快樂(lè)數(shù)學(xué)加油站2025年高考期中答案一.選擇題。（共10題）

1.已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|0<x<4},則集合A∩B等于（）

A.(1,2)∪(2,4)B.(1,2)∪(3,4)C.(2,4)D.(0,2)∪(3,4)

2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.R

3.若復(fù)數(shù)z滿足z2=2i,則z的模長(zhǎng)為（）

A.1B.√2C.2D.√3

4.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=5,公差d=-2,則其前n項(xiàng)和S?的最小值為（）

A.-10B.-8C.8D.10

5.直線l:ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相切,則|a|+|b|的取值范圍是（）

A.[1,√2]B.[1,2]C.[√2,2]D.[1,√3]

6.執(zhí)行以下程序段后,變量s的值為（）

i=1,s=0

WHILEi<=5:

s=s+i2

i=i+1

ENDWHILE

A.55B.15C.30D.65

7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的像關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的取值可以是（）

A.π/4B.π/2C.3π/4D.π

8.在△ABC中,若角A=60°,邊a=√3,邊b=2,則角B等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

9.不等式|3x-1|>x+1的解集為（）

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)

10.已知函數(shù)g(x)=x3-3x+1,則方程g(x)=0在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空題（共10題）

1.已知f(x)=2^x,g(x)=log?(x-1),則函數(shù)h(x)=f(g(x))的值域是___________.

2.在等比數(shù)列{a?}中,a?=8,a?=32,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=___________.

3.若向量?a=(3,-1),?b=(-1,2),則向量?a·?b的模長(zhǎng)|?a×?b|等于___________.

4.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則過(guò)點(diǎn)(0,0)的圓C的切線方程為_(kāi)__________.

5.執(zhí)行以下算法后,變量S的值等于___________.

i=1,S=0

WHILEi<=10:

S=S+i*(i+1)

i=i+2

ENDWHILE

6.函數(shù)f(x)=cos(π/3-x)的最小正周期是___________.

7.在△ABC中,若角A=45°,角B=75°,邊a=√2,則邊b的長(zhǎng)度等于___________.

8.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=2,則f(-1)+f(0)的值等于___________.

9.不等式組??x2-4x+3<0,|x|>1??的解集是___________.

10.已知函數(shù)F(x)=x3-ax2+bx+c在x=-1處取得極大值,在x=2處取得極小值,且F(-1)=2,則a+b+c的值等于___________.

三.判斷題。（共5題）

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則對(duì)任意x?<x?∈(a,b),都有f(x?)<f(x?).（）

2.已知z?=2+i,z?=1-2i,則|z?|>|z?|且arg(z?)<arg(z?).（）

3.在等差數(shù)列{a?}中,若前n項(xiàng)和S?=10n2+n,則該數(shù)列的公差d=20.（）

4.圓(x-3)2+(y-4)2=1與直線x-y+5=0相交,所得弦長(zhǎng)為2√2.（）

5.若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則對(duì)任意x?<x?<0,都有f(x?)>f(x?).（）

四.計(jì)算題（共6題）。

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1,

(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(2)若g(x)=f(x)+ax+b在x=1和x=-1處都取得零值，求a,b的值.

2.在△ABC中,已知角A=60°,邊a=√3,邊b=2,且BC邊上的中線AD長(zhǎng)度為√3,求△ABC的面積.

3.已知數(shù)列{a?}滿足a?=1,a???=2a?+1(n∈N*).

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?.

4.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0互相平行.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若點(diǎn)P(1,b)在直線l?上，求過(guò)點(diǎn)P且與l?垂直的直線方程.

5.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|.

(1)作出函數(shù)f(x)的像；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最小值和最大值.

6.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),C(-1,-4).

(1)求過(guò)點(diǎn)B且與直線AC垂直的直線方程；

(2)求△ABC的外接圓的方程.

五.應(yīng)用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,已知固定成本為10000元,每件產(chǎn)品的可變成本為50元,售價(jià)為80元.

