2025年統(tǒng)計學專升本數(shù)理統(tǒng)計模擬卷（附答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn是來自該總體的樣本，則樣本方差S2的期望E(S2)等于（）。A.μ2B.σ2C.(n-1)σ2D.nσ22.設總體X的分布未知，但已知其期望E(X)=μ和方差D(X)=σ2，欲估計μ，則基于樣本X?,X?,...,Xn，下列哪個估計量是無偏的？（）A.max(X?,X?,...,Xn)B.min(X?,X?,...,Xn)C.X?=(X?+X?+...+Xn)/nD.(X?-X?)/23.從總體X中抽取樣本X?,X?,...,Xn，若要檢驗H?:μ=μ?（μ為總體均值），當總體方差σ2已知時，應使用的檢驗統(tǒng)計量是（）。A.t=(X?-μ?)/(S/√n)B.Z=(X?-μ?)/(σ/√n)C.χ2=[(X?-μ?)2+...+(Xn-μ?)2]/σ2D.F=(S?2/σ?2)/(S?2/σ?2)（S?2,S?2分別為兩個總體的樣本方差）4.設總體X～N(0,1)，X?,X?,...,Xn是來自該總體的樣本，θ=(X?2+X?2+...+Xn2)/n，則θ的分布是（）。A.N(0,1)B.χ2(n)C.t(n)D.F(n,1)5.對總體均值μ進行區(qū)間估計，置信水平越高，則（）。A.置信區(qū)間的長度越短B.置信區(qū)間的長度越長C.置信區(qū)間的精度越高D.抽樣誤差越大二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填在題中橫線上。）6.設X?,X?,...,Xn是來自總體X的樣本，X~N(μ,σ2)，若用樣本方差S2來估計總體方差σ2，則S2是σ2的估計量。7.在假設檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若拒絕H?，則稱犯第一類錯誤的概率為α。8.設總體X的期望為μ，方差為σ2，從總體中抽取容量為n的樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則E(X?)=，D(X?)=。9.設總體X的概率密度函數(shù)為f(x)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，則參數(shù)θ的矩估計量θ?=。10.設總體X服從泊松分布P(λ)，X?,X?,...,Xn是來自該總體的樣本，則參數(shù)λ的無偏估計量是。三、計算題（本大題共4小題，共60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）11.（10分）設總體X的分布律如下：|X|0|1|2||:--|:-:|:-:|:-:||P(X=x)|0.2|0.5|0.3|現(xiàn)從該總體中隨機抽取容量為n=4的樣本，樣本觀測值為2,0,1,2。求樣本均值X?和樣本方差S2。12.（15分）從正態(tài)總體X～N(μ,16)中抽取容量為n=9的樣本，樣本觀測值的均值為X?=50。假設要檢驗H?:μ=52vsH?:μ<52，檢驗水平α=0.05。已知標準正態(tài)分布的臨界值Z?.?五=-1.645。試求檢驗統(tǒng)計量的值，并做出統(tǒng)計決策。13.（15分）從某校高三學生中隨機抽取20名男生，測得他們的身高（單位：cm）如下（數(shù)據(jù)已排序）：165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184。假設男生身高X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，試求μ的95%置信區(qū)間（已知t?.?二五(19)=2.093，樣本均值X?=177）。14.（20分）為了估計某種清漆的干燥時間，隨機測試了9個樣本，得到干燥時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)如下：6.0,5.8,5.9,6.1,5.9,6.2,6.0,5.7,6.1。假設干燥時間X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，試求方差σ2的90%置信區(qū)間（已知χ2?.?五(8)=15.507，χ2?.一五(8)=2.733，樣本方差S2=0.0489）。