2025年CFA《數(shù)量分析》綜合實(shí)訓(xùn)卷附答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容一、選擇題（每題2分，共30分）1.對(duì)于一組數(shù)據(jù)：3,7,7,9,10，其中位數(shù)是：A.7.0B.7.5C.8.0D.9.02.如果一個(gè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=5，方差Var(X)=4，那么隨機(jī)變量Y=3X-2的期望E(Y)和方差Var(Y)分別是：A.E(Y)=15,Var(Y)=12B.E(Y)=15,Var(Y)=36C.E(Y)=13,Var(Y)=12D.E(Y)=13,Var(Y)=363.從一個(gè)包含5個(gè)元素的集合中，選取2個(gè)元素進(jìn)行排列，不同的排列方式共有：A.5種B.10種C.20種D.25種4.設(shè)事件A和事件B相互獨(dú)立，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，則事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的概率P(A∩B')是：A.0.18B.0.3C.0.42D.0.65.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)在x=0處的值是：A.0B.0.5C.1D.無(wú)法確定6.一個(gè)樣本容量為n=25的樣本，其樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（標(biāo)準(zhǔn)誤）為0.5。如果樣本量增加到n=100，其他條件不變，新的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差將是：A.0.25B.0.5C.1.0D.2.07.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，第一類錯(cuò)誤是指：A.接受了真實(shí)為假的原假設(shè)B.拒絕了真實(shí)為真的原假設(shè)C.接受了真實(shí)為假的原假設(shè)，且犯此錯(cuò)誤的概率為αD.拒絕了真實(shí)為真的原假設(shè)，且犯此錯(cuò)誤的概率為β8.對(duì)于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，下列哪個(gè)表述是正確的？A.β?是解釋變量的截距，β?是自變量的斜率B.β?是因變量的截距，β?是自變量的斜率C.β?是誤差項(xiàng)的均值，β?是X對(duì)Y的彈性D.β?和β?都是隨機(jī)變量9.在簡(jiǎn)單線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是：A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,∞)D.(-∞,∞)10.如果一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢(shì)，但不包含明顯的季節(jié)性波動(dòng)，最適合的初步預(yù)測(cè)方法是：A.移動(dòng)平均法B.指數(shù)平滑法C.趨勢(shì)外推法D.季節(jié)性分解法11.拉氏指數(shù)（LaspeyresIndex）通常用于衡量：A.基期價(jià)格水平下的權(quán)重變化B.報(bào)告期價(jià)格水平下的權(quán)重變化C.基期數(shù)量水平下的價(jià)格變化D.報(bào)告期數(shù)量水平下的價(jià)格變化12.在解釋線性回歸方程Y?=b?+b?X時(shí)，b?的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義通常是：A.Y對(duì)X變動(dòng)的平均絕對(duì)偏差B.X每變動(dòng)一個(gè)單位，Y的期望值增加或減少的量C.X對(duì)Y的彈性系數(shù)D.回歸模型的擬合優(yōu)度指標(biāo)13.根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量n足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于：A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.正態(tài)分布（如果總體分布為正態(tài)）D.超幾何分布14.在進(jìn)行雙樣本t檢驗(yàn)比較兩個(gè)獨(dú)立總體的均值時(shí)，假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)通常是：A.μ?>μ?B.μ?≤μ?C.μ?=μ?D.μ?≠μ?15.假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第二類錯(cuò)誤（β）是指：A.接受了真實(shí)為假的原假設(shè)B.拒絕了真實(shí)為真的原假設(shè)C.接受了真實(shí)為真的原假設(shè)D.拒絕了真實(shí)為假的原假設(shè)二、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.給定一組數(shù)據(jù)：4,6,8,10,12。計(jì)算該數(shù)據(jù)集的：(1)均值（Mean）(2)中位數(shù)（Median）(3)方差（Variance）(4)標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）2.假設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ=50，σ=10。計(jì)算：(1)P(X<60)(2)P(X>70)(3)P(45<X<55)3.從一個(gè)包含3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋中，不放回地抽取2個(gè)球。求：(1)抽取到的2個(gè)球都是紅球的概率。(2)抽取到的2個(gè)球顏色不同的概率。4.在一項(xiàng)關(guān)于股息支付與股票回報(bào)率的研究中，得到以下簡(jiǎn)單線性回歸結(jié)果（單位：百分比）：Y?=1.5+0.8X其中，Y是年度股票回報(bào)率，X是年度股息支付率。樣本量n=30，R2=0.64。假設(shè)某只股票的股息支付率為5%，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)其股票回報(bào)率，并解釋回歸系數(shù)0.8的含義。三、簡(jiǎn)答題（每題15分，共30分）1.解釋什么是假設(shè)檢驗(yàn)中的p值。在α=0.05的顯著性水平下，如果計(jì)算得到的p值分別為0.03、0.1和0.001，你會(huì)做出怎樣的統(tǒng)計(jì)決策？請(qǐng)說(shuō)明理由。2.簡(jiǎn)述線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，異方差（Heteroskedasticity）可能產(chǎn)生的問(wèn)題，并說(shuō)明如何檢驗(yàn)是否存在異方差性（請(qǐng)描述一種常用的檢驗(yàn)方法及其基本思想）。