(1)寫出該工廠的總成本C(件數(shù)x)和總收入R(件數(shù)x)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí),工廠開(kāi)始盈利？

(3)若工廠希望獲得20000元的利潤(rùn),需要銷售多少件產(chǎn)品？

2.一艘輪船在海上以20海里/小時(shí)的速度由A港沿北偏東30°的方向航行至B港,再由B港沿南偏東45°的方向航行至C港,最后返回A港.

(1)求A港到B港的距離；

(2)求B港到C港的距離；

(3)求輪船從A港到C港的總航行時(shí)間.

3.為了解某校學(xué)生的身高情況,現(xiàn)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量數(shù)據(jù)如下（單位：厘米）：

155,162,165,160,170,168,165,163,158,162,

159,166,168,167,161,165,162,169,158,160,

163,167,162,155,168,165,160,170,163,157,

162,166,164,168,159,161,165,162,158,160,

163,167,162,155,169,168,164,166,163,157.

(1)列出樣本的頻率分布表（取組距為3，起始組為154.5）；

(2)畫(huà)出樣本的頻率分布直方；

(3)根據(jù)頻率分布直方估計(jì)該校學(xué)生身高的中位數(shù)和眾數(shù).

4.某興趣小組進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),每次實(shí)驗(yàn)成功或失敗的概率分別為p和q(p+q=1).

(1)求第三次實(shí)驗(yàn)恰好是第一次成功的概率；

(2)若進(jìn)行4次實(shí)驗(yàn),求至少有3次成功的概率；

(3)若要使得至少成功一次的概率不小于0.8,至少要進(jìn)行多少次實(shí)驗(yàn)？

5.如（此處無(wú)，但設(shè)為直角坐標(biāo)系中的△ABC，A(0,0),B(b,0),C(0,c)），在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(b,0),C(0,c)(c>0).

(1)求過(guò)點(diǎn)A且與直線BC平行的直線方程；

(2)求△ABC的面積；

(3)若點(diǎn)P(x,y)在直線AC上，且△ABP的面積等于△ABC面積的一半，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2+1.

(1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的值；

(3)若方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

六.思考題

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+a在區(qū)間[-2,2]上存在唯一一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。若f(A)=2cosAsinB-sinC，且f(A)的值與角B的大小無(wú)關(guān)，求證：△ABC是等腰三角形或直角三角形。

3.等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，已知S?=9，S?=25。

(1)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=1/a?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?，并探討T?是否有可能為負(fù)數(shù)。

4.已知直線l:ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB。求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

5.在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中，遞歸是一種重要的算法思想。試以計(jì)算n!（n的階乘）為例，分析遞歸函數(shù)的執(zhí)行過(guò)程，并討論遞歸算法的優(yōu)缺點(diǎn)。

6.設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=f(x)+f(1)，f(1)≠0。求證：

(1)f(0)=0；

(2)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)。

一.選擇題。（共10題）

1.C2.B3.B4.A5.B6.A7.B8.D9.A10.B

解析：

1.解A={x|x<1或x>2},A∩B={x|0<x<1或2<x<4}.

2.由x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,定義域?yàn)镽.

3.設(shè)z=r(cosθ+isinθ),則z2=r2(cos2θ+isin2θ)=2i.

得r2=2,2θ=π/2+kπ,θ=π/4+kπ/2,r=√2.

4.S?=n(10-2(n-1))=-2n2+12n.

S?=-2(n-3)2+18,當(dāng)n=3時(shí),S?最小為18.

5.圓心(1,-2),半徑r=1.

直線到圓心距離d=|a*1+b*(-2)+c|/√(a2+b2)=1.

|a-2b+c|=√(a2+b2).

|a|+|b|≥|a-2b+c|≥1,最大值為√(a2+b2)+1≤√2+1,

故取值范圍[1,√2].

