專題21.17一元二次方程（中考真題11大考點分類專題）（考點梳理與題型分類講解）第一部分【考點目錄】中考真題有著很多其他復習資料不能比擬的特點,歷年真題充分體現(xiàn)該題命題思路和意圖,通過分析題目的關鍵要點,了解相關內容的意義,學會從命題者的角度分析問題,尋找切入點,培養(yǎng)題感。運用好真題可以獲得事半功倍的效果,本專題匯集了近三年來本章節(jié)的考點，供大家參考使用.一、選擇題與填空題【考點1】求代數(shù)式的值（3個題）...........................................1;【考點2】配方法及其應用（3個題）.........................................3;【考點3】因式分解法及其應用（4個題）.....................................4;【考點4】直接開平方法及其應用（4個題）...................................7;【考點5】根的判別式及應用（3個題）......................................10;【考點6】根與系數(shù)關系（3個題）..........................................12;【考點7】一元二次方程的實際應用（4個題）................................13;解答題【考點8】解一元二次方程（4個題）........................................14;【考點9】利用根的判斷式求值或證明（4個題）..............................16;【考點10】根與系數(shù)關系與根的判別式綜合（4個題）.........................17;【考點11】一元二次方程的實際應用（4個題）...............................20.第二部分【考點展示與方法點撥】一、選擇題與填空題【考點1】求代數(shù)式的值【1-1】（2024·四川成都·中考真題）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】7【分析】本題考查了根與系數(shù)的關系和完全平方公式和已知式子的值，求代數(shù)式的值．先利用已知條件求出，，從而得到，再將原式利用完全平方公式展開，利用替換項，整理后得到，再將代入即可．解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，則∴故答案為：7【1-2】（2023·山東棗莊·中考真題）若是關x的方程的解，則的值為．【答案】2019【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．解：∵是關x的方程的解，∴，即：，∴；故答案為：2019．【點撥】本題考查方程的解，代數(shù)式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數(shù)的值，是解題的關鍵．【1-3】（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（

）A． B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．解：∵m為的根，∴，且m≠0，∴，則有原式=，故選：B．【點撥】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關鍵．【考點2】配方法及其應用【2-1】（2023·新疆·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方即計算即可．解：∵，∴，∴，∴，故選D．【點撥】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關鍵．【2-2】（2022·山東東營·中考真題）一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用配方法解方程即可．解：∵，∴，∴，∴，∴，解得，故選D．【點撥】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【2-3】（2022·山東德州·中考真題）已知，（a為任意實數(shù)），則的值（

）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了非負數(shù)的性質．熟練掌握整式的加減，完全平方式與配方法，非負數(shù)的性質，是解題的關鍵．根據(jù)完全平方式利用配方法把的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負性判斷即可．解：，∵，∴，∴大于0，故選：C．【考點3】因式分解法及其應用【3-1】（2023·內蒙古赤峰·中考真題）方程的解為．【答案】【分析】依據(jù)題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．解：，方程兩邊同時乘以得，，，，，或．經(jīng)檢驗時，，故舍去．原方程的解為：．故答案為：．【點撥】本題考查的是解分式方程，解題的關鍵在于注意分式方程必須檢驗根的情況．【3-2】（2024·四川南充·中考真題）當時，一次函數(shù)有最大值6，則實數(shù)m的值為（

）A．或0 B．0或1 C．或 D．或1【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，以及解一元二次方程，分兩種情況，當時和當，根據(jù)一次函數(shù)性質列出關于m的一元二次方程，求解即可得出答案．解：當即時，一次函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當時，，即，整理得：解得：或（舍去）當即時，一次函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當時，，即，整理得：解得：或（舍去）綜上，或，故選：A【3-3】（2023·四川涼山·中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可．解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點撥】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關鍵．【3-4】（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為．

