昭通一中教研聯(lián)盟2025年秋季學(xué)期高二年級(jí)期中考試

數(shù)學(xué)（A卷）參考答案

第Ⅰ卷（選擇題，共58分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

題號(hào)12345678

答案BCABACDA

【解析】

22

1．因?yàn)閍n=n+2n-1(n∈N+)，所以a3=3+2×3-1=14，故選B．

2．直線l1：ax-y+2025=0，l2：(4-3a)x+ay-1=0，l1丄l2，則a(4-3a)-a=0，解得a=0

或1，故選C．

3．因?yàn)锳(0,-5)，B(0,5)，所以AB=10，則PA-PB=6<AB，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)

P的軌跡為雙曲線的一支，故選A．

4．根據(jù)題意知圓心為(-3,2)，半徑為3，故圓方程為(x+3)2+(y-2)2=9，故選B．

5．當(dāng)a=時(shí)，a1={a}=-1，a

a…，無(wú)窮數(shù)列{an}周期性變化，周期為2，所以a2025=a1=-1，故

選A．

6．因?yàn)橹本€x=4與拋物線y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn)，且OD丄OE，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)

性，不妨設(shè)D點(diǎn)在第一象限，可以確定上DOx=上EOx所以D(4,4)，代入拋物線方

程16=8p，求得p=2，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，故選C．

．建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，

71D-xyzE(2,4,0),D1(0,0,4),P(1,2,2),B(4,4,0),B1(4,4,4)

，，故點(diǎn)到直線的距離

:=(-3,-2,2)=(0,0,4)PBB1

2

()

2|BP.BB1，故選．

d=BP-=17-4=13D

|BB

(1,

圖1

8．如圖2，函數(shù)y的圖象的兩條漸近線為x=0和

y=·、x，直線y=-(2-·、)x為其實(shí)軸，易得：漸近線與實(shí)

軸所成的角為75，則tan75o，

2

)故選

e=1+(|==·、×(·、+1)=·、+·,A．

(,

圖2

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

題號(hào)91011

答案BCDACABD

【解析】

22

9．n=1時(shí)，a1=S1=8，n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-n+9n--(n-1)+9(n-1)=-2n+10，

綜上，an=-2n+10，所以，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；a10=-20+10=-10，故B

2

正確；n>5時(shí)，an<0，故C正確；Sn=-n+9n，所以當(dāng)n=4或n=5時(shí)，Sn取得最大

值，故D正確，故選BCD．

10．以D為原點(diǎn)建立如圖3所示空間直角坐標(biāo)系，則有D(0,0,0)、

A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,2)、A1(2,0,2)、

B1(2,2,2)、C1(0,2,2)；對(duì)A：1=(0,-2,2)、1=(-2,0,2)，

設(shè)直線CD1與直線BC1所成的角為β,則

圖3

CD1.BC1

cosβ=cosCDBC==，故直線與直線所成的角為

\1,1=CD1BC1

CD1.BC1

,故A正確；對(duì)B：由z軸丄平面ABCD，則平面ABCD的法向量可為=(0,0,1)，

又，則cos設(shè)直線與平面所

1=(-2,2,-2)A1CABCD

成角為θ,則sinθ=cos則cos故B錯(cuò)誤；對(duì)C：

=(2,0,2)、=(0,2,0)，設(shè)平面B1DC的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，則有

{〔.=2x+2z=0

，取x=1，則=(1,0,-1)，設(shè)平面B1DC與平面DCB的夾角為α,

la.DC=2y=0

,

又平面DCB的一個(gè)法向量為=(0,0,1)，則cosα=cos,,===，故平

面B1DC與平面DCB的夾角為，故C正確；對(duì)D：1=(-2,0,2)、1=(0,2,2)、

1=(0,2,-2)，設(shè)平面BC1D的法向量為=(a,b,c)，則有取

a=1，則=(1,-1,1)，則點(diǎn)A1到平面BC1D的距離d，故D錯(cuò)誤，故

選AC．

11．對(duì)于A：由圖可知，曲線Ω關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：明顯是C，B到原點(diǎn)

的距離最小，最小值為2·、，所以B正確；對(duì)于C：，，所在的圓的方程分

別為(x+2)2+y2=4，x2+(y-2)2=4，(x-2)2+y2=4，曲線Ω與x軸圍成的圖形是一

個(gè)半圓，一個(gè)矩形和兩個(gè)圓，其面積為S=2π+8+2××4=4π+8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于

D：由對(duì)稱(chēng)性知：Ω截直線y=1所得弦長(zhǎng)可由所在的圓截得的弦長(zhǎng)加上一個(gè)矩形的長(zhǎng)

4，而所在的圓的方程為(x+2)2+y2=4，圓心(-2,0)，圓心到直線y=1的距離d=1，

截得的弦長(zhǎng)為則所求弦長(zhǎng)為故正確故選

2·\=2·、，4+2·、，D，ABD．

第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

題號(hào)121314

3

答案—362·、/33

2

【解析】

12．在等差數(shù)列{an}中，a2=3，a7=—12，所以a1+a8=a2+a7=—9，S

4(a1+a8)=—36．

13．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=6，上BAD=上BAA1=

222

上如圖，，則

DAA41=++11=1=(++1)

