第二十二章二次函數(shù)【知識點01】二次函數(shù)的概念一般地，形如（a，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【知識點02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：，其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，a≠0．【知識點03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸頂點（，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=時，y最小值=當(dāng)x=時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小【知識點04】二次函數(shù)的平移二次函數(shù)平移遵循“上下，左右”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．【知識點05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)時，就變成了一元二次方程（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與的橫坐標(biāo)．3）（1）?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與；（2）?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與；（3）?方程沒有實數(shù)根，拋物線與．【知識點06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：（1）列出，列解析式時，要根據(jù)自變量的實際意義，確定（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運用公式法或配方法求出二次函數(shù)的或易錯點1利用二次函數(shù)的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”1.易錯總結(jié)：求二次函數(shù)待定系數(shù)時，易因忽略二次項系數(shù)a\neq0出錯。比如設(shè)y=ax^2+bx+c形式，若沒考慮a取值，會導(dǎo)致函數(shù)不是二次函數(shù)，得出錯誤結(jié)果。2.注意事項：確定二次函數(shù)待定系數(shù)，先明確二次項系數(shù)a，必須保證a\neq0，再求解其他系數(shù)。解題后檢查，確認(rèn)二次項系數(shù)符合a\neq0，避免因遺漏條件致錯。例題1．當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)．易錯點2利用二次函數(shù)的增減性求待定系數(shù)時忽略分類討論1.易錯總結(jié)：利用二次函數(shù)增減性求待定系數(shù)時，常因未對二次項系數(shù)a的正負(fù)（即開口方向）分類討論，導(dǎo)致增減性判斷錯誤，進而使待定系數(shù)求解出錯，忽略不同開口下增減性的差異。2.注意事項：先根據(jù)a的正負(fù)，分a>0（開口向上）、a<0（開口向下）兩類討論增減性。結(jié)合自變量取值范圍與對稱軸位置，對應(yīng)增減性確定函數(shù)值變化，精準(zhǔn)求解待定系數(shù)。例題2．已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，則．易錯點3二次函數(shù)與一元二次方程的交點問題1.易錯總結(jié)：處理二次函數(shù)與一元二次方程交點問題時，易忽略二次項系數(shù)a≠0，導(dǎo)致函數(shù)不是二次函數(shù)；或未結(jié)合判別式△判斷交點個數(shù)，誤判方程解與函數(shù)圖象和x軸交點的關(guān)系。2.注意事項：先確認(rèn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a≠0，保證是二次函數(shù)。利用判別式△=b2-4ac，判斷方程ax2+bx+c=0根的情況，對應(yīng)函數(shù)與x軸交點個數(shù)。例題3．（2025·安徽滁州·三模）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）的值為．（2）若拋物線向下平移個單位長度后，在范圍內(nèi)與軸只有一個交點，則的取值范圍是．易錯點4利用二次函數(shù)解決實際問題中最值問題1.易錯總結(jié)：在利用二次函數(shù)解決實際問題的最值問題時，一是容易忽略自變量的實際取值范圍，直接套用二次函數(shù)頂點坐標(biāo)公式求最值，得到不符合實際情況的結(jié)果；二是沒有正確分析二次函數(shù)的開口方向，導(dǎo)致對函數(shù)增減性判斷失誤，從而找錯最值點。2.注意事項：明確實際問題中自變量的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象在該范圍內(nèi)的單調(diào)性來確定最值。準(zhǔn)確判斷二次項系數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)開口方向，再依據(jù)自變量取值范圍，精準(zhǔn)找出能使實際問題取得最值的點。例題4．