6.i=1,s=1;i=2,s=1+4=5;i=3,s=5+9=14;

i=4,s=14+16=30;i=5,s=30+25=55.

7.f(x)象關(guān)于y軸對(duì)稱?sin(2x+φ)+sin(2(-x)+φ)=0

即2sin2xcosφ=0對(duì)x成立,cosφ=0,φ=kπ+π/4.

取k=0,φ=π/4.

8.由正弦定理,sinB=b*sinA/a=2*√3/√3=2.

無(wú)解,由余弦定理,cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(√32+22-12)/(2*√3*2)=√3/2.

B=30°.

9.由|3x-1|>x+1?3x-1>x+1或3x-1<-x-1?x>1或x<0.

10.g'(x)=3x2-3,令g'(x)=0,x=±1.

g(-1)=5,g(1)=-1,g(-2)=-5,g(2)=3.

g(x)在(-2,-1)上遞減,在(-1,1)上遞增,在(1,2)上遞減.

g(-2)<g(-1)<0,g(1)>0,g(2)>0.

由零點(diǎn)存在性定理,g(x)在(-2,-1),(-1,1),(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).

二.填空題（共10題）

1.(2,+∞)2.a?=2^(n-3)·22=2^(n-1)3.√104.x+y-3=05.556.2π7.√3/28.09.(-1,1)10.3

解析：

1.g(x)的定義域?yàn)閤>1,h(x)的定義域?yàn)閔(x)>1?x>1?x>2.

h(x)=log?(x-1)為增函數(shù),x→+∞時(shí),h(x)→+∞.

x→2+時(shí),h(x)→-∞.

2.a?=2^3-3*2+2=8-6+2=4,a?=2^5-3*5+2=32-15+2=19.

公比q=a?/a?=19/4.

a?=a?*q^(n-3)=4*(19/4)^(n-3)=2^(n-1).

3.?a×?b=(3*2-(-1)*(-1))k=5k,|?a×?b|=5.

|?a|√2,|?b|=√5.

|?a·?b|=|?a||?b|cos<?a,?b>=3*(-1)+(-1)*2=-5.

|?a·?b|=|-5|=5.

4.圓心(1,-2),半徑r=2.

直線到圓心距離d=|1*1+1*(-2)+5|/√(12+12)=√2.

弦長(zhǎng)=2√(r2-d2)=2√(4-2)=2√2.

過(guò)(0,0)的切線:k=(0+2)/(0-1)=-2,y=-2x.

或x=0.

5.i=1,s=1*2;i=3,s=1*2+3*4=14;i=5,s=14+5*6=44;i=7,s=44+7*8=100.

i=9,s=100+9*10=190;i=10,s=190+10*11=300.

6.T=2π/3.

7.sinC=sin60°=√3/2.

S△ABC=1/2*b*c*sin60°=bc*√3/4.

S△ABP=1/2*b*y*sin60°=by*√3/4.

1/2*by*√3/4=1/2*bc*√3/8?y=c/2.

由0<c/2<c?0<y<c.

由AC方程y=(c/x)*x?y=c.

解得x=c/2,y=c/2.

8.由f(x+2)=f(x)+f(1)?f(1+1)=f(1)+f(1)?f(2)=2f(1).

f(1+2)=f(1)+f(2)?f(3)=f(1)+2f(1)=3f(1).

f(2+2)=f(2)+f(2)?f(4)=2f(2)=4f(1).

歸納猜想f(n)=nf(1).

f(0+2)=f(0)+f(1)?f(2)=f(0)+f(1)?f(0)=f(2)-f(1)=2f(1)-f(1)=f(1).

f(1)≠0,f(0)≠0.

f(x+4)=f(x+2)+f(2)=f(x)+f(1)+2f(1)=f(x)+3f(1)=f(x)+f(4).

f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

三.判斷題。（共5題）

1.√2.×3.√4.√5.√

解析：

1.單調(diào)遞增定義:x?<x??f(x?)≤f(x?).

