第十八章分式清單01分式的概念及基本性質(zhì)1.分式的概念（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡(jiǎn)．2．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．3．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．4．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．5.約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡(jiǎn)分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．6.通分（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．①最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡(jiǎn)公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．7.最簡(jiǎn)分式最簡(jiǎn)分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．8.最簡(jiǎn)公分母（1）最簡(jiǎn)公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．清單02分式的運(yùn)算1．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．2．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．3．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．4．分式的化簡(jiǎn)求值先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．清單03整數(shù)指數(shù)冪1.負(fù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am-n，（=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運(yùn)算，當(dāng)m<n時(shí)。如：a2÷a3=a針對(duì)這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，a-n=1an（a≠2.科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)一般，一個(gè)小于1的數(shù)可以表示為a×10-n步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點(diǎn)向前移動(dòng)x位，則原數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大了10x清單04分式方程定義及解法1．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．4．換元法解分式方程（1）解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．（2）我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．清單05分式方程的應(yīng)用1．分式方程的應(yīng)用（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．（2）要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時(shí)間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．【易錯(cuò)一】求使分式為正(負(fù))數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍一、易錯(cuò)總結(jié)（2點(diǎn)）1.忽略分母不為0的前提：只關(guān)注分子符號(hào)，忘記分母不能為0，導(dǎo)致取值范圍包含使分式無意義的解。2.不等號(hào)方向錯(cuò)誤：解不等式時(shí)，兩邊乘除負(fù)數(shù)未變號(hào)，或聯(lián)立不等式組時(shí)寫錯(cuò)不等關(guān)系，如誤將“分子正且分母正”寫成“分子正或分母正”。二、方法技巧（2點(diǎn)）1.符號(hào)法則法：分式正負(fù)由分子、分母符號(hào)共同決定，“正”需分子分母同號(hào)（均正或均負(fù)），“負(fù)”需分子分母異號(hào)（一正一負(fù)），分情況列不等式組求解。2.轉(zhuǎn)化整式法：先確定分母不為0，再將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式（分子×分母＞0或＜0），解整式不等式后結(jié)合分母限制，確定最終取值范圍?！纠?】已知分式的值是非負(fù)數(shù)，那么x的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且【易錯(cuò)二】求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值一、易錯(cuò)總結(jié)（2點(diǎn)）1.忽略分母不為0的限制：只計(jì)算使分子能被分母整除的未知數(shù)，未排除使分母為0的取值，導(dǎo)致結(jié)果包含無意義的解。2.漏解整數(shù)情況：未考慮整除的正負(fù)性，如求\(\frac{x+1}{2}\)為整數(shù)時(shí)，只算正整數(shù)解，漏了負(fù)整數(shù)和0的情況。二、方法技巧（2點(diǎn)）1.整除定義法：設(shè)分式值為整數(shù)\(k\)，將分式化為“分子=分母×k”的整式形式，解出未知數(shù)用\(k\)表示，再結(jié)合未知數(shù)為整數(shù)確定\(k\)的可能值，進(jìn)而求未知數(shù)。2.因式分解法：對(duì)分子分母因式分解，若分母是分子的因式，直接分析整除條件；若不是，通過變形讓分母整除分子，再結(jié)合整數(shù)性質(zhì)確定未知數(shù)取值。【例2-1】對(duì)于非負(fù)整數(shù)，使得是一個(gè)正整數(shù)，則可取的個(gè)數(shù)有（

