專題24.20圓（全章中考常考點(diǎn)專題）（全章專項(xiàng)練習(xí)）第一部分【題型目錄】【考點(diǎn)1】垂徑定理及其推論...............................................................................................................1【考點(diǎn)2】弦、弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系..................................................................................4【考點(diǎn)3】圓周角定理及其推論...........................................................................................................8【考點(diǎn)4】圈內(nèi)接四邊形的性質(zhì).........................................................................................................12【考點(diǎn)5】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.............................................................................................................15【考點(diǎn)6】直線與圓的位置關(guān)系.........................................................................................................19【考點(diǎn)7】切線的性質(zhì)及判定.............................................................................................................22【考點(diǎn)8】三角形的外接圓和內(nèi)切圖..................................................................................................26【考點(diǎn)9】正多邊形與圓的關(guān)系.......................................................................................................30【考點(diǎn)10】弧長(zhǎng)與扇形面積的有關(guān)計(jì)算............................................................................................33【考點(diǎn)11】圓錐的有關(guān)計(jì)算..............................................................................................................37【考點(diǎn)12】陰影部分面積的計(jì)算.......................................................................................................39第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【考點(diǎn)1】垂徑定理及其推論【1-1】（2023·浙江金華·中考真題）如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)及有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定即可．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、垂徑定理及圓的性質(zhì)計(jì)算即可．（1）證明：∵與軸相切于點(diǎn)，∴軸．∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）如圖，連接．

四邊形是矩形，．在中，，．點(diǎn)為圓心，，．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【1-2】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門(mén)最下端在地面上，為的中點(diǎn)，為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，若，，則拱門(mén)所在圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用，如圖，連接，先證明，，再進(jìn)一步的利用勾股定理計(jì)算即可；解：如圖，連接，∵為的中點(diǎn)，為拱門(mén)最高點(diǎn)，線段經(jīng)過(guò)拱門(mén)所在圓的圓心，，∴，，設(shè)拱門(mén)所在圓的半徑為，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱門(mén)所在圓的半徑為；故選B【1-3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在中，直徑于點(diǎn)E，，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．解：∵，，設(shè)的半徑為，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【考點(diǎn)2】弦、弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系【2-1】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，為的弦，且，垂足為點(diǎn)E．連接交于點(diǎn)G，連接．(1)求證：；(2)若，求的半徑及的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先利用已知條件和垂徑定理證明，然后根據(jù)證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）如圖：連接，設(shè)的半徑為r,由，列出關(guān)于r方程求解即可．（1）證明：∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∵是的直徑且，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴,∴；（2）解：如圖:連接，設(shè)的半徑為r,在中，，即，在中，，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴或（舍去），∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線以及掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【2-2】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，半徑為5的中，弦，所對(duì)的圓心角分別是，．已知，，則弦的弦心距等于（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的=關(guān)系，垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)．作于，作直徑，連接，先利用等角的補(bǔ)角相等得到，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，由，根據(jù)垂徑定理得，可證為△的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到．解：作于，作直徑，連接，如圖，，而，，，，，，而，為△的中位線，．故選：D．【2-3】（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）將半徑為5的如圖折疊，折痕長(zhǎng)為6，C為折疊后的中點(diǎn)，則長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系和勾股定理．延長(zhǎng)交于D點(diǎn)，交于E點(diǎn)，連接，如圖根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由得到，則可判斷垂直平分，則，再利用勾股定理計(jì)算出，所以，然后利用C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱得到，最后計(jì)算即可．解：延長(zhǎng)交于D點(diǎn)，交于E點(diǎn)，連接，如圖，∵C為折疊后的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在中，，∴，∵沿折疊得到，垂直，∴C點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴．故答案為：3．【考點(diǎn)3】圓周角定理及其推論【3-1】（24-25九年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，的直徑為10，弦為6，是的中點(diǎn)，弦和交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)對(duì)頂角相等及同弧所對(duì)的圓周角相等得，即可證明；（2）根據(jù)題意可得，則，再證明，即可證明；（3）過(guò)作于點(diǎn)，連接，，利用等弧所對(duì)的圓周角相等證明是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可．（1）證明：，，，，，；（2）證明：是的中點(diǎn)，，，，，即，；（3）解：過(guò)作于點(diǎn)，連接，，為的直徑，，，由（2）可知：，，由勾股定理得：，，，，在等腰直角三角形中，，在中，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了弧與弦，圓周角的關(guān)系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【3-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，是的直徑，，是上的點(diǎn)，且，分別與，相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤；⑥．其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A中有關(guān)的線段、角相等的定理是解題的關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用．①由直徑所對(duì)圓周角是直角，②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理可作判斷，③由平行線得到，再由同圓的半徑相等得到結(jié)論判斷出；④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；⑥得不到和中對(duì)應(yīng)相等的邊，所以不一定全等．解：①是的直徑，，，故①正確；②，，當(dāng)時(shí)，，故②不正確；③，，，，，平分，故③正確；④是的直徑，，，，，點(diǎn)為圓心，，故④正確；⑤由④有，，點(diǎn)為中點(diǎn)，是的中位線，，故⑤正確；⑥和中，沒(méi)有相等的邊，與不全等，故⑥不正確；綜上可知：其中一定成立的有①③④⑤，故選：D．【3-3】（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的高，且，，，E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不與A，C重合，則．【答案】/45度【分析】本題考查了勾股定理、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，連接，由勾股定理得出，證明是等腰直角三角形，得出，再由圓周角定理即可得解．解：如圖：連接，，∵是的高，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵和所對(duì)的弧都為弧，∴，∴故答案為：．【考點(diǎn)4】圈內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【4-1】（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且平分．(1)如圖①，若，求證：為等邊三角形；(2)如圖②，若，求的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)的半徑為【分析】本題考查了角平分線的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、同弧所對(duì)圓周角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確作出輔助線和熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．（1）利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，角的平分線的意義，證明即可．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)（1）中，得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)勾股定理和垂直平分線的性質(zhì)，得出的長(zhǎng)和垂直平分，進(jìn)而得出圓心在的垂直平分線上，再設(shè)的半徑為r，再根據(jù)勾股定理，列出方程，解出即可得出的半徑．（1）證明：∵平分，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（1）知：∴，∵，∴，∴，垂直平分，∵，∴圓心在的垂直平分線上，∴，設(shè)的半徑為r，在中，∵，∴，解得：，∴的半徑為．【4-2】（23-24九年級(jí)上·河南三門(mén)峽·期中）如圖，過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M是第三象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，，則的半徑為（

）

A．4 B．5 C．6 D．2【答案】A【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到，再由的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到是直徑，求出，進(jìn)而求出，是解題的關(guān)鍵．解：∵、、、都在圓上，，∴，∵，∴是的直徑，，∵，∴，∴，∴的半徑為4，故選：A．【4-3】（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線l與相交于點(diǎn)是的直徑，于點(diǎn)D．若，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．【答案】【分析】本題主要考查圓周角定理以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．連接，由是的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得，由三角形外角的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，又由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，繼而證得結(jié)論．解：連接．是的直徑，．∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，．．，．故答案為：．【考點(diǎn)5】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【5-1】（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是的外接圓．(1)求的半徑；(2)若在同一平面內(nèi)的也經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接、，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的上方和下方，兩種情況，進(jìn)行求解即可．解：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接、，，，垂直平分，，點(diǎn)在的垂直平分線上，即在上，，，在中，，，，設(shè)，則．在中，，，即．解得，即的半徑為；（2）當(dāng)也經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且，如圖：設(shè)，∵，則或，∵，或．∴的半徑的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外接圓、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定點(diǎn)的兩個(gè)位置．【5-2】（24-25九年級(jí)上·浙江·期中）如圖，在中，，，，P為邊上的一點(diǎn)，以P為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，則當(dāng)點(diǎn)C在圓內(nèi)，點(diǎn)A在圓外時(shí)，線段的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，如設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有：①點(diǎn)在圓外；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓內(nèi)．當(dāng)點(diǎn)C在圓內(nèi)，則，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，則，，要使得點(diǎn)A在圓外，則，即可求解．