【答案】【分析】連接，過點作于點，設，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【考點4】直接開平方法及其應用（4個題）【4-1】（2024·吉林·中考真題）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關鍵．分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷．解：A、，故該方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；B、，解得：，故本選項符合題意；C、，，解得，故本選項不符合題意；D、，，解得，故本選項不符合題意．故選：B．【4-2】（2024·四川涼山·中考真題）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為．由一元二次方程的定義，可知；一根是，代入可得，即可求答案．解：是關于的一元二次方程，，即由一個根，代入，可得，解之得；由得；故選A【4-3】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據(jù)新定義運算法則列出方程求解即可．解：∵，而，∴①當時，則有，解得，；②當時，，解得，綜上所述，x的值是或，故答案為：或．【4-4】（2023·四川巴中·中考真題）我國南宋時期數(shù)學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

當代數(shù)式的值為1時，則x的值為（

）A．2 B． C．2或4 D．2或【答案】C【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．解：由規(guī)律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故選：C．【點撥】本題考查的是從題干信息中總結規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活的應用規(guī)律解題是關鍵．【考點5】根的判別式【5-1】（2024·山東泰安·中考真題）關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件是，據(jù)此列不等式求解即可．解：∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得．故選B．【5-2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【答案】C【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此先求出，再求出的符號即可得到結論．解：∵，∴，∴，，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．【5-3】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到，再由有兩個不相等的實數(shù)根得到，且，即可得到答案.解：∵，∴，即，∵關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得且，故選：D．【考點6】根與系數(shù)關系【6-1】（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個根為，則方程的另一個根為．【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系．設方程的另一個根為m，根據(jù)兩根之和等于，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．解：設方程的另一個根為m，∵方程有一個根為，∴，解得：．故答案為：4．【6-2】（2023·湖北鄂州·中考真題）若實數(shù)、分別滿足，，且，則．【答案】【分析】先根據(jù)題意可以把，看作是一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系得到，，再根據(jù)進行求解即可．解：設，依題，滿足方程，是這個方程的兩根，∴，，∵；故答案為：．【點撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系及分式的求值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．【6-3】（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到，根據(jù)菱形的面積得到，利用勾股定理以及完全平方公式計算可得答案．解：設方程的兩根分別為a，b，∴，∵a，b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11，∴，即，∵菱形對角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長為，故C正確．故選：C．【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關系以及菱形的性質，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關系得出是解題的關鍵．【考點7】一元二次方程的實際應用【7-1】（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，正確理解題意、列出方程是解題的關鍵．設該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．解：根據(jù)題意得：．故選：B．【7-2】（2024·四川內江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，則符合題意得方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件．設年平均增長率為x，根據(jù)2023年底森林覆蓋率2021年底森林覆蓋率，據(jù)此即可列方程求解．解：根據(jù)題意，得即，故選：B．【7-3】（2024·內蒙古·中考真題）我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了這樣一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步？”其大意是：矩形面積是864平步，其中寬與長的和為60步，問寬和長各幾步？若設長為x步，則下列符合題意的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列一元二次方程，找準等量關系是解題關鍵．先求出寬為步，再利用矩形的面積公式列出方程即可得．解：由題意可知，寬為步，則可列方程為，故選：C．【7-4】（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“○”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．【答案】12【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應用等知識點，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數(shù)為：，“●”的個數(shù)為：；由題知，解得，又n為正整數(shù)，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數(shù)是圖形“●”個數(shù)的3倍．故答案為：12．【考點8】解一元二次方程【8-1】（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．【答案】（1）或；（2）第三邊的長是或【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理．（1）用因式分解法解即可；（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算即可．解：（1）或；（2）當兩條直角邊分別為3和1時，根據(jù)勾股定理得，第三邊為；當一條直角邊為1，斜邊為3時，根據(jù)勾股定理得，第三邊為．答：第三邊的長是或．【8-2】（2023·江蘇無錫·中考真題）（1）解方程：

