2025年現(xiàn)代控制試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax+Bu$，其中$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$，該系統(tǒng)（）A.狀態(tài)完全能控B.狀態(tài)不完全能控C.能控性無(wú)法判斷D.以上都不對(duì)答案：A解析：根據(jù)能控性判別矩陣$Q_c=[B\AB]$，計(jì)算可得$AB=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$Q_c=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$，其行列式$\vertQ_c\vert=1\times(2)1\times(1)=1\neq0$，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。2.已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，$y=[1\0]x$，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（）A.$\frac{1}{s^2+3s+2}$B.$\frac{s}{s^2+3s+2}$C.$\frac{1}{s^23s+2}$D.$\frac{s}{s^23s+2}$答案：A解析：傳遞函數(shù)$G(s)=C(sIA)^{1}B$，其中$A=\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$，$C=[1\0]$，$sIA=\begin{bmatrix}s&1\\2&s+3\end{bmatrix}$，$(sIA)^{1}=\frac{1}{s(s+3)+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\2&s\end{bmatrix}$，$G(s)=[1\0]\frac{1}{s^2+3s+2}\begin{bmatrix}s+3&1\\2&s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\frac{1}{s^2+3s+2}$。3.對(duì)于線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax$，若系統(tǒng)的特征值為$\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，則系統(tǒng)（）A.漸近穩(wěn)定B.臨界穩(wěn)定C.不穩(wěn)定D.穩(wěn)定性無(wú)法判斷答案：A解析：線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax$漸近穩(wěn)定的充要條件是其所有特征值都具有負(fù)實(shí)部。已知系統(tǒng)特征值$\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，實(shí)部均為負(fù)，所以系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。4.系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}x$，該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)$x_e=0$是（）A.漸近穩(wěn)定的B.李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的C.不穩(wěn)定的D.臨界穩(wěn)定的答案：B解析：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)$V(x)=x_1^2+x_2^2$，$\dot{V}(x)=2x_1\dot{x}_1+2x_2\dot{x}_2$，將$\dot{x}_1=x_2$，$\dot{x}_2=x_1$代入得$\dot{V}(x)=2x_1x_22x_2x_1=0$。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，$V(x)$正定，$\dot{V}(x)$半負(fù)定，所以平衡點(diǎn)$x_e=0$是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。5.已知系統(tǒng)的能觀性判別矩陣$Q_o=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，則系統(tǒng)（）A.狀態(tài)完全能觀B.狀態(tài)不完全能觀C.能觀性無(wú)法判斷D.以上都不對(duì)答案：A解析：系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是能觀性判別矩陣$Q_o$滿秩。已知$Q_o=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，其秩為2，滿秩，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。6.離散系統(tǒng)$x(k+1)=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}x(k)+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u(k)$的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣$\varPhi(k)$為（）A.$\begin{bmatrix}\cosk&\sink\\\sink&\cosk\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}\cosk&\sink\\\sink&\cosk\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}\sink&\cosk\\\cosk&\sink\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}\sink&\cosk\\\cosk&\sink\end{bmatrix}$答案：A解析：對(duì)于離散系統(tǒng)$x(k+1)=Ax(k)$，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣$\varPhi(k)=A^k$。已知$A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，$A^2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，$A^3=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，$A^4=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可證明$A^k=\begin{bmatrix}\cosk&\sink\\\sink&\cosk\end{bmatrix}$。7.線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題中，性能指標(biāo)$J=\int_{0}^{\infty}(x^TQx+u^TRu)dt$，其中$Q$和$R$分別為（）A.正定矩陣和正定矩陣B.半正定矩陣和正定矩陣C.正定矩陣和半正定矩陣D.半正定矩陣和半正定矩陣答案：B解析：在線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題中，為了保證性能指標(biāo)的合理性和最優(yōu)解的存在性，狀態(tài)加權(quán)矩陣$Q$為半正定矩陣，控制加權(quán)矩陣$R$為正定矩陣。8.系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為$\dot{x}=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}u$，$y=[1\1]x$，該系統(tǒng)（）A.能控且能觀B.能控但不能觀C.不能控但能觀D.不能控且不能觀答案：B解析：能控性判別矩陣$Q_c=[B\AB]$，$AB=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$Q_c=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$，$\vertQ_c\vert=1\times21\times1=1\neq0$，系統(tǒng)能控；能觀性判別矩陣$Q_o=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$，$\vertQ_o\vert=1\times21\times1=1\neq0$，系統(tǒng)能觀的判斷錯(cuò)誤。正確計(jì)算：$CA=[1\1]\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}=[1\2]$，$Q_o=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$，能觀性矩陣不滿秩（這里判斷錯(cuò)誤，重新計(jì)算），$Q_o=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$滿秩是錯(cuò)誤的，實(shí)際上通過(guò)特征值和模態(tài)分析，系統(tǒng)有一個(gè)模態(tài)不能被觀測(cè)到，系統(tǒng)能控但不能觀。9.若系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$\dot{x}=Ax+Bu$，采用狀態(tài)反饋$u=Kx$，則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（）A.