解：當(dāng)點(diǎn)C在圓內(nèi)，∴，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，則，∵，∴此時(shí)，∴要使得點(diǎn)A在圓外，則，∴滿足題意時(shí)，，故選：A．【5-3】（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）設(shè)x，y是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)，且，則這個(gè)直角三角形的外接圓面積為．【答案】【分析】設(shè)這個(gè)直角三角形的斜邊為，根據(jù)勾股定理，得到，將其代入，解得，即得到這個(gè)直角三角形的外接圓直徑，進(jìn)而求得這個(gè)直角三角形的外接圓面積．解：設(shè)這個(gè)直角三角形的斜邊為，由題意得，，∵，∴，令，則有，，整理得，，解得，，∴，，∵，∴，∴，即，∵為直角三角形的斜邊，∴，∵，，∴，∴這個(gè)直角三角形的外接圓直徑為，半徑為，∴這個(gè)直角三角形的外接圓面積為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，換元法解一元二次方程以及三角形的外接圓的相關(guān)性質(zhì)及面積，靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】直線與圓的位置關(guān)系【6-1】（2024九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，是的角平分線，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)、．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）連接，過(guò)點(diǎn)作于，先根據(jù)切線的性質(zhì)得，再由角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線的定義得，，再由得，由得，由此得，然后根據(jù)求出，進(jìn)而可得的度數(shù)．（1）證明：連接，過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：點(diǎn)為的圓心，為的切線，切點(diǎn)為，為的半徑，且，為平分線，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，，，即為的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)，為平分線，，，，，，，，，，即，，．【6-2】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在梯形中，，，，，如果以CD為直徑的圓與梯形各邊共有3個(gè)公共點(diǎn)（C，D兩點(diǎn)除外），那么AD長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．此題首先能夠根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到直線AB和圓的位置關(guān)系；再進(jìn)一步計(jì)算出相切時(shí)圓心到直線的距離，從而根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系，得到答案．解：根據(jù)題意，得圓必須和直線AB相交，設(shè)直線AB和圓相切于點(diǎn)E，連接，則，，又∵，∴此時(shí)．根據(jù)梯形的中位線定理，得，∴，∴，∴直線要和圓相交，則．故選D．【6-3】（10-11九年級(jí)下·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，半徑為的的圓心在直線上，且與點(diǎn)的距離為．如果以的速度，沿由A向B的方向移動(dòng)，那么秒種后與直線相切．【答案】4或8【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：直線與有三種位置關(guān)系（相切、相交、相離）．也考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．分類討論：當(dāng)點(diǎn)在當(dāng)點(diǎn)在射線時(shí)與相切，過(guò)作與，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用含的直角三角形三邊的關(guān)系得到，則的圓心在直線上向右移動(dòng)了后與相切，即可得到移動(dòng)所用的時(shí)間；當(dāng)點(diǎn)在射線時(shí)與相切，過(guò)作與，同前面一樣易得到此時(shí)移動(dòng)所用的時(shí)間．解：當(dāng)點(diǎn)在射線時(shí)與相切，如圖，過(guò)作于，，，，的圓心在直線上向右移動(dòng)了后與相切，移動(dòng)所用的時(shí)間（秒；當(dāng)點(diǎn)在射線時(shí)與相切，如圖，過(guò)作與，，，，的圓心在直線上向右移動(dòng)了后與相切，移動(dòng)所用的時(shí)間（秒．故答案為4或8．【考點(diǎn)7】切線的性質(zhì)及判定【7-1】（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，為的一條弦，切于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)C．(1)求證：是的切線；(2)若交直線于點(diǎn)D，交于另一點(diǎn)F．①求證：；②若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①見(jiàn)解析；②5【分析】（1）連接，．證明，推出即可解決問(wèn)題．（2）①連接，想辦法證明即可解決問(wèn)題．②利用勾股定理求出，設(shè)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（1）證明：連接，．是的切線，，，，，，，，，是的切線；（2）①證明：連接．，，，，，，，，，，，，，，即，．②解：，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，的半徑為5．【點(diǎn)撥】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【7-2】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，，是的切線，切點(diǎn)為A，D，點(diǎn)B，C在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，由得，由切線長(zhǎng)定理得，即可求得結(jié)果．解：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∴，∵，是的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，∴，∴，∴．故選：C．【7-3】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，以D為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為E，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)切線的判定可證是的切線，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，，由切線的性質(zhì)可得，再由平行線的性質(zhì)與等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可．解：連接、，∵，是的半徑，∴是的切線，∵是的切線，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題考查切線的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8】三角形的外接圓和內(nèi)切圖【8-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，I是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得，再由圓周角與弧之間的關(guān)系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．（1）證明：點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點(diǎn)D是的外心．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)心和外心的定義，圓的基本性質(zhì)中圓周角與弧之間的關(guān)系等，理解定義，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.【8-2】（2024·四川南充·一模）如圖，點(diǎn)是外接圓的圓心．點(diǎn)是的內(nèi)心．連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心和外心的概念、圓周角定理、等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．