四、案例分析題（共30分）某公司想分析其廣告支出（X，單位：萬(wàn)元）對(duì)其產(chǎn)品銷售額（Y，單位：萬(wàn)元）的影響。收集了過(guò)去8個(gè)季度的數(shù)據(jù)如下：|季度|廣告支出X|銷售額Y||------|------------|----------||1|5|20||2|7|25||3|6|23||4|8|30||5|4|18||6|9|35||7|5|22||8|10|40|要求：(1)建立描述銷售額Y對(duì)廣告支出X的線性回歸方程。(2)計(jì)算回歸方程的判定系數(shù)R2，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義。(3)當(dāng)廣告支出為7萬(wàn)元時(shí)，預(yù)測(cè)銷售額，并給出預(yù)測(cè)區(qū)間的構(gòu)建思路（無(wú)需具體計(jì)算）。(4)簡(jiǎn)要說(shuō)明在使用線性回歸進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)注意哪些基本假設(shè)條件。試卷答案一、選擇題1.A2.D3.C4.A5.C6.A7.A8.B9.A10.C11.C12.B13.C14.C15.D二、計(jì)算題1.(1)均值(Mean)=(4+6+8+10+12)/5=40/5=8(2)中位數(shù)(Median)=排序后中間的值=8(3)方差(Variance)=[(4-8)2+(6-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(12-8)2]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8(4)標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)=√Variance=√8≈2.832.(1)P(X<60)=P((X-50)/10<(60-50)/10)=P(Z<1)≈0.8413（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）(2)P(X>70)=P((X-50)/10>(70-50)/10)=P(Z>2)≈1-0.9772=0.0228（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）(3)P(45<X<55)=P((45-50)/10<(X-50)/10<(55-50)/10)=P(-0.5<Z<0.5)≈0.6915-0.3085=0.3830（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）3.(1)P(2個(gè)紅球)=P(第1個(gè)紅)*P(第2個(gè)紅|第1個(gè)紅)=(3/5)*(2/4)=6/20=0.3(2)P(顏色不同)=P(1紅1白)=P(第1個(gè)紅且第2個(gè)白)+P(第1個(gè)白且第2個(gè)紅)=(3/5)*(2/4)+(2/5)*(3/4)=6/20+6/20=12/20=0.64.(1)預(yù)測(cè)回報(bào)率Y?=1.5+0.8*5=1.5+4=5.5%。即預(yù)測(cè)該股票的年度回報(bào)率為5.5%。(2)回歸系數(shù)0.8的含義是：在其他因素保持不變的情況下，該股票的年度股息支付率每增加1%，其年度股票回報(bào)率的期望值平均增加0.8%。三、簡(jiǎn)答題1.p值是在原假設(shè)為真的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。它是拒絕原假設(shè)的證據(jù)強(qiáng)度量度。決策：-p值=0.03：p值<α(0.05)，拒絕原假設(shè)。-p值=0.1：p值>α(0.05)，不能拒絕原假設(shè)。-p值=0.001：p值<α(0.05)，拒絕原假設(shè)。理由：當(dāng)p值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平α?xí)r，認(rèn)為觀察到的結(jié)果不太可能僅由隨機(jī)因素產(chǎn)生，因此有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)。2.異方差性是指回歸模型的誤差項(xiàng)方差不是一個(gè)常數(shù)，而是隨著自變量的變化而變化。這會(huì)違反線性回歸的基本假設(shè)，導(dǎo)致：-估計(jì)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差有偏，不再有效。-假設(shè)檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)）和置信區(qū)間的結(jié)果不再可靠。檢驗(yàn)方法：常用方法是繪制殘差圖（ResidualPlot），即以擬合值（Y?）為橫軸，殘差（e?=Y?-Y??）為縱軸的散點(diǎn)圖。如果殘點(diǎn)圖顯示殘差的散布模式呈現(xiàn)明顯的扇形或錐形，則可能存在異方差性。另一種方法是使用Breusch-Pagan檢驗(yàn)或White檢驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。四、案例分析題(1)設(shè)回歸方程為Y=β?+β?X。計(jì)算所需各項(xiàng)：ΣX=5+7+6+8+4+9+5+10=54ΣY=20+25+23+30+18+35+22+40=213ΣX2=52+72+62+82+42+92+52+102=404ΣXY=5*20+7*25+6*23+8*30+4*18+9*35+5*22+10*40=1298n=8回歸系數(shù)計(jì)算：β?=[nΣXY-ΣXΣY]/[nΣX2-(ΣX)2]=[8*1298-54*213]/[8*404-542]=[10384-11402]/[3232-2916]=-1018/316≈-3.2151β?=Y?-β?X?=(213/8)-(-3.2151*(54/8))=26.625+3.2151*6.75=26.625+21.7151≈48.3401回歸方程為：Y?≈48.34-3.22X(2)R2=[nΣXY-ΣXΣY]2/[(nΣX2-(ΣX)2)(nΣY2-(ΣY)2)]ΣY2=202+252+232+302+182+352+222+402=4998R2=[-1018]2/[(316)(4998-(213)2)]=1036324/[316*(4998-45369)]=1036324/[316*4629]=1036324/1460884≈0.7084經(jīng)濟(jì)含義：該回歸模型的判定系數(shù)R2約為0.7084，表示在銷售額Y的變異中，約有70.84%可以由廣告支出X通過(guò)此線性關(guān)系解釋。模型解釋了銷售額變動(dòng)的較大比例。(3)預(yù)測(cè)銷售額：當(dāng)X=7時(shí)，Y?=48.34-3.22*7≈48.34-22.54≈25.8萬(wàn)元。構(gòu)建預(yù)測(cè)區(qū)間思路：首先需要計(jì)算殘差平方和SSE，進(jìn)而得到估計(jì)的誤差方差σ?2=SSE/(n-2)，然后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差c?a預(yù)測(cè)值SE_pred。最后，利用t分布（自由度df=n-2）的臨界值t?/2，構(gòu)建預(yù)測(cè)區(qū)間：[Y?±t?/2*SE_pred]。其中，SE_pred=