（2025·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測）春節(jié)期間，《哪吒2》熱映，某文創(chuàng)公司設(shè)計了一款成本價為每卷4元的哪吒貼紙投放到市場，公司以不低于成本價且不超過每卷8元的價格銷售，當(dāng)每卷售價為6元時，每天售出貼紙900卷；當(dāng)每卷售價為7元時，每天售出貼紙850卷，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售貼紙的數(shù)量（卷）與每卷售價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系．(1)求每天銷售貼紙的數(shù)量（卷）與每卷售價（元）滿足的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每卷售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？易錯點5二次函數(shù)中的新定義型綜合問題1.易錯總結(jié)：解二次函數(shù)新定義型問題時，常因未吃透新定義內(nèi)涵，直接套用舊知識導(dǎo)致錯解；或忽略新定義中隱含的二次函數(shù)基本特征（如二次項系數(shù)非零），使推理偏離前提。2.注意事項：先逐字分析新定義，明確其與二次函數(shù)知識的關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題。解題中緊扣二次函數(shù)定義，驗證是否滿足a≠0等基本條件，確保邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。例題5．（2025·上海閔行·二模）定義：如果一條拋物線的頂點坐標(biāo)滿足條件，那么稱該拋物線為“優(yōu)雅”拋物線．例如：拋物線的頂點坐標(biāo)為，此時由于，，頂點坐標(biāo)符合定義的條件，所以這條拋物線是“優(yōu)雅”拋物線．(1)如果拋物線是“優(yōu)雅”拋物線，求的值．(2)如圖，把（1）中的拋物線向下平移得到拋物線，拋物線與軸負(fù)半軸交于點，頂點為點，對稱軸與軸交于點．①點在延長線上，點是軸上一點，且四邊形是矩形，求點的坐標(biāo)．②如果拋物線為“優(yōu)雅”拋物線，它的頂點在軸上，拋物線與交于點，且，求拋物線的解析式．1．（24-25九年級上·山東東營·期末）如果是二次函數(shù)，則的值為．2．若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為．3．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，當(dāng)時，若y的最大值與最小值之差為8，則．4．（24-25九年級上·遼寧營口·期中）對于二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則的值為．5．（2025·福建廈門·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點，點，若拋物線與線段有兩個不同的交點，則的取值范圍是．6．（2025·安徽六安·二模）把函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，x軸上方部分的圖象不變，得到函數(shù)的圖象．（1）函數(shù)的頂點為．（2）若函數(shù)與函數(shù)有3個交點，則b的值為．7．（2025·安徽合肥·三模）對于一個函數(shù)，自變量x取m時，函數(shù)值y等于2m，則稱點是這個函數(shù)的“二倍點”，已知二次函數(shù)．（1）若點是此函數(shù)的“二倍點”，則此函數(shù)另一個“二倍點”B的坐標(biāo)是，（2）若此函數(shù)有兩個相異的“二倍點”、，且，則k的取值范圍．二、解答題8．某奶茶店用3000元按批發(fā)價購入一批椰果奶茶原料．若將原料批發(fā)價降低，則可多購買500杯椰果奶茶所需原料．市場調(diào)研顯示：該奶茶每杯售價8元時，每日可售出320杯；每杯每漲價1元，日銷量減少20杯．該奶茶每杯的配料、包裝等其它成本為2元．(1)該奶茶每杯原料成本是多少元？(2)若銷售該奶茶每天的利潤為1920元，且銷量盡可能大，該奶茶每杯售價是多少元？(3)為了讓利給顧客，該奶茶店決定每杯椰果奶茶漲價不超過5元，問該奶茶一天最大的銷售利潤是多少元？9．（24-25九年級下·江西撫州·期中）坐落于江西省南昌市贛江之畔的滕王閣，不僅是中國四大名樓之一，也是國家重點風(fēng)景名勝區(qū)．景區(qū)內(nèi)的官方紀(jì)念品店銷售一系列精美的手工藝品及地方特產(chǎn)，包括一種頗受歡迎的兒童木質(zhì)拼圖．該拼圖的成本價固定為40元/件，依據(jù)景區(qū)規(guī)定，銷售利潤必須限制在進價的50%以內(nèi)．近期的銷售數(shù)據(jù)表明，當(dāng)拼圖定價為50元時，每日銷量可達350件，然而，每當(dāng)價格提升5元，銷售數(shù)量便會隨之減少50件．設(shè)銷售單價為x元（銷售單價不低于50元）．(1)當(dāng)這種木質(zhì)拼圖以最高價出售時，每天的銷售量為多少件？(2)求這種木質(zhì)拼圖每天獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)銷售單價為多少元時，該景區(qū)銷售這種木質(zhì)拼圖每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？10．（24-25九年級上·遼寧·期末）定義：若函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則稱函數(shù)和關(guān)于直線互為“友好函數(shù)”，函數(shù)和的圖象交點叫做“友好點”．例如：函數(shù)關(guān)于直線的