222πππ

=AB+BC+CC+2AB.BC.cos+2BC.CC.cos+2AB.CCcos

131313

14．［方法一］：點(diǎn)差法

圖4

22

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則，所以y1—y2=6x1—6x2，所以k，

取AB中點(diǎn)M’(x0,y0)，分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x的垂線，垂足分別為A’,B’，因?yàn)?/p>

上AMB，MMABAAB’)，因?yàn)镸’為AB中點(diǎn)，所

以MM’平行于x軸，因?yàn)镸所以y0=2，則y1+y2=4，即k

［方法二］：【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)樯螦MB=90。，則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，由拋

，所以

物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知MF丄ABkAB

［方法三］：【通性通法】暴力硬算

由題知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，設(shè)直線AB的方程為y=k代

222

入C:y=6x中得kx-，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則

x1+xx1x同理有y1+yy1y2=-9，由上AMB=90。，即丄．又

所以.

四、解答題（共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

15．（本小題滿分13分）

解：（1）由題意對(duì)任意正整數(shù)n，有2S=，

nnan

令n=1時(shí)，2S1=a1，即2a1=a1，可得a1=0；……（2分）

令n=3時(shí)，2S3=3a3，即2(0+2+a3)=3a3，可得a3=4．

………………（4分）

由a1=0,a2=2,a3=4，猜想：an=2(n-1)．…………………（6分）

（2）由（1）可知a1=0,a2=2,a3=4；

當(dāng)n≥3時(shí)，由2Sn=nan得2Sn+1=(n+1)an+1，

則2an+1=(n+1)an+1-nan，………（8分）

即(n-1)an+1=nan，即………（10分）

故n≥3時(shí)，an

………………（12分）

且a1=0,a2=2也適合上式，所以an=2(n-1)．

…………………（13分）

16．（本小題滿分15分）

（1）證明：不妨設(shè)BC=AB=AA1=2，以B為原點(diǎn)，

,y,

BC,BA,BB1所在直線分別為xz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖5，………（2分）

B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0)，A1(0,2,2)，C1(2,0,2)，

圖5

=(0,2,2)，1=(2,—2,2)，……………（4分）

因?yàn)?，………（分?/p>

.1=06

所以BA1丄AC1．………（7分）

（2）解：M(1,0,2),N(1,1,0),=(0,1,—2)，………………（9分）

易知平面BCC1B1的一個(gè)法向量為=(0,2,0)，………………（11分）

設(shè)直線MN與平面BCC1B1所成角為θ,則

sinθ=cos……………（14分）

即直線MN與平面BCC1B1所成角的正弦值為．

………………（15分）

（最后一句話不寫(xiě)也可不扣分1分，用幾何法做酌情給分）

17．（本小題滿分15分）

解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線方程為x±、y=0，

所以解得b2=3，………（1分）

從而c2=6+3=9，即c=3，………（3分）

所以右焦點(diǎn)為(3,0)，從而解得p=6，………………（5分）

拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為y2=12x，—=1．

………（7分）（一個(gè)方程一分）

（2）由題意直線l:y=x—3，它過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(3,0)，如圖6，

聯(lián)立拋物線方程得，化簡(jiǎn)并整理得x2—18x+9=0，

....................................................（9分）

顯然2，+=，

Δ=18—4×9=288>0x1x218圖6

所以AB=p+x1+x2=6+18=24，………（11分）

點(diǎn)O到直線l的距離為d…………………（13分）

所以SOAB，即AOB的面積為18·、．

………………（15分）

18．（本小題滿分17分）

解：（1）3a2=2a3，:3(a1+d)=2(a1+2d)，解得a1=d，

…………………（1分）

:S3=3a2=3(a1+d)=6d，

又b1+b2+b

:S………（3分）

即2d2—7d+3=0，解得d=3或d=，………（5分）

當(dāng)d=3時(shí)，an=a1+(n—1).d=3n；

當(dāng)d時(shí)，an=a1+.d………（7分）

（2）{bn}為等差數(shù)列，

:2b2=b1+b3，即

解得a1=d或a1=2d，………（9分）

0<d<1，:an>0，

又T99—S99=99，由等差數(shù)列性質(zhì)知，99b50—99a50=99，

即b50—a50=1，………（11分）

=2或

a501，即a50+a50—2550=0，解得a50=50a50=—51（舍去）．

………（13分）

當(dāng)a1=2d時(shí)，a50=a1+49d=51d=50，解得d

…………（15分）

當(dāng)a1=d時(shí)，a50=a1+49d=50d=50，解得d=1，與0<d<1矛盾，無(wú)解．

綜上，d………（17分）

19．（本小題滿分17分）

解：（）由題可知

1E(0,—·、),G(0,·、),P(2λ,0),Q(2,·、(1—λ))，

直線PE的方程為y可化為yx，

…………（1分）

直線GQ的方程為y可化為yx，

…………………（2分）

則兩式聯(lián)立得