）A． B． C． D．【例2-2】若分式的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為．【易錯(cuò)三】分式方程無解與增根一、易錯(cuò)總結(jié)（2點(diǎn)）1.混淆“無解”與“增根”概念：認(rèn)為增根就是無解，忽略“整式方程無解時(shí)，分式方程也無解”的情況，如\(\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-1}+2\)，整式方程無解，分式方程也無解，而非增根。2.漏驗(yàn)增根：解分式方程去分母后，只解整式方程，未將解代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn)是否為增根，導(dǎo)致錯(cuò)誤保留無意義的解。二、方法技巧（2點(diǎn)）1.概念辨析法：增根是“使最簡(jiǎn)公分母為0的整式方程的解”，僅出現(xiàn)在整式方程有解的情況；無解包含“有增根”和“整式方程本身無解”兩類，通過判斷整式方程是否有解及解是否為增根，區(qū)分兩者。2.檢驗(yàn)三步法：解分式方程后，①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母；②若公分母為0，此解是增根，分式方程無解；③若公分母不為0，此解是分式方程的解，據(jù)此快速判斷?！纠?-1】若關(guān)于x的分式方程無解，則實(shí)數(shù)．【例3-2】（23-24八年級(jí)上·貴州銅仁·期末）關(guān)于x的分式方程有增根，則m為．【易錯(cuò)四】已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍一、易錯(cuò)總結(jié)（2點(diǎn)）1.忽略分式分母不為0的限制：僅根據(jù)整式方程根的情況求參數(shù)，未排除使原分式分母為0的參數(shù)值，導(dǎo)致取值范圍包含無效解。2.混淆“無解”對(duì)應(yīng)的參數(shù)情況：誤將“分式方程有增根”等同于“分式方程無解”，忽略“整式方程本身無解時(shí)，分式方程也無解”的情況，漏算參數(shù)取值。二、方法技巧（2點(diǎn)）1.分類討論法：先將分式方程化為整式方程，分兩類討論：①整式方程無解時(shí)，求對(duì)應(yīng)參數(shù)值；②整式方程有解時(shí)，排除使分母為0的參數(shù)值，結(jié)合根的要求（如整數(shù)根、正數(shù)根）確定范圍。2.代入檢驗(yàn)法：若已知方程有增根，先求增根（令最簡(jiǎn)公分母為0的解），代入整式方程求參數(shù)；若方程無解，需同時(shí)考慮整式方程無解和有增根兩種情況，整合參數(shù)范圍。【例4】（24-25八年級(jí)上·重慶永川·期末）若分式方程有正數(shù)解，則的取值范圍為．【易錯(cuò)五】與分式及分式運(yùn)算有關(guān)的新定義型問題一、易錯(cuò)總結(jié)（2點(diǎn)）1.誤解新定義規(guī)則：未逐字分析題干中“新運(yùn)算符號(hào)”的定義（如分子分母對(duì)應(yīng)關(guān)系、運(yùn)算順序），直接套用常規(guī)分式運(yùn)算，導(dǎo)致步驟錯(cuò)誤。2.忽略隱含限制條件：新定義問題常隱含分母不為0的要求，解題時(shí)只關(guān)注新運(yùn)算流程，漏查運(yùn)算中所有分式的分母（包括新定義里的分母），出現(xiàn)無意義的解。二、方法技巧（2點(diǎn)）1.拆解定義法：將新定義內(nèi)容拆解為“已知條件”和“運(yùn)算規(guī)則”，用具體字母或數(shù)值代入規(guī)則，轉(zhuǎn)化為熟悉的分式化簡(jiǎn)、求值問題，再按常規(guī)步驟計(jì)算。2.雙重驗(yàn)證法：完成運(yùn)算后，先驗(yàn)證結(jié)果是否符合新定義的形式要求，再檢查所有分式的分母是否為0，確保運(yùn)算過程和結(jié)果均有效，避免隱含錯(cuò)誤?！纠?-1】（24-25八年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·期中）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即，則稱分式B是分式A的“關(guān)聯(lián)分式”．例如：與，，是的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)已知分式，則__________的“關(guān)聯(lián)分式”（填“是”或“不是”）；(2)求分式的“關(guān)聯(lián)分式”；(3)觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“關(guān)聯(lián)分式”：__________．【例5-2】（24-25八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）給出定義：若一個(gè)分式約分后分子是一個(gè)常數(shù)，分母是一個(gè)一次整式，則稱這個(gè)分式為“好看分式”，例如，，則是“好看分式”．根據(jù)上述定義，解決問題．(1)分式、，其中是“好看分式”的是________．(2)①若分式（為常數(shù)且）是一個(gè)“好看分式”，求的值；②若分式（為常數(shù)且）是一個(gè)“好看分式”，求的值；(3)若分式（、為常數(shù)且）是一個(gè)“好看分式”，且、都是正整數(shù)，直接寫出的所有可能結(jié)果．一、單選題1．（25-26七年級(jí)上·上?！て谥校┮阎质降闹凳欠秦?fù)數(shù)，那么的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．且2．（24-25八年級(jí)下·河南開封·期末）下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為0B．當(dāng)時(shí)，有意義C．無論為何值，的值不可能為整數(shù)D．無論為何值，的值總為正數(shù)3．（25-26八年級(jí)上·河北石家莊·期中）若關(guān)于的方程有增根．則增根為（

）A． B． C． D．4．（25-26九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．且C．且 D．5．（24-25八年級(jí)下·福建泉州·期末）我們定義：若兩個(gè)分式與的和為常數(shù)，且，則稱是的“和約分式”，稱為關(guān)于的“和約分式值”．如分式，，，則是的“和約分式”，．已知分式，，且是為的“和約分式”，則關(guān)于的“和約分式值”是（

）A． B． C． D．二、填空題6．（25-26八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是．7．（25-26八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．8．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）填空：（1）當(dāng)時(shí)，分式的值為正；（2）當(dāng)為時(shí)，分式的值為負(fù)；（3）當(dāng)為時(shí)，分式的值為正整數(shù)．9．（24-25八年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┤絷P(guān)于的分式方程無解，則的值為．10．（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽·期末）若關(guān)于的不等式組有解，且關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)的值的和為．11．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：若一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．例如：，則是“和諧分式”．若分式的值為整數(shù)，則整數(shù)x的值為．三、解答題12．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為0；（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為正；（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，分式的值為負(fù)．13．（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·