線性代數(shù)期中

練習(xí)

一、單項(xiàng)選擇題。

1.的充分必要條件是()。

(A)k^-\(B)k豐3(C)Zw—l且人03(D)左工一1或女工3

2.若AB=AC,當(dāng)()時(shí),有8=(2。

(A)A為n階方陣(B)A為可逆矩陣

(C)A為任意矩陣(D)A為對(duì)稱矩陣

3.若三階行列式，則(O

(A)-6M(B)6M(C)8M(D)-8M

4.齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足()o

(A)；(B)；(C)；(D).

5.設(shè)是的兩個(gè)不同的解是的基礎(chǔ)解系，則的通解是

()o

(B)C1/+Q(%+%)+5(4一月2)

（C）+Q（川+尸2）+$（4-62）(D)J%+Q(注—月2)+不(片+尸2)

二.填空題。

6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),則A?BT=

7.已知A、B為4階方陣，且=-2,=3,貝IJ15ABi二

?(AB)-1|=o

8.在分塊矩陣A=中，已知、存在，而是零矩陣，則

X=o

9.設(shè)二，則o

10.設(shè)矩陣人二,則A的秩R(A)二

三.計(jì)算題（要求寫清計(jì)算過程）

11.設(shè)，，求。

12.計(jì)算行列式

13.解齊次線性方程組。

14.解矩陣方程，其中。

15.取何值時(shí)，線性方程組有解，并求其解。

四.證明題（每題5分，共10分）

16.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明以下向量組線性無關(guān):

17.設(shè)階矩陣滿足.證明：可逆并求。

線性代數(shù)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題。

I.的允分必要條件是(C)o

(A)k^-\(B)k手3(C)女工一1且女工3(D)%工一1或Aw3

2.若AB=AC,當(dāng)(B)時(shí)，WB=Co

(A)A為n階方陣(B)A為可逆矩陣

(C)A為任意矩陣(D)A為對(duì)稱矩陣

3.若三階行列式，則(D)。

(A)-6M(B)6M(C)8M(D)-8M

4.齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足(D)o

(A)；(B)；(C)；(D)

5.設(shè)是的兩個(gè)不同的解，是的基礎(chǔ)解系，則的通解是

(A)o

。必+02(/一%)+g(q+4)C0+02(%+%)+3(”|一鳳)

(A)(B)

+

(C)。烏+0(片A)+-(A_A)(D)+Q(尸1—62)+5+尸2)

乙

二.填空題。

6.A=(1,2,3,4),B=(1,-1,3,5),貝ijA?BT=28。

7.已知A、B為4階方陣，且=-2,=3,則15ABi=-3750

1(AB)-'|=-1/6(答對(duì)其中一空給2分)

8.在分塊矩陣A=中，已知、存在，而是零矩陣，則

B-0)

A-1

飛。C1

9.設(shè)二，則0

10.設(shè)矩陣A=,則A的秩R(A)=2

三.計(jì)算題(要求寫清計(jì)算過程)

11.設(shè)，，求。

解:

91524、(222、

3AB-2A=0-1518-22-2

270J12-2

、62)

'—21322、

-2-1720

、429-2)

12.計(jì)算行列式

解:

12n

1x2

2n

乙

23A-

2n

()X-\00

=[4+—〃(〃+1)]()x—20

2

011x-n

二[x+g〃(〃+l)](x-l)(x-2)(x-〃)。

13.解齊次線性方程組

解：先給出系數(shù)矩陣并對(duì)其做初等行變換

3

101

(\-15-12

7

4=11-2302

~2

-181

0000

得出原方程組的同解方程組

3八

%+耳芻+5=0

7xr八

x2~~i+2g=0

設(shè)七=q?4=。2，?！?為任意常數(shù)?得到方程組的全部解為

r37-7

（xpx2,x3,x4）=9（；,/,1,0）,+。2（-1,一2,0,1）\4，,2為任意常數(shù)。

14.解矩陣方程，其中。

解：由得。

因?yàn)閨/一山工0所以*=（/-4尸5。

-1o、02/31/3

(/-A)-'=10-1-12/31/3

J。2)(0-1/31/3

「02/31/31-r

因而*=（/一從尸8=-12/31/32o

-1/31/35~3>

15.取何值時(shí)，線性方程組有解，并求其解。

解：

當(dāng)時(shí)，廠（4）="4|加=3,有唯一解：王=-1,￡=〃+2,占=-1；

當(dāng)〃=1時(shí),

111

（川與一＞0000即原方程組與下面方程

0000J

玉=1-々一七同解，其中工2，％3是自由變量?

（々,七了取（。，0）,得到一個(gè)特解為a，。,。）。

原方程組的導(dǎo)出組與方程內(nèi)=-9-&同解.

(占,七),分別取(1,。),,(0,1)『得到一個(gè)基礎(chǔ)解系為:

(-1,1,0/,(-1,0,1/

因此，當(dāng)4=1時(shí)，方程組的通解為：

(1,0,0尸+9(—1,1,0尸+,2(-1,0』尸，de?為任意常數(shù).

四.證明題(每題5分，共