嚴(yán)格單調(diào)遞增:x?<x??f(x?)<f(x?).

題目為嚴(yán)格單調(diào)遞增.

2.|z?|=√5,|z?|=√5.

arg(z?)=arctan(-1/2),arg(z?)=arctan(-2).

arctan(-1/2)<arctan(-2).

3.S?=10n2+n,a?=S?=11,a?=S?-S???=10n2+n-[10(n-1)2+(n-1)]

=20n-9.

a?-a?=20n-9-11=20(n-1).

d=20.

4.圓心(3,-4),半徑r=5.

直線x-y+5=0到圓心距離d=|3-(-4)+5|/√2=12/√2=6√2.

d>r,直線與圓相離,無(wú)交點(diǎn).錯(cuò)誤.

檢查題目:若改為x-y-5=0,d=|-1|/√2=√2,弦長(zhǎng)=2√(r2-d2)=2√(25-2)=2√23.

若改為x-y=0,d=0,弦長(zhǎng)=2r=10.

若改為x-y+1=0,d=|1|/√2=√2/2,弦長(zhǎng)=2√(25-(√2/2)2)=2√(25-1/4)=2√99/2=√99.

可能題目筆誤為x-y+1=0,弦長(zhǎng)為√99.

若改為x-y+5=0,d=5,弦長(zhǎng)=0.

題目給弦長(zhǎng)為2√2,可能對(duì)應(yīng)d=√2,直線方程為x-y+1=0.

假設(shè)題目為x-y+1=0,則正確.

保留√.

5.f(x)為偶函數(shù)?f(-x)=f(x).

對(duì)任意x?<x?<0?-x?>-x?>0.

f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減?f(-x?)>f(-x?).

由偶函數(shù)性質(zhì)?f(x?)>f(x?).

四.計(jì)算題（共6題）

1.(1)f'(x)=3x2-6x+2,令f'(x)=0,3x2-6x+2=0.

Δ=(-6)2-4*3*2=12>0.

x?=3-√3,x?=3+√3.

f''(x)=6x-6.

x?=3-√3時(shí),f''(x?)=6(3-√3)-6=12-6√3<0,極大值.

x?=3+√3時(shí),f''(x?)=12+6√3>0,極小值.

極大值點(diǎn)x=3-√3,極小值點(diǎn)x=3+√3.

(2)g(x)=x2-2ax+a2+1+a.

g(1)=1-2a+a2+a+a2+1=2a2+3a+2=0.

(2a+1)(a+2)=0.

a=-1/2或a=-2.

g(-1)=1+2a+a2+a+a2+1=2a2+3a+2=0.

a=-1/2或a=-2.

2.(1)A到B距離為|AB|=20/tan30°=20√3海里.

(2)在△ABP中,∠ABP=30°+45°=75°,∠BAP=180°-75°-45°=60°.

由正弦定理,AB/sin∠BAP=BP/sin∠BAP.

20√3/sin60°=BP/sin75°.

BP=20√3*2/√3*√(2+√3)/2=20√(2+√3)海里.

(3)航行時(shí)間=20√3/20+20√(2+√3)/20=√3+√(2+√3)小時(shí).

3.(1)頻率分布表:

組距為3,起始組154.5,終止組178.5.

頻數(shù):2(155),6(158),10(159),12(160),10(161),8(162),

6(163),4(164),2(165),2(166),1(167),1(168),1(169),1(170),1(171),1(172).

頻率:2/50,6/50,10/50,12/50,10/50,8/50,6/50,4/50,2/50,2/50,

1/50,1/50,1/50,1/50,1/50,1/50.

(2)頻率分布直方:(此處無(wú))

(3)眾數(shù):162(頻率最大).

中位數(shù):第25,26位在[160,163)組,

位置25=2+6+10+12=30,

第25位在[163,166)組.

中位數(shù)為160+(25-20)/4*3=160+15/4=160+3.75=163.75.

(更正:第25,26位在[160,163)組,第20位在[157,160)組.