（2）解不等式組：【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．解：（1）解：∵，∴，∴解得：，；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點撥】本題考查了解一元二次方程，求不等式組的解集，熟練掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式組是解題的關鍵．【8-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：【答案】，【分析】直接開方可得或，然后計算求解即可．解：∵∴或解得，．【考點9】利用根的判別式求值或證明【9-1】（2023·湖北荊州·中考真題）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當時，用配方法解方程．【答案】(1)且；(2)，.【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問題，即可解答，（2）將代入，利用配方法解方程即可．解：（1）解：依題意得：，解得且；（2）解：當時，原方程變?yōu)椋?，則有：，，，方程的根為，．【點撥】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關鍵．【9-2】（2023·四川遂寧·中考真題）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c、d有，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：．(1)求的值；(2)已知關于x的方程有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍．【答案】(1)10；(2)且．【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可求解；（2）根據(jù)新定義得到一元二次方程，利用根的判別式列式計算即可求解．解：（1）∵，∴；（2）解：∵，∴，整理得，∵關于x的方程有兩個實數(shù)根，∴，且，解得且．【點撥】本題考查了新定義運算，根的判別式，牢記“當時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關鍵．【考點10】根與系數(shù)關系與根的判別式綜合（4個題）【10-1】（2023·湖北襄陽·中考真題）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若方程的兩個根為，，且，求的值．【答案】(1);(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得出，把字母和數(shù)代入求出的取值范圍；（2）根據(jù)兩根之積為：，把字母和數(shù)代入求出的值．解：（1），∵有兩個不相等的實數(shù)，∴，解得：；（2）∵方程的兩個根為，，∴，∴，解得：，（舍去）．即：．【點撥】本題主要考查根與系數(shù)的關系、根的判別式，解題的關鍵是掌握，是方程的兩根時，，．【10-2】（2023·湖北黃石·中考真題）關于x的一元二次方程，當時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設計；我國著名數(shù)學家華羅庚的優(yōu)選法中也應用到了黃金分割數(shù)．(1)求黃金分割數(shù)；(2)已知實數(shù)a，b滿足：，且，求ab的值；(3)已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：，求的值．【答案】(1);(2)2;(3)0【分析】（1）依據(jù)題意，將代入然后解一元二次方程即可得解；（2）依據(jù)題意，將變形為，從而可以看作，是一元二次方程的兩個根，進而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關系式，從而求得，進而可以得解．解：（1）依據(jù)題意，將代入得，解得，∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵，∴，則．又∵，∴，是一元二次方程的兩個根，則，∴．（3）∵，；∴；即；∴．又∵；∴；即．∵，為兩個不相等的實數(shù)，∴，則，∴．又∵，∴，即．【點撥】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根與系數(shù)的關系，靈活運用所學知識解決問題．【10-3】（2022·四川南充·中考真題）已知關于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍．(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3.【分析】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到，將等式左側展開代入計算即可得到k值．解：（1）∵一元二次方程有實數(shù)根．∴?0，即32-4（k-2）0，解得k（2）∵方程的兩個實數(shù)根分別為，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【點撥】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關系式，熟練掌握一元二次方程有關知識是解題的關鍵．【考點11】一元二次方程的實際應用【11-1】（2023·山東東營·中考真題）如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640的羊圈？(2)羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．【答案】(1)當羊圈的長為，寬為或長為，寬為時，能圍成一個面積為的羊圈；(2)不能，理由見解析．【分析】（1）設矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無實根即可求解．解：（1）設矩形的邊，則邊．根據(jù)題意，得．化簡，得．解得，．當時，；當時，．答：當羊圈的長為，寬為或長為，寬為時，能圍成一個面積為的羊圈．（2）不能，理由如下：由題意，得．化簡，得．∵，∴一元二次方程沒有實數(shù)根．∴羊圈的面積不能達到．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關鍵．【11-2】（2023·湖北宜昌·中考真題）為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節(jié)吃粽子的習俗．某顧客端午節(jié)前在超市購買豆沙粽10個，肉粽12個，共付款136元，已知肉粽單價是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的單價；(2)超市為了促銷，購買粽子達20個及以上時實行優(yōu)惠，下表列出了小歡媽媽、小樂媽媽的購買數(shù)量（單位：個）和付款金額（單位：元）；豆沙粽數(shù)量肉粽數(shù)量付款金額小歡媽媽2030270小樂媽媽3020230①根據(jù)上表，求豆沙粽和肉粽優(yōu)惠后的單價；②為進一步提升粽子的銷量，超市將兩種粽子打包成A，B兩種包裝銷售，每包都是40個粽子（包裝成本忽略不計），每包的銷售價格按其中每個粽子優(yōu)惠后的單價合計．A，B兩種包裝中分別有m個豆沙粽，m個肉粽，A