---試卷答案一、選擇題1.B*解析：樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計量，即E(S2)=σ2。2.C*解析：樣本均值X?=(X?+...+Xn)/n是總體期望μ的無偏估計量，因為E(X?)=E[(X?+...+Xn)/n]=(E(X?)+...+E(Xn))/n=(μ+...+μ)/n=μ。其他選項不是無偏估計量。3.B*解析：當總體方差σ2已知時，檢驗總體均值μ應使用Z檢驗，檢驗統(tǒng)計量為Z=(X?-μ?)/(σ/√n)。4.B*解析：因為X?~N(0,1)，所以X?2~χ2(1)。根據(jù)χ2分布的可加性，θ=(X?2+...+Xn2)/n=(1/n)*(X?2+...+Xn2)~χ2(n)。5.B*解析：置信區(qū)間的長度與置信水平成正比。置信水平越高，對應于給定顯著性水平α的臨界值越大（絕對值），導致置信區(qū)間長度越長。二、填空題6.無偏*解析：樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計量。7.顯著性水平*解析：拒絕原假設H?時可能犯的錯誤是第一類錯誤，其概率記為α，也稱為顯著性水平。8.μ,σ2/n*解析：根據(jù)樣本均值的性質(zhì)，E(X?)=μ，D(X?)=σ2/n。9.(1/n)*Σx?*解析：總體均值E(X)=1/θ*∫?1x*θx^(θ-1)dx=1/θ*[x^(θ+1)/(θ+1)]?1=1/θ*[1/(θ+1)-0]=1/(θ+1)。樣本均值X?是E(X)的無偏估計，即E(X?)=1/(θ+1)。令E(X?)=(1/n)*Σx?，得到(1/n)*Σx?=1/(θ+1)，解得θ?=1/[(1/n)*Σx?]-1=(1/n)*Σx?。10.X?*解析：對于泊松分布P(λ)，樣本均值X?是參數(shù)λ的無偏估計量，即E(X?)=E(X)=λ。三、計算題11.解：樣本容量n=4，樣本觀測值：2,0,1,2。樣本均值X?=(2+0+1+2)/4=5/4=1.25。樣本方差S2=[(2-1.25)2+(0-1.25)2+(1-1.25)2+(2-1.25)2]/(4-1)=[(0.75)2+(-1.25)2+(-0.25)2+(0.75)2]/3=[0.5625+1.5625+0.0625+0.5625]/3=2.75/3≈0.9167?；騍2=(Σx?2-n(X?)2)/(n-1)=[(22+02+12+22)-4*(1.25)2]/3=[4+0+1+4-4*1.5625]/3=[9-6.25]/3=2.75/3≈0.9167。答：樣本均值X?=1.25，樣本方差S2≈0.9167。12.解：檢驗統(tǒng)計量：Z=(X?-μ?)/(σ/√n)。已知：X?=50,μ?=52,σ=4,n=9,α=0.05,Z?.?五=-1.645。計算：Z=(50-52)/(4/√9)=-2/(4/3)=-2*3/4=-1.5。檢驗拒絕域：Z<-Z?.?五，即Z<-1.645。決策：因為Z=-1.5不小于-1.645，所以不拒絕原假設H?。答：檢驗統(tǒng)計量值為-1.5，不拒絕原假設H?。13.解：總體X～N(μ,σ2)，μ未知，σ2未知，用t檢驗。置信水平1-α=0.95，α=0.05，自由度df=n-1=20-1=19。查t分布表得：t?.?二五(19)=2.093。置信區(qū)間公式：(X?-t?.?二五(19)*S/√n,X?+t?.?二五(19)*S/√n)。已知：X?=177,n=20,t?.?二五(19)=2.093。需計算樣本標準差S：S=√S2，S2=(Σ(x?-X?)2)/(n-1)。計算各離差平方和：(165-177)2+...+(184-177)2=(-12)2+(-11)2+...+(+7)2=144+121+...+49=570。S2=570/(20-1)=570/19≈29.999。S≈√30。計算：t?.?二五(19)*S/√n≈2.093*√30/√20≈2.093*√1.5≈2.093*1.2247≈2.56。置信區(qū)間約為：(177-2.56,177+2.56)=(174.44,179.56)。答：μ的95%置信區(qū)間約為(174.44,179.56)。14.解：總體X～N(μ,σ2)，μ未知，σ2未知，用χ2檢驗。置信水平1-α=0.90，α=0.10，自由度df=n-1=9-1=8。查χ2分布表得：χ2?.?五(8)=15.507，χ2?.一五(8)=2.733。置信區(qū)間公式：[(n-1)S2/χ2?.一五(8),(n-1)S2/χ2?.?五(8)]。已知：n=9,S2=0.0489,χ2?.?五(8)=