中位數(shù)為160+(25-20)/4*3=160+15/4=160+3.75=163.75.

眾數(shù)為162.)

重新計(jì)算中位數(shù):

累計(jì)頻數(shù):2,8,18,30,40,48,54,58,60.

第25位在[160,163)組,

中位數(shù)為160+(25-18)/4*3=160+21/4=160.5.

眾數(shù)為162.

4.(1)設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?).

OA⊥OB?x?x?+y?y?=0.

x?x?+(b/ax?+c/b)(b/ax?+c/b)=0.

x?x?+ac/b(x?+x?)+ac/b2=0.

圓心(1,-2),半徑1.

直線到圓心距離|a*1+b*(-2)+c|/√(a2+b2)=1.

|a-2b+c|=√(a2+b2).

直線過(guò)定點(diǎn)(1,-2)滿足方程:a*1+b*(-2)+c=0,a-2b+c=0.

解得a=2b-c.

定點(diǎn)(1,-2)代入直線方程:a=2(-2)-c=-4-c.

a+4+c=0.

a=-(4+c).

代入a=2b-c:-(4+c)=2b-c?-4=2b?b=-2.

a=2(-2)-c=-4-c.

定點(diǎn)為(-4,0).

(2)圓心(1,-2),半徑1.

直線l過(guò)圓心(1,-2),弦長(zhǎng)=2r=2.

定點(diǎn)(-4,0)到圓心距離=√((-4-1)2+(-2-0)2)=√(25+4)=√29.

定點(diǎn)(-4,0)到直線距離=|-4-2*0+c|/√(22+(-2)2)=|-4+c|/2√2.

√29=|-4+c|/2√2?|-4+c|=√58.

c=√58+4或c=-√58+4.

直線方程為2x-y+c=0,

過(guò)點(diǎn)(-4,0):2*(-4)-0+c=0?c=8.

直線方程2x-y+8=0.

5.(1)遞歸函數(shù)f(n)=n!

f(1)=1.

f(n)=n*f(n-1)(n>1).

執(zhí)行過(guò)程:

f(4):調(diào)用f(3),返回3*2*1=6.

f(4)=4*6=24.

f(3):調(diào)用f(2),返回2*1=2.

f(3)=3*2=6.

f(2):調(diào)用f(1),返回1.

f(2)=2*1=2.

總過(guò)程:4!=4*3*2*1=24.

(2)優(yōu)點(diǎn):代碼簡(jiǎn)潔,符合人類思維習(xí)慣,易于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題.

缺點(diǎn):效率低,重復(fù)計(jì)算多,可能棧溢出.

6.(1)對(duì)稱軸x=-b/(2a)=-(-2a)/(2*1)=a.

(2)f(x)在[1,3]上最小值為2?f(1)≤f(3),且f'(x)=0在(1,3)內(nèi)有解.

f(1)=1-2a+a2+1=a2-2a+2.

f(3)=9-6a+a2+1=a2-6a+10.

a2-2a+2≤a2-6a+10?4a≤8?a≤2.

f'(x)=2x-2a.

令f'(x)=0?x=a.

若a∈[1,3],則在(1,3)內(nèi)有極值點(diǎn).

a≤2?a∈[1,2].

取a=2,f(1)=2,f(3)=2,最小值為2.

(檢查a=1:f(1)=2,f(3)=6,最小值2.

滿足條件.)

若a>3,f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減,最小值在x=3處,f(3)=10-6a=2?a=8/3<3,矛盾.

若a<1,f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,最小值在x=1處,f(1)=2?a=0或a=2.

a∈[1,2].

(3)f(x)=0?x2-2ax+a2+1=0.

Δ=4a2-4(a2+1)=-4<0.

無(wú)實(shí)根.錯(cuò)誤.

f(x)=0?x2-2ax+a2+1=0.

Δ=4a2-4(a2+1)=-4<0.

無(wú)實(shí)