則4(2石，0,0),8(0,2,0),C(—260,0),

Ch(0,0,3)

設(shè)平面。18CI向法向量為〃]=(x,y,設(shè)，

則4JLQB,%???123'-3Z=°,則z=2,則x=-6,y=3,

1-2氐-3z=0

〃[=(--\/3,3,2),而平面AC的法向量(0,0,3)

cos<〃],n2>=*-°=1,

I/?iI-In2I3x42

設(shè)。1—8C—。的平面角為a,.?.cosanl".a=60。.故二面角01—8。一。為60°.

2

(2)設(shè)點(diǎn)E到平面Q8C的距離為d???￡是54的口點(diǎn)，???￡??=(—JL0,；),

3

則d=\EOi^\=1(~^，0，寸(-"，孫=3.??點(diǎn)E到面aBC日勺距離等于-.

7(-V3)2+32+2222

例題：如圖，在四面體ABCD中，

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2.

(1)求證：AO_L平面8CQ；

(2)求異面直線A3與。。所成角的余弦值；

<3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

⑴證明連結(jié)OC

BO=DO、AB=ADyAO_LBD.

vBO=DO,BC=CD,COLBD.

在AAOC中，由已知可得AO=1,CO=J5.

而AC=2,AO2+CO2=AC2,

/./AOC=90",即AOIOC.

???BDC\OC=O,???AO1平面BCD.

⑵解以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則Wdo,o)C。,。』),嗎當(dāng)

,0).R4=(-