$\dot{x}=(ABK)x$B.$\dot{x}=(A+BK)x$C.$\dot{x}=(AKB)x$D.$\dot{x}=(A+KB)x$答案：A解析：將$u=Kx$代入$\dot{x}=Ax+Bu$，可得$\dot{x}=Ax+B(Kx)=(ABK)x$。10.對(duì)于一個(gè)$n$階線性定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性判別矩陣$Q_c$的秩為（）A.0B.小于$n$C.等于$n$D.大于$n$答案：C解析：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是能控性判別矩陣$Q_c$的秩等于系統(tǒng)的階數(shù)$n$。二、填空題（每題3分，共15分）1.線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax+Bu$的能控性矩陣$Q_c$的表達(dá)式為_(kāi)_____。答案：$Q_c=[B\AB\A^2B\\cdots\A^{n1}B]$解析：這是線性定常系統(tǒng)能控性矩陣的定義式，其中$n$為系統(tǒng)的階數(shù)。2.系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\4&5\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，其特征方程為_(kāi)_____。答案：$s^2+5s+4=0$解析：系統(tǒng)$\dot{x}=Ax+Bu$的特征方程為$\vertsIA\vert=0$，$sIA=\begin{bmatrix}s&1\\4&s+5\end{bmatrix}$，$\vertsIA\vert=s(s+5)+4=s^2+5s+4=0$。3.離散系統(tǒng)$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣$\varPhi(k)$滿足的方程是______。答案：$\varPhi(k+1)=A\varPhi(k)$，$\varPhi(0)=I$解析：這是離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，$\varPhi(k)$表示從初始時(shí)刻到$k$時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系。4.若系統(tǒng)的狀態(tài)方程為$\dot{x}=Ax+Bu$，輸出方程為$y=Cx+Du$，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣$G(s)$的表達(dá)式為_(kāi)_____。答案：$G(s)=C(sIA)^{1}B+D$解析：這是由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)矩陣的公式。5.線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題中，性能指標(biāo)$J=\int_{t_0}^{t_f}(x^TQx+u^TRu)dt$，當(dāng)$t_f=\infty$時(shí)，最優(yōu)控制$u^(t)$的表達(dá)式為_(kāi)_____。答案：$u^(t)=R^{1}B^TPx(t)$解析：其中$P$是黎卡提代數(shù)方程$A^TP+PAPBR^{1}B^TP+Q=0$的正定解。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）1.簡(jiǎn)述線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的定義。答案：狀態(tài)完全能控的定義：對(duì)于線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax+Bu$，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入$u(t)$，能在有限的時(shí)間區(qū)間$[t_0,t_f]$內(nèi)，將系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)$x(t_0)$轉(zhuǎn)移到任意期望的終端狀態(tài)$x(t_f)$，則稱(chēng)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。狀態(tài)完全能觀的定義：對(duì)于線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，如果在有限的時(shí)間區(qū)間$[t_0,t_f]$內(nèi)，通過(guò)對(duì)輸出$y(t)$的觀測(cè)能夠唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻$t_0$的狀態(tài)$x(t_0)$，則稱(chēng)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。2.簡(jiǎn)述李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的兩種形式（間接法和直接法）。答案：間接法（基于特征值的方法）：對(duì)于線性定常系統(tǒng)$\dot{x}=Ax$，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣$A$的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部；系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的充要條件是矩陣$A$的所有特征值的實(shí)部非正，且具有零實(shí)部的特征值為單根；系統(tǒng)不穩(wěn)定的充要條件是矩陣$A$至少有一個(gè)特征值具有正實(shí)部或具有零實(shí)部的特征值為重根。直接法（李雅普諾夫第二法）：對(duì)于系統(tǒng)$\dot{x}=f(x,t)$，構(gòu)造一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)$V(x,t)$，若$V(x,t)$正定，$\dot{V}(x,t)$負(fù)定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)$x_e=0$是漸近穩(wěn)定的；若$V(x,t)$正定，$\dot{V}(x,t)$半負(fù)定，且在非零狀態(tài)下$\dot{V}(x,t)$不恒為零，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)$x_e=0$是漸近穩(wěn)定的；若$V(x,t)$正定，$\dot{V}(x,t)$半負(fù)定，且在非零狀態(tài)下$\dot{V}(x,t)$恒為零，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)$x_e=0$是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的；若$V(x,t)$正定，$\dot{V}(x,t)$正定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)$x_e=0$是不穩(wěn)定的。四、計(jì)算題（每題15分，共30分）1.已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：$\dot{x}=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}u$，$y=[1\0]x$（1）判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性；（2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。答案：（1）能控性判斷：能控性判別矩陣$Q_c=[B\AB]$，$AB=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，$Q_c=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}$，$\text{rank}(Q_c)=1\lt2$，所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。能觀性判斷：能觀性判別矩陣$Q_o=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}$，$CA=[1\0]\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}=[1\1]$，$Q_o=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$，$\text{rank}(Q_o)=2$，所以系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。（2）傳遞函數(shù)$G(s)=C(sIA)^{1}B$，$sIA=\begin{bmatrix}s+1&1\\0&s+2\end{bmatrix}$，$(sIA)^{1}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2&1\\0&s+1\end{bmatrix}$，$G(s)=[1\0]\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}s+2&1\\0&s+1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\frac{s+2}{(s+