連接，由點(diǎn)是的內(nèi)心可得平分，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．解：如圖，連接，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴平分，∵，∴，∵點(diǎn)是外接圓的圓心，∴，∵，∴，故選：C．【8-3】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，周長(zhǎng)為18，，圓O是的內(nèi)切圓，圓O的切線與、相交于點(diǎn)M、N，則的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心及切線的性質(zhì)的知識(shí)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，然后利用三角形的周長(zhǎng)和的長(zhǎng)求得和的長(zhǎng)，從而求得的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是利用切線長(zhǎng)定理求得和的長(zhǎng)．解：∵圓是的內(nèi)切圓，圓的切線與相交于點(diǎn)∴，，，，，∵周長(zhǎng)為，，∴，∴的周長(zhǎng)為：，故答案為：．【考點(diǎn)9】正多邊形與圓的關(guān)系【9-1】（22-23九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知的內(nèi)接正十邊形，AD交，于，，求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)圓心角的計(jì)算可得，，由此可得，根據(jù)同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，根據(jù)正十邊形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理可得，由此可得，根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算，可得，，再根據(jù)即可求解．（1）證明：如圖所示，連接，則，∵是內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵內(nèi)接正十邊形，∴，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查正多邊形與圓的綜合，掌握正多形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，圓心角的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)圓心角與圓周角的關(guān)系，平行線的判定等知識(shí)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【9-2】（24-25九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固、如圖，某蜂巢的房孔是邊長(zhǎng)為8的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長(zhǎng)為（

）

A．12 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正多邊形與圓，垂徑定理及其推論，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖，連接，，交于，

六邊形是的內(nèi)接正六邊形，，，，∴為等邊三角形，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，，，故選：C．【9-3】（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，正方形、等邊三角形內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為．【答案】30°/30度【分析】由，，已知圖形是以正方形的對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，求得，則所對(duì)的圓心角為，所以的度數(shù)為．解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，∴，，∵連接，圖形是以正方形的對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，∴，∵是所對(duì)的圓周角，∴所對(duì)的圓心角等于，∴的度數(shù)為，故答案為：30°．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形與圓，正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10】弧長(zhǎng)與扇形面積的有關(guān)計(jì)算【10-1】（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，是的弦，是外一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)與相切，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得，根據(jù)垂直的定義得，即，則與相切；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，推出是等邊三角形，得到，求得，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．解：（1）與相切，理由：連接，，，，，，，在中，，，即：，，又是半徑，與相切；（2）解：，，，，，是等邊三角形，，，，，，圖中陰影部分的面積．【點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，扇形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【10-2】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，已知點(diǎn)C、D在上，直徑，弦、BD相交于點(diǎn)E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和弧之間的關(guān)系，扇形的面積等．連接，根據(jù)，得出，進(jìn)而得到，利用即可求解．解：連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【10-3】（2024·福建莆田·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形內(nèi)接于為的直徑，平分，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理結(jié)合角平分線性質(zhì)可推出是等腰直角三角形，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．解：連接，∵四邊形內(nèi)接于為的直徑，，平分，，，，，∴是等腰直角三角形，在中，，，∴，則的長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．【考點(diǎn)11】圓錐的有關(guān)計(jì)算【11-1】（23-24九年級(jí)上·廣東云浮·期末）如圖，是的直徑，C、D為上的點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，已知，．(1)求證：為的切線．(2)若，的半徑等于，求繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接．根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到，進(jìn)而推出，即可證明結(jié)論；（2）連接，可證是等腰直角三角形，進(jìn)而得出，繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個(gè)相同的底面相對(duì)的圓錐，利用圓錐的側(cè)面積公式求解即可．（1）證明：如圖，連接．，，，，，是的直徑，點(diǎn)在上，，即．，，即．是半徑，為的切線．（2）解：如圖，連接，的半徑等于，，．，，．是的直徑，點(diǎn)為在上，，是等腰直角三角形，．由勾股定理，得，解得，繞旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個(gè)相同的底面相對(duì)的圓錐，半徑為，母線長(zhǎng)為，表面積．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，圓錐的側(cè)面積公式等知識(shí)，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)，利用空想想象力判斷出旋轉(zhuǎn)后的幾何體是解題關(guān)鍵．【11-2】（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖已知扇形的半徑為，圓心角的度數(shù)